We hebben al geleerd om op te lossen kwadratische vergelijkingen. Laten we nu de bestudeerde methoden uitbreiden naar rationale vergelijkingen.
Wat is een rationele uitdrukking? Dit concept zijn we al tegengekomen. Rationele uitdrukkingen zijn uitdrukkingen die zijn samengesteld uit getallen, variabelen, hun bevoegdheden en symbolen van wiskundige bewerkingen.
Dienovereenkomstig zijn rationale vergelijkingen vergelijkingen in de vorm: , waar 
- rationele uitdrukkingen.
Voorheen hebben we alleen die rationale vergelijkingen overwogen die tot lineaire vergelijkingen kunnen worden herleid. Laten we nu eens kijken naar de rationale vergelijkingen die kunnen worden gereduceerd tot kwadratische vergelijkingen.
voorbeeld 1
Los De vergelijking op: .
Oplossing:
Een breuk is gelijk aan 0 als en slechts als de teller gelijk is aan 0 en de noemer niet gelijk is aan 0.
We krijgen het volgende systeem:
De eerste vergelijking van het systeem is een kwadratische vergelijking. Voordat we het oplossen, delen we alle coëfficiënten door 3. We krijgen:
We krijgen twee wortels: ; .
Omdat 2 nooit gelijk is aan 0, moet aan twee voorwaarden worden voldaan: 
. Omdat geen van de wortels van de hierboven verkregen vergelijking samenvalt met de ongeldige waarden van de variabele die zijn verkregen bij het oplossen van de tweede ongelijkheid, zijn het beide oplossingen gegeven vergelijking.
Antwoord:.
Laten we dus een algoritme formuleren voor het oplossen van rationale vergelijkingen:
1. Verplaats alle termen naar de linkerkant, zodat de rechterkant op 0 eindigt.
2. Transformeer en vereenvoudig de linkerkant, breng alle breuken naar een gemeenschappelijke noemer.
3. Stel de resulterende breuk gelijk aan 0 met behulp van het volgende algoritme: 
.
4. Schrijf de wortels op die in de eerste vergelijking zijn verkregen en voldoe in het antwoord aan de tweede ongelijkheid.
Laten we naar een ander voorbeeld kijken.
Voorbeeld 2
Los De vergelijking op: 
.
Oplossing
Helemaal aan het begin verplaatsen we alle termen naar de linkerkant, zodat 0 aan de rechterkant blijft.
Laten we nu de linkerkant van de vergelijking naar een gemeenschappelijke noemer brengen:
Deze vergelijking is equivalent aan het systeem:
De eerste vergelijking van het systeem is een kwadratische vergelijking.
Coëfficiënten van deze vergelijking: . We berekenen de discriminant:
We krijgen twee wortels: ; .
Laten we nu de tweede ongelijkheid oplossen: het product van factoren is niet gelijk aan 0 als en slechts als geen van de factoren gelijk is aan 0.
Er moet aan twee voorwaarden worden voldaan: 
. We vinden dat van de twee wortels van de eerste vergelijking er maar één geschikt is: 3.
Antwoord:.
In deze les herinnerden we ons wat een rationele uitdrukking is, en leerden we ook hoe we rationele vergelijkingen konden oplossen, die herleidbaar zijn tot kwadratische vergelijkingen.
In de volgende les zullen we rationale vergelijkingen bekijken als modellen van reële situaties, en ook naar bewegingsproblemen.
Bibliografie
- Bashmakov M.I. Algebra, groep 8. - M.: Onderwijs, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. en anderen. - M.: Onderwijs, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, groep 8. Handleiding voor onderwijsinstellingen. - M.: Onderwijs, 2006.
- Festival van Pedagogische Ideeën" Openbare les" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Huiswerk
Een geheeltallige uitdrukking is een wiskundige uitdrukking die bestaat uit getallen en letterlijke variabelen, waarbij gebruik wordt gemaakt van de bewerkingen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Gehele getallen omvatten ook uitdrukkingen die deling door een ander getal dan nul inhouden.
Het concept van een fractionele rationele expressie
Een breukuitdrukking is een wiskundige uitdrukking die, naast de bewerkingen van optellen, aftrekken en vermenigvuldigen die worden uitgevoerd met getallen en lettervariabelen, evenals deling door een getal dat niet gelijk is aan nul, ook deling in uitdrukkingen met lettervariabelen bevat.
Rationele expressies zijn allemaal gehele en fractionele expressies. Rationele vergelijkingen zijn vergelijkingen waarin de linker- en rechterkant rationele uitdrukkingen zijn. Als in een rationale vergelijking de linker- en rechterkant gehele uitdrukkingen zijn, dan wordt zo'n rationale vergelijking een geheel getal genoemd.
Als in een rationele vergelijking de linker- of rechterkant breukuitdrukkingen zijn, dan wordt zo'n rationele vergelijking breuk genoemd.
Voorbeelden van fractionele rationele uitdrukkingen
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Schema voor het oplossen van een fractionele rationale vergelijking
1. Zoek de gemeenschappelijke noemer van alle breuken die in de vergelijking voorkomen.
2. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met een gemeenschappelijke noemer.
3. Los de resulterende hele vergelijking op.
4. Controleer de wortels en sluit de wortels uit die de gemeenschappelijke noemer doen verdwijnen.
Omdat we fractionele rationale vergelijkingen oplossen, zullen er variabelen in de noemers van de breuken voorkomen. Dit betekent dat ze een gemeenschappelijke noemer zullen zijn. En in het tweede punt van het algoritme vermenigvuldigen we met een gemeenschappelijke noemer, dan kunnen er vreemde wortels verschijnen. Waarbij de gemeenschappelijke noemer gelijk is aan nul, wat betekent dat vermenigvuldigen ermee zinloos is. Daarom is het aan het einde noodzakelijk om de verkregen wortels te controleren.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld:
Los de fractionele rationale vergelijking op: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Wij zullen ons eraan houden algemeen schema: Laten we eerst de gemeenschappelijke noemer van alle breuken vinden. We krijgen x*(x-5).
Vermenigvuldig elke breuk met een gemeenschappelijke noemer en schrijf de resulterende hele vergelijking.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Laten we de resulterende vergelijking vereenvoudigen. We krijgen:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
We krijgen een eenvoudige gereduceerde kwadratische vergelijking. Wij lossen het op met een van bekende methoden, krijgen we de wortels x=-2 en x=5.
Nu controleren we de verkregen oplossingen:
Vervang de getallen -2 en 5 door de gemeenschappelijke noemer. Bij x=-2 verdwijnt de gemeenschappelijke noemer x*(x-5) niet, -2*(-2-5)=14. Dit betekent dat het getal -2 de wortel zal zijn van de oorspronkelijke fractionele rationale vergelijking.
Bij x=5 wordt de gemeenschappelijke noemer x*(x-5) nul. Daarom is dit getal niet de wortel van de oorspronkelijke fractionele rationale vergelijking, aangezien er een deling door nul zal zijn.
We hebben de bovenstaande vergelijking geïntroduceerd in § 7. Laten we eerst bedenken wat een rationele uitdrukking is. Dit is een algebraïsche uitdrukking die bestaat uit getallen en de variabele x, waarbij gebruik wordt gemaakt van de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen met een natuurlijke exponent.
Als r(x) een rationele uitdrukking is, wordt de vergelijking r(x) = 0 een rationele vergelijking genoemd.
In de praktijk is het echter handiger om een iets bredere interpretatie van de term ‘rationele vergelijking’ te gebruiken: dit is een vergelijking van de vorm h(x) = q(x), waarbij h(x) en q(x) zijn rationele uitdrukkingen.
Tot nu toe konden we geen enkele rationele vergelijking oplossen, maar slechts één die, als resultaat van verschillende transformaties en redeneringen, werd gereduceerd tot lineaire vergelijking. Nu zijn onze mogelijkheden veel groter: we zullen een rationele vergelijking kunnen oplossen die niet alleen lineair is
mu, maar ook voor de kwadratische vergelijking.
Laten we ons herinneren hoe we eerder rationele vergelijkingen hebben opgelost en proberen een oplossingsalgoritme te formuleren.
Voorbeeld 1. Los De vergelijking op
Oplossing. Laten we de vergelijking in het formulier herschrijven
In dit geval profiteren we, zoals gewoonlijk, van het feit dat de gelijkheden A = B en A - B = 0 dezelfde relatie tussen A en B uitdrukken. Hierdoor konden we de term naar de linkerkant van de vergelijking verplaatsen met de tegenovergestelde teken.
Laten we de linkerkant van de vergelijking transformeren. We hebben
Laten we de voorwaarden van gelijkheid in herinnering brengen breuken nul: als en slechts dan als aan twee relaties tegelijkertijd wordt voldaan:
1) de teller van de breuk is nul (a = 0); 2) de noemer van de breuk verschilt van nul).
Door de teller van de breuk aan de linkerkant van vergelijking (1) gelijk te stellen aan nul, verkrijgen we
Rest ons nog de vervulling van de tweede hierboven aangegeven voorwaarde te controleren. De relatie betekent voor vergelijking (1) dat . De waarden x 1 = 2 en x 2 = 0,6 voldoen aan de aangegeven relaties en dienen daarom als wortels van vergelijking (1), en tegelijkertijd als wortels van de gegeven vergelijking.
1) Laten we de vergelijking naar de vorm transformeren
2) Laten we de linkerkant van deze vergelijking transformeren:
(Veranderde tegelijkertijd de tekens in de teller en
breuken).
De gegeven vergelijking neemt dus de vorm aan
3) Los de vergelijking x 2 - 6x + 8 = 0 op. Zoek
4) Controleer voor de gevonden waarden of aan de voorwaarde is voldaan 
. Het getal 4 voldoet aan deze voorwaarde, maar het getal 2 niet. Dit betekent dat 4 de wortel is van de gegeven vergelijking, en 2 een vreemde wortel is.
ANTWOORD: 4.
2. Rationele vergelijkingen oplossen door een nieuwe variabele te introduceren
De methode voor het introduceren van een nieuwe variabele is u bekend; we hebben deze meer dan eens gebruikt. Laten we met voorbeelden laten zien hoe het wordt gebruikt bij het oplossen van rationale vergelijkingen.
Voorbeeld 3. Los de vergelijking x 4 + x 2 - 20 = 0 op.
Oplossing. Laten we een nieuwe variabele introduceren y = x 2 . Omdat x 4 = (x 2) 2 = y 2, kan de gegeven vergelijking worden herschreven als
j 2 + j - 20 = 0.
Dit is een kwadratische vergelijking waarvan de wortels kunnen worden gevonden met behulp van bekend formules; we krijgen y 1 = 4, y 2 = - 5.
Maar y = x 2, wat betekent dat het probleem is teruggebracht tot het oplossen van twee vergelijkingen:
x2=4; x2 = -5.
Uit de eerste vergelijking zien we dat de tweede vergelijking geen wortels heeft.
Antwoord: .
Een vergelijking van de vorm ax 4 + bx 2 +c = 0 wordt een bikwadratische vergelijking genoemd (“bi” is twee, dat wil zeggen een soort “dubbelkwadratische” vergelijking). De zojuist opgeloste vergelijking was precies bikwadratisch. Elke bikwadratische vergelijking wordt op dezelfde manier opgelost als de vergelijking uit Voorbeeld 3: introduceer een nieuwe variabele y = x 2, los de resulterende kwadratische vergelijking op met betrekking tot de variabele y en keer dan terug naar de variabele x.
Voorbeeld 4. Los De vergelijking op
Oplossing. Merk op dat dezelfde uitdrukking x 2 + 3x hier twee keer voorkomt. Dit betekent dat het zinvol is om een nieuwe variabele y = x 2 + 3x te introduceren. Dit zal ons in staat stellen de vergelijking in een eenvoudiger en aangenamere vorm te herschrijven (wat in feite het doel is van het introduceren van een nieuw variabel- en het vereenvoudigen van de opname
wordt duidelijker en de structuur van de vergelijking wordt duidelijker):
Laten we nu het algoritme gebruiken voor het oplossen van een rationale vergelijking.
1) Laten we alle termen van de vergelijking naar één deel verplaatsen:
= 0
2) Transformeer de linkerkant van de vergelijking
We hebben dus de gegeven vergelijking naar de vorm getransformeerd
3) Uit de vergelijking - 7y 2 + 29y -4 = 0 vinden we (jij en ik hebben al heel wat kwadratische vergelijkingen opgelost, dus het is waarschijnlijk niet de moeite waard om altijd gedetailleerde berekeningen in het leerboek te geven).
4) Laten we de gevonden wortels controleren met behulp van voorwaarde 5 (y - 3) (y + 1). Beide wortels voldoen aan deze voorwaarde.
Dus de kwadratische vergelijking voor de nieuwe variabele y is opgelost: 
Omdat y = x 2 + 3x, en y, zoals we hebben vastgesteld, twee waarden aanneemt: 4 en , moeten we nog steeds twee vergelijkingen oplossen: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . De wortels van de eerste vergelijking zijn de getallen 1 en - 4, de wortels van de tweede vergelijking zijn de getallen
In de beschouwde voorbeelden was de methode voor het introduceren van een nieuwe variabele, zoals wiskundigen graag zeggen, geschikt voor de situatie, dat wil zeggen: ze kwam er goed mee overeen. Waarom? Ja, omdat dezelfde uitdrukking duidelijk meerdere keren in de vergelijking voorkwam en er een reden was om deze uitdrukking met een nieuwe letter aan te duiden. Maar dit gebeurt niet altijd; soms ‘verschijnt’ een nieuwe variabele pas tijdens het transformatieproces. Dit is precies wat er in het volgende voorbeeld zal gebeuren.
Voorbeeld 5. Los De vergelijking op
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Oplossing. We hebben
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Dit betekent dat de gegeven vergelijking in de vorm kan worden herschreven
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Nu is er een nieuwe variabele “verschijnen”: y = x 2 - 3x.
Met zijn hulp kan de vergelijking worden herschreven in de vorm y (y + 2) = 24 en vervolgens y 2 + 2y - 24 = 0. De wortels van deze vergelijking zijn de getallen 4 en -6.
Terugkerend naar de oorspronkelijke variabele x, verkrijgen we twee vergelijkingen x 2 - 3x = 4 en x 2 - 3x = - 6. Uit de eerste vergelijking vinden we x 1 = 4, x 2 = - 1; de tweede vergelijking heeft geen wortels.
ANTWOORD: 4, - 1.
Vergelijkingen met breuken oplossen Laten we naar voorbeelden kijken. De voorbeelden zijn eenvoudig en illustratief. Met hun hulp zult u het op de meest begrijpelijke manier kunnen begrijpen.
U moet bijvoorbeeld de eenvoudige vergelijking x/b + c = d oplossen.
Een vergelijking van dit type wordt lineair genoemd, omdat De noemer bevat alleen getallen.
De oplossing wordt uitgevoerd door beide zijden van de vergelijking met b te vermenigvuldigen, waarna de vergelijking de vorm aanneemt x = b*(d – c), d.w.z. de noemer van de breuk aan de linkerkant vervalt.
Hoe op te lossen bijvoorbeeld fractionele vergelijking:
x/5+4=9
We vermenigvuldigen beide zijden met 5. We krijgen:
x+20=45
x=45-20=25
Nog een voorbeeld waarbij het onbekende in de noemer staat:
Vergelijkingen van dit type worden fractioneel-rationeel of eenvoudigweg fractioneel genoemd.
We zouden een breukvergelijking oplossen door breuken weg te laten, waarna deze vergelijking meestal verandert in een lineaire of kwadratische vergelijking, die kan worden opgelost op de gebruikelijke manier. U hoeft alleen maar rekening te houden met de volgende punten:
- de waarde van een variabele die de noemer naar 0 verandert, kan geen wortel zijn;
- U kunt een vergelijking niet delen of vermenigvuldigen met de uitdrukking =0.
Dit is waar het begrip gebied van kracht wordt aanvaardbare waarden(ODZ) zijn dergelijke waarden van de wortels van de vergelijking waarvoor de vergelijking zinvol is.
Bij het oplossen van de vergelijking is het dus noodzakelijk om de wortels te vinden en deze vervolgens te controleren op naleving van de ODZ. Die wortels die niet overeenkomen met onze ODZ zijn uitgesloten van het antwoord.
U moet bijvoorbeeld een breukvergelijking oplossen:
Op basis van de bovenstaande regel kan x niet = 0 zijn, d.w.z. ODZ in dit geval: x – elke andere waarde dan nul.
We verwijderen de noemer door alle termen van de vergelijking met x te vermenigvuldigen
En we lossen de gebruikelijke vergelijking op
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Antwoord: x = 1/3
Laten we een ingewikkelder vergelijking oplossen:
ODZ is hier ook aanwezig: x -2.
Bij het oplossen van deze vergelijking zullen we niet alles opzij schuiven en de breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen. We zullen beide zijden van de vergelijking onmiddellijk vermenigvuldigen met een uitdrukking die alle noemers in één keer zal opheffen.
Om de noemers te verkleinen, moet je de linkerkant vermenigvuldigen met x+2 en de rechterkant met 2. Dit betekent dat beide kanten van de vergelijking moeten worden vermenigvuldigd met 2(x+2):
Dit is de meest voorkomende vermenigvuldiging van breuken, die we hierboven al hebben besproken.
Laten we dezelfde vergelijking schrijven, maar iets anders
De linkerkant wordt gereduceerd met (x+2), en de rechterkant met 2. Na de reductie verkrijgen we de gebruikelijke lineaire vergelijking:
x = 4 – 2 = 2, wat overeenkomt met onze ODZ
Antwoord: x = 2.
Vergelijkingen met breuken oplossen niet zo moeilijk als het lijkt. In dit artikel hebben we dit met voorbeelden laten zien. Als u er problemen mee heeft hoe je vergelijkingen met breuken oplost, meld je vervolgens af in de reacties.
“Rationele vergelijkingen met polynomen” is een van de meest voorkomende onderwerpen in de test Unified State Exam-opdrachten wiskunde. Om deze reden zijn ze voor herhaling vatbaar Speciale aandacht. Veel studenten worden geconfronteerd met het probleem van het vinden van de discriminant, het overbrengen van indicatoren van de rechterkant naar links en het brengen van de vergelijking naar een gemeenschappelijke noemer. Daarom veroorzaakt het voltooien van dergelijke taken problemen. Door rationele vergelijkingen op te lossen ter voorbereiding op het Unified State Exam op onze website, kunt u snel omgaan met problemen van welke complexiteit dan ook en met vlag en wimpel voor de test slagen.
Kies het Shkolkovo-educatieve portaal om u succesvol voor te bereiden op het Unified Mathematics-examen!
Gebruik onze online service om de regels voor het berekenen van onbekenden te kennen en eenvoudig correcte resultaten te verkrijgen. Het Shkolkovo-portaal is een uniek platform dat alles bevat wat nodig is om je voor te bereiden Materialen voor het Unified State Examen. Onze leraren systematiseerden en presenteerden alle wiskundige regels in een begrijpelijke vorm. Daarnaast nodigen we schoolkinderen uit om te proberen standaard rationale vergelijkingen op te lossen, waarvan de basis voortdurend wordt bijgewerkt en uitgebreid.
Voor een effectievere voorbereiding op het testen raden we aan onze speciale methode te volgen en te beginnen met het herhalen van de regels en oplossingen eenvoudige taken, en geleidelijk overgaan naar meer complexe. Zo kan de afgestudeerde de moeilijkste onderwerpen voor zichzelf identificeren en zich concentreren op het bestuderen ervan.
Begin vandaag nog met de voorbereiding voor de laatste test met Shkolkovo, en de resultaten zullen niet lang op zich laten wachten! Kies het gemakkelijkste voorbeeld uit de gegeven voorbeelden. Als je de uitdrukking snel onder de knie hebt, ga dan verder met een moeilijkere taak. Op deze manier kun je je kennis verbeteren tot het punt waarop je USE-taken in de wiskunde op gespecialiseerd niveau kunt oplossen.
Training is niet alleen beschikbaar voor afgestudeerden uit Moskou, maar ook voor schoolkinderen uit andere steden. Besteed bijvoorbeeld een paar uur per dag aan het studeren op ons portaal, en al snel zul je in staat zijn om met vergelijkingen van welke complexiteit dan ook om te gaan!