De oppervlakte van een vierkant perceel grond bedraagt 81 dm². Vind zijn kant. Stel dat de zijdelengte van het vierkant gelijk is aan X decimeter. Dan is de oppervlakte van het perceel X² vierkante decimeter. Omdat deze oppervlakte volgens de voorwaarde gelijk is aan 81 dm² X² = 81. De lengte van een zijde van een vierkant is een positief getal. Een positief getal waarvan het kwadraat 81 is, is het getal 9. Bij het oplossen van het probleem was het nodig om het getal x te vinden waarvan het kwadraat 81 is, d.w.z. de vergelijking op te lossen X² = 81. Deze vergelijking heeft twee wortels: X 1 = 9 en X 2 = - 9, aangezien 9² = 81 en (- 9)² = 81. Beide getallen 9 en - 9 worden de vierkantswortels van 81 genoemd.
Merk op dat een van de vierkantswortels X= 9 is een positief getal. Dit wordt de rekenkundige vierkantswortel van 81 genoemd en wordt aangeduid met √81, dus √81 = 9.
Rekenkundige vierkantswortel van een getal A is een niet-negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan A.
De getallen 6 en - 6 zijn bijvoorbeeld vierkantswortels van het getal 36. Het getal 6 is echter een rekenkundige vierkantswortel van 36, aangezien 6 een niet-negatief getal is en 6² = 36. Het getal - 6 is geen getal. rekenkundige wortel.
Rekenkundig Vierkantswortel van het nummer A als volgt aangegeven: √ A.
Het teken wordt het rekenkundige wortelteken genoemd; A- een radicale uitdrukking genoemd. Expressie √ A lezen zoals dit: rekenkundige vierkantswortel van een getal A. Bijvoorbeeld √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In gevallen waarin dat duidelijk is we praten over over een rekenkundige wortel zeggen ze kort: “de vierkantswortel van A«.
De handeling van het vinden van de vierkantswortel van een getal wordt vierkantswortel genoemd. Deze actie is het omgekeerde van kwadrateren.
Je kunt elk getal kwadrateren, maar je kunt uit geen enkel getal vierkantswortels trekken. Het is bijvoorbeeld onmogelijk om de vierkantswortel van het getal - 4 te extraheren. Als zo'n wortel bestond, geef deze dan aan met de letter X, zouden we de onjuiste gelijkheid x² = - 4 krijgen, omdat er links een niet-negatief getal is en rechts een negatief getal.
Expressie √ A heeft alleen zin wanneer een ≥ 0. De definitie van vierkantswortel kan in het kort als volgt worden geschreven: √ een ≥ 0, (√A)² = A. Gelijkheid (√ A)² = A geldig voor een ≥ 0. Om er dus voor te zorgen dat de vierkantswortel van een niet-negatief getal is A gelijk aan B, dat wil zeggen in het feit dat √ A =B, moet u controleren of aan de volgende twee voorwaarden is voldaan: b ≥ 0, B² = A.
Vierkantswortel van een breuk
Laten we berekenen. Merk op dat √25 = 5, √36 = 6, en laten we controleren of de gelijkheid geldt.
Omdat 
en , dan is de gelijkheid waar. Dus, 
.
Stelling: Als A≥ 0 en B> 0, dat wil zeggen dat de wortel van de breuk gelijk is aan de wortel van de teller gedeeld door de wortel van de noemer. Er moet worden bewezen dat: en 
.
Sinds √ A≥0 en √ B> 0, dan .
Over de eigenschap om een breuk tot een macht te verheffen en de definitie van een vierkantswortel 
de stelling is bewezen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.
Bereken met behulp van de bewezen stelling 
.
Tweede voorbeeld: bewijs dat 
, Als A ≤ 0, B < 0. 
.
Nog een voorbeeld: Bereken .
.
Vierkantswortelconversie
Het verwijderen van de vermenigvuldiger onder het wortelteken. Laat de uitdrukking gegeven worden. Als A≥ 0 en B≥ 0, dan kunnen we met behulp van de productwortelstelling schrijven:
Deze transformatie wordt het verwijderen van de factor uit het wortelteken genoemd. Laten we naar een voorbeeld kijken;
Bereken op X= 2. Directe vervanging X= 2 in de radicale uitdrukking leidt tot complexe berekeningen. Deze berekeningen kunnen worden vereenvoudigd als u eerst de factoren onder het wortelteken verwijdert: . Als we nu x = 2 vervangen, krijgen we:.
Dus wanneer de factor onder het wortelteken wordt verwijderd, wordt de worteluitdrukking weergegeven in de vorm van een product waarin een of meer factoren kwadraten zijn van niet-negatieve getallen. Pas vervolgens de productwortelstelling toe en neem de wortel van elke factor. Laten we een voorbeeld bekijken: Vereenvoudig de uitdrukking A = √8 + √18 - 4√2 door de factoren in de eerste twee termen onder het wortelteken te verwijderen, we krijgen:. Laten we die gelijkheid benadrukken 
alleen geldig voor A≥ 0 en B≥ 0. als A < 0, то .
Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.
Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie
Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.
Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.
Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.
Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:
- Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres E-mail enz.
Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:
- Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
- Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
- We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
- Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.
Openbaarmaking van informatie aan derden
Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.
Uitzonderingen:
- Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstellingen op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
- In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.
Bescherming van persoonlijke informatie
We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.
Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau
Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.
Wiskunde ontstond toen de mens zich bewust werd van zichzelf en zichzelf begon te positioneren als een autonome eenheid van de wereld. Het verlangen om te meten, vergelijken en tellen wat je omringt - dit is wat ten grondslag ligt aan een van deze dingen basiswetenschappen onze dagen. In eerste instantie waren het deeltjes elementaire wiskunde, die het mogelijk maakte om getallen met hun fysieke uitdrukkingen te verbinden, werden de conclusies later alleen theoretisch gepresenteerd (vanwege hun abstractheid), maar na een tijdje, zoals een wetenschapper het uitdrukte, ‘bereikte de wiskunde het plafond van complexiteit toen alle getallen ervan verdwenen.” Het concept van ‘vierkantswortel’ verscheen in een tijd waarin het gemakkelijk kon worden ondersteund door empirische gegevens, die verder gingen dan het vlak van berekeningen.
Waar het allemaal begon
De eerste vermelding van de wortel, dat is dit moment aangeduid als √, werd vastgelegd in de werken van Babylonische wiskundigen, die de basis legden voor de moderne rekenkunde. Natuurlijk leken ze weinig op de huidige vorm: wetenschappers uit die jaren gebruikten voor het eerst omvangrijke tabletten. Maar in het tweede millennium voor Christus. e. Ze leidden een geschatte berekeningsformule af die liet zien hoe je de vierkantswortel moest extraheren. De onderstaande foto toont een steen waarop Babylonische wetenschappers het proces voor het afleiden van √2 hebben uitgehouwen, en het bleek zo correct te zijn dat de discrepantie in het antwoord alleen op de tiende decimaal werd gevonden.
Bovendien werd de wortel gebruikt als het nodig was om een zijde van een driehoek te vinden, op voorwaarde dat de andere twee bekend waren. Welnu, bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen is er geen ontkomen aan het extraheren van de wortel.
Samen met de Babylonische werken werd het onderwerp van het artikel ook bestudeerd in het Chinese werk ‘Mathematics in Nine Books’, en de oude Grieken kwamen tot de conclusie dat elk getal waaruit de wortel niet kan worden afgeleid zonder een rest een irrationeel resultaat oplevert. .
Oorsprong deze term geassocieerd met de Arabische weergave van getallen: wetenschappers uit de oudheid geloofden dat het kwadraat van een willekeurig getal uit een wortel groeit, zoals een plant. In het Latijn klinkt dit woord als radix (je kunt een patroon volgen - alles wat een "wortel" betekent is medeklinker, of het nu radijs of radiculitis is).
Wetenschappers van volgende generaties hebben dit idee overgenomen en het Rx genoemd. Om bijvoorbeeld aan te geven dat de vierkantswortel van een willekeurig getal a was genomen, schreven ze in de 15e eeuw R 2 a. De "teek", bekend bij moderne ogen, verscheen pas in de 17e eeuw dankzij Rene Descartes.
Onze dagen
In wiskundige termen is de vierkantswortel van een getal y het getal z waarvan het kwadraat gelijk is aan y. Met andere woorden, z 2 =y is equivalent aan √y=z. Echter deze definitie alleen relevant voor rekenkundige wortel, omdat het een niet-negatieve waarde van de uitdrukking impliceert. Met andere woorden: √y=z, waarbij z groter is dan of gelijk is aan 0.
IN algemeen geval, die fungeert om de algebraïsche wortel te bepalen, kan de waarde van de uitdrukking positief of negatief zijn. Dus vanwege het feit dat z 2 =y en (-z) 2 =y, geldt: √y=±z of √y=|z|.
Vanwege het feit dat de liefde voor wiskunde alleen maar is toegenomen met de ontwikkeling van de wetenschap, zijn er verschillende uitingen van genegenheid ervoor die niet in droge berekeningen worden uitgedrukt. Naast interessante verschijnselen als Pi-dag worden bijvoorbeeld ook vierkantswortelvakanties gevierd. Ze worden negen keer per honderd jaar gevierd en worden bepaald volgens het volgende principe: de cijfers die in volgorde de dag en de maand aangeven, moeten de vierkantswortel van het jaar zijn. Dus de volgende keer dat we deze feestdag vieren is 4 april 2016.
Eigenschappen van de vierkantswortel op het veld R
Bijna alle wiskundige uitdrukkingen hebben een geometrische basis, en √y, gedefinieerd als de zijde van een vierkant met oppervlakte y, is niet aan dit lot ontsnapt.
Hoe vind je de wortel van een getal?
Er zijn verschillende berekeningsalgoritmen. De eenvoudigste, maar tegelijkertijd behoorlijk omslachtig, is de gebruikelijke rekenkundige berekening, die als volgt is:
1) van het getal waarvan we de wortel nodig hebben, worden op hun beurt de oneven getallen afgetrokken - totdat de rest aan de uitgang kleiner is dan de afgetrokken één of zelfs gelijk is aan nul. Het aantal zetten wordt uiteindelijk het gewenste aantal. Als u bijvoorbeeld de vierkantswortel van 25 berekent:
Het volgende oneven getal is 11, de rest is: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Voor dergelijke gevallen is er een uitbreiding van de Taylorreeks:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , waarbij n waarden aanneemt van 0 tot
+∞, en |y|≤1.
Grafische weergave van de functie z=√y
Laten we de elementaire functie z=√y bekijken op het veld van reële getallen R, waarbij y groter is dan of gelijk is aan nul. Het schema ziet er als volgt uit:
De curve groeit vanaf de oorsprong en snijdt noodzakelijkerwijs het punt (1; 1).
Eigenschappen van de functie z=√y op het veld van reële getallen R
1. Het definitiedomein van de betreffende functie is het interval van nul tot plus oneindig (nul is inbegrepen).
2. Het waardenbereik van de betreffende functie is het interval van nul tot plus oneindig (nul is opnieuw inbegrepen).
3. De functie neemt zijn minimumwaarde (0) alleen aan op het punt (0; 0). Er is geen maximale waarde.
4. De functie z=√y is noch even noch oneven.
5. De functie z=√y is niet periodiek.
6. Er is slechts één snijpunt van de grafiek van de functie z=√y met de coördinaatassen: (0; 0).
7. Het snijpunt van de grafiek van de functie z=√y is tevens het nulpunt van deze functie.
8. De functie z=√y groeit voortdurend.
9. De functie z=√y neemt alleen positieve waarden aan, daarom beslaat de grafiek de eerste coördinaathoek.
Opties voor het weergeven van de functie z=√y
Om de berekening van complexe uitdrukkingen te vergemakkelijken, wordt in de wiskunde soms de machtsvorm van het schrijven van de vierkantswortel gebruikt: √y=y 1/2. Deze optie is bijvoorbeeld handig als u een functie tot een macht wilt verheffen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Deze methode is ook een goede weergave voor differentiatie met integratie, omdat hierdoor de vierkantswortel wordt weergegeven als een gewone machtsfunctie.
En bij het programmeren wordt het symbool √ vervangen door de combinatie van letters sqrt.
Het is vermeldenswaard dat er in dit gebied veel vraag is naar de vierkantswortel, omdat deze deel uitmaakt van de meeste geometrische formules die nodig zijn voor berekeningen. Het telalgoritme zelf is behoorlijk complex en is gebaseerd op recursie (een functie die zichzelf aanroept).
Vierkantswortel in complex lichaam C
Over het algemeen was het het onderwerp van dit artikel dat de ontdekking van het veld van complexe getallen C stimuleerde, aangezien wiskundigen werden achtervolgd door de vraag hoe ze een even wortel van een negatief getal konden verkrijgen. Dit is hoe de denkbeeldige eenheid i verscheen, die wordt gekenmerkt door een zeer interessante eigenschap: het kwadraat is -1. Hierdoor werden kwadratische vergelijkingen zelfs met een negatieve discriminant opgelost. In C zijn dezelfde eigenschappen relevant voor de vierkantswortel als in R, het enige is dat de beperkingen op de worteluitdrukking zijn verwijderd.
Dit artikel is een verzameling gedetailleerde informatie die betrekking heeft op het onderwerp eigenschappen van wortels. Gezien het onderwerp zullen we beginnen met de eigenschappen, alle formuleringen bestuderen en bewijs leveren. Om het onderwerp te consolideren, zullen we eigenschappen van de n-de graad beschouwen.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Eigenschappen van wortels
We zullen het hebben over eigendommen.
- Eigendom vermenigvuldigde getallen A En B, wat wordt weergegeven als de gelijkheid a · b = a · b. Het kan worden weergegeven in de vorm van factoren, positief of gelijk aan nul een 1 , een 2 , … , een k als een 1 · een 2 · … · een k = een 1 · een 2 · … · een k ;
- uit het quotiënt a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, kan ook in deze vorm geschreven worden a b = a b;
- Eigendom uit de macht van een getal A met even exponent a 2 m = a m voor elk getal A, bijvoorbeeld de eigenschap van het kwadraat van een getal a 2 = a.
In elk van de gepresenteerde vergelijkingen kun je de delen voor en na het streepje-teken verwisselen. De gelijkheid a · b = a · b wordt bijvoorbeeld getransformeerd als a · b = a · b. Gelijkheidseigenschappen worden vaak gebruikt om complexe vergelijkingen te vereenvoudigen.
Het bewijs van de eerste eigenschappen is gebaseerd op de definitie van de vierkantswortel en de eigenschappen van machten met een natuurlijke exponent. Om de derde eigenschap te rechtvaardigen, is het noodzakelijk om te verwijzen naar de definitie van de modulus van een getal.
Allereerst is het noodzakelijk om de eigenschappen van de vierkantswortel a · b = a · b te bewijzen. Volgens de definitie is het noodzakelijk om te bedenken dat a b een getal is, positief of gelijk aan nul, dat gelijk zal zijn aan een b Tijdens de bouw in een vierkant. De waarde van de uitdrukking a · b is positief of gelijk aan nul als het product van niet-negatieve getallen. De eigenschap van machten van vermenigvuldigde getallen stelt ons in staat gelijkheid weer te geven in de vorm (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Per definitie van de vierkantswortel geldt a 2 = a en b 2 = b, dan a · b = a 2 · b 2 = a · b.
Op vergelijkbare wijze kun je dat bewijzen vanuit het product k vermenigvuldigers een 1 , een 2 , … , een k zal gelijk zijn aan het product van de vierkantswortels van deze factoren. Inderdaad, een 1 · een 2 · … · een k 2 = een 1 2 · een 2 2 · … · een k 2 = een 1 · een 2 · … · een k .
Uit deze gelijkheid volgt dat a 1 · een 2 · … · een k = een 1 · een 2 · … · een k.
Laten we een paar voorbeelden bekijken om het onderwerp te versterken.
voorbeeld 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 en 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .
Het is noodzakelijk om de eigenschap van de rekenkundige vierkantswortel van het quotiënt te bewijzen: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Met deze eigenschap kunnen we de gelijkheid a: b 2 = a 2: b 2 en a 2: b 2 = a: b schrijven, terwijl a: b een positief getal is of gelijk is aan nul. Deze uitdrukking zal bewijs worden.
Bijvoorbeeld 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 en 30,121 = 30,121.
Laten we eens kijken naar de eigenschap van de vierkantswortel van het kwadraat van een getal. Het kan worden geschreven als een gelijkheid als a 2 = a. Om deze eigenschap te bewijzen, is het noodzakelijk om verschillende gelijkheden voor a ≥ 0 en bij A< 0 .
Het is duidelijk dat voor a ≥ 0 de gelijkheid a 2 = a waar is. Bij A< 0 de gelijkheid a 2 = - a zal waar zijn. In dit geval zelfs − een > 0 en (− een) 2 = een 2 . We kunnen concluderen: a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Laten we een paar voorbeelden bekijken.
Voorbeeld 2
5 2 = 5 = 5 en - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.
De bewezen eigenschap zal helpen een 2 m = a m te rechtvaardigen, waar A– echt, en M –natuurlijk nummer. De eigenschap van het bijeenbrengen van een macht stelt ons in staat de macht te vervangen een 2 m uitdrukking (een meter) 2, dan a 2 m = (een m) 2 = een m.
Voorbeeld 3
3 8 = 3 4 = 3 4 en (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7 .
Eigenschappen van de n-de wortel
Eerst moeten we de basiseigenschappen van n-de wortels overwegen:
- Eigenschap uit het product van getallen A En B, die positief zijn of gelijk zijn aan nul, kunnen worden uitgedrukt als de gelijkheid a · b n = a n · b n , deze eigenschap is geldig voor het product k cijfers een 1 , een 2 , … , een k als een 1 · een 2 · … · een k n = een 1 n · een 2 n · … · een k n ;
- van een gebroken getal heeft de eigenschap a b n = a n b n , waarbij A is elk reëel getal dat positief is of gelijk is aan nul, en B– positief reëel getal;
- Voor enige A en zelfs indicatoren n = 2 m a 2 · m 2 · m = a is waar, en voor oneven n = 2 meter − 1 de gelijkheid a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a geldt.
- Eigenschap van extractie uit a m n = a n m , waarbij A– elk getal, positief of gelijk aan nul, N En M natuurlijke getallen zijn, kan deze eigenschap ook in de vorm worden weergegeven. . . een n k n 2 n 1 = een n 1 · n 2 . . . · nk ;
- Voor elke niet-negatieve a en willekeurig N En M, die natuurlijk zijn, kunnen we ook de eerlijke gelijkheid definiëren a m n · m = a n ;
- Eigenschap van graad N uit de macht van een getal A, wat positief is of gelijk is aan nul, aan de natuurlijke kracht M, gedefinieerd door de gelijkheid a m n = a n m ;
- Vergelijkingseigenschap met dezelfde exponenten: voor alle positieve getallen A En B zoals dat A< b , de ongelijkheid a n< b n ;
- Vergelijkingseigenschap met dezelfde getallen onder de wortel: if M En N - natuurlijke getallen dat m > n, dan op 0 < a < 1 de ongelijkheid a m > a n is waar, en wanneer een > 1 uitgevoerd een m< a n .
De hierboven gegeven gelijkheden zijn geldig als de delen vóór en na het gelijkteken worden verwisseld. Ze kunnen ook in deze vorm worden gebruikt. Dit wordt vaak gebruikt bij het vereenvoudigen of transformeren van uitdrukkingen.
Het bewijs van de bovenstaande eigenschappen van een wortel is gebaseerd op de definitie, eigenschappen van de graad en de definitie van de modulus van een getal. Deze eigenschappen moeten bewezen worden. Maar alles is in orde.
- Laten we eerst de eigenschappen bewijzen van de n-de wortel van het product a · b n = a n · b n . Voor A En b, welke Zijn positief of gelijk aan nul , de waarde a n · b n is ook positief of gelijk aan nul, aangezien deze een gevolg is van het vermenigvuldigen van niet-negatieve getallen. De eigenschap van een product ten opzichte van de natuurlijke kracht stelt ons in staat de gelijkheid a n · b n n = a n n · b n n te schrijven. Per definitie van een wortel N-de graad a n n = a en b n n = b , dus a n · b n n = a · b . De resulterende gelijkheid is precies wat bewezen moest worden.
Deze eigenschap kan op dezelfde manier worden bewezen voor het product k vermenigvuldigers: voor niet-negatieve getallen a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.
Hier volgen voorbeelden van het gebruik van de eigenschap root N-de macht uit het product: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 en 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .
- Laten we de eigenschap bewijzen van de wortel van het quotiënt a b n = a n b n . Bij a ≥ 0 En b > 0 aan de voorwaarde a n b n ≥ 0 is voldaan, en a n b n n = a n n b n n = a b .
Laten we voorbeelden laten zien:
Voorbeeld 4
8 27 3 = 8 3 27 3 en 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.
- Voor de volgende stap is het noodzakelijk om de eigenschappen van de n-de graad te bewijzen, van getal tot graad N. Laten we ons dit voorstellen als de gelijkheid a 2 m 2 m = a en a 2 m - 1 2 m - 1 = a voor elke reële A en natuurlijk M. Bij a ≥ 0 we krijgen a = a en a 2 m = a 2 m, wat de gelijkheid a 2 m 2 m = a bewijst, en de gelijkheid a 2 m - 1 2 m - 1 = a ligt voor de hand. Bij A< 0 we verkrijgen respectievelijk a = - a en a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. De laatste transformatie van een getal is geldig volgens de machtseigenschap. Dit is precies wat de gelijkheid bewijst a 2 m 2 m = a, en a 2 m - 1 2 m - 1 = a zal waar zijn, aangezien er rekening wordt gehouden met de oneven graad - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 voor welk nummer dan ook C , positief of gelijk aan nul.
Laten we, om de ontvangen informatie te consolideren, een aantal voorbeelden bekijken waarbij de eigenschap wordt gebruikt:
Voorbeeld 5
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 en (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Laten we de volgende gelijkheid bewijzen a m n = a n m . Om dit te doen, moet je de getallen voor en na het gelijkteken a n · m = a m n verwisselen. Dit betekent dat de invoer correct is. Voor A, wat positief is of gelijk aan nul , van de vorm a m n is een getal dat positief is of gelijk is aan nul. Laten we ons wenden tot de eigenschap van het verheffen van een macht tot een macht en de definitie ervan. Met hun hulp kun je gelijkheden transformeren in de vorm a m n n · m = a m n n m = a mm = a. Dit bewijst de eigenschap van de wortel van de wortel in kwestie.
Andere eigenschappen worden op een vergelijkbare manier bewezen. Echt, . . . een n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . een n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . een n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = een n k n k = een .
Bijvoorbeeld 7 3 5 = 7 5 3 en 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.
- Laten we de volgende eigenschap bewijzen a m n · m = a n . Om dit te doen, is het noodzakelijk om aan te tonen dat een n een getal is, positief of gelijk aan nul. Wanneer verheven tot de macht is nm gelijk aan ben. Als het nummer A is dan positief of gelijk aan nul N-de graad van onder A is een positief getal of gelijk aan nul. In dit geval is a n · m n = a n n m , wat bewezen moest worden.
Laten we een paar voorbeelden bekijken om de opgedane kennis te consolideren.
- Laten we de volgende eigenschap bewijzen: de eigenschap van een wortel van een macht van de vorm a m n = a n m . Het is duidelijk wanneer a ≥ 0 de graad a n m is een niet-negatief getal. Bovendien, haar N de macht e is gelijk aan ben, inderdaad, een n m n = een n m · n = een n n m = een m . Dit bewijst de eigenschap van het betreffende diploma.
Bijvoorbeeld 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- Het is noodzakelijk om dat voor alle positieve getallen te bewijzen A en b aan de voorwaarde is voldaan A< b . Beschouw de ongelijkheid a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Daarom is een n< b n при A< b .
Laten we bijvoorbeeld 12 4 geven< 15 2 3 4 .
- Overweeg de eigenschap van de wortel N-de graad. Het is noodzakelijk om eerst het eerste deel van de ongelijkheid te beschouwen. Bij m > n En 0 < a < 1 waar a m > een n . Laten we aannemen dat a m ≤ een n. Met de eigenschappen kunt u de uitdrukking vereenvoudigen tot a n m · n ≤ a mm · n . Dan geldt, volgens de eigenschappen van een graad met een natuurlijke exponent, de ongelijkheid a n m · n m · n ≤ a mm m · n m · n, dat wil zeggen: een n ≤ een m. De verkregen waarde op m > n En 0 < a < 1 komt niet overeen met de hierboven gegeven eigenschappen.
Op dezelfde manier kan worden bewezen dat wanneer m > n En een > 1 de voorwaarde a m is waar< a n .
Overweeg er verschillende om de bovenstaande eigenschappen te consolideren specifieke voorbeelden. Laten we naar ongelijkheden kijken met behulp van specifieke getallen.
Voorbeeld 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter
Les en presentatie over het onderwerp:
"Eigenschappen van de vierkantswortel. Formules. Voorbeelden van oplossingen, problemen met antwoorden"
Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten. Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.
Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 8
Interactief leerboek "Geometrie in 10 minuten" voor groep 8
Onderwijscomplex "1C: School. Meetkunde, graad 8"
Eigenschappen van vierkantswortel
We blijven vierkantswortels bestuderen. Vandaag zullen we kijken naar de basiseigenschappen van wortels. Alle basiseigenschappen zijn intuïtief en consistent met alle bewerkingen die we eerder hebben uitgevoerd.Eigenschap 1. De vierkantswortel van het product van twee niet-negatieve getallen is gelijk aan het product van de vierkantswortels van deze getallen: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.
Het is gebruikelijk om eigenschappen te bewijzen, laten we het doen.
Stel $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Dan moeten we bewijzen dat $x=y*z$.
Laten we elke uitdrukking kwadrateren.
Als $\sqrt(a*b)=x$, dan is $a*b=x^2$.
Als $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, en als we beide uitdrukkingen kwadrateren, krijgen we: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, dat wil zeggen: $x^2=(y*z)^2$. Als de kwadraten van twee niet-negatieve getallen gelijk zijn, dan zijn de getallen zelf ook gelijk, en dat is wat bewezen moest worden.
Uit onze eigenschap volgt dat bijvoorbeeld $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.
Notitie 1. De eigenschap geldt ook voor het geval dat er meer dan twee niet-negatieve factoren onder de wortel liggen.
Eigenschap 2. Als $a≥0$ en $b>0$, dan geldt de volgende gelijkheid: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$
Dat wil zeggen, de wortel van het quotiënt is gelijk aan het quotiënt van de wortels.
Bewijs.
Laten we de tabel gebruiken en kort ons eigendom bewijzen.
Voorbeelden van het gebruik van de eigenschappen van vierkantswortels
Voorbeeld 1.Bereken: $\sqrt(81*25*121)$.
Oplossing.
Natuurlijk kunnen we een rekenmachine nemen, alle getallen onder de wortel vermenigvuldigen en de bewerking uitvoeren om de vierkantswortel te extraheren. En als u geen rekenmachine bij de hand heeft, wat moet u dan doen?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Antwoord: 495.
Voorbeeld 2. Bereken: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.
Oplossing.
Laten we het radicale getal voorstellen als een onechte breuk: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Laten we eigenschap 2 gebruiken.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= $ 3,4.
Antwoord: 3.4.
Voorbeeld 3.
Bereken: $\sqrt(40^2-24^2)$.
Oplossing.
We kunnen onze uitdrukking direct evalueren, maar deze kan bijna altijd worden vereenvoudigd. Laten we proberen dit te doen.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Dus $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Antwoord: 32.
Jongens, let op: er zijn geen formules voor de bewerkingen van optellen en aftrekken van radicale uitdrukkingen en de hieronder gepresenteerde uitdrukkingen zijn niet correct.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.
Voorbeeld 4.
Bereken: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Oplossing.
De hierboven gepresenteerde eigenschappen werken zowel van links naar rechts als van binnen omgekeerde volgorde, dat is:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Laten we hiermee ons voorbeeld oplossen.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$
B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.
Antwoord: a) 16; b) 2.
Eigenschap 3. Als $а≥0$ en n een natuurlijk getal is, geldt de gelijkheid: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.
Bijvoorbeeld. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ enzovoort.
Voorbeeld 5.
Bereken: $\sqrt(129600)$.
Oplossing.
Het aan ons gepresenteerde getal is vrij groot, laten we het opsplitsen in priemfactoren.
We hebben ontvangen: $129600=5^2*2^6*3^4$ of $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=$360.
Antwoord: 360.
Problemen om zelfstandig op te lossen
1. Bereken: $\sqrt(144*36*64)$.2. Bereken: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Bereken: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Bereken:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.