Dit is een concept dat alle mogelijke bewerkingen die met matrices worden uitgevoerd generaliseert. Wiskundige matrix - tabel met elementen. Over een tafel waar M lijnen en N kolommen, deze matrix zou de dimensie hebben M op N.
Algemeen beeld van de matrix:
Voor matrixoplossingen het is noodzakelijk om te begrijpen wat een matrix is en de belangrijkste parameters ervan te kennen. Belangrijkste elementen van de matrix:
- De hoofddiagonaal, bestaande uit elementen een 11, een 22…..een mn.
- Zijdiagonaal bestaande uit elementen een 1n , een 2n-1 .....een m1.
Belangrijkste soorten matrices:
- Vierkant is een matrix waarbij het aantal rijen = het aantal kolommen ( m=n).
- Nul - waarbij alle matrixelementen = 0.
- Getransponeerde matrix - matrix IN, die werd verkregen uit de oorspronkelijke matrix A door rijen te vervangen door kolommen.
- Eenheid - alle elementen van de hoofddiagonaal = 1, alle andere = 0.
- Een inverse matrix is een matrix die, vermenigvuldigd met de oorspronkelijke matrix, resulteert in een identiteitsmatrix.
De matrix kan symmetrisch zijn ten opzichte van de hoofd- en secundaire diagonalen. Dat wil zeggen, als een 12 = een 21, een 13 =een 31,….een 23 =een 32…. een m-1n = een mn-1, dan is de matrix symmetrisch rond de hoofddiagonaal. Alleen vierkante matrices kunnen symmetrisch zijn.
Methoden voor het oplossen van matrices.
Bijna alle methoden voor het oplossen van matrixen bestaat uit het vinden van de determinant ervan N-de volgorde en de meeste zijn behoorlijk omslachtig. Om de determinant van de 2e en 3e orde te vinden zijn er andere, meer rationele methoden.
Het vinden van 2e orde determinanten.
De determinant van een matrix berekenen A In de tweede orde is het noodzakelijk om het product van de elementen van de secundaire diagonaal af te trekken van het product van de elementen van de hoofddiagonaal:
Methoden voor het vinden van determinanten van de derde orde.
Hieronder staan de regels voor het vinden van de determinant van de derde orde.
Vereenvoudigde driehoeksregel als een van methoden voor het oplossen van matrixen, kan op deze manier worden weergegeven:
Met andere woorden, het product van elementen in de eerste determinant die met elkaar verbonden zijn door rechte lijnen, wordt genomen met een “+” teken; Ook worden voor de tweede determinant de overeenkomstige producten genomen met het teken "-", dat wil zeggen volgens het volgende schema:
Bij matrices oplossen met de regel van Sarrus Voeg rechts van de determinant de eerste 2 kolommen toe en de producten van de overeenkomstige elementen op de hoofddiagonaal en op de diagonalen die evenwijdig daaraan zijn, worden genomen met een “+” teken; en de producten van de overeenkomstige elementen van de secundaire diagonaal en de diagonalen die evenwijdig daaraan zijn, met het teken “-”:
Het ontbinden van de determinant in een rij of kolom bij het oplossen van matrices.
De determinant is gelijk aan de som van de producten van de elementen van de rij van de determinant en hun algebraïsche complementen. Meestal wordt de rij/kolom geselecteerd die nullen bevat. De rij of kolom waarlangs de ontleding wordt uitgevoerd, wordt aangegeven met een pijl.
Het reduceren van de determinant tot een driehoekige vorm bij het oplossen van matrices.
Bij matrices oplossen methode om de determinant terug te brengen tot een driehoekige vorm, ze werken als volgt: met behulp van de eenvoudigste transformaties op rijen of kolommen wordt de determinant driehoekig van vorm en dan zal de waarde ervan, in overeenstemming met de eigenschappen van de determinant, gelijk zijn aan het product van de elementen die zich op de hoofddiagonaal bevinden.
Stelling van Laplace voor het oplossen van matrices.
Wanneer je matrices oplost met behulp van de stelling van Laplace, moet je de stelling zelf kennen. Stelling van Laplace: Let Δ - dit is bepalend N-de bestelling. Wij selecteren er een k rijen (of kolommen), voorzien k≤ n - 1. In dit geval de som van de producten van alle minderjarigen k-de volgorde in de geselecteerde k rijen (kolommen) zullen door hun algebraïsche complementen gelijk zijn aan de determinant.
Het oplossen van de inverse matrix.
Volgorde van acties voor oplossingen omgekeerde matrix :
- Bepaal of een gegeven matrix vierkant is. Als het antwoord negatief is, wordt het duidelijk dat er geen inverse matrix voor kan bestaan.
- We berekenen algebraïsche complementen.
- We stellen een unie-matrix (wederzijds, adjunct-matrix) samen C.
- We stellen de inverse matrix samen uit algebraïsche optellingen: alle elementen van de adjunct-matrix C delen door de determinant van de initiële matrix. De uiteindelijke matrix zal de vereiste inverse matrix zijn ten opzichte van de gegeven matrix.
- We controleren het verrichte werk: vermenigvuldig de initiële matrix en de resulterende matrix, het resultaat moet een identiteitsmatrix zijn.
Matrixsystemen oplossen.
Voor oplossingen van matrixsystemen De Gaussische methode wordt het meest gebruikt.
De Gauss-methode is een standaardmethode voor het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE's) en bestaat uit het feit dat variabelen opeenvolgend worden geëlimineerd, d.w.z. met behulp van elementaire veranderingen wordt het systeem van vergelijkingen naar een equivalent systeem van driehoekige vergelijkingen gebracht. vorm en daaruit, opeenvolgend, beginnend bij de laatste (op nummer), zoek elk element van het systeem.
Gauss-methode is de meest veelzijdige en het beste hulpmiddel om de oplossing van de matrices te vinden. Als een systeem een oneindig aantal oplossingen heeft of als het systeem incompatibel is, kan het niet worden opgelost met behulp van de regel van Cramer en matrixmethode.
De Gauss-methode impliceert ook directe (het reduceren van de uitgebreide matrix tot een stapsgewijze vorm, dat wil zeggen het verkrijgen van nullen onder de hoofddiagonaal) en omgekeerde (het verkrijgen van nullen boven de hoofddiagonaal van de uitgebreide matrix) bewegingen. De voorwaartse beweging is de Gauss-methode, de omgekeerde beweging is de Gauss-Jordan-methode. De Gauss-Jordan-methode verschilt alleen van de Gauss-methode in de volgorde waarin variabelen worden geëlimineerd.
Matrix-methode SLAU-oplossingen toegepast op het oplossen van stelsels vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen overeenkomt met het aantal onbekenden. De methode kan het beste worden gebruikt voor het oplossen van systemen van lage orde. De matrixmethode voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen is gebaseerd op de toepassing van de eigenschappen van matrixvermenigvuldiging.
Deze methode, met andere woorden inverse matrixmethode, zo genoemd omdat de oplossing gereduceerd wordt tot een gewone matrixvergelijking, om deze op te lossen moet je de inverse matrix vinden.
Matrix-oplossingsmethode Een SLAE met een determinant groter of kleiner dan nul is als volgt:
Stel dat er een SLE (systeem van lineaire vergelijkingen) bestaat N onbekend (over een willekeurig veld):
Dit betekent dat het eenvoudig kan worden omgezet in matrixvorm:
BIJL=B, Waar A— de hoofdmatrix van het systeem, B En X— kolommen met respectievelijk vrije termen en oplossingen van het systeem:
Laten we dit vermenigvuldigen matrixvergelijking aan gelaten A−1— omgekeerde matrix tot matrix A: A −1 (AX)=A −1 B.
Omdat A −1 A=E, Middelen, X=A −1 B. De rechterkant van de vergelijking geeft de oplossingskolom van het initiële systeem. Voorwaarde voor de toepasbaarheid van de matrixmethode is dat de matrix niet ontaardt A. Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde hiervoor is dat de determinant van de matrix niet gelijk is aan nul A:
detA≠0.
Voor homogeen systeem van lineaire vergelijkingen, d.w.z. als vector B=0, uitgevoerd omgekeerde regel: bij het systeem AX=0 er is alleen een niet-triviale (dat wil zeggen niet gelijk aan nul) oplossing wanneer detA=0. Dit verband tussen oplossingen van homogene en inhomogene systemen van lineaire vergelijkingen wordt genoemd Fredholm-alternatief.
De oplossing van de SLAE met behulp van de matrixmethode wordt dus uitgevoerd volgens de formule 
. Of de oplossing voor de SLAE wordt gevonden met behulp van omgekeerde matrix A−1.
Het is bekend dat voor een vierkante matrix A volgorde N op N er is een inverse matrix A−1 alleen als de determinant niet nul is. Het systeem dus N lineaire algebraïsche vergelijkingen met N We lossen onbekenden alleen op met behulp van de matrixmethode als de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet gelijk is aan nul.
Ondanks het feit dat er beperkingen zijn aan de toepasbaarheid van een dergelijke methode en de moeilijkheden bij berekeningen voor grote waarden van coëfficiënten en systemen van hoge orde, kan de methode eenvoudig op een computer worden geïmplementeerd.
Een voorbeeld van het oplossen van een niet-homogene SLAE.
Laten we eerst eens kijken of de determinant van de coëfficiëntenmatrix van onbekende SLAE’s niet gelijk is aan nul.
Nu vinden we uniematrix, transponeer het en vervang het door de formule om de inverse matrix te bepalen.
Vervang de variabelen in de formule:
Nu vinden we de onbekenden door de inverse matrix en de kolom met vrije termen te vermenigvuldigen.
Dus, x=2; y=1; z=4.
Bij verhuizing van normaal uitziend SLAE naar matrixvorm, wees voorzichtig met de volgorde van onbekende variabelen in de vergelijkingen van het systeem. Bijvoorbeeld:
Je kunt het NIET schrijven als:
Het is eerst noodzakelijk om de onbekende variabelen in elke vergelijking van het systeem te ordenen en pas daarna over te gaan tot de matrixnotatie:
Bovendien moet u voorzichtig zijn met de aanduiding van onbekende variabelen x 1, x 2 , …, x n er kunnen nog andere letters zijn. Bijv:
in matrixvorm schrijven we het als volgt:
Het is beter om systemen op te lossen met behulp van de matrixmethode lineaire vergelijkingen, waarin het aantal vergelijkingen samenvalt met het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet gelijk is aan nul. Als het systeem meer dan drie vergelijkingen bevat, zal het vinden van de inverse matrix meer rekeninspanning vergen. Daarom is het in dit geval raadzaam om de Gaussiaanse methode voor het oplossen te gebruiken.
Doel van de dienst. Met deze online rekenmachine worden onbekenden (x 1, x 2, ..., x n) berekend in een stelsel van vergelijkingen. Het besluit wordt uitgevoerd inverse matrixmethode. Waarin:- de determinant van de matrix A wordt berekend;
- door algebraïsche optellingen wordt de inverse matrix A -1 gevonden;
- er wordt een oplossingssjabloon gemaakt in Excel;
Instructies. Om een oplossing te verkrijgen met behulp van de inverse matrixmethode, moet u de dimensie van de matrix specificeren. Vul vervolgens in een nieuw dialoogvenster matrix A en de vector van resultaten B in.
Zie ook Matrixvergelijkingen oplossen.Oplossingsalgoritme
- De determinant van de matrix A wordt berekend. Als de determinant nul is, is de oplossing voorbij. Het systeem heeft een oneindig aantal oplossingen.
- Wanneer de determinant verschillend is van nul, wordt de inverse matrix A -1 gevonden door middel van algebraïsche optellingen.
- De oplossingsvector X =(x 1, x 2, ..., x n) wordt verkregen door de inverse matrix te vermenigvuldigen met de resultaatvector B.
Algebraïsche toevoegingen.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| Een 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| Een 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
XT = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Inspectie:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Vergelijkingen in het algemeen, lineaire algebraïsche vergelijkingen en hun systemen, evenals methoden om ze op te lossen, nemen een speciale plaats in in de wiskunde, zowel theoretisch als toegepast.
Dit komt door het feit dat de overgrote meerderheid van de fysieke, economische, technische en zelfs pedagogische problemen kunnen worden beschreven en opgelost met behulp van een verscheidenheid aan vergelijkingen en hun systemen. De laatste tijd heeft wiskundige modellering bijzondere populariteit gewonnen onder onderzoekers, wetenschappers en praktijkmensen in bijna alle vakgebieden, wat verklaard kan worden door de duidelijke voordelen ervan ten opzichte van andere bekende en beproefde methoden voor het bestuderen van objecten van verschillende aard, in het bijzonder de zogenaamde ingewikkelde systemen. Er is een grote verscheidenheid aan verschillende definities van het wiskundige model die door wetenschappers worden gegeven andere tijden, maar naar onze mening is de volgende verklaring de meest succesvolle. Wiskundig model is een idee uitgedrukt door een vergelijking. Het vermogen om vergelijkingen en hun systemen op te stellen en op te lossen is dus een integraal kenmerk van een moderne specialist.
Om systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen op te lossen, zijn de meest gebruikte methoden Cramer, Jordan-Gauss en de matrixmethode.
De matrixoplossingsmethode is een methode voor het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen met een determinant die niet nul is, met behulp van een inverse matrix.
Als we de coëfficiënten voor de onbekende grootheden xi in matrix A uitschrijven, de onbekende grootheden in de vectorkolom X verzamelen, en de vrije termen in de vectorkolom B, dan kan het systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen worden geschreven in de vorm van de volgende matrixvergelijking A · X = B, die alleen een unieke oplossing heeft als de determinant van matrix A niet gelijk is aan nul. In dit geval kan de oplossing voor het stelsel vergelijkingen worden gevonden op de volgende manier X = A-1 · B, Waar A-1 is de inverse matrix.
De matrixoplossingsmethode is als volgt.
Laten we een systeem van lineaire vergelijkingen krijgen met N onbekend:
Het kan in matrixvorm worden herschreven: BIJL = B, Waar A- de hoofdmatrix van het systeem, B En X- kolommen met vrije leden en oplossingen van het systeem, respectievelijk:
Laten we deze matrixvergelijking van links vermenigvuldigen met A-1 - matrixinverse van matrix A: A -1 (BIJL) = A -1 B
Omdat A -1 A = E, we krijgen X= EEN -1 B. De rechterkant van deze vergelijking geeft de oplossingskolom van het oorspronkelijke systeem. Voorwaarde van toepasbaarheid deze methode(evenals het algemene bestaan van een oplossing voor een inhomogeen systeem van lineaire vergelijkingen waarbij het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden) is de niet-degeneratie van de matrix A. Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde hiervoor is dat de determinant van de matrix niet gelijk is aan nul A:det A≠ 0.
Voor een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen, dat wil zeggen wanneer de vector B = 0 , inderdaad de tegenovergestelde regel: het systeem BIJL = 0 heeft alleen een niet-triviale (dat wil zeggen niet-nul) oplossing als det A= 0. Een dergelijk verband tussen oplossingen van homogene en inhomogene stelsels lineaire vergelijkingen wordt het Fredholm-alternatief genoemd.
Voorbeeld oplossingen voor een inhomogeen systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen.
Laten we ervoor zorgen dat de determinant van de matrix, samengesteld uit de coëfficiënten van de onbekenden van het systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen, niet gelijk is aan nul.
De volgende stap is het berekenen van de algebraïsche complementen voor de elementen van de matrix die bestaan uit de coëfficiënten van de onbekenden. Ze zullen nodig zijn om de inverse matrix te vinden.
Een systeem van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden een systeem van de vorm genoemd
Waar een IJ En b ik (i=1,…,M; B=1,…,N) zijn enkele bekende nummers, en x 1 ,…,x n- onbekend. Bij de aanduiding van coëfficiënten een IJ eerste index i geeft het vergelijkingsnummer aan, en de tweede J– het getal van het onbekende waarbij deze coëfficiënt staat.
We zullen de coëfficiënten voor de onbekenden in de vorm van een matrix schrijven 
, die we zullen bellen matrix van het systeem.
De getallen aan de rechterkant van de vergelijkingen zijn b 1 ,…,b m worden genoemd gratis leden.
Totaliteit N cijfers c 1 ,…,c n genaamd beslissing van een bepaald systeem, als elke vergelijking van het systeem een gelijkheid wordt nadat er getallen in zijn vervangen c 1 ,…,c n in plaats van de overeenkomstige onbekenden x 1 ,…,x n.
Onze taak zal zijn om oplossingen voor het systeem te vinden. In dit geval kunnen zich drie situaties voordoen:
Een stelsel van lineaire vergelijkingen dat minstens één oplossing heeft, wordt genoemd gewricht. Anders, d.w.z. als het systeem geen oplossingen heeft, wordt het aangeroepen niet-gezamenlijk.
Laten we manieren overwegen om oplossingen voor het systeem te vinden.
MATRIXMETHODE VOOR HET OPLOSSEN VAN SYSTEMEN VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN
Matrices maken het mogelijk om in het kort een stelsel van lineaire vergelijkingen op te schrijven. Laat een stelsel van 3 vergelijkingen met drie onbekenden gegeven worden:
Beschouw de systeemmatrix 
en matriceskolommen met onbekende en vrije termen 
Laten we het werk vinden
die. als resultaat van het product verkrijgen we de linkerkanten van de vergelijkingen van dit systeem. Gebruik vervolgens de definitie van matrixgelijkheid dit systeem kan in de vorm worden geschreven
of korter A∙X=B.
Hier zijn de matrixen A En B bekend zijn, en de matrix X onbekend. Het is noodzakelijk om het te vinden, omdat... de elementen ervan zijn de oplossing voor dit systeem. Deze vergelijking wordt genoemd matrixvergelijking.
Laat de determinant van de matrix verschillend zijn van nul | A| ≠ 0. Vervolgens wordt de matrixvergelijking als volgt opgelost. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking aan de linkerkant met de matrix A-1, omgekeerd van de matrix A: . Omdat de EEN -1 EEN = E En E∙X = X, dan verkrijgen we een oplossing voor de matrixvergelijking in de vorm X = A -1 B .
Merk op dat aangezien de inverse matrix alleen kan worden gevonden voor vierkante matrices, de matrixmethode alleen die systemen kan oplossen waarin het aantal vergelijkingen valt samen met het aantal onbekenden. Matrixregistratie van het systeem is echter ook mogelijk in het geval dat het aantal vergelijkingen niet gelijk is aan het aantal onbekenden, dan wordt de matrix A zal niet vierkant zijn en daarom is het onmogelijk om in de vorm een oplossing voor het systeem te vinden X = A -1 B.
Voorbeelden. Systemen van vergelijkingen oplossen.
CRAMER'S REGEL
Beschouw een systeem van 3 lineaire vergelijkingen met drie onbekenden:
Derde orde determinant die overeenkomt met de systeemmatrix, d.w.z. samengesteld uit coëfficiënten voor onbekenden,
genaamd bepalend voor het systeem.
Laten we nog drie determinanten als volgt samenstellen: vervang achtereenvolgens 1, 2 en 3 kolommen in de determinant D door een kolom met vrije termen
Dan kunnen we het volgende resultaat bewijzen.
Stelling (regel van Cramer). Als de determinant van het systeem Δ ≠ 0, dan heeft het beschouwde systeem slechts één oplossing, en
Bewijs. Laten we dus een systeem van drie vergelijkingen met drie onbekenden bekijken. Laten we de eerste vergelijking van het systeem vermenigvuldigen met het algebraïsche complement Een 11 element een 11, 2e vergelijking – aan Een 21 en 3e – aan Een 31:
Laten we deze vergelijkingen toevoegen:
Laten we naar elk van de haakjes en de rechterkant van deze vergelijking kijken. Door de stelling over de uitbreiding van de determinant in elementen van de 1e kolom
Op dezelfde manier kan worden aangetoond dat en .
Ten slotte is het gemakkelijk om dat op te merken 
Zo verkrijgen we de gelijkheid: .
Vandaar, .
De gelijkheden en zijn op dezelfde manier afgeleid, waaruit de verklaring van de stelling volgt.
We merken dus op dat als de determinant van het systeem Δ ≠ 0 is, het systeem een unieke oplossing heeft en omgekeerd. Als de determinant van het systeem gelijk is aan nul, dan heeft het systeem óf een oneindig aantal oplossingen, óf geen oplossingen, d.w.z. onverenigbaar.
Voorbeelden. Systeem van vergelijkingen oplossen
GAUSS-METHODE
De eerder besproken methoden kunnen alleen worden gebruikt om die systemen op te lossen waarin het aantal vergelijkingen samenvalt met het aantal onbekenden, en de determinant van het systeem verschillend moet zijn van nul. De Gauss-methode is universeler en geschikt voor systemen met een willekeurig aantal vergelijkingen. Het bestaat uit de consistente eliminatie van onbekenden uit de vergelijkingen van het systeem.
Beschouw opnieuw een systeem van drie vergelijkingen met drie onbekenden:
.
We laten de eerste vergelijking ongewijzigd, en vanaf de 2e en 3e sluiten we de termen uit die deze bevatten x 1. Om dit te doen, deelt u de tweede vergelijking door A 21 en vermenigvuldig met – A 11, en tel dit vervolgens op bij de eerste vergelijking. Op dezelfde manier delen we de derde vergelijking door A 31 en vermenigvuldig met – A 11, en voeg het dan toe met de eerste. Als gevolg hiervan zal het oorspronkelijke systeem de vorm aannemen:
Nu elimineren we uit de laatste vergelijking de term bevattende x 2. Om dit te doen, deelt u de derde vergelijking door, vermenigvuldigt u met en telt u op met de tweede. Dan hebben we een stelsel vergelijkingen:
Vanaf hier is het gemakkelijk te vinden vanaf de laatste vergelijking x 3, en vervolgens uit de tweede vergelijking x 2 en ten slotte, van 1e - x 1.
Bij gebruik van de Gaussische methode kunnen de vergelijkingen indien nodig worden verwisseld.
Vaak in plaats van schrijven nieuw systeem vergelijkingen, zijn beperkt tot het uitschrijven van de uitgebreide matrix van het systeem:
en breng het vervolgens naar een driehoekige of diagonale vorm met behulp van elementaire transformaties.
NAAR elementaire transformaties matrices omvatten de volgende transformaties:
- het herschikken van rijen of kolommen;
- een string vermenigvuldigen met een ander getal dan nul;
- andere regels aan één regel toevoegen.
Voorbeelden: Los stelsels vergelijkingen op met behulp van de Gauss-methode.
Het systeem heeft dus een oneindig aantal oplossingen.