Vergelijkingen
Hoe vergelijkingen oplossen?
In deze sectie zullen we de meest elementaire vergelijkingen herinneren (of bestuderen, afhankelijk van wie je kiest). Dus wat is de vergelijking? In de menselijke taal is dit een soort wiskundige uitdrukking waarbij sprake is van een gelijkteken en een onbekende. Meestal wordt dit aangegeven met de letter "X". Los De vergelijking op- dit is om zulke waarden van x te vinden die, wanneer gesubstitueerd in origineel expressie zal ons de juiste identiteit geven. Laat me je eraan herinneren dat identiteit een uitdrukking is waar geen twijfel over bestaat, zelfs voor iemand die absoluut niet belast is met wiskundige kennis. Zoals 2=2, 0=0, ab=ab, etc. Dus hoe vergelijkingen op te lossen? Laten we het uitzoeken.
Er zijn allerlei soorten vergelijkingen (ik ben verrast, toch?). Maar al hun oneindige verscheidenheid kan in slechts vier typen worden verdeeld.
4. Ander.)
Al de rest natuurlijk, vooral, ja...) Dit omvat kubieke, exponentiële, logaritmische, trigonometrische en allerlei andere. Wij zullen nauw met hen samenwerken in de desbetreffende secties.
Ik zal meteen zeggen dat soms de vergelijkingen van de eerste zijn drie soorten ze zullen je zo bedriegen dat je ze niet eens zult herkennen... Niets. We zullen leren hoe we ze kunnen ontspannen.
En waarom hebben we deze vier typen nodig? En dan wat lineaire vergelijkingen op één manier opgelost vierkant anderen, fractionele rationale getallen - derde, A rest Ze durven helemaal niet! Nou, het is niet zo dat ze helemaal niet kunnen beslissen, het is dat ik het mis had met wiskunde.) Het is gewoon dat ze hun eigen speciale technieken en methoden hebben.
Maar voor iedereen (ik herhaal - voor elk!) vergelijkingen bieden een betrouwbare en faalveilige basis voor het oplossen. Werkt overal en altijd. Deze stichting - Klinkt eng, maar het is heel eenvoudig. En erg (Erg!) belangrijk.
Eigenlijk bestaat de oplossing van de vergelijking uit deze transformaties. 99% Antwoord op de vraag: " Hoe vergelijkingen oplossen?" ligt precies in deze transformaties. Is de hint duidelijk?)
Identieke transformaties van vergelijkingen.
IN eventuele vergelijkingen Om het onbekende te vinden, moet je het originele voorbeeld transformeren en vereenvoudigen. En dat dus bij het wisselen verschijning de essentie van de vergelijking is niet veranderd. Dergelijke transformaties worden genoemd identiek of gelijkwaardig.
Merk op dat deze transformaties van toepassing zijn specifiek voor de vergelijkingen. Er zijn ook identiteitstransformaties in de wiskunde uitdrukkingen. Dit is een ander onderwerp.
Nu zullen we alles, alles, allemaal basis herhalen identieke transformaties van vergelijkingen.
Basic omdat ze toegepast kunnen worden elk vergelijkingen - lineair, kwadratisch, fractioneel, trigonometrisch, exponentieel, logaritmisch, enz. enzovoort.
Eerste identiteitstransformatie: je kunt aan beide kanten van elke vergelijking optellen (aftrekken). elk(maar wel één en hetzelfde!) getal of uitdrukking (inclusief een uitdrukking met een onbekende!). Dit verandert niets aan de essentie van de vergelijking.
Trouwens, je hebt deze transformatie voortdurend gebruikt, je dacht gewoon dat je sommige termen van het ene deel van de vergelijking naar het andere overbracht met een verandering van teken. Type:
Het geval is bekend, we verplaatsen de twee naar rechts en we krijgen:
Eigenlijk jij weggenomen van beide kanten van de vergelijking is twee. Het resultaat is hetzelfde:
x+2 - 2 = 3 - 2
Het verplaatsen van termen naar links en rechts met een verandering van teken is eenvoudigweg een verkorte versie van de eerste identiteitstransformatie. En waarom hebben we zulke diepgaande kennis nodig? - je vraagt. Niets in de vergelijkingen. In godsnaam, verdraag het. Vergeet alleen niet het bord te veranderen. Maar bij ongelijkheid kan de gewoonte van overdracht tot een doodlopende weg leiden...
Tweede identiteitstransformatie: beide zijden van de vergelijking kunnen met hetzelfde worden vermenigvuldigd (gedeeld). niet-nul getal of uitdrukking. Hier verschijnt al een begrijpelijke beperking: vermenigvuldigen met nul is dom, en delen is volkomen onmogelijk. Dit is de transformatie die je gebruikt als je iets cools oplost
Het is duidelijk X= 2. Hoe heb je het gevonden? Door selectie? Of is het je net opgevallen? Om niet te selecteren en niet op inzicht te wachten, moet je begrijpen dat je rechtvaardig bent verdeelde beide kanten van de vergelijking door 5. Bij het delen van de linkerkant (5x) werden de vijf verkleind, waardoor pure X overblijft. Dat is precies wat we nodig hadden. En als je de rechterkant van (10) deelt door vijf, is het resultaat natuurlijk twee.
Dat is alles.
Het is grappig, maar deze twee (slechts twee!) identieke transformaties vormen de basis van de oplossing alle vergelijkingen van de wiskunde. Wauw! Het is logisch om naar voorbeelden te kijken van wat en hoe, toch?)
Voorbeelden van identieke transformaties van vergelijkingen. Belangrijkste problemen.
Laten we beginnen met Eerst identiteitstransformatie. Links-rechts overbrengen.
Een voorbeeld voor de jongeren.)
Laten we zeggen dat we de volgende vergelijking moeten oplossen:
3-2x=5-3x
Laten we de spreuk onthouden: "met X'en - naar links, zonder X'en - naar rechts!" Deze spreuk is een instructie voor het gebruik van de eerste identiteitstransformatie.) Welke uitdrukking met een X staat rechts? 3x? Het antwoord is onjuist! Aan onze rechterkant - 3x! Minus drie x! Als u naar links gaat, verandert het teken daarom in plus. Het zal blijken:
3-2x+3x=5
De X’s werden dus op een stapel verzameld. Laten we op de cijfers ingaan. Links staat een drie. Met welk teken? Het antwoord "zonder" wordt niet geaccepteerd!) Voor de drie wordt inderdaad niets getekend. En dit betekent dat er vóór de drie is plus. Dus de wiskundigen waren het erover eens. Er staat niets geschreven, wat betekent plus. Daarom wordt de triple naar de rechterkant overgebracht met een minpuntje. We krijgen:
-2x+3x=5-3
Er blijven slechts kleinigheden over. Aan de linkerkant - breng soortgelijke, aan de rechterkant - tel. Het antwoord komt meteen:
In dit voorbeeld was één identiteitstransformatie voldoende. De tweede was niet nodig. Nou ja, oké.)
Een voorbeeld voor oudere kinderen.)
Als je deze site leuk vindt...
Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)
U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)
Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.
Het gebruik van vergelijkingen is wijdverbreid in ons leven. Ze worden gebruikt bij veel berekeningen, constructies en zelfs sporten. De mens gebruikte vergelijkingen in de oudheid, en sindsdien is het gebruik ervan alleen maar toegenomen. Machts- of exponentiële vergelijkingen zijn vergelijkingen waarin de variabelen in machten staan en de basis een getal is. Bijvoorbeeld:
De oplossing van de exponentiële vergelijking reduceert tot 2 helemaal eenvoudige acties:
1. Je moet controleren of de basis van de vergelijking rechts en links hetzelfde is. Als de redenen niet dezelfde zijn, zoeken we naar opties om dit voorbeeld op te lossen.
2. Nadat de bases hetzelfde zijn geworden, stellen we de graden gelijk en lossen we de resulterende nieuwe vergelijking op.
Stel dat we een exponentiële vergelijking krijgen met de volgende vorm:
Het is de moeite waard om de oplossing van deze vergelijking te starten met een analyse van de basis. De bases zijn verschillend - 2 en 4, maar om op te lossen moeten ze hetzelfde zijn, dus transformeren we 4 met behulp van de volgende formule -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
We voegen aan de oorspronkelijke vergelijking toe:
Laten we het tussen haakjes zetten \
Laten we uitdrukken \
Omdat de graden hetzelfde zijn, gooien we ze weg:
Antwoord: \
Waar kan ik een exponentiële vergelijking oplossen met een online oplosser?
U kunt de vergelijking oplossen op onze website https://site. Met de gratis online oplosser kunt u online vergelijkingen van elke complexiteit binnen enkele seconden oplossen. Het enige dat u hoeft te doen, is eenvoudigweg uw gegevens in de oplosser invoeren. U kunt ook video-instructies bekijken en leren hoe u de vergelijking op onze website kunt oplossen. En als u nog vragen heeft, kunt u deze stellen in onze VKontakte-groep http://vk.com/pocketteacher. Sluit u aan bij onze groep, wij helpen u graag verder.
Kwadratische vergelijkingen worden bestudeerd in groep 8, dus er is hier niets ingewikkelds. Het vermogen om ze op te lossen is absoluut noodzakelijk.
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij de coëfficiënten a, b en c willekeurige getallen zijn, en a ≠ 0.
Voordat u specifieke oplossingsmethoden bestudeert, moet u er rekening mee houden dat alle kwadratische vergelijkingen in drie klassen kunnen worden verdeeld:
- Heb geen wortels;
- Heb precies één wortel;
- Ze hebben twee verschillende wortels.
Dit is een belangrijk verschil kwadratische vergelijkingen van lineaire, waarbij de wortel altijd bestaat en uniek is. Hoe bepaal je hoeveel wortels een vergelijking heeft? Er is iets geweldigs hiervoor - discriminerend.
Discriminerend
Laat de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0 gegeven worden. Dan is de discriminant eenvoudigweg het getal D = b 2 − 4ac.
Je moet deze formule uit je hoofd kennen. Waar het vandaan komt, is nu niet belangrijk. Nog iets is belangrijk: aan de hand van het teken van de discriminant kun je bepalen hoeveel wortels een kwadratische vergelijking heeft. Namelijk:
- Als D< 0, корней нет;
- Als D = 0, is er precies één wortel;
- Als D > 0, zijn er twee wortels.
Let op: de discriminant geeft het aantal wortels aan, en helemaal niet hun tekens, zoals veel mensen om de een of andere reden geloven. Bekijk de voorbeelden en je zult alles zelf begrijpen:
Taak. Hoeveel wortels hebben kwadratische vergelijkingen:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Laten we de coëfficiënten voor de eerste vergelijking opschrijven en de discriminant vinden:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
De discriminant is dus positief, dus de vergelijking heeft twee verschillende wortels. We analyseren de tweede vergelijking op een vergelijkbare manier:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
De discriminant is negatief, er zijn geen wortels. De laatste vergelijking die overblijft is:
een = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
De discriminant is nul - de wortel zal één zijn.
Houd er rekening mee dat voor elke vergelijking coëfficiënten zijn opgeschreven. Ja, het is lang, ja, het is vervelend, maar je zult de kansen niet door elkaar halen en domme fouten maken. Kies zelf: snelheid of kwaliteit.
Trouwens, als je het onder de knie hebt, hoef je na een tijdje niet alle coëfficiënten op te schrijven. Dergelijke operaties voer je in je hoofd uit. De meeste mensen beginnen hiermee ergens na 50-70 opgeloste vergelijkingen - over het algemeen niet zo veel.
Wortels van een kwadratische vergelijking
Laten we nu verder gaan met de oplossing zelf. Als de discriminant D > 0, kunnen de wortels worden gevonden met behulp van de formules:
Basisformule voor de wortels van een kwadratische vergelijking
Wanneer D = 0, kunt u elk van deze formules gebruiken - u krijgt hetzelfde getal, wat het antwoord zal zijn. Tenslotte, als D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Eerste vergelijking:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ een = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ de vergelijking heeft twee wortels. Laten we ze vinden:
Tweede vergelijking:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ een = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ de vergelijking heeft opnieuw twee wortels. Laten we ze vinden
\[\begin(uitlijnen) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(uitlijnen)\]
Tenslotte de derde vergelijking:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ een = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ de vergelijking heeft één wortel. Elke formule kan worden gebruikt. De eerste bijvoorbeeld:
Zoals je uit de voorbeelden kunt zien, is alles heel eenvoudig. Als je de formules kent en kunt tellen, zijn er geen problemen. Meestal treden er fouten op bij het vervangen van negatieve coëfficiënten in de formule. Ook hier zal de hierboven beschreven techniek helpen: bekijk de formule letterlijk, schrijf elke stap op - en al snel zul je van fouten afkomen.
Onvolledige kwadratische vergelijkingen
Het komt voor dat een kwadratische vergelijking enigszins afwijkt van wat in de definitie wordt gegeven. Bijvoorbeeld:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Het is gemakkelijk op te merken dat deze vergelijkingen een van de termen missen. Dergelijke kwadratische vergelijkingen zijn zelfs eenvoudiger op te lossen dan standaardvergelijkingen: je hoeft niet eens de discriminant te berekenen. Laten we daarom een nieuw concept introduceren:
De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 wordt een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd als b = 0 of c = 0, d.w.z. de coëfficiënt van de variabele x of het vrije element is gelijk aan nul.
Natuurlijk is er een heel moeilijk geval mogelijk als beide coëfficiënten gelijk zijn aan nul: b = c = 0. In dit geval heeft de vergelijking de vorm ax 2 = 0. Het is duidelijk dat zo'n vergelijking één enkele wortel heeft: x = 0.
Laten we de resterende gevallen bekijken. Stel b = 0, dan krijgen we een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0. Laten we deze een beetje transformeren:
Sinds rekenkunde Vierkantswortel bestaat alleen uit een niet-negatief getal, de laatste gelijkheid heeft alleen zin voor (−c /a) ≥ 0. Conclusie:
- Als in een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 aan de ongelijkheid (−c /a) ≥ 0 wordt voldaan, zullen er twee wortels zijn. De formule staat hierboven;
- Als (−c /a)< 0, корней нет.
Zoals je kunt zien was er geen discriminant nodig; er zijn helemaal geen complexe berekeningen in onvolledige kwadratische vergelijkingen. In feite is het niet eens nodig om de ongelijkheid (−c /a) ≥ 0 te onthouden. Het is voldoende om de waarde x 2 uit te drukken en te zien wat er aan de andere kant van het gelijkteken staat. Als er een positief getal is, zijn er twee wortels. Als het negatief is, zullen er helemaal geen wortels zijn.
Laten we nu eens kijken naar vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0, waarin het vrije element gelijk is aan nul. Alles is hier eenvoudig: er zullen altijd twee wortels zijn. Het is voldoende om de polynoom in factoren te ontbinden:
Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjesHet product is nul als minstens één van de factoren nul is. Dit is waar de wortels vandaan komen. Laten we tot slot een paar van deze vergelijkingen bekijken:
Taak. Kwadratische vergelijkingen oplossen:
- x2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Er zijn geen wortels, omdat een kwadraat kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.
De online service voor het oplossen van vergelijkingen helpt u bij het oplossen van elke vergelijking. Als u onze website gebruikt, ontvangt u niet alleen het antwoord op de vergelijking, maar ziet u ook een gedetailleerde oplossing, dat wil zeggen een stapsgewijze weergave van het proces om het resultaat te verkrijgen. Onze service is nuttig voor middelbare scholieren middelbare scholen en hun ouders. Studenten kunnen zich voorbereiden op toetsen en examens, hun kennis testen, en ouders kunnen de oplossing van wiskundige vergelijkingen door hun kinderen volgen. Vermogen om vergelijkingen op te lossen - verplichte eis aan schoolkinderen. De dienst zal u helpen uzelf te onderwijzen en uw kennis op het gebied van wiskundige vergelijkingen te verbeteren. Met zijn hulp kun je elke vergelijking oplossen: kwadratisch, kubisch, irrationeel, trigonometrisch, enz. Voordeel online dienst en is van onschatbare waarde, omdat je naast het juiste antwoord ook een gedetailleerde oplossing voor elke vergelijking ontvangt. Voordelen van het online oplossen van vergelijkingen. U kunt elke vergelijking helemaal gratis online op onze website oplossen. De service is volledig automatisch, u hoeft niets op uw computer te installeren, u hoeft alleen maar de gegevens in te voeren en het programma geeft u een oplossing. Eventuele fouten in berekeningen of typefouten zijn uitgesloten. Bij ons is het heel eenvoudig om elke vergelijking online op te lossen, dus zorg ervoor dat u onze site gebruikt om elke soort vergelijking op te lossen. U hoeft alleen maar de gegevens in te voeren en de berekening is binnen enkele seconden voltooid. Het programma werkt zelfstandig, zonder menselijke tussenkomst, en u ontvangt een accuraat en gedetailleerd antwoord. De vergelijking oplossen in algemeen beeld. In een dergelijke vergelijking zijn de variabele coëfficiënten en de gewenste wortels met elkaar verbonden. De hoogste macht van een variabele bepaalt de volgorde van een dergelijke vergelijking. Op basis hiervan, gebruik voor de vergelijkingen verschillende methoden en stellingen voor het vinden van oplossingen. Het oplossen van dit soort vergelijkingen betekent het vinden van de vereiste wortels in algemene vorm. Met onze service kunt u zelfs de meest complexe algebraïsche vergelijking online oplossen. U kunt zowel een algemene oplossing voor de vergelijking krijgen als een specifieke oplossing voor de numerieke waarden van de coëfficiënten die u opgeeft. Om een algebraïsche vergelijking op de website op te lossen, volstaat het om slechts twee velden correct in te vullen: de linker- en rechterkant van de gegeven vergelijking. Algebraïsche vergelijkingen met variabele coëfficiënten hebben een oneindig aantal oplossingen, en door bepaalde voorwaarden te stellen, worden gedeeltelijke oplossingen geselecteerd uit de reeks oplossingen. Kwadratische vergelijking. De kwadratische vergelijking heeft de vorm ax^2+bx+c=0 voor a>0. Vergelijkingen oplossen vierkante uitstraling impliceert het vinden van de waarden van x waarbij de gelijkheid ax^2+bx+c=0 geldt. Om dit te doen, zoekt u de discriminantwaarde met behulp van de formule D=b^2-4ac. Als de discriminant kleiner is dan nul, dan heeft de vergelijking geen echte wortels (de wortels komen uit het veld van complexe getallen), als deze gelijk is aan nul, dan heeft de vergelijking één reële wortel, en als de discriminant groter is dan nul , dan heeft de vergelijking twee reële wortels, die worden gevonden met de formule: D = -b+-sqrt/2a. Om een kwadratische vergelijking online op te lossen, hoeft u alleen maar de coëfficiënten van de vergelijking in te voeren (gehele getallen, breuken of decimalen). Als er aftrekkingstekens in een vergelijking voorkomen, moet u een minteken vóór de overeenkomstige termen van de vergelijking plaatsen. U kunt een kwadratische vergelijking online oplossen, afhankelijk van de parameter, dat wil zeggen de variabelen in de coëfficiënten van de vergelijking. Onze online service voor het vinden algemene oplossingen. Lineaire vergelijkingen. Voor oplossingen lineaire vergelijkingen(of stelsels van vergelijkingen) zijn er vier hoofdmethoden die in de praktijk worden gebruikt. We zullen elke methode in detail beschrijven. Vervangingsmethode. Het oplossen van vergelijkingen met behulp van de substitutiemethode vereist het uitdrukken van één variabele in termen van de andere. Hierna wordt de uitdrukking vervangen door andere vergelijkingen van het systeem. Vandaar de naam van de oplossingsmethode, dat wil zeggen dat in plaats van een variabele de expressie ervan wordt vervangen door de overige variabelen. In de praktijk vereist de methode complexe berekeningen, hoewel deze gemakkelijk te begrijpen is. Het online oplossen van een dergelijke vergelijking zal dus tijd helpen besparen en berekeningen eenvoudiger maken. U hoeft alleen maar het aantal onbekenden in de vergelijking aan te geven en de gegevens uit de lineaire vergelijkingen in te vullen, waarna de service de berekening zal maken. Gauss-methode. De methode is gebaseerd op de eenvoudigste transformaties van het systeem om tot een gelijkwaardig driehoekig systeem te komen. Hieruit worden de onbekenden één voor één bepaald. In de praktijk is het nodig om een dergelijke vergelijking online op te lossen met gedetailleerde beschrijving, waardoor je een goed begrip zult hebben van de Gaussische methode voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Schrijf het stelsel lineaire vergelijkingen in het juiste formaat op en houd rekening met het aantal onbekenden om het stelsel nauwkeurig op te lossen. Cramers methode. Deze methode lost stelsels vergelijkingen op in gevallen waarin het systeem een unieke oplossing heeft. De belangrijkste wiskundige actie hier is de berekening van matrixdeterminanten. Het oplossen van vergelijkingen met behulp van de Cramer-methode gebeurt online, u ontvangt direct het resultaat met een volledige en gedetailleerde beschrijving. Het volstaat om het systeem te vullen met coëfficiënten en het aantal onbekende variabelen te selecteren. Matrix-methode. Deze methode bestaat uit het verzamelen van de coëfficiënten van de onbekenden in matrix A, de onbekenden in kolom X en de vrije termen in kolom B. Het systeem van lineaire vergelijkingen wordt dus gereduceerd tot matrixvergelijking type AxX=B. Deze vergelijking heeft alleen een unieke oplossing als de determinant van matrix A verschillend is van nul, anders heeft het systeem geen oplossingen, of een oneindig aantal oplossingen. Vergelijkingen oplossen matrixmethode is te vinden omgekeerde matrix A.