In deze video gaan we kijken hele set lineaire vergelijkingen die met hetzelfde algoritme worden opgelost - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we eerst definiëren: wat is een lineaire vergelijking en welke wordt de eenvoudigste genoemd?

Een lineaire vergelijking is een vergelijking waarin er slechts één variabele is, en alleen tot de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Ander lineaire vergelijkingen teruggebracht tot de eenvoudigste met behulp van een algoritme:

1. Vouw eventuele haakjes uit;
2. Verplaats termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en termen zonder variabele naar de andere kant;
3. Geef soortgelijke termen links en rechts van het gelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $x$.

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt van de variabele $x$ gelijk aan nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Wanneer bijvoorbeeld zoiets als $0\cdot x=8$ uitkomt, d.w.z. aan de linkerkant is nul en aan de rechterkant is een ander getal dan nul. In de onderstaande video bekijken we verschillende redenen waarom deze situatie mogelijk is.
2. De oplossing bestaat uit alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is wanneer de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $0\cdot x=0$. Het is heel logisch dat, ongeacht hoeveel $x$ we vervangen, het nog steeds zal blijken dat “nul gelijk is aan nul”, d.w.z. correcte numerieke gelijkheid.

Laten we nu eens kijken hoe dit allemaal werkt aan de hand van voorbeelden uit de praktijk.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Tegenwoordig hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. Over het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen tot de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet je de haakjes uitvouwen, als die er zijn (zoals in ons laatste voorbeeld);
2. Combineer dan vergelijkbaar
3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. verplaats alles wat verband houdt met de variabele (de termen waarin deze is vervat) naar de ene kant, en verplaats alles wat er zonder blijft naar de andere kant.

Dan moet je in de regel soortgelijke waarden geven aan elke kant van de resulterende gelijkheid, en daarna hoef je alleen nog maar te delen door de coëfficiënt van "x", en dan krijgen we het definitieve antwoord.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden er fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het berekenen van de “plus- en minpunten”.

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten in de les van vandaag bekijken. Maar we zullen beginnen, zoals je al hebt begrepen, met de zeer eenvoudige taken.

Schema voor het oplossen van eenvoudige lineaire vergelijkingen

Laat me eerst nogmaals het hele schema voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen schrijven:

1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig.
2. We isoleren de variabelen, d.w.z. We verplaatsen alles dat “X’s” bevat naar de ene kant, en alles zonder “X’s” naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We delen alles door de coëfficiënt van “x”.

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd; er zitten bepaalde subtiliteiten en trucs in, en nu zullen we ze leren kennen.

Echte voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Taak nr. 1

Voor de eerste stap moeten we de haakjes openen. Maar ze staan ​​niet in dit voorbeeld, dus we slaan deze stap over. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Opmerking: we praten over alleen over individuele termen. Laten we het opschrijven:

We presenteren links en rechts soortgelijke termen, maar dit is hier al gedaan. Laten we daarom verder gaan vierde stap: gedeeld door de coëfficiënt:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Dus we hebben het antwoord.

Taak nr. 2

We kunnen de haakjes in dit probleem zien, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer hetzelfde ontwerp, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. het scheiden van de variabelen:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Bij welke wortels werkt dit? Antwoord: voor iedereen. Daarom kunnen we schrijven dat $x$ een willekeurig getal is.

Taak nr. 3

De derde lineaire vergelijking is interessanter:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Er zijn verschillende haakjes, maar deze worden nergens mee vermenigvuldigd, ze worden eenvoudigweg voorafgegaan door verschillende tekens. Laten we ze opsplitsen:

We voeren de tweede stap uit die ons al bekend is:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Laten we de wiskunde doen:

Wij voeren uit laatste stap— deel alles door de coëfficiënt van “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we te eenvoudige taken negeren, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kunnen er nul zijn - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de anderen; je mag er op geen enkele manier tegen discrimineren, of ervan uitgaan dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met het openen van haakjes. Let op: als er een “min” voor staat, verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenovergestelde. En dan kunnen we het openen met behulp van standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen zagen.

Als je dit simpele feit begrijpt, kun je voorkomen dat je domme en kwetsende fouten maakt op de middelbare school, terwijl zulke dingen als vanzelfsprekend worden beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met complexere vergelijkingen. Nu zullen de constructies complexer worden en bij het uitvoeren van verschillende transformaties zal een kwadratische functie verschijnen. We moeten hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens het plan van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten zeker worden geannuleerd.

Voorbeeld nr. 1

Uiteraard is de eerste stap het openen van de haakjes. Laten we dit heel voorzichtig doen:

Laten we nu eens kijken naar privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier zijn enkele soortgelijke:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus we zullen dit in het antwoord schrijven:

\[\varniets\]

of er zijn geen wortels.

Voorbeeld nr. 2

Wij voeren dezelfde acties uit. Eerste stap:

Laten we alles met een variabele naar links verplaatsen, en zonder variabele naar rechts:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus schrijven we deze op deze manier:

\[\varniets\],

of er zijn geen wortels.

Nuances van de oplossing

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Met deze twee uitdrukkingen als voorbeeld waren we er opnieuw van overtuigd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles misschien niet zo eenvoudig is: er kan één zijn, of geen, of oneindig veel wortels. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, beide hebben eenvoudigweg geen wortels.

Maar ik zou uw aandacht willen vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze opent als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat je het opent, moet je alles met "X" vermenigvuldigen. Let op: vermenigvuldigt elke afzonderlijke term. Binnenin zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en vermenigvuldigd.

En pas nadat deze ogenschijnlijk elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kun je het haakje openen vanuit het oogpunt van het feit dat er een minteken achter staat. Ja, ja: pas nu, wanneer de transformaties zijn voltooid, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles daaronder eenvoudigweg van teken verandert. Tegelijkertijd verdwijnen de haakjes zelf en, belangrijker nog, ook de voorste “minus” verdwijnt.

Hetzelfde doen we met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik aandacht besteed aan deze kleine, ogenschijnlijk onbelangrijke feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een opeenvolging van elementaire transformaties is, waarbij het onvermogen om eenvoudige handelingen duidelijk en competent uit te voeren ertoe leidt dat middelbare scholieren naar mij toe komen en opnieuw leren zulke eenvoudige vergelijkingen op te lossen.

Natuurlijk zal er een dag komen waarop je deze vaardigheden zult aanscherpen tot het punt van automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren; je schrijft alles op één regel. Maar terwijl je net aan het leren bent, moet je elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen kan nauwelijks de eenvoudigste opgave worden genoemd, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Taak nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we wat privacy doen:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Laten we de laatste stap voltooien:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier is ons definitieve antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten met een kwadratische functie hadden, heffen ze elkaar op, wat de vergelijking lineair maakt en niet kwadratisch.

Taak nr. 2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Laten we de eerste stap zorgvuldig uitvoeren: vermenigvuldig elk element uit de eerste haak met elk element uit de tweede. Er zouden in totaal vier nieuwe termen moeten zijn na de transformaties:

Laten we nu zorgvuldig de vermenigvuldiging in elke term uitvoeren:

Laten we de termen met “X” naar links verplaatsen, en die zonder – naar rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier zijn vergelijkbare termen:

We hebben wederom het definitieve antwoord ontvangen.

Nuances van de oplossing

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is de volgende: zodra we haakjes beginnen te vermenigvuldigen die meer dan één term bevatten, gebeurt dit volgens de volgende regel: we nemen de eerste term van de eerste en vermenigvuldigen met elk element van de seconde; dan nemen we het tweede element uit het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element uit het tweede. Als gevolg hiervan zullen we vier termijnen hebben.

Over de algebraïsche som

Met dit laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat een algebraïsche som is. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $1-7$ simpel ontwerp: trek zeven van één af. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal “één” voegen we nog een getal toe, namelijk “min zeven”. Dit is hoe een algebraïsche som verschilt van een gewone rekenkundige som.

Zodra je bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging constructies begint te zien die lijken op de hierboven beschreven, zul je eenvoudigweg geen problemen ondervinden in de algebra als je met polynomen en vergelijkingen werkt.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan de voorbeelden waar we zojuist naar hebben gekeken, en om ze op te lossen zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen met breuken oplossen

Om dergelijke taken op te lossen, zullen we nog een stap aan ons algoritme moeten toevoegen. Maar laat me u eerst herinneren aan ons algoritme:

1. Open de beugels.
2. Afzonderlijke variabelen.
3. Neem soortgelijke mee.
4. Deel door de verhouding.

Helaas blijkt dit prachtige algoritme, ondanks al zijn effectiviteit, niet helemaal geschikt te zijn als we breuken voor ons hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we in beide vergelijkingen zowel links als rechts een breuk.

Hoe te werk te gaan in dit geval? Ja, het is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet je nog een stap aan het algoritme toevoegen, wat zowel voor als na de eerste actie kan worden gedaan, namelijk het wegwerken van breuken. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Open de beugels.
3. Afzonderlijke variabelen.
4. Neem soortgelijke mee.
5. Deel door de verhouding.

Wat betekent het om ‘breuken weg te werken’? En waarom kan dit zowel na als vóór de eerste standaardstap? In ons geval zijn alle breuken in feite numeriek in hun noemer, d.w.z. Overal is de noemer slechts een getal. Als we dus beide kanten van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we breuken wegwerken.

Voorbeeld nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Laten we de breuken in deze vergelijking wegwerken:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Let op: alles wordt één keer met “vier” vermenigvuldigd, d.w.z. Het feit dat je twee haakjes hebt, betekent niet dat je ze allemaal met 'vier' moet vermenigvuldigen. Laten we opschrijven:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Laten we nu uitbreiden:

We scheiden de variabele:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\[-4x=-1\links| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

We hebben de uiteindelijke oplossing ontvangen, laten we verder gaan met de tweede vergelijking.

Voorbeeld nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Het probleem is opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik je vandaag wilde vertellen.

Belangrijkste punten

De belangrijkste bevindingen zijn:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je het ziet kwadratische functies Hoogstwaarschijnlijk zullen ze tijdens het proces van verdere transformaties afnemen.
• Er zijn drie soorten wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel en helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als iets niet duidelijk is, ga dan naar de site en los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Houd ons in de gaten, er staan ​​je nog veel meer interessante dingen te wachten!

Het gebruik van vergelijkingen is wijdverbreid in ons leven. Ze worden gebruikt bij veel berekeningen, constructies en zelfs sporten. De mens gebruikte vergelijkingen in de oudheid, en sindsdien is het gebruik ervan alleen maar toegenomen. Machts- of exponentiële vergelijkingen zijn vergelijkingen waarin de variabelen in machten staan ​​en de basis een getal is. Bijvoorbeeld:

De oplossing van de exponentiële vergelijking reduceert tot 2 helemaal eenvoudige acties:

1. Je moet controleren of de basis van de vergelijking rechts en links hetzelfde is. Als de redenen niet dezelfde zijn, zoeken we naar opties om dit voorbeeld op te lossen.

2. Nadat de bases hetzelfde zijn geworden, stellen we de graden gelijk en lossen we de resulterende nieuwe vergelijking op.

Stel dat we een exponentiële vergelijking krijgen met de volgende vorm:

Het is de moeite waard om de oplossing van deze vergelijking te starten met een analyse van de basis. De bases zijn verschillend - 2 en 4, maar om op te lossen moeten ze hetzelfde zijn, dus transformeren we 4 met behulp van de volgende formule -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

We voegen aan de oorspronkelijke vergelijking toe:

Laten we het tussen haakjes zetten \

Laten we uitdrukken \

Omdat de graden hetzelfde zijn, gooien we ze weg:

Antwoord: \

Waar kan ik een exponentiële vergelijking oplossen met een online oplosser?

U kunt de vergelijking oplossen op onze website https://site. Met de gratis online oplosser kunt u online vergelijkingen van elke complexiteit binnen enkele seconden oplossen. Het enige dat u hoeft te doen, is eenvoudigweg uw gegevens in de oplosser invoeren. U kunt ook video-instructies bekijken en leren hoe u de vergelijking op onze website kunt oplossen. En als u nog vragen heeft, kunt u deze stellen in onze VKontakte-groep http://vk.com/pocketteacher. Sluit u aan bij onze groep, wij helpen u graag verder.

De gratis rekenmachine die wij onder uw aandacht brengen heeft een rijk arsenaal aan mogelijkheden voor wiskundige berekeningen. Hiermee kunt u een online rekenmachine gebruiken verscheidene velden activiteiten: leerzaam, professioneel En reclame. Natuurlijk is het gebruik van een online rekenmachine vooral populair onder studenten En schoolkinderen, maakt het het voor hen veel gemakkelijker om verschillende berekeningen uit te voeren.

Tegelijkertijd kan de rekenmachine worden bruikbaar gereedschap in sommige sectoren van het bedrijfsleven en voor mensen met verschillende beroepen. Natuurlijk is het nodig om een ​​rekenmachine te gebruiken in het bedrijfsleven of arbeidsactiviteit voornamelijk bepaald door het soort activiteit zelf. Als uw bedrijf en beroep geassocieerd zijn met constante berekeningen en berekeningen, dan is het de moeite waard om een ​​​​elektronische rekenmachine uit te proberen en de mate van bruikbaarheid ervan voor een bepaalde taak te beoordelen.

Deze online calculator kan dat

• Voer standaard wiskundige functies correct uit, geschreven in één regel, zoals - 12*3-(7/2) en kan getallen verwerken die groter zijn dan we grote getallen kunnen tellen in een online rekenmachine. We weten niet eens hoe we zo'n getal correct moeten noemen (. er zijn 34 tekens en dit is helemaal niet de limiet).
• Behalve raaklijn, cosinus, sinus en andere standaardfuncties - de rekenmachine ondersteunt berekeningsbewerkingen boogtangens, boogcotangens en anderen.
• Verkrijgbaar in Arsenaal logaritmen, faculteiten en andere interessante functies
• Deze online rekenmachine weet hoe je grafieken moet maken!!!

Om grafieken te plotten gebruikt de dienst een speciale knop (de grafiek is grijs getekend) of een letterweergave van deze functie (Plot). Om een ​​grafiek in een online rekenmachine te bouwen, schrijft u gewoon de functie: plot(tan(x)),x=-360..360.

We hebben de eenvoudigste grafiek voor de raaklijn genomen en na de komma het bereik van de X-variabele aangegeven van -360 tot 360.

Je kunt absoluut elke functie bouwen, met een willekeurig aantal variabelen, bijvoorbeeld dit: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) of nog complexer dat je kunt bedenken. Let op het gedrag van de variabele X: het interval van en tot wordt aangegeven met twee punten.

Het enige negatieve (hoewel het moeilijk een nadeel te noemen is) hiervan online rekenmachine dit is dat hij niet weet hoe hij sferen en andere moet bouwen volumetrische figuren- alleen vliegtuig.

Hoe de wiskundecalculator te gebruiken

1. Het display (rekenmachinescherm) geeft de ingevoerde uitdrukking en het resultaat van de berekening weer in gewone symbolen, zoals we op papier schrijven. Dit veld is alleen bedoeld om de huidige transactie te bekijken. De invoer verschijnt op het scherm terwijl u een wiskundige uitdrukking in de invoerregel typt.

2. Het expressie-invoerveld is bedoeld voor het vastleggen van de expressie die moet worden berekend. Hierbij moet worden opgemerkt dat de wiskundige symbolen die in computerprogramma's worden gebruikt, niet altijd dezelfde zijn als die we gewoonlijk op papier gebruiken. In het overzicht van elke rekenmachinefunctie vindt u de juiste benaming voor een specifieke bewerking en voorbeelden van berekeningen in de rekenmachine. Op deze pagina hieronder vindt u een lijst met alle mogelijke bewerkingen in de rekenmachine, waarbij ook de juiste spelling wordt aangegeven.

3. Werkbalk - dit zijn rekenmachineknoppen die de handmatige invoer van wiskundige symbolen vervangen die de overeenkomstige bewerking aangeven. Sommige rekenmachineknoppen (extra functies, eenheidconversie, het oplossen van matrices en vergelijkingen, grafieken) vullen de taakbalk aan met nieuwe velden waarin gegevens voor een specifieke berekening worden ingevoerd. Het veld 'Geschiedenis' bevat voorbeelden van het schrijven van wiskundige uitdrukkingen, evenals uw zes meest recente invoer.

Houd er rekening mee dat wanneer u op de knoppen drukt voor het oproepen van extra functies, een eenheidsomzetter, het oplossen van matrices en vergelijkingen en het plotten van grafieken, het hele rekenmachinepaneel omhoog beweegt en een deel van het scherm bedekt. Vul de vereiste velden in en druk op de "I"-toets (rood gemarkeerd in de afbeelding) om de weergave op volledige grootte te zien.

4. Het numerieke toetsenbord bevat cijfers en rekenkundige symbolen. Met de knop "C" wordt de gehele invoer in het expressie-invoerveld verwijderd. Om tekens één voor één te verwijderen, gebruikt u de pijl rechts van de invoerregel.

Probeer altijd haakjes aan het einde van een uitdrukking te sluiten. Voor de meeste bewerkingen is dit niet cruciaal; de online calculator berekent alles correct. In sommige gevallen kunnen er echter fouten optreden. Wanneer u bijvoorbeeld verheft tot een gebroken macht, zorgen niet-gesloten haakjes ervoor dat de noemer van de breuk in de exponent in de noemer van het grondtal terechtkomt. De sluitbeugel wordt lichtgrijs weergegeven op het display en moet worden gesloten wanneer de opname is voltooid.

Sleutel	Symbool	Operatie
pi	pi	Constante pi
e	e	Euler-nummer
%	%	Procent
()	()	Beugels openen/sluiten
,	,	Komma
zonde	zonde(?)	Sinus van hoek
want	omdat(?)	Cosinus
bruinen	bruin(y)	Raaklijn
zonde	zonde()	Hyperbolische sinus
cosh	cosh()	Hyperbolische cosinus
tanh	tanh()	Hyperbolische raaklijn
zonde -1	als in()	Omgekeerde sinus
cos -1	akoes()	Inverse cosinus
bruin -1	een bruine kleur()	Omgekeerde raaklijn
zonde -1	asinh()	Inverse hyperbolische sinus
cosh -1	acosh()	Inverse hyperbolische cosinus
tanh -1	atanh()	Inverse hyperbolische tangens
x 2	^2	Kwadratuur
x 3	^3	Kubus
x y	^	Machtsverheffing
10 x	10^()	Machtsverheffen tot grondtal 10
ex	exp()	Machtsverheffen van het getal van Euler
vx	sqrt(x)	Vierkantswortel
3 vx	sqrt3(x)	3e wortel
yvx	sqrt(x,y)	Wortelextractie
log 2x	log2(x)	Binaire logaritme
loggen	log(x)	Decimale logaritme
ln	ln(x)	Natuurlijke logaritme
log y x	logboek(x,y)	Logaritme
ik/II		Samenvouwen/oproepen van extra functies
Eenheid		Eenheidsomzetter
Matrix		Matrices
Oplossen		Vergelijkingen en stelsels van vergelijkingen
		Grafieken
Extra functies (bellen met toets II)
mod	mod	Verdeling met rest
!	!	Factorieel
ik/j	ik/j	Denkbeeldige eenheid
Met betrekking tot	Met betrekking tot()	Het hele reële deel isoleren
Ik ben	Ik ben()	Exclusief het echte deel
|x|	buikspieren()	De absolute waarde van een getal
Arg	arg()	Functieargument
nCr	ncr()	Binominale coëfficiënt
gcd	ggd()	GCD
lcm	lcm()	NOC
som	som()	Totale waarde van alle beslissingen
fa	ontbinden in factoren()	ontbinding in priemfactoren
verschil	diff()	Differentiatie
gr		Graden
Rad		Radialen

Vergelijkingen

Hoe vergelijkingen oplossen?

In deze sectie zullen we de meest elementaire vergelijkingen herinneren (of bestuderen, afhankelijk van wie je kiest). Dus wat is de vergelijking? In de menselijke taal is dit een soort wiskundige uitdrukking waarbij sprake is van een gelijkteken en een onbekende. Meestal wordt dit aangegeven met de letter "X". Los De vergelijking op- dit is om zulke waarden van x te vinden die, wanneer gesubstitueerd in origineel expressie zal ons de juiste identiteit geven. Laat me je eraan herinneren dat identiteit een uitdrukking is waar geen twijfel over bestaat, zelfs voor iemand die absoluut niet belast is met wiskundige kennis. Zoals 2=2, 0=0, ab=ab, etc. Dus hoe vergelijkingen op te lossen? Laten we het uitzoeken.

Er zijn allerlei vergelijkingen (ik ben verrast, toch?). Maar al hun oneindige verscheidenheid kan in slechts vier typen worden verdeeld.

4. Ander.)

Al de rest natuurlijk, vooral, ja...) Dit omvat kubieke, exponentiële, logaritmische, trigonometrische en allerlei andere. Wij zullen nauw met hen samenwerken in de desbetreffende secties.

Ik zal meteen zeggen dat soms de vergelijkingen van de eerste zijn drie soorten ze zullen je zo bedriegen dat je ze niet eens zult herkennen... Niets. We zullen leren hoe we ze kunnen ontspannen.

En waarom hebben we deze vier typen nodig? En dan wat lineaire vergelijkingen op één manier opgelost vierkant anderen, fractionele rationale getallen - derde, A rest Ze durven helemaal niet! Nou, het is niet zo dat ze helemaal niet kunnen beslissen, het is dat ik het mis had met wiskunde.) Het is gewoon dat ze hun eigen speciale technieken en methoden hebben.

Maar voor iedereen (ik herhaal - voor elk!) vergelijkingen bieden een betrouwbare en faalveilige basis voor het oplossen. Werkt overal en altijd. Deze stichting - Het klinkt eng, maar het is heel eenvoudig. En erg (Erg!) belangrijk.

Eigenlijk bestaat de oplossing van de vergelijking uit deze transformaties. 99% Antwoord op de vraag: " Hoe vergelijkingen oplossen?" ligt precies in deze transformaties. Is de hint duidelijk?)

Identieke transformaties van vergelijkingen.

IN eventuele vergelijkingen Om het onbekende te vinden, moet je het originele voorbeeld transformeren en vereenvoudigen. En dat dus bij het wisselen verschijning de essentie van de vergelijking is niet veranderd. Dergelijke transformaties worden genoemd identiek of gelijkwaardig.

Merk op dat deze transformaties van toepassing zijn specifiek voor de vergelijkingen. Er zijn ook identiteitstransformaties in de wiskunde uitdrukkingen. Dit is een ander onderwerp.

Nu zullen we alles, alles, allemaal basis herhalen identieke transformaties van vergelijkingen.

Basic omdat ze toegepast kunnen worden elk vergelijkingen - lineair, kwadratisch, fractioneel, trigonometrisch, exponentieel, logaritmisch, enz. enzovoort.

Eerste identiteitstransformatie: je kunt aan beide kanten van elke vergelijking optellen (aftrekken). elk(maar wel één en hetzelfde!) getal of uitdrukking (inclusief een uitdrukking met een onbekende!). Dit verandert niets aan de essentie van de vergelijking.

Trouwens, je hebt deze transformatie voortdurend gebruikt, je dacht gewoon dat je sommige termen van het ene deel van de vergelijking naar het andere overbracht met een verandering van teken. Type:

Het geval is bekend, we verplaatsen de twee naar rechts en we krijgen:

Eigenlijk jij weggenomen van beide kanten van de vergelijking is twee. Het resultaat is hetzelfde:

x+2 - 2 = 3 - 2

Het verplaatsen van termen naar links en rechts met een verandering van teken is eenvoudigweg een verkorte versie van de eerste identiteitstransformatie. En waarom hebben we zulke diepgaande kennis nodig? - je vraagt. Niets in de vergelijkingen. In godsnaam, verdraag het. Vergeet alleen niet het bord te veranderen. Maar bij ongelijkheid kan de gewoonte van overdracht tot een doodlopende weg leiden...

Tweede identiteitstransformatie: beide zijden van de vergelijking kunnen met hetzelfde worden vermenigvuldigd (gedeeld). niet-nul getal of uitdrukking. Hier verschijnt al een begrijpelijke beperking: vermenigvuldigen met nul is dom, en delen is volkomen onmogelijk. Dit is de transformatie die je gebruikt als je iets cools oplost

Het is duidelijk X= 2. Hoe heb je het gevonden? Door selectie? Of is het net tot je doorgedrongen? Om niet te selecteren en niet op inzicht te wachten, moet je begrijpen dat je rechtvaardig bent verdeelde beide kanten van de vergelijking door 5. Bij het delen van de linkerkant (5x) werden de vijf verkleind, waardoor pure X overblijft. Dat is precies wat we nodig hadden. En als je de rechterkant van (10) deelt door vijf, is het resultaat natuurlijk twee.

Dat is alles.

Het is grappig, maar deze twee (slechts twee!) identieke transformaties vormen de basis van de oplossing alle vergelijkingen van de wiskunde. Wauw! Het is logisch om naar voorbeelden te kijken van wat en hoe, toch?)

Voorbeelden van identieke transformaties van vergelijkingen. Belangrijkste problemen.

Laten we beginnen met Eerst identiteitstransformatie. Links-rechts overbrengen.

Een voorbeeld voor de jongeren.)

Laten we zeggen dat we de volgende vergelijking moeten oplossen:

3-2x=5-3x

Laten we de spreuk onthouden: "met X'en - naar links, zonder X'en - naar rechts!" Deze spreuk is een instructie voor het gebruik van de eerste identiteitstransformatie.) Welke uitdrukking met een X staat rechts? 3x? Het antwoord is onjuist! Aan onze rechterkant - 3x! Minus drie x! Als u naar links gaat, verandert het teken daarom in plus. Het zal blijken:

3-2x+3x=5

Dus de X’s werden op een stapel verzameld. Laten we op de cijfers ingaan. Links staat een drie. Met welk teken? Het antwoord "zonder" wordt niet geaccepteerd!) Voor de drie wordt inderdaad niets getekend. En dit betekent dat er vóór de drie is plus. Dus de wiskundigen waren het erover eens. Er staat niets geschreven, wat betekent plus. Daarom wordt de triple naar de rechterkant overgebracht met een minpuntje. We krijgen:

-2x+3x=5-3

Er blijven slechts kleinigheden over. Aan de linkerkant - breng soortgelijke, aan de rechterkant - tel. Het antwoord komt meteen:

In dit voorbeeld was één identiteitstransformatie voldoende. De tweede was niet nodig. Nou ja, oké.)

Een voorbeeld voor oudere kinderen.)

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

In de voorbereidingsfase voor de eindtoets moeten middelbare scholieren hun kennis over het onderwerp ‘Exponentiële vergelijkingen’ verbeteren. De ervaring van de afgelopen jaren geeft aan dat dergelijke taken bepaalde problemen voor schoolkinderen veroorzaken. Daarom moeten middelbare scholieren, ongeacht hun voorbereidingsniveau, de theorie grondig beheersen, de formules onthouden en het principe van het oplossen van dergelijke vergelijkingen begrijpen. Nu afgestudeerden hebben geleerd met dit soort problemen om te gaan, kunnen ze rekenen op hoge scores bij het behalen van het Unified State Examen in de wiskunde.

Maak je klaar voor examentesten met Shkolkovo!

Bij het doornemen van de behandelde materialen worden veel leerlingen geconfronteerd met het probleem van het vinden van de formules die nodig zijn om vergelijkingen op te lossen. Het schoolboek is niet altijd bij de hand en selectie Nodige informatie over het onderwerp op internet duurt lang.

Het onderwijsportaal Shkolkovo nodigt studenten uit om onze kennisbank te gebruiken. Wij implementeren het volledig nieuwe methode voorbereiding op de laatste test. Door op onze website te studeren, kunt u lacunes in de kennis identificeren en aandacht besteden aan de taken die de meeste problemen veroorzaken.

Shkolkovo-leraren hebben alles verzameld, gesystematiseerd en gepresenteerd wat nodig is voor succesvol slagen Materiaal voor het Unified State Examen in de eenvoudigste en meest toegankelijke vorm.

Basisdefinities en formules worden gepresenteerd in het gedeelte “Theoretische achtergrond”.

Om de stof beter te begrijpen raden wij u aan om te oefenen met het maken van de opdrachten. Bekijk zorgvuldig de voorbeelden van exponentiële vergelijkingen met oplossingen op deze pagina om het berekeningsalgoritme te begrijpen. Ga daarna verder met het uitvoeren van taken in het gedeelte "Mappen". U kunt beginnen met de eenvoudigste taken of direct doorgaan met het oplossen van complexe exponentiële vergelijkingen met verschillende onbekenden of . De database met oefeningen op onze website wordt voortdurend aangevuld en bijgewerkt.

De voorbeelden met indicatoren die u problemen hebben bezorgd, kunnen worden toegevoegd aan “Favorieten”. Zo kun je ze snel vinden en de oplossing bespreken met je docent.

Om het Unified State Exam met succes te behalen, studeer je elke dag op het Shkolkovo-portaal!