1. Power functie, zijn eigenschappen en grafiek;
2. Transformaties:
Parallelle overdracht;
Symmetrie rond coördinaatassen;
Symmetrie over de oorsprong;
Symmetrie rond de rechte lijn y = x;
Rekken en samendrukken langs coördinaatassen.
3. Exponentiële functie, zijn eigenschappen en grafiek, soortgelijke transformaties;
4. Logaritmische functie, zijn eigenschappen en grafiek;
5. Trigonometrische functie, zijn eigenschappen en grafiek, soortgelijke transformaties (y = sin x; y = cos x; y = tan x);
Functie: y = x\n - zijn eigenschappen en grafiek.
Machtsfunctie, zijn eigenschappen en grafiek
y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/x enz. Al deze functies zijn speciale gevallen van de machtsfunctie, d.w.z. de functie y = xp, waarbij p een bepaald reëel getal is.
De eigenschappen en grafiek van een machtsfunctie zijn in belangrijke mate afhankelijk van de eigenschappen van een macht met een reële exponent, en in het bijzonder van de waarden waarvoor X En P diploma is logisch xp. Laten we verdergaan met een soortgelijke overweging verschillende gevallen afhankelijk van
exponent P.
- Inhoudsopgave p = 2n- zelfs natuurlijk nummer.
y = x2n, Waar N- een natuurlijk getal, heeft de volgende eigenschappen:
- definitiedomein - alle reële getallen, d.w.z. de verzameling R;
- reeks waarden - niet-negatieve getallen, d.w.z. y is groter dan of gelijk aan 0;
- functie y = x2n zelfs, omdat x 2n = (-x) 2n
- de functie neemt af met het interval X< 0 en toenemend met het interval x > 0.
Grafiek van een functie y = x2n heeft dezelfde vorm als bijvoorbeeld de grafiek van een functie y = x4.
2. Indicator p = 2n - 1- oneven natuurlijk getal
In dit geval de machtsfunctie y = x2n-1, waarbij een natuurlijk getal is, heeft de volgende eigenschappen:
- domein van definitie - set R;
- set waarden - set R;
- functie y = x2n-1 vreemd, aangezien (- x) 2n-1= x2n-1;
- de functie neemt toe over de gehele reële as.
Grafiek van een functie y = x2n-1 y = x3.
3. Indicator p = -2n, Waar N- natuurlijk nummer.
In dit geval de machtsfunctie y = x -2n = 1/x 2n heeft de volgende eigenschappen:
- reeks waarden - positieve getallen y>0;
- functie y = 1/x 2n zelfs, omdat 1/(-x)2n= 1/x 2n;
- de functie neemt toe op het interval x0.
Grafiek van functie y = 1/x 2n heeft dezelfde vorm als bijvoorbeeld de grafiek van de functie y = 1/x2.
4. Indicator p = -(2n-1), Waar N- natuurlijk nummer.
In dit geval de machtsfunctie y = x-(2n-1) heeft de volgende eigenschappen:
- definitiedomein - set R, behalve x = 0;
- reeks waarden - stel R in, behalve y = 0;
- functie y = x-(2n-1) vreemd, aangezien (- x) -(2n-1) = -x-(2n-1);
- de functie neemt af met intervallen X< 0 En x > 0.
Grafiek van een functie y = x-(2n-1) heeft dezelfde vorm als bijvoorbeeld de grafiek van een functie y = 1/x 3.
Machtsfunctie, zijn eigenschappen en grafiek Demonstratiemateriaal Les-lezing Concept van functie. Functie eigenschappen. Machtsfunctie, zijn eigenschappen en grafiek. Graad 10 Alle rechten voorbehouden. Auteursrecht met Auteursrecht met
Lesvoortgang: Herhaling. Functie. Eigenschappen van functies. Nieuw materiaal leren. 1. Definitie van een machtsfunctie.Definitie van een machtsfunctie. 2. Eigenschappen en grafieken van machtsfuncties. Eigenschappen en grafieken van machtsfuncties. Consolidatie van het bestudeerde materiaal. Verbaal tellen. Verbaal tellen. Samenvatting van de les. Huiswerkopdracht.
Domein van definitie en domein van waarden van een functie Alle waarden van de onafhankelijke variabele vormen het domein van definitie van de functie x y=f(x) f Domein van definitie van de functie Domein van waarden van de functie Alle waarden die de afhankelijke variabele aanneemt vormen het waardendomein van de functie Functie. Functie eigenschappen
Grafiek van een functie Laat een functie gegeven worden waarbij xY y x.75 3 0.6 4 0.5 De grafiek van een functie is de verzameling van alle punten van het coördinatenvlak, waarvan de abscis gelijk is aan de waarden van het argument, en de coördinaten zijn gelijk aan de overeenkomstige waarden van de functie. Functie. Functie eigenschappen
Y x Domein van definitie en bereik van waarden van de functie 4 y=f(x) Domein van definitie van de functie: Domein van waarden van de functie: Functie. Functie eigenschappen
Zelfs functie y x y=f(x) Grafiek zelfs functioneren is symmetrisch ten opzichte van de as van de op-amp, wordt zelfs aangeroepen als f(-x) = f(x) voor elke x uit het definitiedomein van de functie Functie. Functie eigenschappen
Oneven functie y x y=f(x) Grafiek rare functie symmetrisch ten opzichte van de oorsprong van de coördinaten O(0;0) De functie y=f(x) wordt oneven genoemd als f(-x) = -f(x) voor elke x uit het definitiedomein van de functie Functie. Functie eigenschappen
Definitie van een machtsfunctie Een functie waarbij p een bepaald reëel getal is, wordt een machtsfunctie genoemd. p y=x p P=x y 0 Lesvoortgang
Machtsfunctie x y 1. Het domein van de definitie en het bereik van waarden van machtsfuncties van de vorm, waarbij n een natuurlijk getal is, zijn allemaal reële getallen. 2. Deze functies zijn vreemd. Hun grafiek is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. Eigenschappen en grafieken van machtsfuncties
Machtsfuncties met een rationele positieve exponent. Het domein van de definitie bestaat uit alle positieve getallen en het getal 0. Het bereik van waarden van functies met zo'n exponent bestaat ook uit alle positieve getallen en het getal 0. Deze functies zijn noch even, noch oneven. . y x Eigenschappen en grafieken van machtsfuncties
Machtsfunctie met rationele negatieve exponent. Het domein van de definitie en het bereik van waarden van dergelijke functies zijn allemaal positieve getallen. De functies zijn noch even noch oneven. Dergelijke functies nemen over hun hele definitiedomein af. y x Eigenschappen en grafieken van machtsfuncties Lesvoortgang
Voor het gemak van het beschouwen van een machtsfunctie zullen we vier afzonderlijke gevallen beschouwen: een machtsfunctie met een natuurlijke exponent, een machtsfunctie met een gehele exponent, een machtsfunctie met rationele indicator en een machtsfunctie met een irrationele exponent.
Machtsfunctie met natuurlijke exponent
Laten we eerst het concept van een graad met een natuurlijke exponent introduceren.
Definitie 1
De macht van een reëel getal $a$ met natuurlijke exponent $n$ is een getal dat gelijk is aan het product van $n$ factoren, die elk gelijk zijn aan het getal $a$.
Foto 1.
$a$ is de basis van het diploma.
$n$ is de exponent.
Laten we nu een machtsfunctie bekijken met een natuurlijke exponent, zijn eigenschappen en grafiek.
Definitie 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ wordt een machtsfunctie met een natuurlijke exponent genoemd.
Voor nog meer gemak beschouwen we afzonderlijk een machtsfunctie met een even exponent $f\left(x\right)=x^(2n)$ en een machtsfunctie met een oneven exponent $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.
Eigenschappen van een machtsfunctie met een natuurlijke even exponent
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- de functie is even.
Waardegebied -- $\
De functie neemt af als $x\in (-\infty ,0)$ en neemt toe als $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$
De functie is convex over het gehele definitiedomein.
Gedrag aan de uiteinden van het domein:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Grafiek (Fig. 2).
Figuur 2. Grafiek van de functie $f\left(x\right)=x^(2n)$
Eigenschappen van een machtsfunctie met een natuurlijke oneven exponent
Het domein van definitie bestaat uit alle reële getallen.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- de functie is oneven.
$f(x)$ is continu over het gehele definitiedomein.
Het bereik bestaat uit allemaal reële getallen.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
De functie neemt toe over het gehele definitiedomein.
$f\left(x\right)0$, voor $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
De functie is concaaf voor $x\in (-\infty ,0)$ en convex voor $x\in (0,+\infty)$.
Grafiek (Fig. 3).
Figuur 3. Grafiek van de functie $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Machtsfunctie met gehele exponent
Laten we eerst het concept van een graad met een gehele exponent introduceren.
Definitie 3
De macht van een reëel getal $a$ met een gehele exponent $n$ wordt bepaald door de formule:
Figuur 4.
Laten we nu een machtsfunctie bekijken met een gehele exponent, de eigenschappen en grafiek ervan.
Definitie 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ wordt een machtsfunctie met een gehele exponent genoemd.
Als de graad groter is dan nul, komen we bij het geval van een machtsfunctie met een natuurlijke exponent. We hebben het hierboven al besproken. Voor $n=0$ krijgen we een lineaire functie $y=1$. Wij laten de overweging ervan aan de lezer over. Rest ons nog de eigenschappen van een machtsfunctie met een negatieve gehele exponent te beschouwen
Eigenschappen van een machtsfunctie met een negatieve gehele exponent
Het definitiedomein is $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Als de exponent even is, dan is de functie even; als deze oneven is, dan is de functie oneven.
$f(x)$ is continu over het gehele definitiedomein.
Domein:
Als de exponent even is, dan is $(0,+\infty)$ oneven, en dan $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Voor een oneven exponent neemt de functie af als $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Voor een even exponent neemt de functie af als $x\in (0,+\infty)$. en neemt toe met $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ over het gehele definitiedomein
Een machtsfunctie wordt een functie genoemd van de vorm y=x n (lees als y gelijk is aan x tot de macht van n), waarbij n een gegeven getal is. Speciale gevallen van machtsfuncties zijn functies van de vorm y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x en vele andere. Laten we u meer over elk van hen vertellen.
Lineaire functie y=x 1 (y=x)
De grafiek is een rechte lijn die door het punt (0;0) loopt onder een hoek van 45 graden met de positieve richting van de Ox-as.
De grafiek wordt hieronder weergegeven.
Basiseigenschappen van een lineaire functie:
- De functie is stijgend en wordt gedefinieerd op de gehele getallenlijn.
- Er zijn geen maximum- of minimumwaarden.
Kwadratische functie y=x 2
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool.
Basiseigenschappen van een kwadratische functie:
- 1. Bij x =0, y=0, en y>0 bij x0
- 2. Minimumwaarde kwadratische functie bereikt zijn hoogtepunt. Ymin bij x=0; Dat moet ook worden opgemerkt maximale waarde de functie bestaat niet.
- 3. De functie neemt af met het interval (-∞;0] en neemt toe met het interval)