Wat zijn voorbeelden van rationale en irrationele getallen. Wat zijn rationale en irrationele getallen

- π

Zo hebben veel ir rationele nummers er is een verschil ik = R ∖ Q (\ Displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q) ) verzamelingen van reële en rationale getallen.

Het bestaan van irrationele getallen, preciezer: segmenten die niet vergelijkbaar zijn met een segment van eenheidslengte, was al bekend bij oude wiskundigen: ze kenden bijvoorbeeld de incommensurabiliteit van de diagonaal en de zijde van een vierkant, wat gelijkwaardig is aan de irrationaliteit van het nummer 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Eigenschappen

De som van twee positieve irrationele getallen kan een rationeel getal zijn.
Irrationele nummers definieer Dedekind-secties in de reeks rationale getallen die niet het grootste getal hebben in de lagere klasse en niet het kleinste getal hebben in de hogere klasse.
De reeks irrationele getallen is overal op de getallenlijn compact: tussen twee willekeurige getallen verschillende nummers er is een irrationeel getal.
De volgorde van de verzameling irrationele getallen is isomorf met de volgorde van de verzameling reële transcendentale getallen. [ ]

Algebraïsche en transcendentale getallen

Elk irrationeel getal is algebraïsch of transcendentaal. De verzameling algebraïsche getallen is een telbare verzameling. Omdat de verzameling reële getallen ontelbaar is, is de verzameling irrationele getallen ook ontelbaar.

De reeks irrationele getallen is een reeks van de tweede categorie.

Laten we de veronderstelde gelijkheid kwadrateren:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Pijl naar rechts 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Pijl naar rechts m^(2)=2n^(2)).

Verhaal

Oudheid

Het concept van irrationele getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (ca. 750-690 voor Christus) erachter kwam dat wortels sommige natuurlijke cijfers, zoals 2 en 61, kunnen niet expliciet worden uitgedrukt [ ] .

Het eerste bewijs van het bestaan van irrationele getallen, of beter gezegd het bestaan van incommensurabele segmenten, wordt gewoonlijk toegeschreven aan de Pythagoras Hippasus van Metapontum (ongeveer 470 v.Chr.). In de tijd van de Pythagoreeërs geloofde men dat er één enkele lengte-eenheid bestond, voldoende klein en ondeelbaar, die een geheel aantal keren in elk segment omvatte. ] .

Er zijn geen exacte gegevens over welk getal door Hippasus irrationeel werd bewezen. Volgens de legende vond hij het door de lengtes van de zijden van het pentagram te bestuderen. Daarom is het redelijk om aan te nemen dat dit de gulden snede was, aangezien dit de verhouding is van de diagonaal tot de zijkant in een regelmatige vijfhoek.

Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensurabele hoeveelheden alogo's(onuitsprekelijk), maar volgens de legenden betoonden ze Hippasus niet het nodige respect. Er is een legende dat Hippasus de ontdekking deed tijdens een zeereis en door andere Pythagoreërs overboord werd gegooid ‘omdat hij een element van het universum had gecreëerd dat de doctrine ontkent dat alle entiteiten in het universum kunnen worden gereduceerd tot gehele getallen en hun verhoudingen’. De ontdekking van Hippasus daagde de wiskunde van Pythagoras uit serieus probleem, waardoor de onderliggende aanname van de hele theorie wordt vernietigd dat getallen en geometrische objecten één en onafscheidelijk zijn.

Later ontwikkelde Eudoxus van Cnidus (410 of 408 v.Chr. - 355 of 347 v.Chr.) een theorie van verhoudingen die rekening hield met zowel rationele als irrationele relaties. Dit diende als basis voor het begrijpen van de fundamentele essentie van irrationele getallen. Kwantiteit begon niet als een getal te worden beschouwd, maar als een aanduiding van entiteiten, zoals lijnsegmenten, hoeken, gebieden, volumes, tijdsintervallen - entiteiten die voortdurend kunnen veranderen (in de moderne zin van het woord). Grootheden werden gecontrasteerd met getallen, die alleen kunnen veranderen door “sprongen” van het ene getal naar het volgende, bijvoorbeeld van 4 naar 5. Getallen bestaan uit de kleinste ondeelbare hoeveelheid, terwijl hoeveelheden voor onbepaalde tijd kunnen worden verminderd.

Omdat er geen kwantitatieve waarde gecorreleerd was met de grootte, kon Eudoxus zowel evenredige als incommensurabele grootheden omvatten door een breuk te definiëren als de verhouding van twee grootheden, en proportie als de gelijkheid van twee breuken. Door kwantitatieve waarden (getallen) uit de vergelijkingen te verwijderen, omzeilde hij de valkuil dat hij een irrationele grootheid een getal moest noemen. Dankzij de theorie van Eudoxus konden Griekse wiskundigen ongelooflijke vooruitgang boeken in de meetkunde, waardoor ze de noodzakelijke logische basis kregen om met incommensurabele grootheden te werken. Het tiende boek van Euclides' Elementen is gewijd aan de classificatie van irrationele grootheden.

Middeleeuwen

De Middeleeuwen werden gekenmerkt door de adoptie van concepten als nul, negatieve getallen, gehele getallen en breuken, eerst door Indiase en vervolgens door Chinese wiskundigen. Later sloten Arabische wiskundigen zich hierbij aan en waren de eersten die negatieve getallen als algebraïsche objecten beschouwden (samen met positieve getallen), wat het mogelijk maakte de discipline te ontwikkelen die nu algebra wordt genoemd.

Arabische wiskundigen combineerden de oude Griekse concepten van ‘getal’ en ‘omvang’ tot één enkel, algemener idee van reële getallen. Ze waren kritisch over de ideeën van Euclides over relaties, ze ontwikkelden een theorie over relaties tussen willekeurige hoeveelheden en breidden het concept van getallen uit tot relaties tussen continue hoeveelheden. In zijn commentaar op Euclides 'Boek 10 Elementen' onderzocht en classificeerde de Perzische wiskundige Al Makhani (ca. 800 CE) kwadratische irrationele getallen (getallen van de vorm) en de meer algemene kubieke irrationele getallen. Hij definieerde rationele en irrationele grootheden, die hij irrationele getallen noemde. Hij opereerde gemakkelijk met deze objecten, maar sprak er bijvoorbeeld over als afzonderlijke objecten:

In tegenstelling tot het concept van Euclides dat hoeveelheden in de eerste plaats lijnsegmenten zijn, beschouwde Al Makhani gehele getallen en breuken als rationele hoeveelheden, en vierkante en derdemachtswortels als irrationeel. Hij introduceerde ook de rekenkundige benadering van de reeks irrationele getallen, aangezien hij het was die de irrationaliteit van de volgende grootheden aantoonde:

De Egyptische wiskundige Abu Kamil (ca. 850 CE - ca. 930 CE) was de eerste die het acceptabel vond om irrationele getallen als oplossingen te erkennen kwadratische vergelijkingen of coëfficiënten in vergelijkingen - voornamelijk in de vorm van vierkante of kubieke wortels, evenals wortels van de vierde graad. In de 10e eeuw ontstond de Iraakse wiskundige Al Hashimi algemeen bewijs(en geen visueel geometrische demonstraties) van de irrationaliteit van het product, het quotiënt en de resultaten van andere wiskundige transformaties over irrationele en rationale getallen. Al Khazin (900 n.Chr. – 971 n.Chr.) geeft de volgende definitie van rationele en irrationele kwantiteit:

Laat een eenheidshoeveelheid een of meerdere keren in een bepaalde hoeveelheid voorkomen, dan komt deze [gegeven] hoeveelheid overeen met een geheel getal ... Elke hoeveelheid die de helft, of een derde, of een kwart van een eenheidshoeveelheid is, of, wanneer vergeleken met een eenheidshoeveelheid, is drie vijfde daarvan een rationele hoeveelheid. En in het algemeen is elke hoeveelheid die gerelateerd is aan een eenheid zoals het ene getal aan het andere is, rationeel. Als een grootheid niet kan worden weergegeven als meerdere of een deel (l/n), of meerdere delen (m/n) van een lengte-eenheid, is ze irrationeel, dat wil zeggen, niet uit te drukken behalve met behulp van wortels.

Veel van deze ideeën werden later door Europese wiskundigen overgenomen na de vertaling van Arabische teksten in het Latijn in de 12e eeuw. Al Hassar, een Arabische wiskundige uit de Maghreb die gespecialiseerd was in islamitische erfwetten, introduceerde in de 12e eeuw de moderne symbolische wiskundige notatie voor breuken, waarbij de teller en de noemer werden gedeeld door een horizontale balk. Dezelfde notatie verscheen vervolgens in de werken van Fibonacci in de 13e eeuw. Tijdens de XIV-XVI eeuw. Madhava van Sangamagrama en vertegenwoordigers van de Kerala School of Astronomy and Mathematics deden onderzoek eindeloze rijen, convergerend naar enkele irrationele getallen, bijvoorbeeld naar π, en toonde ook de irrationaliteit van sommige trigonometrische functies. Jestadeva presenteerde deze resultaten in het boek Yuktibhaza. (waarmee tegelijkertijd het bestaan van transcendentale getallen wordt bewezen), waardoor het werk van Euclides over de classificatie van irrationele getallen wordt heroverwogen. Werken over dit onderwerp werden gepubliceerd in 1872

Kettingbreuken, nauw verwant aan irrationele getallen (een kettingbreuk die een bepaald getal vertegenwoordigt is oneindig als en slechts als het getal irrationeel is), werden voor het eerst onderzocht door Cataldi in 1613 en kwamen vervolgens opnieuw onder de aandacht in het werk van Euler, en in begin XIX eeuw - in de werken van Lagrange. Dirichlet heeft ook belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van de theorie van kettingbreuken. In 1761 gebruikte Lambert kettingbreuken om dat aan te tonen π (\ Displaystyle \ pi ) is geen rationaal getal, en ook dat e X (\displaystyle e^(x)) En tg ⁡ X (\displaystyle \operatornaam (tg) x) zijn irrationeel voor elk niet-nul rationeel x (\displaystyle x). Hoewel Lamberts bewijs onvolledig kan worden genoemd, wordt het over het algemeen als behoorlijk rigoureus beschouwd, vooral gezien de tijd waarin het werd geschreven. Legendre toonde dat in 1794 aan, na de introductie van de Bessel-Clifford-functie π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) irrationeel, waar komt irrationaliteit vandaan? π (\ Displaystyle \ pi ) volgt triviaal (een rationeel getal in het kwadraat zou een rationeel getal opleveren).

Het bestaan van transcendentale getallen werd door Liouville in 1844-1851 bewezen. Later toonde Georg Cantor (1873) hun bestaan aan met behulp van een andere methode, en voerde aan dat elk interval van de reële reeks een oneindig aantal transcendentale getallen bevat. Charles Hermite bewees dat in 1873 e transcendentaal, en Ferdinand Lindemann toonde in 1882, op basis van dit resultaat, transcendentie π (\ Displaystyle \ pi ) Literatuur

De abstractheid van wiskundige concepten straalt soms zoveel onthechting uit dat onwillekeurig de gedachte opkomt: “Waarom is dit allemaal?” Maar ondanks de eerste indruk zijn alle stellingen, rekenkundige bewerkingen, functies, enz. - niets meer dan een verlangen om in basisbehoeften te voorzien. Dit is vooral duidelijk te zien in het voorbeeld van het uiterlijk van verschillende sets.

Het begon allemaal met het verschijnen van natuurlijke getallen. En hoewel het onwaarschijnlijk is dat nu iemand zal kunnen antwoorden hoe het precies was, groeien de benen van de koningin der wetenschappen hoogstwaarschijnlijk ergens in de grot. Hier, bij het analyseren van het aantal huiden, stenen en stamleden, heeft een persoon veel ‘getallen om te tellen’. En dat was genoeg voor hem. Tot een bepaald punt natuurlijk.

Vervolgens moesten de huiden en stenen worden verdeeld en afgevoerd. Zo ontstond de behoefte aan rekenkundige bewerkingen, en daarmee aan rationele, die kunnen worden gedefinieerd als een breuk zoals m/n, waarbij bijvoorbeeld m het aantal huiden is en n het aantal stamgenoten.

Het lijkt erop dat het reeds ontdekte wiskundige apparaat voldoende is om van het leven te genieten. Maar al snel bleek dat er gevallen zijn waarin het resultaat niet alleen geen geheel getal is, maar zelfs geen breuk! En inderdaad, de vierkantswortel van twee kan op geen enkele andere manier worden uitgedrukt met behulp van een teller en een noemer. Of bijvoorbeeld het bekende getal Pi, ontdekt door de oude Griekse wetenschapper Archimedes, is ook niet rationeel. En in de loop van de tijd werden dergelijke ontdekkingen zo talrijk dat alle getallen die niet ‘gerationaliseerd’ konden worden, werden gecombineerd en irrationeel werden genoemd.

Eigenschappen

De eerder besproken sets behoren tot een reeks fundamentele concepten van de wiskunde. Dit betekent dat ze niet kunnen worden gedefinieerd via eenvoudigere wiskundige objecten. Maar dit kan gedaan worden met behulp van categorieën (van het Griekse ‘uitspraken’) of postulaten. In dit geval was het het beste om de eigenschappen van deze sets aan te geven.

o Irrationele getallen definiëren Dedekind-uitsnijdingen in de reeks rationale getallen die niet het grootste getal in het onderste getal hebben en niet het kleinste getal in het bovenste getal.

o Elk transcendentaal getal is irrationeel.

o Elk irrationaal getal is algebraïsch of transcendentaal.

o De reeks getallen is overal op de getallenlijn compact: tussen alle getallen bevindt zich een irrationeel getal.

o De set is ontelbaar en behoort tot de tweede Baire-categorie.

o Deze verzameling is geordend, dat wil zeggen dat je voor elke twee verschillende rationale getallen a en b kunt aangeven welke kleiner is dan de andere.
o Tussen elke twee verschillende rationale getallen zit er minstens één meer, en dus een oneindig aantal rationale getallen.

o Rekenkundige bewerkingen (optellen, vermenigvuldigen en delen) op twee willekeurige rationale getallen zijn altijd mogelijk en resulteren in een bepaald rationeel getal. De uitzondering is delen door nul, wat onmogelijk is.

o Elk rationaal getal kan worden weergegeven als decimale(eindig of oneindig periodiek).

De oude wiskundigen wisten al van een segment met een lengte-eenheid: ze kenden bijvoorbeeld de incommensurabiliteit van de diagonaal en de zijde van het vierkant, wat overeenkomt met de irrationaliteit van het getal.

Irrationeel zijn:

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven in de vorm van een onherleidbare breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Laten we de veronderstelde gelijkheid kwadrateren:

Hieruit volgt dat even even en is. Laat het zijn waar het geheel is. Dan

Daarom betekent zelfs zelfs en . We hebben gevonden dat en even zijn, wat in tegenspraak is met de onherleidbaarheid van de breuk . Dit betekent dat de oorspronkelijke aanname onjuist was en dat het een irrationeel getal is.

Binaire logaritme van het getal 3

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Sinds , en kan positief worden gekozen. Dan

Maar even en vreemd. We krijgen een tegenspraak.

e

Verhaal

Het concept van irrationele getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (ca. 750 voor Christus - ca. 690 voor Christus) erachter kwam dat de vierkantswortels van sommige natuurlijke getallen, zoals 2 en 61, niet expliciet kunnen worden uitgedrukt. .

Het eerste bewijs van het bestaan van irrationele getallen wordt gewoonlijk toegeschreven aan Hippasus van Metapontus (ca. 500 v.Chr.), een Pythagoreër die dit bewijs vond door de lengtes van de zijden van het pentagram te bestuderen. In de tijd van de Pythagoreeërs geloofde men dat er één enkele lengte-eenheid bestond, voldoende klein en ondeelbaar, die een geheel aantal keren in elk segment terechtkwam. Hippasus voerde echter aan dat er geen enkele lengte-eenheid bestaat, aangezien de aanname van het bestaan ervan tot een tegenstrijdigheid leidt. Hij toonde aan dat als de hypotenusa van een gelijkbenige is rechthoekige driehoek een geheel aantal eenheidssegmenten bevat, dan moet dit aantal zowel even als oneven zijn. Het bewijs zag er als volgt uit:

De verhouding tussen de lengte van de hypotenusa en de lengte van het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek kan worden uitgedrukt als A:B, Waar A En B zo klein mogelijk gekozen.
Volgens de stelling van Pythagoras: A² = 2 B².
Omdat A- zelfs, A moet even zijn (aangezien het kwadraat van een oneven getal oneven zou zijn).
Omdat de A:B onherleidbaar B moet vreemd zijn.
Omdat A zelfs, duiden wij aan A = 2j.
Dan A² = 4 j² = 2 B².
B² = 2 j² dus B- zelfs dan B zelfs.
Het is echter bewezen dat B vreemd. Tegenspraak.

Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensurabele hoeveelheden alogo's(onuitsprekelijk), maar volgens de legenden betoonden ze Hippasus niet het nodige respect. Er is een legende dat Hippasus de ontdekking deed tijdens een zeereis en door andere Pythagoreërs overboord werd gegooid ‘omdat hij een element van het universum had gecreëerd dat de doctrine ontkent dat alle entiteiten in het universum kunnen worden gereduceerd tot gehele getallen en hun verhoudingen’. De ontdekking van Hippasus vormde een ernstig probleem voor de wiskunde van Pythagoras en vernietigde de onderliggende veronderstelling dat getallen en geometrische objecten één en onafscheidelijk waren.

zie ook

Opmerkingen

Numerieke systemen
Tellen sets	Natuurlijke getallen () Gehele getallen ()

Het begrijpen van getallen, vooral natuurlijke getallen, is een van de oudste wiskundige 'vaardigheden'. Veel beschavingen, zelfs moderne, hebben bepaalde eigenschappen toegeschreven mystieke eigenschappen vanwege hun enorme belang in de beschrijving van de natuur. Hoewel moderne wetenschap en de wiskunde deze ‘magische’ eigenschappen niet bevestigt, valt het belang van de getaltheorie niet te ontkennen.

Historisch gezien verscheen er eerst een verscheidenheid aan natuurlijke getallen, waarna er vrij snel breuken en positieve irrationele getallen aan werden toegevoegd. Nul- en negatieve getallen werden geïntroduceerd na deze subsets van de reeks reële getallen. De laatste reeks, de reeks complexe getallen, verscheen pas met de ontwikkeling van de moderne wetenschap.

In de moderne wiskunde worden getallen niet in historische volgorde geïntroduceerd, hoewel ze er wel dichtbij liggen.

Natuurlijke getallen $\mathbb(N)$

De verzameling natuurlijke getallen wordt vaak aangeduid als $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, en wordt vaak opgevuld met nul om $\mathbb(N)_0$ aan te duiden.

$\mathbb(N)$ definieert de bewerkingen van optellen (+) en vermenigvuldigen ($\cdot$) met de volgende eigenschappen voor elke $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ de verzameling $\mathbb(N)$ wordt gesloten onder de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ commutativiteit
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ associativiteit
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributiviteit
5. $a\cdot 1=a$ is een neutraal element voor vermenigvuldiging

Omdat de set $\mathbb(N)$ een neutraal element bevat voor vermenigvuldigen maar niet voor optellen, zorgt het toevoegen van een nul aan deze set ervoor dat deze een neutraal element voor optellen bevat.

Naast deze twee bewerkingen zijn de “kleiner dan”-relaties ($

1. $a b$ trichotomie
2. als $a\leq b$ en $b\leq a$, dan $a=b$ antisymmetrie
3. als $a\leq b$ en $b\leq c$, dan is $a\leq c$ transitief
4. als $a\leq b$ dan $a+c\leq b+c$
5. als $a\leq b$ dan $a\cdot c\leq b\cdot c$

Gehele getallen $\mathbb(Z)$

Voorbeelden van gehele getallen:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Het oplossen van de vergelijking $a+x=b$, waarbij $a$ en $b$ bekende natuurlijke getallen zijn, en $x$ een onbekend natuurlijk getal is, vereist de introductie van een nieuwe bewerking: aftrekken(-). Als er een natuurlijk getal $x$ is dat aan deze vergelijking voldoet, dan is $x=b-a$. Deze specifieke vergelijking heeft echter niet noodzakelijkerwijs een oplossing voor de verzameling $\mathbb(N)$, dus praktische overwegingen vereisen dat de verzameling natuurlijke getallen wordt uitgebreid met oplossingen voor een dergelijke vergelijking. Dit leidt tot de introductie van een reeks gehele getallen: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Aangezien $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ is het logisch om aan te nemen dat de eerder geïntroduceerde bewerkingen $+$ en $\cdot$ en de relaties $ 1. $0+a=a+0=a$ er is een neutraal element voor toevoeging
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ er is een tegengesteld getal $-a$ voor $a$

Eigenschap 5.:
5. als $0\leq a$ en $0\leq b$, dan $0\leq a\cdot b$

De verzameling $\mathbb(Z)$ wordt ook gesloten onder de aftrekkingsbewerking, dat wil zeggen $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Rationele getallen $\mathbb(Q)$

Voorbeelden van rationale getallen:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Beschouw nu vergelijkingen van de vorm $a\cdot x=b$, waarbij $a$ en $b$ bekende gehele getallen zijn, en $x$ een onbekende. Om de oplossing mogelijk te maken, is het noodzakelijk om de delingsoperatie ($:$) te introduceren, en de oplossing heeft de vorm $x=b:a$, dat wil zeggen $x=\frac(b)(a)$ . Opnieuw doet zich het probleem voor dat $x$ niet altijd tot $\mathbb(Z)$ behoort, en dus moet de reeks gehele getallen worden uitgebreid. Dit introduceert de verzameling rationale getallen $\mathbb(Q)$ met de elementen $\frac(p)(q)$, waarbij $p\in \mathbb(Z)$ en $q\in \mathbb(N)$. De verzameling $\mathbb(Z)$ is een deelverzameling waarin elk element $q=1$, dus $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ en de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen strekken zich uit tot deze verzameling volgens de volgende regels, die alle bovenstaande eigenschappen op de set $\mathbb(Q)$ behouden:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

De indeling wordt als volgt geïntroduceerd:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Op de verzameling $\mathbb(Q)$ heeft de vergelijking $a\cdot x=b$ een unieke oplossing voor elke $a\neq 0$ (delen door nul is niet gedefinieerd). Dit betekent dat er een invers element $\frac(1)(a)$ of $a^(-1)$ is:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

De volgorde van de verzameling $\mathbb(Q)$ kan als volgt worden uitgebreid:
$\frac(p_1)(q_1)

De verzameling $\mathbb(Q)$ heeft er één belangrijk bezit: Tussen twee willekeurige rationale getallen bevinden zich oneindig veel andere rationale getallen. Daarom zijn er geen twee aangrenzende rationale getallen, in tegenstelling tot de sets van natuurlijke getallen en gehele getallen.

Irrationele getallen $\mathbb(I)$

Voorbeelden van irrationele getallen:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \circa 1,41422135...$
$\pi\circa 3,1415926535...$

Omdat er tussen twee rationale getallen oneindig veel andere rationale getallen zitten, kun je gemakkelijk ten onrechte concluderen dat de verzameling rationale getallen zo compact is dat het niet nodig is deze verder uit te breiden. Zelfs Pythagoras maakte in zijn tijd zo'n fout. Zijn tijdgenoten weerlegden deze conclusie echter al bij het bestuderen van oplossingen voor de vergelijking $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) op de reeks rationale getallen. Om zo'n vergelijking op te lossen, is het noodzakelijk om het concept van een vierkantswortel te introduceren, en dan heeft de oplossing van deze vergelijking de vorm $x=\sqrt(2)$. Een vergelijking als $x^2=a$, waarbij $a$ een bekend rationeel getal is en $x$ een onbekend getal, heeft niet altijd een oplossing voor de verzameling rationale getallen, en opnieuw ontstaat de noodzaak om de vergelijking uit te breiden. set. Er ontstaat een reeks irrationele getallen, en getallen zoals $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... behoren tot deze reeks.

Reële getallen $\mathbb(R)$

De vereniging van de verzamelingen van rationele en irrationele getallen is de verzameling van reële getallen. Sinds $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ is het opnieuw logisch om aan te nemen dat de geïntroduceerde rekenkundige bewerkingen en relaties hun eigenschappen behouden op de nieuwe set. Het formele bewijs hiervan is erg moeilijk, dus worden de bovengenoemde eigenschappen van rekenkundige bewerkingen en relaties op de reeks reële getallen als axioma's geïntroduceerd. In de algebra wordt zo'n object een veld genoemd, dus de verzameling reële getallen wordt een geordend veld genoemd.

Om de definitie van de verzameling reële getallen compleet te maken, is het noodzakelijk een aanvullend axioma te introduceren dat de verzamelingen $\mathbb(Q)$ en $\mathbb(R)$ onderscheidt. Stel dat $S$ een niet-lege deelverzameling is van de verzameling reële getallen. Een element $b\in \mathbb(R)$ wordt de bovengrens van een verzameling $S$ genoemd als $\forall x\in S$ $x\leq b$ bevat. Dan zeggen we dat de verzameling $S$ hierboven begrensd is. De kleinste bovengrens van de verzameling $S$ wordt het supremum genoemd en wordt aangeduid met $\sup S$. De concepten ondergrens, hieronder begrensd, en infinum $\inf S$ worden op soortgelijke wijze geïntroduceerd. Nu wordt het ontbrekende axioma als volgt geformuleerd:

Elke niet-lege en bovenbegrensde deelverzameling van de verzameling reële getallen heeft een supremum.
Er kan ook worden bewezen dat het veld van reële getallen dat op de bovenstaande manier is gedefinieerd uniek is.

Complexe getallen$\mathbb(C)$

Voorbeelden van complexe getallen:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ waarbij $i = \sqrt(-1)$ of $i^2 = -1$

De verzameling complexe getallen vertegenwoordigt alle geordende paren reële getallen, dat wil zeggen $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, waarop de bewerkingen van Optellen en vermenigvuldigen worden als volgt gedefinieerd:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Er zijn verschillende manieren om complexe getallen te schrijven, waarvan de meest voorkomende $z=a+ib$ is, waarbij $(a,b)$ een paar reële getallen is, en het getal $i=(0,1)$ wordt de denkbeeldige eenheid genoemd.

Het is gemakkelijk aan te tonen dat $i^2=-1$. Door de verzameling $\mathbb(R)$ uit te breiden naar de verzameling $\mathbb(C)$ kunnen we de vierkantswortel van negatieve getallen bepalen, wat de reden was voor het introduceren van de verzameling complexe getallen. Het is ook gemakkelijk om aan te tonen dat een deelverzameling van de verzameling $\mathbb(C)$, gegeven door $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, voldoet aan alle axioma's voor reële getallen, dus $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, of $R\subset\mathbb(C)$.

De algebraïsche structuur van de verzameling $\mathbb(C)$ met betrekking tot de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen heeft de volgende eigenschappen:
1. commutativiteit van optellen en vermenigvuldigen
2. associativiteit van optellen en vermenigvuldigen
3. $0+i0$ - neutraal element voor optelling
4. $1+i0$ - neutraal element voor vermenigvuldiging
5. Vermenigvuldigen is distributief met betrekking tot optellen
6. Er is een enkele inverse voor zowel optellen als vermenigvuldigen.

De reeks irrationele getallen wordt meestal aangegeven met een hoofdletter ik (\ Displaystyle \ mathbb (I) ) in gedurfde stijl zonder schaduw. Dus: ik = R ∖ Q (\ Displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q) ), dat wil zeggen dat de verzameling irrationele getallen het verschil is tussen de verzamelingen reële en rationale getallen.

Encyclopedisch YouTube

1 / 5
Irrationeel zijn:

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Laten we het tegenovergestelde aannemen: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rationeel, dat wil zeggen weergegeven als een breuk m n (\ Displaystyle (\ frac (m) (n))), Waar m (\displaystyle m) is een geheel getal, en n (\displaystyle n)- natuurlijk nummer .
Laten we de veronderstelde gelijkheid kwadrateren:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Pijl naar rechts 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Pijl naar rechts m^(2)=2n^(2)).
Verhaal

Oudheid

Het concept van irrationele getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (ca. 750 voor Christus - ca. 690 voor Christus) erachter kwam dat de vierkantswortels van sommige natuurlijke getallen, zoals 2 en 61, niet expliciet kunnen worden uitgedrukt. [ ] .
Het eerste bewijs van het bestaan van irrationele getallen wordt gewoonlijk toegeschreven aan Hippasus van Metapontus (ca. 500 v.Chr.), een Pythagoras. In de tijd van de Pythagoreeërs geloofde men dat er één enkele lengte-eenheid bestond, voldoende klein en ondeelbaar, die een geheel aantal keren in elk segment omvatte. ] .
Er zijn geen exacte gegevens over welk getal door Hippasus irrationeel werd bewezen. Volgens de legende vond hij het door de lengtes van de zijden van het pentagram te bestuderen. Daarom is het redelijk om aan te nemen dat dit de gulden snede was [ ] .
Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensurabele hoeveelheden alogo's(onuitsprekelijk), maar volgens de legenden betoonden ze Hippasus niet het nodige respect. Er is een legende dat Hippasus de ontdekking deed tijdens een zeereis en door andere Pythagoreërs overboord werd gegooid ‘omdat hij een element van het universum had gecreëerd dat de doctrine ontkent dat alle entiteiten in het universum kunnen worden gereduceerd tot gehele getallen en hun verhoudingen’. De ontdekking van Hippasus vormde een ernstig probleem voor de wiskunde van Pythagoras en vernietigde de onderliggende veronderstelling dat getallen en geometrische objecten één en onafscheidelijk waren.