Ik zal niet proberen je ervan te overtuigen geen spiekbriefjes te schrijven. Schrijven! Inclusief spiekbriefjes over trigonometrie. Later ben ik van plan uit te leggen waarom spiekbriefjes nodig zijn en waarom spiekbriefjes nuttig zijn. En hier is informatie over hoe je niet moet leren, maar hoe je enkele trigonometrische formules moet onthouden. Dus - trigonometrie zonder spiekbriefje! We gebruiken associaties voor het onthouden.
1. Optellingsformules:
Cosinussen “komen altijd in paren”: cosinus-cosinus, sinus-sinus.
En nog een ding: cosinussen zijn “ontoereikend”. "Alles klopt niet" voor hen, dus veranderen ze de tekens: "-" in "+", en omgekeerd.
Sinussen - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.
2. Formules voor som en verschil:
cosinussen komen altijd “in paren”. Door twee cosinussen toe te voegen - "koloboks", krijgen we een paar cosinus - "koloboks". En door af te trekken krijgen we zeker geen koloboks. We krijgen een paar sinussen. Ook met een minpuntje in het vooruitzicht.
Sinussen - "mix" :
3. Formules om een product om te zetten in som en verschil.
Wanneer krijgen we een cosinuspaar? Wanneer we cosinus toevoegen. Daarom
Wanneer krijgen we een paar sinussen? Bij het aftrekken van cosinussen. Vanaf hier:
“Mixen” wordt verkregen bij het optellen en aftrekken van sinussen. Wat is leuker: optellen of aftrekken? Dat klopt, vouw. En voor de formule nemen ze optelling:
In de eerste en derde formules staat de som tussen haakjes. Het herschikken van de plaatsen van de termen verandert de som niet. De volgorde is alleen belangrijk voor de tweede formule. Maar om niet in de war te raken en om het onthouden te vergemakkelijken, nemen we in alle drie de formules tussen de eerste haakjes het verschil
en ten tweede - het bedrag
Cheatsheets op zak geven u gemoedsrust: als u de formule vergeet, kunt u deze kopiëren. En ze geven je vertrouwen: als je het spiekbriefje niet gebruikt, kun je de formules gemakkelijk onthouden.
We vervolgen ons gesprek over de meest gebruikte formules in de trigonometrie. De belangrijkste daarvan zijn optelformules.
Definitie 1
Met optellingsformules kunt u functies van het verschil of de som van twee hoeken uitdrukken met behulp van trigonometrische functies deze hoeken.
Om te beginnen zullen we geven volle lijst optelformules, dan zullen we ze bewijzen en verschillende illustratieve voorbeelden analyseren.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Basisoptelformules in trigonometrie
Er zijn acht basisformules: sinus van de som en sinus van het verschil van twee hoeken, cosinus van de som en het verschil, respectievelijk raaklijnen en cotangensen van de som en het verschil. Hieronder vindt u hun standaardformuleringen en berekeningen.
1. De sinus van de som van twee hoeken kan als volgt worden verkregen:
We berekenen het product van de sinus van de eerste hoek en de cosinus van de tweede;
Vermenigvuldig de cosinus van de eerste hoek met de sinus van de eerste;
Tel de resulterende waarden bij elkaar op.
Het grafische schrift van de formule ziet er als volgt uit: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. De sinus van het verschil wordt op vrijwel dezelfde manier berekend, alleen de resulterende producten hoeven niet opgeteld te worden, maar van elkaar afgetrokken. We berekenen dus de producten van de sinus van de eerste hoek door de cosinus van de tweede en de cosinus van de eerste hoek door de sinus van de tweede en vinden hun verschil. De formule wordt als volgt geschreven: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cosinus van de som. Hiervoor vinden we respectievelijk de producten van de cosinus van de eerste hoek door de cosinus van de tweede en de sinus van de eerste hoek door de sinus van de tweede, en vinden we hun verschil: cos (α + β) = cos α · cos β - zonde α · zonde β
4. Cosinus van het verschil: bereken de producten van sinussen en cosinussen van deze hoeken, zoals voorheen, en tel ze bij elkaar op. Formule: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Raaklijn van de som. Deze formule wordt uitgedrukt als een breuk, waarvan de teller de som is van de raaklijnen van de vereiste hoeken, en de noemer een eenheid is waarvan het product van de raaklijnen van de gewenste hoeken wordt afgetrokken. Alles is duidelijk uit de grafische notatie: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Raaklijn van het verschil. We berekenen de waarden van het verschil en het product van de raaklijnen van deze hoeken en gaan er op dezelfde manier mee verder. In de noemer tellen we bij één op, en niet andersom: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotangens van de som. Om met deze formule te berekenen, hebben we het product en de som van de cotangensen van deze hoeken nodig, en gaan we als volgt te werk: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangens van het verschil . De formule is vergelijkbaar met de vorige, maar de teller en de noemer zijn min, niet plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Je hebt waarschijnlijk gemerkt dat deze formules in paren vergelijkbaar zijn. Met behulp van de tekens ± (plus-min) en ∓ (min-plus) kunnen we ze groeperen om de registratie te vergemakkelijken:
zonde (α ± β) = zonde α · cos β ± cos α · zonde β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ zonde α · zonde β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · tg β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Dienovereenkomstig hebben we één registratieformule voor de som en het verschil van elke waarde, alleen in het ene geval letten we op het bovenste teken, in het andere geval op het onderste.
Definitie 2
We kunnen alle hoeken α en β nemen, en de optelformules voor cosinus en sinus zullen daarvoor werken. Als we de waarden van de raaklijnen en cotangens van deze hoeken correct kunnen bepalen, dan zijn de optellingsformules voor raaklijn en cotangens ook voor hen geldig.
Zoals de meeste concepten in de algebra kunnen optellingsformules worden bewezen. De eerste formule die we zullen bewijzen is de verschilcosinusformule. De rest van het bewijsmateriaal kan er dan gemakkelijk uit worden afgeleid.
Laten we de basisconcepten verduidelijken. We hebben een eenheidscirkel nodig. Het lukt als we een bepaald punt A nemen en de hoeken α en β rond het middelpunt draaien (punt O). Dan zal de hoek tussen de vectoren O A 1 → en O A → 2 gelijk zijn aan (α - β) + 2 π · z of 2 π - (α - β) + 2 π · z (z is een geheel getal). De resulterende vectoren vormen een hoek die gelijk is aan α - β of 2 π - (α - β), of deze kan een geheel aantal volledige omwentelingen van deze waarden verschillen. Kijk eens naar de foto:
We gebruikten de reductieformules en kregen de volgende resultaten:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Resultaat: de cosinus van de hoek tussen de vectoren O A 1 → en O A 2 → is gelijk aan de cosinus van de hoek α - β, dus cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Laten we de definities van sinus en cosinus in herinnering brengen: sinus is een functie van hoek, gelijk aan de verhouding het been van de tegenovergestelde hoek met de hypotenusa, cosinus is de sinus van de complementaire hoek. Daarom de punten Een 1 En Een 2 hebben coördinaten (cos α, sin α) en (cos β, sin β).
Wij krijgen het volgende:
O A 1 → = (cos α, sin α) en O A 2 → = (cos β, sin β)
Als het niet duidelijk is, kijk dan naar de coördinaten van de punten aan het begin en einde van de vectoren.
De lengtes van de vectoren zijn gelijk aan 1, omdat We hebben een eenheidscirkel.
Laten we nu het scalaire product van de vectoren O A 1 → en O A 2 → analyseren. In coördinaten ziet het er als volgt uit:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + zonde α · zonde β
Hieruit kunnen we de gelijkheid afleiden:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Zo is de verschilcosinusformule bewezen.
Nu zullen we de volgende formule bewijzen: de cosinus van de som. Dit is gemakkelijker omdat we de eerdere berekeningen kunnen gebruiken. Laten we de representatie nemen α + β = α - (- β) . We hebben:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Dit is het bewijs van de cosinussomformule. De laatste regel gebruikt de eigenschap van sinus en cosinus van tegenovergestelde hoeken.
De formule voor de sinus van een som kan worden afgeleid van de formule voor de cosinus van een verschil. Laten we hiervoor de reductieformule nemen:
van de vorm sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Dus
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = zonde α cos β + cos α zonde β
En hier is het bewijs van de verschilsinusformule:
zonde (α - β) = zonde (α + (- β)) = zonde α cos (- β) + cos α zonde (- β) = = zonde α cos β - cos α zonde β
Let op het gebruik van de sinus- en cosinus-eigenschappen van tegenovergestelde hoeken in de laatste berekening.
Vervolgens hebben we bewijzen nodig van de optellingsformules voor tangens en cotangens. Laten we de basisdefinities onthouden (raaklijn is de verhouding van sinus tot cosinus, en cotangens is omgekeerd) en de formules gebruiken die al van tevoren zijn afgeleid. We maakten het:
t g (α + β) = zonde (α + β) cos (α + β) = zonde α cos β + cos α zonde β cos α cos β - zonde α zonde β
We hebben een complexe breuk. Vervolgens moeten we de teller en de noemer delen door cos α · cos β, gegeven het feit dat cos α ≠ 0 en cos β ≠ 0, we krijgen:
zonde α · cos β + cos α · zonde β cos α · cos β cos α · cos β - zonde α · zonde β cos α · cos β = zonde α · cos β cos α · cos β + cos α · zonde β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - zonde α · zonde β cos α · cos β
Nu verkleinen we de breuken en krijgen de volgende formule: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
We hebben t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Dit is het bewijs van de formule voor raaklijnoptelling.
De volgende formule die we zullen bewijzen is de tangens van de verschilformule. Alles wordt duidelijk weergegeven in de berekeningen:
tg (α - β) = tg (α + (- β)) = tg α + tg (- β) 1 - tg α t g (- β) = tg α - tg β 1 + tg α tg β
Formules voor cotangens worden op een vergelijkbare manier bewezen:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - zonde α · zonde β zonde α · zonde β zonde α · cos β + cos α · zonde β zonde α · zonde β = cos α · cos β zonde α · zonde β - 1 zonde α · cos β zonde α · zonde β + cos α · zonde β zonde α · zonde β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Verder:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β