Nu we hebben geleerd hoe we afzonderlijke breuken kunnen optellen en vermenigvuldigen, kunnen we naar complexere structuren kijken. Wat moet er bijvoorbeeld gebeuren als hetzelfde probleem betrekking heeft op het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van breuken?
Allereerst moet je alle breuken omzetten in onechte breuken. Vervolgens voeren we de vereiste acties opeenvolgend uit - in dezelfde volgorde als voor gewone getallen. Namelijk:
- Machtsverheffen wordt eerst gedaan - verwijder alle uitdrukkingen die exponenten bevatten;
- Dan - delen en vermenigvuldigen;
- De laatste stap is optellen en aftrekken.
Als er haakjes in de uitdrukking staan, verandert de volgorde van de bewerkingen natuurlijk: alles wat tussen haakjes staat, moet eerst worden geteld. En onthoud over onechte breuken: u hoeft het hele deel alleen te markeren als alle andere acties al zijn voltooid.
Laten we alle breuken van de eerste uitdrukking naar onjuiste breuken converteren en vervolgens de volgende stappen uitvoeren:
Laten we nu de waarde van de tweede uitdrukking vinden. Er zijn geen breuken met een geheel getal, maar er zijn haakjes, dus we voeren eerst de optelling uit en pas daarna deling. Merk op dat 14 = 7 · 2. Dan:
Beschouw ten slotte het derde voorbeeld. Er zijn hier haakjes en een graad - het is beter om ze afzonderlijk te tellen. Gezien het feit dat 9 = 3 3, hebben we:
Let op het laatste voorbeeld. Om een breuk tot een macht te verheffen, moet je afzonderlijk de teller tot deze macht verheffen, en afzonderlijk de noemer.
Je kunt anders beslissen. Als we ons de definitie van een graad herinneren, zal het probleem worden teruggebracht tot de gebruikelijke vermenigvuldiging van breuken:
Breuken met meerdere verdiepingen
Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar ‘zuivere’ breuken, waarbij de teller en de noemer gewone getallen zijn. Dit komt redelijk overeen met de definitie van een getalsfractie die in de allereerste les werd gegeven.
Maar wat als je een complexer object in de teller of noemer plaatst? Een andere numerieke breuk bijvoorbeeld? Dergelijke constructies komen vrij vaak voor, vooral bij het werken met lange uitdrukkingen. Hier zijn een paar voorbeelden:
Er is maar één regel voor het werken met breuken met meerdere niveaus: je moet ze onmiddellijk verwijderen. Het verwijderen van “extra” verdiepingen is vrij eenvoudig, als je bedenkt dat de schuine streep de standaard verdelingsoperatie betekent. Daarom kan elke breuk als volgt worden herschreven:
Met behulp van dit feit en door de procedure te volgen, kunnen we elke breuk met meerdere verdiepingen gemakkelijk terugbrengen tot een gewone breuk. Bekijk de voorbeelden:
Taak. Converteer breuken met meerdere verdiepingen naar gewone breuken:
In elk geval herschrijven we de hoofdbreuk en vervangen we de scheidingslijn door een deelteken. Bedenk ook dat elk geheel getal kan worden weergegeven als een breuk met de noemer 1. Dat wil zeggen 12 = 12/1; 3 = 3/1. We krijgen:
In het laatste voorbeeld werden de breuken geannuleerd vóór de laatste vermenigvuldiging.
Bijzonderheden over het werken met breuken op meerdere niveaus
Er is één subtiliteit in breuken met meerdere niveaus die altijd moet worden onthouden, anders kun je het verkeerde antwoord krijgen, zelfs als alle berekeningen correct waren. Kijk eens:
- De teller bevat het enkele getal 7 en de noemer bevat de breuk 12/5;
- De teller bevat de breuk 7/12 en de noemer bevat het afzonderlijke getal 5.
Voor één opname kregen we dus twee totaal verschillende interpretaties. Als je telt, zullen de antwoorden ook anders zijn:
Om ervoor te zorgen dat het record altijd eenduidig wordt gelezen, hanteert u een eenvoudige regel: de scheidslijn van de hoofdbreuk moet langer zijn dan de lijn van de geneste breuk. Het liefst meerdere keren.
Als u deze regel volgt, moeten de bovenstaande breuken als volgt worden geschreven:
Ja, het kan lelijk zijn en te veel ruimte in beslag nemen. Maar je zult correct tellen. Tenslotte nog een paar voorbeelden waarbij breuken met meerdere verdiepingen daadwerkelijk ontstaan:
Taak. Zoek de betekenis van de uitdrukkingen:
Laten we dus met het eerste voorbeeld werken. Laten we alle breuken omzetten in onjuiste breuken en vervolgens de optel- en delingsbewerkingen uitvoeren:
Laten we hetzelfde doen met het tweede voorbeeld. Laten we alle breuken omzetten in onjuiste breuken en de vereiste bewerkingen uitvoeren. Om de lezer niet te vervelen, laat ik enkele voor de hand liggende berekeningen achterwege. We hebben:
Vanwege het feit dat de teller en de noemer van de basisbreuken sommen bevatten, wordt de regel voor het schrijven van breuken met meerdere verdiepingen automatisch in acht genomen. Ook hebben we in het laatste voorbeeld opzettelijk 46/1 in breukvorm gelaten om deling uit te voeren.
Ik zal ook opmerken dat in beide voorbeelden de breukstreep feitelijk de haakjes vervangt: eerst en vooral vonden we de som, en pas daarna het quotiënt.
Sommigen zullen zeggen dat de overgang naar onechte breuken in het tweede voorbeeld duidelijk overbodig was. Misschien is dit waar. Maar door dit te doen verzekeren we ons tegen fouten, want de volgende keer kan het voorbeeld veel ingewikkelder blijken te zijn. Kies zelf wat belangrijker is: snelheid of betrouwbaarheid.
Acties met breuken. In dit artikel zullen we voorbeelden bekijken, alles in detail met uitleg. We zullen gewone breuken overwegen. We zullen later naar decimalen kijken. Ik raad aan om het geheel te bekijken en achtereenvolgens te bestuderen.
1. Som van breuken, verschil van breuken.
Regel: bij het optellen van breuken met gelijke noemers is het resultaat een breuk - waarvan de noemer hetzelfde blijft en de teller gelijk is aan de som van de tellers van de breuken.
Regel: bij het berekenen van het verschil tussen breuken met dezelfde noemers krijgen we een breuk - de noemer blijft hetzelfde en de teller van de tweede wordt afgetrokken van de teller van de eerste breuk.
Formele notatie voor de som en het verschil van breuken met gelijke noemers:
Voorbeelden (1):
Het is duidelijk dat wanneer gewone breuken worden gegeven, alles eenvoudig is, maar wat als ze gemengd zijn? Niets ingewikkelds...
Optie 1– je kunt ze omzetten in gewone en ze vervolgens berekenen.
Optie 2– je kunt afzonderlijk “werken” met de gehele en gebroken delen.
Voorbeelden (2):
Meer:
Wat als het verschil tussen twee gemengde breuken wordt gegeven en de teller van de eerste breuk kleiner is dan de teller van de tweede? Je kunt ook op twee manieren handelen.
Voorbeelden (3):
*Omgerekend naar gewone breuken, het verschil berekend, de resulterende onechte breuk omgerekend naar een gemengde breuk.
*We hebben het opgesplitst in gehele en gebroken delen, kregen een drie, presenteerden vervolgens 3 als de som van 2 en 1, waarbij één werd weergegeven als 11/11, vonden vervolgens het verschil tussen 11/11 en 7/11 en berekenden het resultaat . De betekenis van de bovenstaande transformaties is om een eenheid te nemen (selecteren) en deze in de vorm van een breuk te presenteren met de noemer die we nodig hebben, waarna we een andere van deze breuk kunnen aftrekken.
Een ander voorbeeld:
Conclusie: er is een universele aanpak: om de som (verschil) van gemengde breuken met gelijke noemers te berekenen, kunnen ze altijd worden omgezet in oneigenlijke breuken en vervolgens de nodige actie uitvoeren. Als het resultaat hierna een onechte breuk is, converteren we deze naar een gemengde breuk.
Hierboven hebben we gekeken naar voorbeelden met breuken die gelijke noemers hebben. Wat als de noemers verschillend zijn? In dit geval worden de breuken teruggebracht tot dezelfde noemer en wordt de opgegeven actie uitgevoerd. Om een breuk te veranderen (transformeren), wordt de basiseigenschap van de breuk gebruikt.
Laten we naar eenvoudige voorbeelden kijken:
In deze voorbeelden zien we meteen hoe een van de breuken kan worden getransformeerd om gelijke noemers te krijgen.
Als we manieren aanwijzen om breuken tot dezelfde noemer te herleiden, dan noemen we deze METHODE EEN.
Dat wil zeggen dat je bij het 'evalueren' van een breuk onmiddellijk moet uitzoeken of deze aanpak zal werken - we controleren of de grotere noemer deelbaar is door de kleinere. En als het deelbaar is, voeren we een transformatie uit: we vermenigvuldigen de teller en de noemer zodat de noemers van beide breuken gelijk worden.
Kijk nu eens naar deze voorbeelden:
Deze aanpak is niet op hen van toepassing. Er zijn ook manieren om breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer; laten we ze eens bekijken.
Methode TWEE.
We vermenigvuldigen de teller en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede, en de teller en de noemer van de tweede breuk met de noemer van de eerste:
*In feite reduceren we breuken tot ze ontstaan als de noemers gelijk worden. Vervolgens gebruiken we de regel voor het optellen van breuken met gelijke noemers.
Voorbeeld:
*Deze methode is universeel te noemen en werkt altijd. Het enige nadeel is dat je na de berekeningen mogelijk een fractie overhoudt die verder moet worden verlaagd.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld:
Het is duidelijk dat de teller en de noemer deelbaar zijn door 5:
Methode DRIE.
Je moet het kleinste gemene veelvoud (LCM) van de noemers vinden. Dit zal de gemeenschappelijke noemer zijn. Wat voor nummer is dit? Dit is het kleinste natuurlijke getal dat deelbaar is door elk van de getallen.
Kijk, hier zijn twee getallen: 3 en 4, er zijn veel getallen die deelbaar zijn door hen - dit zijn 12, 24, 36, ... De kleinste is 12. Of 6 en 15, ze zijn deelbaar door 30, 60, 90 .... Het kleinste getal is 30. De vraag is: hoe bepaal je dit kleinste gemene veelvoud?
Er is een duidelijk algoritme, maar vaak kan dit meteen zonder berekeningen. Volgens de bovenstaande voorbeelden (3 en 4, 6 en 15) is er bijvoorbeeld geen algoritme nodig, we hebben grote getallen (4 en 15) genomen, deze verdubbeld en gezien dat ze deelbaar zijn door het tweede getal, maar paren getallen kunnen andere zijn, bijvoorbeeld 51 en 119.
Algoritme. Om het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen te bepalen, moet je:
- ontbind elk getal in EENVOUDIGE factoren
– noteer de ontbinding van de GROTERE ervan
- vermenigvuldig het met de ONTBREKENDE factoren van andere getallen
Laten we naar voorbeelden kijken:
50 en 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
bij de uitbreiding van een groter nummer ontbreekt er één 5
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 en 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
bij de uitbreiding van een groter nummer ontbreken twee en drie
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Het kleinste gemene veelvoud van twee priemgetallen is hun product
Vraag! Waarom is het nuttig om het kleinste gemene veelvoud te vinden, aangezien je de tweede methode kunt gebruiken en eenvoudigweg de resulterende breuk kunt verkleinen? Ja, dat kan, maar het is niet altijd handig. Kijk naar de noemer van de getallen 48 en 72 als je ze simpelweg vermenigvuldigt met 48∙72 = 3456. Je zult het ermee eens zijn dat het prettiger is om met kleinere getallen te werken.
Laten we naar voorbeelden kijken:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
bij de uitbreiding van een groter aantal ontbreekt een triple
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Laten we nu de eerste methode gebruiken:
*Kijk naar het verschil in de berekeningen, in het eerste geval zijn er een minimum, maar in het tweede geval moet je apart op een vel papier werken, en zelfs de fractie die je hebt ontvangen moet worden verminderd. Het vinden van de LOC vereenvoudigt het werk aanzienlijk.
Meer voorbeelden:
*In het tweede voorbeeld is het duidelijk dat het kleinste getal dat deelbaar is door 40 en 60 120 is.
RESULTAAT! ALGEMEEN COMPUTERALGORITME!
— we reduceren breuken tot gewone breuken als er een geheel getal is.
- we brengen breuken naar een gemeenschappelijke noemer (eerst kijken we of de ene noemer deelbaar is door een andere; als deze deelbaar is, dan vermenigvuldigen we de teller en de noemer van deze andere breuk; als deze niet deelbaar is, handelen we met behulp van de andere methoden hierboven aangegeven).
- Nadat we breuken met gelijke noemers hebben ontvangen, voeren we bewerkingen uit (optellen, aftrekken).
- indien nodig verminderen we het resultaat.
- selecteer indien nodig het hele onderdeel.
2. Product van breuken.
De regel is eenvoudig. Bij het vermenigvuldigen van breuken worden hun tellers en noemers vermenigvuldigd:
Voorbeelden:
496. Vinden X, Als:
497. 1) Als je 10 1/2 tot 3/10 van een onbekend getal optelt, krijg je 13 1/2. Zoek het onbekende nummer.
2) Als je 10 1/2 aftrekt van 7/10 van een onbekend getal, krijg je 15 2/5. Zoek het onbekende nummer.
498 *. Als je 10 aftrekt van 3/4 van een onbekend getal en het resulterende verschil met 5 vermenigvuldigt, krijg je 100. Zoek het getal.
499 *. Als je een onbekend getal met 2/3 verhoogt, krijg je 60. Welk getal is dit?
500 *. Als je hetzelfde bedrag optelt bij het onbekende getal, en ook 20 1/3, krijg je 105 2/5. Zoek het onbekende nummer.
501. 1) De aardappelopbrengst bedraagt bij vierkante trosbeplanting gemiddeld 150 cent per hectare en bij conventionele beplanting 3/5 van dit bedrag. Hoeveel meer aardappelen kunnen er worden geoogst op een areaal van 15 hectare als aardappelen worden geplant volgens de vierkantetrosmethode?
2) Een ervaren arbeider produceerde 18 onderdelen in 1 uur, en een onervaren arbeider produceerde 2/3 van deze hoeveelheid. Hoeveel onderdelen kan een ervaren arbeider nog meer produceren in een werkdag van zeven uur?
502. 1) De pioniers verzamelden in drie dagen tijd 56 kg verschillende zaden. Op de eerste dag werd 3/14 van de totale hoeveelheid verzameld, op de tweede dag anderhalf keer zoveel, en op de derde dag de rest van het graan. Hoeveel kilo zaden verzamelden de pioniers op de derde dag?
2) Bij het malen van de tarwe was het resultaat: bloem 4/5 van de totale hoeveelheid tarwe, griesmeel - 40 keer minder dan bloem, en de rest is zemelen. Hoeveel meel, griesmeel en zemelen werden afzonderlijk geproduceerd bij het malen van 3 ton tarwe?
503. 1) Drie garages bieden plaats aan 460 auto's. Het aantal auto's dat in de eerste garage past is 3/4 van het aantal auto's dat in de tweede past, en de derde garage heeft 1 1/2 keer zoveel auto's als de eerste. Hoeveel auto's passen er in elke garage?
2) Een fabriek met drie werkplaatsen biedt werk aan 6.000 werknemers. In de tweede werkplaats zijn er anderhalf keer minder arbeiders dan in de eerste, en het aantal arbeiders in de derde werkplaats is 5/6 van het aantal arbeiders in de tweede werkplaats. Hoeveel werknemers zijn er in elke werkplaats?
504. 1) Eerst werd 2/5, daarna 1/3 van de totale kerosine uit een tank met kerosine gegoten, en daarna bleef er 8 ton kerosine in de tank achter. Hoeveel kerosine zat er aanvankelijk in de tank?
2) De wielrenners reden drie dagen lang. Op de eerste dag legden ze 4/15 van de hele reis af, op de tweede dag 2/5 en op de derde dag de resterende 100 km. Hoe ver hebben de fietsers in drie dagen afgelegd?
505. 1) De ijsbreker vocht zich drie dagen lang een weg door het ijsveld. Op de eerste dag liep hij 1/2 van de hele afstand, op de tweede dag 3/5 van de resterende afstand en op de derde dag de resterende 24 km. Bereken de lengte van het pad dat de ijsbreker in drie dagen aflegt.
2) Drie groepen schoolkinderen plantten bomen om het dorp groener te maken. Het eerste detachement plantte 7/20 van alle bomen, het tweede 5/8 van de overige bomen en het derde de resterende 195 bomen. Hoeveel bomen hebben de drie teams in totaal geplant?
506. 1) Een maaidorser oogstte in drie dagen tarwe van één perceel. Op de eerste dag oogstte hij vanaf 5/18 van de gehele oppervlakte van het perceel, op de tweede dag vanaf 7/13 van de resterende oppervlakte en op de derde dag vanaf de resterende oppervlakte van 30 1/2 hectare. Gemiddeld werden per hectare twintig centers tarwe geoogst. Hoeveel tarwe werd er in het hele gebied geoogst?
2) Op de eerste dag legden de rallydeelnemers 3/11 van het gehele traject af, op de tweede dag 7/20 van het resterende traject, op de derde dag 5/13 van het nieuwe restant, en op de vierde dag het overige 320 km. Hoe lang is de route van de rally?
507. 1) Op de eerste dag legde de auto 3/8 van de gehele afstand af, op de tweede dag 15/17 van wat hij op de eerste dag aflegde, en op de derde dag de overige 200 km. Hoeveel benzine wordt er verbruikt als een auto 1 3/5 kg benzine verbruikt gedurende 10 km?
2) De stad bestaat uit vier districten. En 4/13 van alle inwoners van de stad woont in het eerste district, 5/6 van de inwoners van het eerste district woont in het tweede, 4/11 van de inwoners van het eerste woont in het derde; twee districten samen, en in het vierde district wonen 18 duizend mensen. Hoeveel brood heeft de gehele bevolking van de stad nodig voor 3 dagen, als gemiddeld één persoon 500 gram per dag consumeert?
508. 1) De toerist liep op de eerste dag 10/31 van de hele reis, op de tweede 9/10 van wat hij op de eerste dag liep, en op de derde de rest van de reis, en op de derde dag liep hij 12 km meer dan op de tweede dag. Hoeveel kilometer heeft de toerist op elk van de drie dagen gelopen?
2) De auto legde in drie dagen het hele traject van stad A naar stad B af. Op de eerste dag legde de auto 7/20 van de gehele afstand af, op de tweede 8/13 van de resterende afstand en op de derde dag legde de auto 72 km minder af dan op de eerste dag. Wat is de afstand tussen stad A en B?
509. 1) Het Uitvoerend Comité heeft land toegewezen aan de arbeiders van drie fabrieken voor tuinpercelen. De eerste fabriek kreeg 9/25 van het totale aantal percelen toegewezen, de tweede fabriek 5/9 van het aantal percelen toegewezen voor de eerste, en de derde - de overige percelen. Hoeveel percelen werden er in totaal toegewezen aan de arbeiders van drie fabrieken, als de eerste fabriek 50 percelen minder kreeg toegewezen dan de derde?
2) Het vliegtuig bracht in drie dagen een ploeg winterarbeiders vanuit Moskou naar het poolstation. Op de eerste dag vloog hij 2/5 van de gehele afstand, op de tweede - 5/6 van de afstand die hij op de eerste dag aflegde, en op de derde dag vloog hij 500 km minder dan op de tweede dag. Hoe ver vloog het vliegtuig in drie dagen?
510. 1) De fabriek had drie werkplaatsen. Het aantal werknemers in de eerste werkplaats is 2/5 van alle werknemers in de fabriek; in de tweede werkplaats zijn er anderhalf keer minder arbeiders dan in de eerste, en in de derde werkplaats zijn er 100 meer arbeiders dan in de tweede. Hoeveel werknemers zijn er in de fabriek?
2) De collectieve boerderij omvat inwoners van drie naburige dorpen. Het aantal gezinnen in het eerste dorp is 3/10 van alle gezinnen op de collectieve boerderij; in het tweede dorp is het aantal gezinnen anderhalf keer groter dan in het eerste, en in het derde dorp is het aantal gezinnen 420 minder dan in het tweede. Hoeveel gezinnen zijn er op de collectieve boerderij?
511. 1) De artel verbruikte 1/3 van zijn grondstoffenvoorraad in de eerste week, en 1/3 van de rest in de tweede week. Hoeveel grondstof blijft er over in het artel als het verbruik van grondstoffen in de eerste week 3/5 ton meer was dan in de tweede week?
2) Van de geïmporteerde steenkool werd in de eerste maand 1/6 besteed aan het verwarmen van het huis, en 3/8 van de rest in de tweede maand. Hoeveel steenkool blijft er over om het huis te verwarmen als er in de tweede maand 1 3/4 meer wordt verbruikt dan in de eerste maand?
512. 3/5 van de totale grond van de collectieve boerderij is bestemd voor het zaaien van graan, 13/36 van de rest wordt ingenomen door moestuinen en weilanden, de rest van het land is bos en de ingezaaide oppervlakte van de collectieve boerderij is 217 hectare groter dan het bosgebied, 1/3 van het land dat is toegewezen voor het zaaien van graan wordt ingezaaid met rogge en de rest is tarwe. Hoeveel hectare land heeft de collectieve boerderij ingezaaid met tarwe en hoeveel met rogge?
513. 1) Het tramtraject is 14 3/8 km lang. Op dit traject maakt de tram 18 haltes, met een gemiddelde reistijd van maximaal 1 1/6 minuut per halte. De gemiddelde snelheid van de tram over het gehele traject bedraagt 12 1/2 km per uur. Hoe lang doet een tram over één rit?
2) Busroute 16 km. Langs dit traject maakt de bus 36 haltes van elk 3/4 minuten. gemiddeld elk. De gemiddelde bussnelheid bedraagt 30 km per uur. Hoe lang doet een bus over één traject?
514*. 1) Het is nu 6 uur. avonden. Welk deel is het resterende deel van de dag uit het verleden en welk deel van de dag is er nog over?
2) Een stoomboot legt de afstand tussen twee steden af met de stroming in 3 dagen. en dezelfde afstand terug in 4 dagen. Hoeveel dagen zullen de vlotten stroomafwaarts van de ene stad naar de andere drijven?
515. 1) Hoeveel planken worden er gebruikt om de vloer te leggen in een kamer met een lengte van 6 2/3 m en een breedte van 5 1/4 m, als de lengte van elke plank 6 2/3 m is en de breedte 3/3 is? 80 van de lengte?
2) Een rechthoekig platform heeft een lengte van 45 1/2 m en de breedte is 5/13 van de lengte. Dit gebied wordt begrensd door een pad van 4/5 m breed.
516. Zoek het rekenkundig gemiddelde van getallen:
517. 1) Het rekenkundig gemiddelde van twee getallen is 6 1/6. Eén van de cijfers is 3 3/4. Zoek een ander nummer.
2) Het rekenkundig gemiddelde van twee getallen is 14 1/4. Eén van deze cijfers is 15 5/6. Zoek een ander nummer.
518. 1) De goederentrein was drie uur onderweg. In het eerste uur legde hij 36 1/2 km af, in het tweede 40 km en in het derde 39 3/4 km. Zoek de gemiddelde snelheid van de trein.
2) De auto heeft in de eerste twee uur 81 1/2 km afgelegd en in de daaropvolgende 2 1/2 uur 95 km. Hoeveel kilometer liep hij gemiddeld per uur?
519. 1) De tractorchauffeur voltooide de taak van het ploegen van het land in drie dagen. Op de eerste dag ploegde hij 12 1/2 hectare, op de tweede dag 15 3/4 hectare en op de derde dag 14 1/2 hectare. Hoeveel hectare land ploegde een tractorchauffeur gemiddeld per dag?
2) Een groep schoolkinderen die een driedaagse toeristische reis maakte, was op de eerste dag 6 1/3 uur onderweg, op de tweede dag 7 uur. en op de derde dag - 4 2/3 uur. Hoeveel uur reisden schoolkinderen gemiddeld per dag?
520. 1) Er wonen drie gezinnen in het huis. De eerste familie heeft 3 lampen om het appartement te verlichten, de tweede heeft er 4 en de derde heeft 5 lampen. Hoeveel moet elk gezin betalen voor elektriciteit als alle lampen hetzelfde zijn en de totale elektriciteitsrekening (voor het hele huis) 7 1/5 roebel bedraagt?
2) Een boenmachine was de vloeren aan het polijsten in een appartement waar drie gezinnen woonden. Het eerste gezin had een woonoppervlakte van 36 1/2 vierkante meter. m, de tweede is 24 1/2 vierkante meter. m, en de derde - 43 m². m. Voor al het werk werd 2 roebel betaald. 08 kop. Hoeveel betaalde ieder gezin?
521. 1) In het tuinperceel werden aardappelen verzameld uit 50 struiken met 1 1/10 kg per struik, uit 70 struiken met 4/5 kg per struik, uit 80 struiken met 9/10 kg per struik. Hoeveel kilo aardappelen wordt er gemiddeld van elke struik geoogst?
2) De veldploeg op een oppervlakte van 300 hectare ontving een oogst van 20 1/2 kwintaal wintertarwe per 1 hectare, van 80 hectare tot 24 kwintaal per 1 ha, en van 20 hectare - 28 1/2 kwintaal per 1 ha. Wat is de gemiddelde opbrengst in een brigade met 1 hectare?
522. 1) De som van twee getallen is 7 1/2. Het ene getal is 4 4/5 groter dan het andere. Zoek deze cijfers.
2) Als we de getallen die de breedte van de Straat van Tataars en Kertsj weergeven bij elkaar optellen, krijgen we 11 7/10 km. De Straat van Tataars is 3 1/10 km breder dan de Straat van Kertsj. Wat is de breedte van elke zeestraat?
523. 1) De som van drie getallen is 35 2/3. Het eerste getal is 5 1/3 groter dan het tweede en 3 5/6 groter dan het derde. Zoek deze cijfers.
2) De eilanden Novaya Zemlya, Sakhalin en Severnaya Zemlya beslaan samen een oppervlakte van 196 7/10 duizend vierkante meter. km. De oppervlakte van Novaya Zemlya is 44 1/10 duizend vierkante meter. km groter dan het gebied van Severnaya Zemlya en 5 1/5 duizend vierkante meter. km groter dan het gebied van Sakhalin. Wat is de oppervlakte van elk van de genoemde eilanden?
524. 1) Het appartement bestaat uit drie kamers. De oppervlakte van de eerste kamer is 24 3/8 m². m en is 13/36 van de gehele oppervlakte van het appartement. De oppervlakte van de tweede kamer is 8 1/8 vierkante meter. m meer dan het gebied van de derde. Wat is de oppervlakte van de tweede kamer?
2) Een wielrenner was tijdens een driedaagse wedstrijd op de eerste dag 3 1/4 uur onderweg, dit was 13/43 van de totale reistijd. Op de tweede dag reed hij 1 1/2 uur meer dan op de derde dag. Hoeveel uur heeft de wielrenner op de tweede wedstrijddag afgelegd?
525. Drie stukken ijzer wegen samen 17 1/4 kg. Als het gewicht van het eerste stuk met 1 1/2 kg wordt verminderd, en het gewicht van het tweede met 2 1/4 kg, dan hebben alle drie de stukken hetzelfde gewicht. Hoeveel woog elk stuk ijzer?
526. 1) De som van twee getallen is 15 1/5. Als het eerste getal met 3 1/10 wordt verminderd en het tweede met 3 1/10 wordt verhoogd, zijn deze getallen gelijk. Waar is elk getal gelijk aan?
2) Er zat 38 1/4 kg graan in twee dozen. Als je 4 3/4 kg ontbijtgranen van de ene doos in de andere giet, dan zitten er in beide dozen gelijke hoeveelheden ontbijtgranen. Hoeveel ontbijtgranen zit er in elke doos?
527 . 1) De som van twee getallen is 17 17/30. Als je 5 1/2 aftrekt van het eerste getal en dit optelt bij het tweede, dan zal het eerste nog steeds 2 17/30 groter zijn dan het tweede. Zoek beide getallen.
2) Er zitten 24 1/4 kg appels in twee dozen. Als je 3 1/2 kg van de eerste doos naar de tweede overbrengt, dan zitten er in de eerste nog steeds 3/5 kg meer appels dan in de tweede. Hoeveel kilo appels zit er in elke doos?
528 *. 1) De som van twee getallen is 8 11/14, en hun verschil is 2 3/7. Zoek deze cijfers.
2) De boot bewoog zich langs de rivier met een snelheid van 15 1/2 km per uur en tegen de stroom in met een snelheid van 8 1/4 km per uur. Wat is de snelheid van de rivierstroom?
529. 1) Er zijn 110 auto's in twee garages, en in de ene zijn er 1 1/5 keer meer dan in de andere. Hoeveel auto's staan er in elke garage?
2) De woonoppervlakte van een appartement bestaande uit twee kamers bedraagt 47 1/2 m². m. De oppervlakte van de ene kamer is 8/11 van de oppervlakte van de andere. Zoek de oppervlakte van elke kamer.
530. 1) Een legering bestaande uit koper en zilver weegt 330 gram. Het gewicht van koper in deze legering is 5/28 van het gewicht van zilver. Hoeveel zilver en hoeveel koper zit er in de legering?
2) De som van twee getallen is 6 3/4 en het quotiënt is 3 1/2. Zoek deze cijfers.
531. De som van drie getallen is 22 1/2. Het tweede getal is 3 1/2 keer en het derde is 2 1/4 keer het eerste. Zoek deze cijfers.
532. 1) Het verschil tussen twee getallen is 7; het quotiënt van het delen van een groter getal door een kleiner getal is 5 2/3. Zoek deze cijfers.
2) Het verschil tussen twee getallen is 29 3/8, en hun meervoudige verhouding is 8 5/6. Zoek deze cijfers.
533. In een klas bedraagt het aantal afwezige leerlingen 3/13 van het aantal aanwezige leerlingen. Hoeveel leerlingen zitten er volgens de lijst in de klas als er 20 mensen meer aanwezig zijn dan afwezig?
534. 1) Het verschil tussen twee getallen is 3 1/5. Het ene getal is 5/7 van het andere. Zoek deze cijfers.
2) De vader is 24 jaar ouder dan zijn zoon. Het aantal jaren van de zoon is gelijk aan 5/13 van de jaren van de vader. Hoe oud is de vader en hoe oud is de zoon?
535. De noemer van een breuk is 11 eenheden groter dan de teller. Wat is de waarde van een breuk als de noemer 3 3/4 keer de teller is?
Nr. 536 - 537 mondeling.
536. 1) Het eerste getal is 1/2 van de seconde. Hoe vaak is het tweede getal groter dan het eerste?
2) Het eerste getal is 3/2 van de seconde. Welk deel van het eerste getal is het tweede getal?
537. 1) 1/2 van het eerste getal is gelijk aan 1/3 van het tweede getal. Welk deel van het eerste getal is het tweede getal?
2) 2/3 van het eerste getal is gelijk aan 3/4 van het tweede getal. Welk deel van het eerste getal is het tweede getal? Welk deel van het tweede getal is het eerste?
538. 1) De som van twee getallen is 16. Vind deze getallen als 1/3 van het tweede getal gelijk is aan 1/5 van het eerste.
2) De som van twee getallen is 38. Vind deze getallen als 2/3 van het eerste getal gelijk is aan 3/5 van het tweede.
539 *. 1) Twee jongens verzamelden samen 100 paddenstoelen. 3/8 van het aantal paddenstoelen verzameld door de eerste jongen is numeriek gelijk aan 1/4 van het aantal paddenstoelen verzameld door de tweede jongen. Hoeveel paddenstoelen heeft elke jongen verzameld?
2) Bij de instelling werken 27 mensen. Hoeveel mannen werken en hoeveel vrouwen werken als 2/5 van alle mannen gelijk is aan 3/5 van alle vrouwen?
540 *. Drie jongens kochten een volleybal. Bepaal de bijdrage van elke jongen, wetende dat 1/2 van de bijdrage van de eerste jongen gelijk is aan 1/3 van de bijdrage van de tweede, of 1/4 van de bijdrage van de derde, en dat de bijdrage van de derde jongen is 64 kopeken meer dan de bijdrage van de eerste.
541 *. 1) Het ene getal is 6 meer dan het andere. Vind deze getallen als 2/5 van het ene getal gelijk is aan 2/3 van het andere.
2) Het verschil tussen twee getallen is 35. Vind deze getallen als 1/3 van het eerste getal gelijk is aan 3/4 van het tweede getal.
542. 1) Het eerste team kan een deel van het werk in 36 dagen voltooien, en het tweede in 45 dagen. In hoeveel dagen zullen beide teams, samenwerkend, deze klus klaren?
2) Een passagierstrein legt de afstand tussen twee steden af in 10 uur, en een goederentrein legt deze afstand af in 15 uur. Beide treinen verlieten deze steden tegelijkertijd richting elkaar. Over hoeveel uur zullen ze elkaar ontmoeten?
543. 1) Een sneltrein legt de afstand tussen twee steden af in 6 1/4 uur, en een passagierstrein in 7 1/2 uur. Hoeveel uur later zullen deze treinen elkaar ontmoeten als ze beide steden tegelijkertijd richting elkaar verlaten? (Het antwoord wordt afgerond op het dichtstbijzijnde uur.)
2) Twee motorrijders vertrokken gelijktijdig vanuit twee steden richting elkaar. De ene motorrijder kan de hele afstand tussen deze steden in 6 uur afleggen, de ander in 5 uur. Hoeveel uur na vertrek ontmoeten de motorrijders elkaar? (Het antwoord wordt afgerond op het dichtstbijzijnde uur.)
544. 1) Drie voertuigen met verschillende laadcapaciteit kunnen een lading vervoeren, afzonderlijk werkend: de eerste in 10 uur, de tweede in 12 uur. en de derde in 15 uur. In hoeveel uur kunnen ze samen dezelfde lading vervoeren?
2) Twee treinen vertrekken gelijktijdig vanuit twee stations richting elkaar: de eerste trein legt de afstand tussen deze stations af in 12 1/2 uur, en de tweede in 18 3/4 uur. Hoeveel uur na vertrek ontmoeten de treinen elkaar?
545. 1) Op het bad zijn twee kranen aangesloten. Via de ene is het bad in 12 minuten gevuld, via de andere 1 1/2 keer sneller. Hoeveel minuten duurt het om 5/6 van de hele badkuip te vullen als je beide kranen tegelijk opent?
2) Twee typisten moeten het manuscript overtypen. De eerste bestuurder kan dit werk in 3 1/3 dag voltooien, en de tweede 1 1/2 keer sneller. Hoeveel dagen zullen beide typisten nodig hebben om de klus te klaren als ze tegelijkertijd werken?
546. 1) Het zwembad is met de eerste buis in 5 uur gevuld en via de tweede buis kan het in 6 uur geleegd worden. Na hoeveel uur is het hele zwembad gevuld als beide leidingen tegelijkertijd worden geopend?
Opmerking: Binnen een uur is het zwembad gevuld tot (1/5 - 1/6 van de capaciteit).
2) Twee tractoren ploegden het veld in 6 uur. De eerste tractor, die alleen werkte, zou dit veld in 15 uur kunnen ploegen. Hoeveel uur zou de tweede tractor, die alleen werkte, nodig hebben om dit veld te ploegen?
547 *. Twee treinen vertrekken gelijktijdig vanuit twee stations naar elkaar toe en ontmoeten elkaar na 18 uur. na zijn vrijlating. Hoe lang doet de tweede trein erover om de afstand tussen stations af te leggen als de eerste trein deze afstand in 1 dag en 21 uur aflegt?
548 *. Het zwembad is gevuld met twee buizen. Eerst openden ze de eerste pijp, en na 3 3/4 uur, toen de helft van het zwembad gevuld was, openden ze de tweede pijp. Na 2 1/2 uur samen werken was het zwembad vol. Bepaal de capaciteit van het zwembad als er 200 emmers water per uur door de tweede leiding worden gegoten.
549. 1) Een koerierstrein vertrok van Leningrad naar Moskou en legt 1 km af in 3/4 minuten. Een half uur nadat deze trein Moskou verliet, vertrok een snelle trein vanuit Moskou naar Leningrad, waarvan de snelheid gelijk was aan 3/4 van de snelheid van de sneltrein. Op welke afstand zullen de treinen 2 1/2 uur nadat de koerierstrein vertrekt van elkaar verwijderd zijn, als de afstand tussen Moskou en Leningrad 650 km bedraagt?
2) Van de collectieve boerderij naar de stad 24 km. Een vrachtwagen verlaat de collectieve boerderij en legt 1 km af in 2 1/2 minuut. Na 15 minuten. Nadat deze auto de stad had verlaten, reed een fietser naar de collectieve boerderij, met een snelheid die half zo snel was als de snelheid van de vrachtwagen. Hoe lang na het vertrek komt de fietser de vrachtwagen tegen?
550. 1) Een voetganger kwam uit één dorp. 4 1/2 uur nadat de voetganger was vertrokken, reed er een fietser in dezelfde richting, waarvan de snelheid 2 1/2 maal de snelheid van de voetganger was. Hoeveel uur nadat de voetganger is vertrokken, haalt de fietser hem in?
2) Een snelle trein legt 187 1/2 km af in 3 uur, en een goederentrein legt 288 km af in 6 uur. 7 1/4 uur nadat de goederentrein vertrekt, vertrekt er een ambulance in dezelfde richting. Hoe lang duurt het voordat de sneltrein de goederentrein heeft ingehaald?
551. 1) Vanaf twee collectieve boerderijen waar de weg naar het regionale centrum doorheen loopt, reden twee collectieve boeren tegelijkertijd te paard naar de wijk. De eerste van hen reisde 8 3/4 km per uur, en de tweede was 1 1/7 keer meer dan de eerste. De tweede collectieve boer haalde de eerste na 3 4/5 uur in. Bepaal de afstand tussen collectieve boerderijen.
2) 26 1/3 uur na het vertrek van de trein Moskou-Vladivostok, waarvan de gemiddelde snelheid 60 km per uur was, vertrok een TU-104-vliegtuig in dezelfde richting, met een snelheid die 14 1/6 keer de snelheid was van de trein. Hoeveel uur na vertrek haalt het vliegtuig de trein in?
552. 1) De afstand tussen steden langs de rivier bedraagt 264 km. De stoomboot legde deze afstand stroomafwaarts af in 18 uur, waarbij hij 1/12 van deze tijd stopte. De snelheid van de rivier is 1 1/2 km per uur. Hoe lang zou een stoomschip nodig hebben om 87 km af te leggen zonder te stoppen in stilstaand water?
2) Een motorboot legde 207 km af langs de rivier in 13 1/2 uur en bracht 1/9 van deze tijd door met tussenstops. De snelheid van de rivier is 1 3/4 km per uur. Hoeveel kilometer kan deze boot in stilstaand water afleggen in 2 1/2 uur?
553. De boot legde een afstand van 52 km over het stuwmeer af zonder te stoppen in 3 uur en 15 minuten. Verder, varend tegen de stroom in, met een snelheid van 1 3/4 km per uur, legde deze boot 28 1/2 km af in 2 1/4 uur, waarbij hij 3 stops van gelijke duur maakte. Hoeveel minuten wachtte de boot bij elke stop?
554. Van Leningrad naar Kronstadt om 12 uur. De stoomboot vertrok in de middag en legde de hele afstand tussen deze steden af in 1 1/2 uur. Onderweg ontmoette hij een ander schip dat om 12.18 uur vanuit Kronstadt naar Leningrad vertrok. en lopen met 1 1/4 keer de snelheid van de eerste. Op welk tijdstip ontmoetten de twee schepen elkaar?
555. De trein moest in 14 uur een afstand van 630 km afleggen. Nadat hij 2/3 van deze afstand had afgelegd, werd hij 1 uur en 10 minuten vastgehouden. Met welke snelheid moet hij zijn reis voortzetten om zonder vertraging zijn bestemming te bereiken?
556. Om 04:20 uur In de ochtend vertrok een goederentrein van Kiev naar Odessa met een gemiddelde snelheid van 31 1/5 km per uur. Na enige tijd kwam er een posttrein uit Odessa om hem te ontmoeten, waarvan de snelheid 1 17/39 keer hoger was dan de snelheid van een goederentrein, en ontmoette de goederentrein 6 1/2 uur na zijn vertrek. Hoe laat vertrok de posttrein uit Odessa, als de afstand tussen Kiev en Odessa 663 km bedraagt?
557*. De klok geeft middag aan. Hoe lang duurt het voordat de uren- en minutenwijzers samenvallen?
558. 1) De fabriek heeft drie werkplaatsen. Het aantal arbeiders in de eerste werkplaats is 9/20 van alle arbeiders van de fabriek, in de tweede werkplaats zijn er 1 1/2 keer minder arbeiders dan in de eerste, en in de derde werkplaats zijn er 300 minder arbeiders dan in de eerste werkplaats. seconde. Hoeveel werknemers zijn er in de fabriek?
2) Er zijn drie middelbare scholen in de stad. Het aantal leerlingen in de eerste school bedraagt 3/10 van alle leerlingen in deze drie scholen; in de tweede school zijn er anderhalf keer meer leerlingen dan in de eerste, en in de derde school zijn er 420 minder leerlingen dan in de tweede. Hoeveel leerlingen zijn er op de drie scholen?
559. 1) Twee maaidorsers werkten in hetzelfde gebied. Nadat de ene combiner 9/16 van het hele perceel had geoogst en de tweede 3/8 van hetzelfde perceel, bleek dat de eerste combiner 97 1/2 hectare meer had geoogst dan de tweede. Gemiddeld werd van elke hectare 32 1/2 kwintaal graan gedorst. Hoeveel centen graan heeft elke maaidorser gedorst?
2) Twee broers kochten een camera. De ene had 5/8, en de tweede 4/7 van de kosten van de camera, en de eerste had 2 roebel. 25 kopeken meer dan de tweede. Iedereen betaalde de helft van de kosten van het apparaat. Hoeveel geld heeft iedereen nog?
560. 1) Een personenauto verlaat stad A naar stad B, de onderlinge afstand bedraagt 215 km, met een snelheid van 50 km per uur. Tegelijkertijd verliet een vrachtwagen stad B naar stad A. Hoeveel kilometer heeft de personenauto afgelegd voordat hij de vrachtwagen tegenkwam, als de snelheid van de vrachtwagen per uur 18/25 was van de snelheid van de personenauto?
2) Tussen steden A en B 210 km. Een personenauto vertrok vanuit stad A naar stad B. Tegelijkertijd verliet een vrachtwagen stad B naar stad A. Hoeveel kilometer heeft de vrachtwagen afgelegd voordat hij de personenauto tegenkwam, als de personenauto een snelheid van 48 km per uur reed en de snelheid van de vrachtwagen per uur 3/4 was van de snelheid van de personenauto?
561. De collectieve boerderij oogstte tarwe en rogge. Er werd 20 hectare meer met tarwe ingezaaid dan met rogge. De totale roggeoogst bedroeg 5/6 van de totale tarweoogst met een opbrengst van 20 c per 1 ha voor zowel tarwe als rogge. De collectieve boerderij verkocht 7/11 van de gehele oogst van tarwe en rogge aan de staat, en liet de rest van het graan over om in zijn behoeften te voorzien. Hoeveel ritten moesten de vrachtwagens van twee ton maken om het aan de staat verkochte brood af te halen?
562. Rogge- en tarwemeel werden naar de bakkerij gebracht. Het gewicht van tarwemeel was 3/5 van het gewicht van roggemeel, en er werd 4 ton meer roggemeel aangevoerd dan tarwemeel. Hoeveel tarwe- en hoeveel roggebrood gaat de bakkerij van dit meel bakken als de bakproducten 2/5 van de totale bloem uitmaken?
563. Binnen drie dagen voltooide een team van arbeiders driekwart van de werkzaamheden aan het herstel van de snelweg tussen de twee collectieve boerderijen. Op de eerste dag werd 2 2/5 km van deze snelweg gerepareerd, op de tweede dag 1 1/2 keer meer dan op de eerste, en op de derde dag 5/8 van wat in de eerste twee dagen samen werd gerepareerd. Bereken de lengte van de snelweg tussen collectieve boerderijen.
564. Vul de lege ruimtes in de tabel in, waarbij S de oppervlakte van de rechthoek is, A- de basis van de rechthoek, a H-hoogte (breedte) van de rechthoek.
565. 1) De lengte van een rechthoekig stuk grond is 120 m, en de breedte van het perceel is 2/5 van de lengte. Zoek de omtrek en oppervlakte van de site.
2) De breedte van het rechthoekige gedeelte is 250 m en de lengte is 1 1/2 maal de breedte. Zoek de omtrek en oppervlakte van de site.
566. 1) De omtrek van de rechthoek is 6 1/2 inch, de basis is 1/4 inch groter dan de hoogte. Zoek de oppervlakte van deze rechthoek.
2) De omtrek van de rechthoek is 18 cm, de hoogte is 2 1/2 cm minder dan de basis. Zoek het gebied van de rechthoek.
567. Bereken de oppervlakten van de figuren in Figuur 30 door ze in rechthoeken te verdelen en door meting de afmetingen van de rechthoek te bepalen.
568. 1) Hoeveel vellen droog gips zijn nodig om het plafond te bedekken van een kamer met een lengte van 4 1/2 m en een breedte van 4 m, als de afmetingen van de gipsplaat 2 m x l 1/2 m zijn?
2) Hoeveel planken van 4 1/2 m lang en 1/4 m breed zijn er nodig om een vloer van 4 1/2 m lang en 3 1/2 m breed te leggen?
569. 1) Een rechthoekig perceel van 560 m lang en 3/4 van de lengte breed werd met bonen ingezaaid. Hoeveel zaden waren er nodig om het perceel in te zaaien als er 1 cent per 1 hectare werd gezaaid?
2) Op een rechthoekig veld werd een tarweoogst van 25 kwintaal per hectare verzameld. Hoeveel tarwe is er van het hele veld geoogst als de lengte van het veld 800 m is en de breedte 3/8 van de lengte?
570 . 1) Een rechthoekig stuk grond, 78 3/4 m lang en 56 4/5 m breed, is zo bebouwd dat 4/5 van de oppervlakte door gebouwen wordt ingenomen. Bepaal het stuk land onder de gebouwen.
2) Op een rechthoekig perceel met een lengte van 9/20 km en een breedte van 4/9 van de lengte, wil de collectieve boerderij een tuin aanleggen. Hoeveel bomen worden er in deze tuin geplant als er voor elke boom een gemiddelde oppervlakte van 36 m² nodig is?
571. 1) Voor normale daglichtverlichting van de kamer is het noodzakelijk dat de oppervlakte van alle ramen minimaal 1/5 van het vloeroppervlak bedraagt. Bepaal of er voldoende licht is in een kamer met een lengte van 5 1/2 m en een breedte van 4 m. Heeft de kamer één raam van 1 1/2 m x 2 m?
2) Ga aan de hand van de voorwaarde uit het vorige probleem na of er voldoende licht is in uw klaslokaal.
572. 1) De schuur heeft de afmetingen 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m. Hoeveel hooi (in gewicht) past er in deze schuur als deze tot 3/4 van de hoogte gevuld is en 1 cu. . m hooi 82 kg weegt?
2) De houtstapel heeft de vorm van een rechthoekig parallellepipedum, waarvan de afmetingen 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m zijn, wat het gewicht van de houtstapel is als het 1 kubieke meter is. m brandhout weegt 600 kg?
573. 1) Een rechthoekig aquarium is tot 3/5 van de hoogte gevuld met water. De lengte van het aquarium is 1 1/2 m, breedte 4/5 m, hoogte 3/4 m. Hoeveel liter water wordt er in het aquarium gegoten?
2) Een zwembad in de vorm van een rechthoekig parallellepipedum heeft een lengte van 6 1/2 m, een breedte van 4 m en een hoogte van 2 m. Het is gevuld met water tot 3/4 van de hoogte. Bereken de hoeveelheid water die in het zwembad is gegoten.
574. Rond een rechthoekig stuk grond van 75 m lang en 45 m breed moet een hekwerk worden geplaatst. Hoeveel kubieke meter planken moet er in de constructie worden gestopt als de dikte van de plank 2 1/2 cm is en de hoogte van het hek 2 1/4 m moet zijn?
575. 1) Wat is de hoek tussen de minutenwijzer en de uurwijzer op 13 uur? om 15 uur? om 17 uur? om 21 uur? om 23:30 uur?
2) Hoeveel graden draait de uurwijzer in 2 uur? 5 uur? 8 uur? 30 minuten.?
3) Hoeveel graden bevat een boog gelijk aan een halve cirkel? 1/4 cirkel? 1/24 van een cirkel? 5/24 cirkels?
576. 1) Teken met behulp van een gradenboog: a) een rechte hoek; b) een hoek van 30°; c) een hoek van 60°; d) hoek van 150°; e) een hoek van 55°.
2) Meet met behulp van een gradenboog de hoeken van de figuur en bepaal de som van alle hoeken van elke figuur (Fig. 31).
577. Volg deze stappen:
578. 1) De halve cirkel is verdeeld in twee bogen, waarvan de ene 100° groter is dan de andere. Zoek de grootte van elke boog.
2) De halve cirkel is verdeeld in twee bogen, waarvan de ene 15° kleiner is dan de andere. Zoek de grootte van elke boog.
3) De halve cirkel is verdeeld in twee bogen, waarvan de ene twee keer zo groot is als de andere. Zoek de grootte van elke boog.
4) De halve cirkel is verdeeld in twee bogen, waarvan de ene vijf keer kleiner is dan de andere. Zoek de grootte van elke boog.
579. 1) Het diagram "Bevolkingsgeletterdheid in de USSR" (Fig. 32) toont het aantal geletterde mensen per honderd mensen van de bevolking. Bepaal op basis van de gegevens in het diagram en de schaal ervan het aantal geletterde mannen en vrouwen voor elk van de aangegeven jaren.
Schrijf de resultaten in de tabel:
2) Maak taken aan met behulp van de gegevens uit het diagram "Sovjet-gezanten in de ruimte" (Fig. 33).
580. 1) Vul volgens het cirkeldiagram "Dagelijkse routine voor een leerling van groep 5" (Fig. 34) de tabel in en beantwoord de vragen: welk deel van de dag wordt besteed aan slaap? voor huiswerk? naar school?
2) Maak een cirkeldiagram over uw dagelijkse routine.
In dit gedeelte worden bewerkingen met gewone breuken behandeld. Als het nodig is een wiskundige bewerking met gemengde getallen uit te voeren, volstaat het om de gemengde breuk om te zetten in een buitengewone breuk, de noodzakelijke bewerkingen uit te voeren en, indien nodig, het eindresultaat opnieuw te presenteren in de vorm van een gemengd getal . Deze operatie zal hieronder worden beschreven.
Een fractie verkleinen
Wiskundige operatie. Een fractie verkleinen
Om de breuk \frac(m)(n) te verkleinen, moet je de grootste gemene deler van de teller en de noemer vinden: ggd(m,n), en vervolgens de teller en de noemer van de breuk delen door dit getal. Als GCD(m,n)=1, kan de breuk niet worden verkleind. Voorbeeld: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)
Meestal lijkt het onmiddellijk vinden van de grootste gemene deler een moeilijke taak, en in de praktijk wordt een breuk in verschillende fasen verkleind, waarbij stap voor stap voor de hand liggende gemeenschappelijke factoren worden geïsoleerd van de teller en de noemer. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)
Breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer
Wiskundige operatie. Breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer
Om twee breuken \frac(a)(b) en \frac(c)(d) tot een gemeenschappelijke noemer te brengen heb je nodig:
- vind het kleinste gemene veelvoud van de noemers: M=LMK(b,d);
- vermenigvuldig de teller en de noemer van de eerste breuk met M/b (waarna de noemer van de breuk gelijk wordt aan het getal M);
- vermenigvuldig de teller en de noemer van de tweede breuk met M/d (waarna de noemer van de breuk gelijk wordt aan het getal M).
We transformeren dus de oorspronkelijke breuken naar breuken met dezelfde noemers (die gelijk zijn aan het getal M).
De breuken \frac(5)(6) en \frac(4)(9) hebben bijvoorbeeld LCM(6,9) = 18. Dan: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . De resulterende breuken hebben dus een gemeenschappelijke noemer.
In de praktijk is het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM) van noemers niet altijd een eenvoudige taak. Daarom wordt als gemeenschappelijke noemer een getal gekozen dat gelijk is aan het product van de noemers van de oorspronkelijke breuken. De breuken \frac(5)(6) en \frac(4)(9) worden bijvoorbeeld gereduceerd tot een gemeenschappelijke noemer N=6\cdot9:
\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)
Vergelijking van breuken
Wiskundige operatie. Vergelijking van breuken
Om twee gewone breuken te vergelijken heb je nodig:
- vergelijk de tellers van de resulterende breuken; een breuk met een grotere teller zal groter zijn.
Bij het vergelijken van breuken zijn er verschillende speciale gevallen:
- Uit twee fracties met dezelfde noemers De breuk waarvan de teller groter is, is groter. Bijvoorbeeld \frac(3)(15)
- Uit twee fracties met dezelfde tellers Hoe groter is de breuk waarvan de noemer kleiner is. Bijvoorbeeld \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
- Die fractie die tegelijkertijd grotere teller en kleinere noemer, meer. Bijvoorbeeld \frac(11)(3)>\frac(10)(8)
Aandacht! Regel 1 is van toepassing op alle breuken als hun gemeenschappelijke noemer een positief getal is. Regels 2 en 3 zijn van toepassing op positieve breuken (waarbij zowel de teller als de noemer groter dan nul zijn).
Breuken optellen en aftrekken
Wiskundige operatie. Breuken optellen en aftrekken
Om twee breuken op te tellen heb je nodig:
- breng ze onder een gemeenschappelijke noemer;
- tel de tellers op en laat de noemer ongewijzigd.
Voorbeeld: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)
Om een andere van een breuk af te trekken, heb je het volgende nodig:
- breuken terugbrengen tot een gemeenschappelijke noemer;
- Trek de teller van de tweede breuk af van de teller van de eerste breuk en laat de noemer ongewijzigd.
Voorbeeld: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)
Als de oorspronkelijke breuken aanvankelijk een gemeenschappelijke noemer hebben, wordt stap 1 (herleiden tot een gemeenschappelijke noemer) overgeslagen.
Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk en omgekeerd
Wiskundige operatie. Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk en omgekeerd
Om een gemengde breuk om te zetten in een onechte breuk, telt u eenvoudigweg het hele deel van de gemengde breuk op bij het breukdeel. Het resultaat van een dergelijke som is een onechte breuk, waarvan de teller gelijk is aan de som van het product van het hele deel door de noemer van de breuk met de teller van de gemengde breuk, en de noemer blijft hetzelfde. Bijvoorbeeld 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)
Om een onechte breuk om te zetten in een gemengd getal:
- deel de teller van een breuk door de noemer;
- schrijf de rest van de deling in de teller en laat de noemer hetzelfde;
- schrijf het resultaat van de deling als een geheel getal.
Bijvoorbeeld de breuk \frac(23)(4) . Bij deling 23:4=5,75, dat wil zeggen dat het hele deel 5 is, is de rest van de deling 23-5*4=3. Vervolgens wordt het gemengde getal geschreven: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)
Een decimaal getal omzetten in een breuk
Wiskundige operatie. Een decimaal getal omzetten in een breuk
Om een decimale breuk om te zetten in een gewone breuk, moet je:
- neem de n-de macht van tien als noemer (hier is n het aantal decimalen);
- neem als teller het getal achter de komma (als het gehele deel van het oorspronkelijke getal niet gelijk is aan nul, neem dan ook alle voorafgaande nullen);
- het gehele deel dat niet nul is, wordt helemaal aan het begin in de teller geschreven; het geheeltallige deel nul wordt weggelaten.
Voorbeeld 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (er zijn 4 decimalen, dus de noemer heeft 10 4 =10000, aangezien het gehele deel 0 is, bevat de teller het getal na de komma zonder voorafgaande nullen)
Voorbeeld 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (in de teller schrijven we het getal achter de komma met allemaal nullen: “0109”, en daarvoor voegen we het hele deel van het oorspronkelijke getal “31” toe)
Als het hele deel van een decimale breuk niet nul is, kan deze worden omgezet in een gemengde breuk. Om dit te doen, converteren we het getal naar een gewone breuk alsof het hele deel gelijk is aan nul (punten 1 en 2), en herschrijven we eenvoudig het hele deel vóór de breuk - dit zal het hele deel van het gemengde getal zijn . Voorbeeld:
3.014=3\frac(14)(100)
Om een breuk naar een decimaal getal om te zetten, deelt u eenvoudigweg de teller door de noemer. Soms eindig je met een oneindig decimaalteken. In dit geval is het noodzakelijk om af te ronden op het gewenste decimaal. Voorbeelden:
\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\circa 0,6667
Breuken vermenigvuldigen en delen
Wiskundige operatie. Breuken vermenigvuldigen en delen
Om twee gewone breuken te vermenigvuldigen, moet je de tellers en noemers van de breuken vermenigvuldigen.
\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)
Om de ene gemeenschappelijke breuk door de andere te delen, moet je de eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede ( wederkerige breuk- een breuk waarbij de teller en de noemer worden verwisseld.
\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)
Als een van de breuken een natuurlijk getal is, blijven de bovenstaande regels voor vermenigvuldigen en delen van kracht. U hoeft er alleen maar rekening mee te houden dat een geheel getal dezelfde breuk is, waarvan de noemer gelijk is aan één. Bijvoorbeeld: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7