Voor een vrijdragende balk belast met een verdeelde belasting met intensiteit kN/m en een geconcentreerd moment van kN m (Fig. 3.12), is het vereist: maak diagrammen van schuifkrachten en buigmomenten, selecteer een ronde balk dwarsdoorsnede bij toelaatbare normale spanning kN/cm2 en controleer de sterkte van de balk door schuifspanning bij toelaatbare schuifspanning kN/cm2. Balkafmetingen m; M; M.

Berekeningsschema voor het probleem van directe dwarsbuiging

Rijst. 3.12

Oplossing van het probleem "rechte dwarsbuiging"

Steunreacties bepalen

De horizontale reactie in de inbedding is nul, omdat externe belastingen in de z-asrichting niet op de ligger inwerken.

We kiezen de richtingen van de resterende reactieve krachten die ontstaan ​​in de inbedding: we zullen de verticale reactie bijvoorbeeld naar beneden richten, en het moment – ​​met de klok mee. Hun waarden worden bepaald op basis van de statische vergelijkingen:

Bij het opstellen van deze vergelijkingen beschouwen we het moment als positief als het tegen de klok in draait, en de projectie van de kracht als positief als de richting ervan samenvalt met de positieve richting van de y-as.

Uit de eerste vergelijking vinden we het moment op de afdichting:

Uit de tweede vergelijking - verticale reactie:

Door ons ontvangen positieve waarden want het moment en de verticale reactie in de inbedding geven aan dat we hun richtingen hebben geraden.

In overeenstemming met de aard van de bevestiging en belasting van de balk, verdelen we de lengte in twee secties. Langs de grenzen van elk van deze secties zullen we vier doorsneden schetsen (zie figuur 3.12), waarin we de methode van secties (ROZU) zullen gebruiken om de waarden van schuifkrachten en buigmomenten te berekenen.

Sectie 1. Laten we mentaal de rechterkant van de balk weggooien. Laten we de actie aan de resterende linkerkant vervangen door een snijkracht en een buigend moment. Laten we, voor het gemak van het berekenen van hun waarden, de weggegooide rechterkant van de balk bedekken met een stuk papier, waarbij we de linkerrand van het vel uitlijnen met het beschouwde gedeelte.

Laten we niet vergeten dat de schuifkracht die in een willekeurige dwarsdoorsnede ontstaat, alle externe krachten (actief en reactief) moet compenseren die inwerken op het deel van de balk dat door ons wordt beschouwd (dat wil zeggen zichtbaar). Daarom moet de schuifkracht gelijk zijn aan de algebraïsche som van alle krachten die we zien.

Laten we ook de tekenregel voor de schuifkracht presenteren: een externe kracht die inwerkt op het deel van de balk in kwestie en de neiging heeft om dit onderdeel ten opzichte van de sectie met de klok mee te “roteren” veroorzaakt een positieve schuifkracht in de sectie. Een dergelijke externe kracht wordt met een plusteken in de algebraïsche som van de definitie opgenomen.

In ons geval zien we alleen de reactie van de steun, die het voor ons zichtbare deel van de balk ten opzichte van het eerste gedeelte (ten opzichte van de rand van het vel papier) tegen de klok in draait. Daarom

kN.

Het buigmoment in elke sectie moet het moment in evenwicht brengen dat wordt gecreëerd door de externe krachten die voor ons zichtbaar zijn ten opzichte van de sectie in kwestie. Bijgevolg is het gelijk aan de algebraïsche som van de momenten van alle krachten die inwerken op het deel van de balk dat we beschouwen, ten opzichte van de sectie in kwestie (met andere woorden, ten opzichte van de rand van het vel papier). In dit geval veroorzaakt de externe belasting, die het betreffende deel van de balk met zijn convexiteit naar beneden buigt, een positief buigmoment in de sectie. En het moment dat door een dergelijke belasting wordt gecreëerd, wordt opgenomen in de algebraïsche som voor bepaling met een "plusteken".

We zien twee inspanningen: reactie en slotmoment. De hefboomwerking van de kracht ten opzichte van sectie 1 is echter nul. Daarom

kNm.

We hebben het plusteken genomen omdat het reactieve moment het voor ons zichtbare deel van de straal convex naar beneden buigt.

Sectie 2. Net als voorheen bedekken we de hele rechterkant van de balk met een stuk papier. Nu heeft de kracht, in tegenstelling tot het eerste deel, een schouder: m

kN; kNm.

Sectie 3. We sluiten de rechterkant van de balk

kN;

Sectie 4. Bedek de linkerkant van de balk met een plaat. Dan

kNm.

kNm.

.

Met behulp van de gevonden waarden construeren we diagrammen van schuifkrachten (Fig. 3.12, b) en buigmomenten (Fig. 3.12, c).

Onder onbelaste gebieden loopt het diagram van schuifkrachten evenwijdig aan de as van de balk, en onder een verdeelde belasting q - langs een hellende rechte lijn naar boven. Onder de steunreactie in het diagram is er een sprong naar beneden met de waarde van deze reactie, dat wil zeggen met 40 kN.

In het diagram van buigmomenten zien we een breuk onder de steunreactie. De buighoek is gericht op de steunreactie. Onder een verdeelde belasting q verandert het diagram langs een kwadratische parabool, waarvan de convexiteit naar de belasting is gericht. In sectie 6 van het diagram staat een extremum, omdat het diagram van de schuifkracht op deze plaats door de nulwaarde gaat.

Bepaal de vereiste doorsnedediameter van de balk

De normale spanningssterktetoestand heeft de vorm:

,

waar is het weerstandsmoment van de balk tijdens het buigen. Voor een balk met een cirkelvormige doorsnede is deze gelijk aan:

.

De grootste absolute waarde van het buigmoment komt voor in het derde deel van de balk: kN cm

Vervolgens wordt de vereiste straaldiameter bepaald door de formule

cm.

Wij accepteren mm. Dan

kN/cm2 kN/cm2.

"Overspanning" wel

,

wat is toegestaan.

We controleren de sterkte van de ligger aan de hand van de hoogste schuifspanningen

De grootste tangentiële spanningen die optreden in de dwarsdoorsnede van een balk met een cirkelvormige dwarsdoorsnede worden berekend met de formule

,

waar is het dwarsdoorsnedeoppervlak.

Volgens het diagram is de grootste algebraïsche waarde van de schuifkracht gelijk aan kN. Dan

kN/cm2 kN/cm2,

dat wil zeggen dat aan de sterktevoorwaarde voor tangentiële spanningen ook wordt voldaan, en met een grote marge.

Een voorbeeld van het oplossen van het probleem "rechte dwarsbuiging" nr. 2

Conditie van een voorbeeldprobleem bij rechte dwarsbuiging

Voor een eenvoudig ondersteunde balk belast met een verdeelde belasting met intensiteit kN/m, geconcentreerde kracht kN en geconcentreerd moment kN·m (Fig. 3.13), is het noodzakelijk diagrammen van schuifkrachten en buigmomenten te construeren en een balk van I-balk te selecteren. doorsnede met een toelaatbare normaalspanning kN/cm2 en toelaatbare tangentiële spanning kN/cm2. Balkoverspanning m.

Een voorbeeld van een recht buigprobleem - rekenschema

Rijst. 3.13

Oplossing van een voorbeeldprobleem bij recht buigen

Steunreacties bepalen

Voor een gegeven eenvoudig ondersteunde balk is het nodig om drie ondersteuningsreacties te vinden: , en . Omdat alleen verticale belastingen loodrecht op de as op de balk inwerken, is de horizontale reactie van de vaste scharnierende steun A nul: .

De richtingen van verticale reacties worden willekeurig gekozen. Laten we bijvoorbeeld beide verticale reacties naar boven richten. Om hun waarden te berekenen, maken we twee statische vergelijkingen:

Laten we ons herinneren dat de resultante van de lineaire belasting, gelijkmatig verdeeld over een gedeelte met lengte l, gelijk is aan, dat wil zeggen gelijk aan de oppervlakte van het diagram van deze belasting en wordt toegepast op het zwaartepunt hiervan diagram, dat wil zeggen in het midden van de lengte.

;

kN.

Laten we het controleren: .

Bedenk dat krachten waarvan de richting samenvalt met de positieve richting van de y-as, op deze as worden geprojecteerd (geprojecteerd) met een plusteken:

dat is waar.

We construeren diagrammen van schuifkrachten en buigmomenten

We verdelen de lengte van de balk in afzonderlijke secties. De grenzen van deze secties zijn de punten waarop geconcentreerde krachten worden uitgeoefend (actief en/of reactief), evenals punten die overeenkomen met het begin en het einde van de verdeelde belasting. Er zijn drie van dergelijke secties in ons probleem. Langs de grenzen van deze secties zullen we zes dwarsdoorsneden schetsen, waarin we de waarden van schuifkrachten en buigmomenten zullen berekenen (Fig. 3.13, a).

Sectie 1. Laten we mentaal de rechterkant van de balk weggooien. Voor het gemak van het berekenen van de schuifkracht en het buigmoment die in deze sectie optreden, zullen we het deel van de balk dat we hebben weggegooid bedekken met een stuk papier, waarbij we de linkerrand van het vel papier uitlijnen met de sectie zelf.

De schuifkracht in het liggergedeelte is gelijk aan de algebraïsche som van alle externe krachten (actief en reactief) die we zien. In dit geval zien we de reactie van de steun en de lineaire belasting q verdeeld over een oneindig kleine lengte. De resulterende lineaire belasting is nul. Daarom

kN.

Het plusteken wordt genomen omdat de kracht het voor ons zichtbare deel van de straal ten opzichte van het eerste gedeelte (de rand van een vel papier) met de klok mee roteert.

Het buigmoment in de balksectie is gelijk aan de algebraïsche som van de momenten van alle krachten die we zien ten opzichte van de betreffende sectie (dat wil zeggen ten opzichte van de rand van het vel papier). We zien de steunreactie en lineaire belasting q verdeeld over een oneindig kleine lengte. De kracht heeft echter een hefboomwerking van nul. De resulterende lineaire belasting is ook nul. Daarom

Sectie 2. Net als voorheen bedekken we de hele rechterkant van de balk met een stuk papier. Nu zien we de reactie en belasting q inwerken op een stuk lengte . De resulterende lineaire belasting is gelijk aan . Het wordt in het midden van een stuk lengte bevestigd. Daarom

Laten we ons herinneren dat we bij het bepalen van het teken van het buigmoment mentaal het deel van de balk dat we zien, bevrijden van alle daadwerkelijke ondersteunende bevestigingen en het ons voorstellen alsof het in het betreffende gedeelte wordt geknepen (dat wil zeggen, we stellen ons mentaal de linkerrand voor van het stuk papier als een stijve inbedding).

Deel 3. Sluit de rechterkant. We krijgen

Sectie 4. Bedek de rechterkant van de balk met een plaat. Dan

Om de juistheid van de berekeningen te controleren, bedekken we nu de linkerkant van de balk met een stuk papier. We zien de geconcentreerde kracht P, de reactie van de juiste steun en de lineaire belasting q verdeeld over een oneindig kleine lengte. De resulterende lineaire belasting is nul. Daarom

kNm.

Dat wil zeggen: alles klopt.

Sectie 5. Sluit zoals eerder de linkerkant van de balk. Zal hebben

kN;

kNm.

Sectie 6. Laten we de linkerkant van de balk weer sluiten. We krijgen

kN;

Met behulp van de gevonden waarden construeren we diagrammen van schuifkrachten (Fig. 3.13, b) en buigmomenten (Fig. 3.13, c).

We zorgen ervoor dat onder het onbelaste gebied het diagram van de schuifkrachten evenwijdig loopt aan de as van de balk, en onder een verdeelde belasting q - langs een rechte lijn die naar beneden afloopt. Er zijn drie sprongen in het diagram: onder de reactie - omhoog met 37,5 kN, onder de reactie - omhoog met 132,5 kN en onder de kracht P - omlaag met 50 kN.

In het diagram van buigmomenten zien we breuken onder de geconcentreerde kracht P en onder de steunreacties. De breukhoeken zijn op deze krachten gericht. Onder een verdeelde belasting met intensiteit q verandert het diagram langs een kwadratische parabool, waarvan de convexiteit naar de belasting is gericht. Onder het geconcentreerde moment is er een sprong van 60 kN m, dat wil zeggen door de grootte van het moment zelf. In sectie 7 van het diagram bevindt zich een extremum, aangezien het diagram van de schuifkracht voor deze sectie door de nulwaarde () gaat. Laten we de afstand bepalen van sectie 7 tot de linkersteun.

De balk is het belangrijkste element dragende structuur structuren. Tijdens de constructie is het belangrijk om de doorbuiging van de balk te berekenen. IN echte constructie Dit element wordt beïnvloed door windkracht, belasting en trillingen. Bij het uitvoeren van berekeningen is het echter gebruikelijk om alleen rekening te houden met de dwarsbelasting of de uitgeoefende belasting, die gelijkwaardig is aan de dwarsbelasting.

Balken in huis

Bij de berekening wordt de balk gezien als een starre staaf, die op twee steunen is geïnstalleerd. Als het op drie of meer steunen is geïnstalleerd, is het berekenen van de doorbuiging complexer en is het bijna onmogelijk om het zelf te doen. De hoofdbelasting wordt berekend als de som van de krachten die in de richting van het loodrechte gedeelte van de constructie werken. Om de maximale vervorming te bepalen, die de grenswaarden niet mag overschrijden, is een ontwerpdiagram nodig. Hierdoor kunt u bepalen optimaal materiaal vereiste grootte, doorsnede, flexibiliteit en andere indicatoren.

Balken gemaakt van sterke en duurzame materialen worden gebruikt voor de constructie van verschillende constructies. Dergelijke structuren kunnen verschillen in lengte, vorm en dwarsdoorsnede. De meest gebruikte zijn houten en metalen constructies. Voor het doorbuigingsberekeningsschema is het materiaal van het element van groot belang. De details van het berekenen van de doorbuiging van een balk zullen in dit geval afhangen van de homogeniteit en structuur van het materiaal.

Houten

Voor de bouw van particuliere huizen, huisjes en andere individuele constructies worden meestal houten balken gebruikt. Houten constructies, werkend in buigwerk, toepasbaar voor plafonds en vloeren.

Houten vloeren

Om de maximale doorbuiging te berekenen, houdt u rekening met:

1. Materiaal. Verschillende houtsoorten hebben verschillende sterkte, hardheid en flexibiliteit.
2. Vorm van de dwarsdoorsnede en andere geometrische kenmerken.
3. Verschillende soorten belasting van het materiaal.

Bij de toegestane doorbuiging van de balk wordt rekening gehouden met de maximale werkelijke doorbuiging, evenals met mogelijke extra operationele belastingen.

Naaldhoutconstructies

Staal

Metalen balken hebben een complexe of zelfs samengestelde doorsnede en zijn meestal gemaakt van verschillende soorten metaal. Bij het berekenen van dergelijke constructies moet niet alleen rekening worden gehouden met hun stijfheid, maar ook met de sterkte van de verbindingen.

Stalen vloeren

Metaalconstructies worden gemaakt door verschillende soorten gewalst metaal met elkaar te verbinden, met behulp van de volgende soorten verbindingen:

• elektrisch lassen;
• klinknagels;
• bouten, schroeven en andere soorten schroefdraadverbindingen.

Stalen balken worden meestal gebruikt voor gebouwen met meerdere verdiepingen en andere soorten constructies waarbij een hoge structurele sterkte vereist is. In dit geval is bij gebruik van hoogwaardige verbindingen een gelijkmatig verdeelde belasting op de balk gegarandeerd.

Om de straal voor doorbuiging te berekenen, kan deze video helpen:

Balksterkte en stijfheid

Om de sterkte, duurzaamheid en veiligheid van de constructie te garanderen, is het noodzakelijk om de doorbuigingswaarde van de balken te berekenen in de ontwerpfase van de constructie. Daarom is het uiterst belangrijk om de maximale doorbuiging van de balk te kennen, waarvan de formule zal helpen een conclusie te trekken over de waarschijnlijkheid van het gebruik van een bepaalde bouwconstructie.

Met behulp van een berekeningsschema voor stijfheid kunt u de maximale veranderingen in de geometrie van het onderdeel bepalen. Het berekenen van een structuur met behulp van experimentele formules is niet altijd effectief. Het wordt aanbevolen om aanvullende coëfficiënten te gebruiken om de noodzakelijke veiligheidsmarge toe te voegen. Het niet achterlaten van een extra veiligheidsmarge is een van de belangrijkste constructiefouten, die leidt tot de onmogelijkheid om het gebouw te gebruiken of zelfs tot ernstige gevolgen.

Er zijn twee hoofdmethoden voor het berekenen van sterkte en stijfheid:

1. Eenvoudig. Bij gebruik van deze methode wordt een vergrotingsfactor toegepast.
2. Nauwkeurig. Deze methode omvat het gebruik van niet alleen veiligheidsfactoren, maar ook aanvullende berekeningen van de grenstoestand.

De laatste methode is het meest nauwkeurig en betrouwbaar, omdat deze helpt bepalen welke belasting de balk precies kan weerstaan.

Berekening van balken voor doorbuiging

Stijfheidsberekening

Om de buigsterkte van een balk te berekenen, wordt de formule gebruikt:

M is het maximale moment dat in de straal optreedt;

W n,min – weerstandsmoment van de sectie, een waarde in tabelvorm of afzonderlijk bepaald voor elk type profiel.

R y is de ontwerpweerstand van staal bij buiging. Afhankelijk van het type staal.

γc is de bedrijfstoestandcoëfficiënt, wat een tabelwaarde is.

Het berekenen van de stijfheid of doorbuiging van een balk is vrij eenvoudig, dus zelfs een onervaren bouwer kan de berekeningen uitvoeren. Om de maximale doorbuiging nauwkeurig te bepalen, moet u echter de volgende stappen uitvoeren:

1. Het opstellen van een ontwerpdiagram van het object.
2. Berekening van de afmetingen van de balk en zijn doorsnede.
3. Berekening van de maximale belasting die op de balk inwerkt.
4. Bepaling van het toepassingspunt van de maximale belasting.
5. Bovendien kan de balk op sterkte worden getest door middel van een maximaal buigmoment.
6. Berekening van de stijfheidswaarde of maximale doorbuiging van een ligger.

Om een ​​berekeningsschema te maken, heeft u de volgende gegevens nodig:

• afmetingen van de balken, lengte van de consoles en de overspanning daartussen;
• afmeting en vorm van de dwarsdoorsnede;
• kenmerken van de belasting van de constructie en de exacte toepassing ervan;
• materiaal en zijn eigenschappen.

Als een balk met twee steunen wordt berekend, wordt één steun als stijf beschouwd en de tweede als scharnierend.

Berekening van traagheidsmomenten en sectieweerstand

Om stijfheidsberekeningen uit te voeren, heeft u het traagheidsmoment van het profiel (J) en het weerstandsmoment (W) nodig. Om het weerstandsmoment van een sectie te berekenen, kun je het beste de formule gebruiken:

Een belangrijk kenmerk bij het bepalen van het traagheidsmoment en de weerstand van een doorsnede is de oriëntatie van de doorsnede in het snijvlak. Naarmate het traagheidsmoment toeneemt, neemt ook de stijfheidsindex toe.

Bepaling van maximale belasting en doorbuiging

Om de doorbuiging van een balk nauwkeurig te bepalen, kunt u het beste deze formule gebruiken:

q is een gelijkmatig verdeelde belasting;

E – elastische modulus, wat een tabelwaarde is;

l – lengte;

I – traagheidsmoment van de sectie.

Om de maximale belasting te berekenen, moet rekening worden gehouden met statische en periodieke belastingen. Bijvoorbeeld als we praten over over een gebouw van twee verdiepingen, en dan verder houten balk er zal een constante belasting zijn van het gewicht, de uitrusting en de mensen.

Kenmerken van doorbuigingsberekeningen

Voor elke vloer zijn doorbuigingsberekeningen nodig. Het is uiterst belangrijk om deze indicator nauwkeurig te berekenen onder aanzienlijke externe belastingen. In dit geval is het niet nodig om complexe formules te gebruiken. Als u de juiste coëfficiënten gebruikt, kunnen de berekeningen worden teruggebracht tot eenvoudige schema's:

1. Een staaf die op één starre en één scharnierende steun rust en een geconcentreerde last draagt.
2. Een staaf die op een stijve en scharnierende steun rust en onderworpen is aan een verdeelde belasting.
3. Mogelijkheden voor het laden van een vrijdragende stang die stevig vastzit.
4. Het effect van een complexe belasting op een constructie.

Door deze methode voor het berekenen van de doorbuiging te gebruiken, kunt u het materiaal negeren. Daarom worden de berekeningen niet beïnvloed door de waarden van de belangrijkste kenmerken.

Voorbeeld van het berekenen van doorbuiging

Om het proces van het berekenen van de stijfheid van een ligger en de maximale doorbuiging ervan te begrijpen, kunt u een eenvoudig rekenvoorbeeld gebruiken. Deze berekening wordt uitgevoerd voor een ligger met de volgende kenmerken:

• fabricagemateriaal – hout;
• dichtheid bedraagt ​​600 kg/m3;
• lengte bedraagt ​​4 meter;
• de doorsnede van het materiaal is 150*200 mm;
• de massa van de afdekelementen bedraagt ​​60 kg/m²;
• de maximale belasting van de constructie bedraagt ​​249 kg/m;
• de elasticiteit van het materiaal bedraagt ​​100.000 kgf/m²;
• J is gelijk aan 10 kg*m².

Om het maximum te berekenen toegestane belasting Er wordt rekening gehouden met het gewicht van de balk, vloeren en steunen. Het wordt ook aanbevolen om rekening te houden met het gewicht van meubels, apparaten, decoratie, mensen en andere zware dingen, die ook een impact zullen hebben op de constructie. Voor de berekening heeft u de volgende gegevens nodig:

• gewicht van één meter balk;
• gewicht m2 vloer;
• de afstand die overblijft tussen de balken;

Om de berekening te vereenvoudigen dit voorbeeld kunnen we de massa van de vloer op 60 kg/m² nemen, de belasting op elke verdieping op 250 kg/m², de belasting op de scheidingswanden op 75 kg/m² en het gewicht van een meter balk op 18 kg. Bij een afstand tussen de balken van 60 cm is de coëfficiënt k gelijk aan 0,6.

Als je al deze waarden in de formule invoert, krijg je:

q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 kg/m.

Om het buigmoment te berekenen, gebruikt u de formule f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].

Als we de gegevens erin vervangen, krijgen we f = (5/384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5/384) * [(249 * 44) / (100.000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100.000 * 10)] = 0,13020833 * (6,3744 / 10.000.000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 m = 0,83 cm.

Dit is precies de indicator voor doorbuiging wanneer een maximale belasting op de balk wordt uitgeoefend. Deze berekeningen laten zien dat wanneer er een maximale belasting op wordt uitgeoefend, deze 0,83 cm zal buigen. Als deze indicator kleiner is dan 1, is gebruik ervan bij de gespecificeerde belastingen toegestaan.

Het gebruik van dergelijke berekeningen is op een universele manier het berekenen van de stijfheid van de constructie en de mate van doorbuiging. Het is vrij eenvoudig om deze waarden zelf te berekenen. Het is voldoende om de nodige formules te kennen en ook de waarden te berekenen. Sommige gegevens moeten in een tabel worden opgenomen. Bij het uitvoeren van berekeningen is het uiterst belangrijk om aandacht te besteden aan meeteenheden. Als de waarde in de formule in meters is, moet deze naar dit formulier worden omgezet. Zo een simpele fouten kunnen berekeningen nutteloos maken. Om de stijfheid en maximale doorbuiging van een balk te berekenen, volstaat het om de basiskenmerken en afmetingen van het materiaal te kennen. Deze gegevens moeten in een paar eenvoudige formules worden gestopt.

Buigen is een vorm van vervorming waarbij de lengteas van de balk wordt gebogen. Rechte balken die buigen, worden balken genoemd. Direct buigen is een bocht waarbij de externe krachten die op de balk inwerken, in één vlak (krachtvlak) liggen dat door de lengteas van de balk en de centrale hoofdtraagheidsas van de dwarsdoorsnede loopt.

De bocht wordt puur genoemd, als er slechts één buigmoment optreedt in een dwarsdoorsnede van de balk.

Buigen, waarbij een buigmoment en een dwarskracht gelijktijdig inwerken op de dwarsdoorsnede van een balk, wordt dwars genoemd. De snijlijn van het krachtvlak en het dwarsdoorsnedevlak wordt de krachtlijn genoemd.

Interne krachtfactoren tijdens het buigen van de ligger.

Wanneer plat dwarse buiging in liggersecties ontstaan ​​twee interne krachtfactoren: dwarskracht Q en buigmoment M. Om deze te bepalen wordt de methode van secties gebruikt (zie college 1). De dwarskracht Q in de liggersectie is gelijk aan de algebraïsche som van de projecties op het sectievlak van alle externe krachten die op één zijde van de beschouwde sectie inwerken.

Tekenregel voor afschuifkrachten Q:

Het buigmoment M in een liggersectie is gelijk aan de algebraïsche som van de momenten ten opzichte van het zwaartepunt van deze sectie van alle externe krachten die op één zijde van de beschouwde sectie inwerken.

Tekenregel voor buigmomenten M:

De differentiële afhankelijkheden van Zhuravsky.

Tussen de intensiteit q van de verdeelde belasting worden de uitdrukkingen voor de schuifkracht Q en het buigmoment M vastgesteld verschillende afhankelijkheden:

Op basis van deze afhankelijkheden kunnen de volgende algemene diagrampatronen van dwarskrachten Q en buigmomenten M worden geïdentificeerd:

Kenmerken van diagrammen van interne krachtfactoren tijdens het buigen.

1. In het gedeelte van de balk waar geen verdeelde belasting is, wordt het Q-diagram weergegeven rechte lijn , evenwijdig aan de basis van het diagram, en diagram M - een hellende rechte lijn (Fig. a).

2. In het gedeelte waar een geconcentreerde kracht wordt uitgeoefend, moet Q in het diagram staan sprong , gelijk aan de waarde van deze kracht, en in het diagram M - breekpunt (Afb. a).

3. In het gedeelte waar een geconcentreerd moment wordt toegepast, verandert de waarde van Q niet, en het diagram M wel sprong , gelijk aan de waarde van dit moment (Fig. 26, b).

4. In een doorsnede van een balk met een verdeelde intensiteitsbelasting q verandert diagram Q volgens een lineaire wet, en diagram M verandert volgens een parabolische wet, en de convexiteit van de parabool is gericht in de richting van de verdeelde belasting (Fig. c, d).

5. Als binnen een karakteristieke sectie het diagram Q de basis van het diagram snijdt, dan heeft het buigmoment in de sectie waar Q = 0 een extreme waarde M max of M min (Fig. d).

Normale buigspanningen.

Bepaald door de formule:

Het weerstandsmoment van een sectie tegen buigen is de grootheid:

Gevaarlijke dwarsdoorsnede tijdens het buigen wordt de dwarsdoorsnede van de balk genoemd waarin de maximale normaalspanning optreedt.

Schuifspanningen tijdens recht buigen.

Bepaald door Zhuravsky's formule voor schuifspanningen bij rechte bocht balken:

waarbij S ots het statische moment is van het dwarsgebied van de afgesneden laag van longitudinale vezels ten opzichte van de neutrale lijn.

Berekeningen van buigsterkte.

1. Bij verificatieberekening De maximale ontwerpspanning wordt bepaald en vergeleken met de toelaatbare spanning:

2. Bij ontwerpberekening de selectie van de liggersectie wordt gemaakt op basis van de voorwaarde:

3. Bij het bepalen van de toegestane belasting wordt het toegestane buigmoment bepaald op basis van de voorwaarde:

Buigende bewegingen.

Onder invloed van buigbelasting buigt de as van de ligger. In dit geval wordt spanning van de vezels waargenomen op het convexe deel en compressie op het concave deel van de balk. Bovendien is er een verticale beweging van de zwaartepunten van de dwarsdoorsneden en hun rotatie ten opzichte van de neutrale as. Om buigvervorming te karakteriseren, worden de volgende concepten gebruikt:

Straalafbuiging Y- beweging van het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede van de balk in de richting loodrecht op zijn as.

Doorbuiging wordt als positief beschouwd als het zwaartepunt naar boven beweegt. De mate van doorbuiging varieert over de lengte van de balk, d.w.z. y = y(z)

Sectie rotatiehoek- hoek θ waarover elke sectie roteert ten opzichte van zijn oorspronkelijke positie. De rotatiehoek wordt als positief beschouwd wanneer de sectie tegen de klok in wordt geroteerd. De grootte van de rotatiehoek varieert over de lengte van de balk, en is een functie van θ = θ (z).

De meest gebruikelijke methode voor het bepalen van verplaatsingen is de methode Mora En De regel van Vereshchagin.

Mohrs methode.

De procedure voor het bepalen van verplaatsingen met behulp van de methode van Mohr:

1. Er wordt een “hulpsysteem” gebouwd en belast met een eenheidslast op het punt waar de verplaatsing moet worden bepaald. Als lineaire verplaatsing wordt bepaald, wordt er een eenheidskracht in zijn richting uitgeoefend; wanneer hoekverplaatsingen worden bepaald, wordt een eenheidsmoment toegepast.

2. Voor elke sectie van het systeem worden uitdrukkingen geschreven voor buigmomenten Mf uit de uitgeoefende belasting en M 1 uit de eenheidsbelasting.

3. Over alle secties van het systeem worden de integralen van Mohr berekend en opgeteld, wat resulteert in de gewenste verplaatsing:

4. Als de berekende verplaatsing een positief teken heeft, betekent dit dat de richting ervan samenvalt met de richting van de eenheidskracht. Een negatief teken geeft aan dat de werkelijke verplaatsing tegengesteld is aan de richting van de eenheidskracht.

De regel van Vereshchagin.

Voor het geval dat het diagram van buigmomenten van een bepaalde belasting een willekeurige omtrek heeft, en van een eenheidsbelasting een rechtlijnige omtrek, is het handig om de grafisch-analytische methode of de regel van Vereshchagin te gebruiken.

waarbij Af het gebied is van het diagram van het buigmoment Mf van een gegeven belasting; y – ordinaat van het diagram vanaf een eenheidslast onder het zwaartepunt van het diagram Mf; EI x is de sectiestijfheid van de liggersectie. Berekeningen met deze formule worden in secties uitgevoerd, waarbij het lineaire diagram zonder breuken moet zijn. De waarde (A f *y c) wordt als positief beschouwd als beide diagrammen zich aan dezelfde kant van de balk bevinden, en als negatief als ze zich aan verschillende kanten bevinden. Een positief resultaat van vermenigvuldigingsdiagrammen betekent dat de bewegingsrichting samenvalt met de richting van een eenheidskracht (of moment). Een complex diagram Mf moet worden verdeeld in eenvoudige figuren (er wordt gebruik gemaakt van de zogenaamde "plotstratificatie"), voor elk waarvan het gemakkelijk is om de ordinaat van het zwaartepunt te bepalen. In dit geval wordt het gebied van elke figuur vermenigvuldigd met de ordinaat onder het zwaartepunt.

Hoofdstuk 1. BUIGEN VAN RECHTER LINEAIRE BALKERS EN BALKSYSTEMEN

1.1. Fundamentele afhankelijkheden van de theorie van straalbuiging

Balken Het is gebruikelijk om staven te noemen die buigen onder invloed van een dwarse (loodrecht op de as van de staaf) belasting. Balken zijn de meest voorkomende elementen van scheepsconstructies. De as van een balk is de geometrische locatie van de zwaartepunten van zijn dwarsdoorsneden in onvervormde toestand. Een balk wordt recht genoemd als de as ervan een rechte lijn is. De geometrische locatie van de zwaartepunten van de dwarsdoorsneden van een balk in gebogen toestand wordt de elastische lijn van de balk genoemd. De volgende richting van de coördinaatassen wordt geaccepteerd: as OS uitgelijnd met de as van de balk en de as OJ En OZ– met de belangrijkste centrale traagheidsassen van de dwarsdoorsnede (Fig. 1.1).

De theorie van het buigen van de balk is gebaseerd op de volgende aannames.

1. De hypothese van vlakke doorsneden wordt aanvaard, volgens welke de dwarsdoorsneden van de balk, aanvankelijk vlak en loodrecht op de as van de balk, na buiging vlak blijven en loodrecht op de elastische lijn van de balk. Dankzij dit kan de buigvervorming van de balk onafhankelijk worden beschouwd van de afschuifvervorming, wat vervorming veroorzaakt van de dwarsdoorsnedevlakken van de balk en hun rotatie ten opzichte van de elastische lijn (Fig. 1.2, A).

2. Normale spanningen in gebieden evenwijdig aan de liggeras worden verwaarloosd vanwege hun kleinheid (Fig. 1.2, B).

3. Balken worden als voldoende stijf beschouwd, dat wil zeggen: hun doorbuigingen zijn klein in vergelijking met de hoogte van de balken, en de rotatiehoeken van de secties zijn klein in vergelijking met de eenheid (Fig. 1.2, V).

4. Spanningen en spanningen zijn gerelateerd aan een lineaire relatie, d.w.z. De wet van Hooke is geldig (Fig. 1.2, G).

Rijst. 1.2. Aannames van de balkbuigtheorie

We zullen de buigmomenten en schuifkrachten beschouwen die optreden tijdens het buigen van een balk in zijn dwarsdoorsnede als gevolg van de werking van een deel van de balk dat mentaal langs de dwarsdoorsnede op het resterende deel wordt geworpen.

Het moment van alle krachten die in een doorsnede inwerken ten opzichte van een van de hoofdassen wordt het buigmoment genoemd. Het buigmoment is gelijk aan de som van de momenten van alle krachten (inclusief steunreacties en momenten) die op het afgewezen deel van de ligger inwerken, ten opzichte van de gespecificeerde as van het betreffende gedeelte.

De projectie op het doorsnedevlak van de hoofdvector van krachten die in de doorsnede inwerken, wordt schuifkracht genoemd. Het is gelijk aan de som van de projecties op het dwarsdoorsnedevlak van alle krachten (inclusief steunreacties) die op het afgewezen deel van de ligger inwerken..

Laten we ons beperken tot het beschouwen van de buiging van de balk die in het vlak plaatsvindt XOZ. Een dergelijke buiging zal optreden wanneer de zijdelingse belasting inwerkt in een vlak evenwijdig aan het vlak XOZ, en de resultante ervan in elke sectie gaat door een punt dat het buigcentrum van de sectie wordt genoemd. Merk op dat voor secties van liggers die twee symmetrieassen hebben, het buigmiddelpunt samenvalt met het zwaartepunt, en voor secties die één symmetrieas hebben, dit op de symmetrieas ligt, maar niet samenvalt met het middelpunt van de symmetrieas. zwaartekracht.

De belasting van de balken in de scheepsromp kan worden verdeeld (meestal gelijkmatig verdeeld langs de as van de balk, of variëren volgens een lineaire wet), of worden toegepast in de vorm van geconcentreerde krachten en momenten.

Laten we de intensiteit van de verdeelde belasting (de belasting per lengte-eenheid van de straalas) aangeven met Q(X), externe geconcentreerde kracht – as R, en het externe buigmoment is als M. Verdeelde belasting en geconcentreerde kracht zijn positief als de richtingen van hun actie samenvallen met de positieve richting van de as OZ(Afb. 1.3, A,B). Het externe buigmoment is positief als het met de klok mee is gericht (Fig. 1.3, V).

Rijst. 1.3. Tekenregel voor externe belastingen

Laten we de doorbuiging van een rechte balk aangeven wanneer deze in een vlak wordt gebogen XOZ door w, en de rotatiehoek van de sectie is door θ. Laten we de tekenregel voor buigelementen accepteren (Fig. 1.4):

1) de afbuiging is positief als deze samenvalt met de positieve richting van de as OZ(Afb. 1.4, A):

2) de rotatiehoek van de sectie is positief als de sectie als gevolg van buigen met de klok mee draait (Fig. 1.4, B);

3) buigmomenten zijn positief als de balk onder hun invloed naar boven buigt (Fig. 1.4, V);

4) schuifkrachten zijn positief als ze het geselecteerde balkelement tegen de klok in draaien (Fig. 1.4, G).

Rijst. 1.4. Tekenregel voor buigelementen

Gebaseerd op de hypothese van vlakke secties, kan worden gezien (Fig. 1.5) dat de relatieve verlenging van de vezel ε X, gescheiden door z vanaf de neutrale as zal het gelijk zijn

ε X= −z/ρ ,(1.1)

Waar ρ – kromtestraal van de ligger in het betreffende gedeelte.

Rijst. 1.5. Buigdiagram van de balk

De neutrale as van de doorsnede is de geometrische locatie van punten waarvoor de lineaire vervorming tijdens het buigen nul is. Tussen kromming en afgeleiden van w(X) er is een afhankelijkheid

Vanwege de aanvaarde aanname dat de rotatiehoeken klein zijn voor voldoende stijve liggers, is de waardeklein vergeleken met eenheid, dus daar kunnen we van uitgaan

Vervangen 1/ ρ van (1.2) tot (1.1), verkrijgen we

Normale buigspanning σ X gebaseerd op de wet van Hooke gelijk zal zijn

Omdat uit de definitie van balken volgt dat er geen longitudinale kracht is gericht langs de as van de balk, moet de hoofdvector van normaalspanningen verdwijnen, d.w.z.

Waar F– dwarsdoorsnede van de balk.

Uit (1.5) verkrijgen we dat het statische moment van het dwarsdoorsnedeoppervlak van de straal gelijk is aan nul. Dit betekent dat de neutrale as van de sectie door het zwaartepunt gaat.

Het moment van interne krachten die in de dwarsdoorsnede werken ten opzichte van de neutrale as, Mijn zullen

Als we er rekening mee houden dat het traagheidsmoment van het dwarsdoorsnedeoppervlak ten opzichte van de neutrale as is OJ gelijk is aan , en deze waarde in (1.6) vervangt, verkrijgen we een afhankelijkheid die de basisdifferentiaalvergelijking voor het buigen van de balk uitdrukt

Moment van interne krachten in de sectie ten opzichte van de as OZ zullen

Sinds de assen OJ En OZ per voorwaarde zijn dan de belangrijkste centrale assen van de sectie .

Hieruit volgt dat wanneer een belasting wordt uitgeoefend in een vlak evenwijdig aan het hoofdbuigvlak, de elastische lijn van de balk een vlakke curve zal zijn. Deze bocht wordt genoemd vlak. Op basis van de afhankelijkheden (1.4) en (1.7) verkrijgen we

Formule (1.8) laat dat zien normale stress bij het buigen van balken zijn ze evenredig met de afstand tot de neutrale as van de balk. Dit volgt uiteraard uit de hypothese van vlakke doorsneden. Bij praktische berekeningen wordt vaak het weerstandsmoment van het liggerprofiel gebruikt om de hoogste normaalspanningen te bepalen

waar | z| max – absolute waarde van de afstand van de verste vezel tot de neutrale as.

In wat volgt, subscripts j voor de eenvoud weggelaten.

Er bestaat een verband tussen het buigmoment, de schuifkracht en de intensiteit van de dwarsbelasting, die volgt uit de evenwichtstoestand van het element dat mentaal gescheiden is van de balk.

Beschouw een balkelement met lengte dx (Afb. 1.6). Hierbij wordt aangenomen dat de vervormingen van het element verwaarloosbaar zijn.

Als er een moment optreedt in het linkergedeelte van het element M en snijkracht N, dan zullen in het rechtergedeelte de overeenkomstige krachten toenemen. Laten we alleen lineaire stappen beschouwen .

Afb.1.6. Krachten die op een balkelement inwerken

De projectie op de as gelijkstellen aan nul OZ van alle krachten die op het element inwerken, en het moment van alle krachten ten opzichte van de neutrale as van de rechtersectie, verkrijgen we:

Uit deze vergelijkingen, nauwkeurig voor hoeveelheden van een hogere orde van kleinheid, verkrijgen we

Uit (1.11) en (1.12) volgt dat

Afhankelijkheden (1.11)–(1.13) staan ​​bekend als de stelling van Zhuravsky-Schwedler. Uit deze afhankelijkheden volgt dat de schuifkracht en het buigmoment kunnen worden bepaald door de belasting te integreren Q:

Waar N 0 en M 0 – schuifkracht en buigmoment in de sectie die overeenkomt metx =X 0 , dat als uitgangspunt wordt genomen; ξ,ξ 1 – integratievariabelen.

Permanent N 0 en M 0 voor statisch bepaalde balken kan worden bepaald op basis van de omstandigheden van hun statisch evenwicht.

Als de balk statisch bepaald is, kan het buigmoment op elke sectie worden gevonden met behulp van (1.14), en wordt de elastische lijn bepaald door de differentiaalvergelijking (1.7) tweemaal te integreren. Statisch definieerbare balken zijn echter uiterst zeldzaam in scheepsrompconstructies. De meeste balken waaruit scheepsconstructies bestaan, vormen meerdere statisch onbepaalde systemen. In deze gevallen is vergelijking (1.7) lastig voor het bepalen van de elastische lijn, en is het raadzaam om over te gaan naar een vergelijking van de vierde orde.

1.2. Differentiaalvergelijking voor buigbalken

Differentiatievergelijking (1.7) voor het algemene geval waarin het traagheidsmoment van de sectie een functie is van X, rekening houdend met (1.11) en (1.12) verkrijgen we:

waarbij de priemgetallen differentiatie aangeven met betrekking tot X.

Voor prismatische balken, d.w.z. balken met een constante doorsnede verkrijgen we de volgende differentiële buigvergelijkingen:

De gewone inhomogene lineaire differentiaalvergelijking van de vierde orde (1.18) kan worden weergegeven als een reeks van vier differentiaalvergelijkingen van de eerste orde:

We gebruiken de volgende vergelijking (1.18) of een stelsel van vergelijkingen (1.19) om de doorbuiging van de balk (zijn elastische lijn) en alle onbekende buigelementen te bepalen: w(X), θ (X), M(X), N(X).

Vier keer achter elkaar integreren (1.18) (ervan uitgaande dat het linkeruiteinde van de ligger overeenkomt met de doorsnedeX= xa ), we krijgen:

Het is gemakkelijk in te zien dat de integratieconstanten Nee,moeder,θ een , w een een bepaalde hebben fysieke betekenis, namelijk:

N een– schuifkracht aan het begin van de telling, d.w.z. bij x =xa ;

M een– buigmoment aan het begin van de referentie;

θ een – rotatiehoek aan het begin van de telling;

w een – doorbuiging in dezelfde sectie.

Om deze constanten te bepalen, kunt u altijd vier randvoorwaarden creëren: twee voor elk uiteinde van een ligger met één overspanning. Uiteraard zijn de randvoorwaarden afhankelijk van de opstelling van de uiteinden van de balk. De eenvoudigste omstandigheden komen overeen met scharnierende ondersteuning op stijve steunen of stijve inbedding.

Wanneer het uiteinde van de balk scharnierend wordt ondersteund op een stijve steun (Fig. 1.7, A) straaldoorbuiging en buigmoment zijn nul:

Met stijve inbedding op een stijve steun (Fig. 1.7, B) de afbuigings- en rotatiehoek van de sectie zijn gelijk aan nul:

Als het uiteinde van de balk (console) vrij is (Fig. 1.7, V), dan zijn in dit gedeelte het buigmoment en de dwarskracht gelijk aan nul:

Een mogelijke situatie houdt verband met glijdende inbedding of symmetrie-inbedding (Fig. 1.7, G). Dit leidt tot de volgende randvoorwaarden:

Merk op dat de randvoorwaarden (1.26) met betrekking tot doorbuigingen en rotatiehoeken meestal worden genoemd kinematisch, en voorwaarden (1.27) – met geweld.

Rijst. 1.7. Soorten randvoorwaarden

Bij scheepsconstructies hebben we vaak te maken met complexere randvoorwaarden, die overeenkomen met de ondersteuning van een balk op elastische steunen of elastische uiteinden van uiteinden.

Elastische ondersteuning (Fig. 1.8, A) is een steun waarvan de terugtrekking evenredig is aan de reactie die op de steun inwerkt. We zullen de reactie van de elastische ondersteuning bekijken R positief als het inwerkt op de steun in de richting van de positieve richting van de as OZ. Dan kunnen we schrijven:

w =AR,(1.29)

Waar A– evenredigheidscoëfficiënt, de zogenaamde compliantiecoëfficiënt van de elastische ondersteuning.

Deze coëfficiënt is gelijk aan de verzakking van de elastische ondersteuning onder invloed van de reactie R= 1, d.w.z. EEN=w R = 1 .

Elastische steunen in scheepsconstructies kunnen balken zijn die de betreffende balk versterken, of pijlers en andere constructies die op druk werken.

Om de compliantiecoëfficiënt van een elastische ondersteuning te bepalen A het is noodzakelijk om de overeenkomstige constructie te belasten met een eenheidskracht en de absolute waarde van de verzakking (doorbuiging) te vinden op het punt waarop de kracht wordt uitgeoefend. Stevige ondersteuning – speciaal geval elastische ondersteuning bij EEN= 0.

Elastische afdichting (Fig. 1.8, B) is een draagconstructie die vrije rotatie van het profiel verhindert en waarbij de rotatiehoek θ in dit profiel evenredig is met het moment, d.w.z. er is sprake van een afhankelijkheid

θ = Â M.(1.30)

Proportionele vermenigvuldiger  wordt de elastische inbeddingscompliantiecoëfficiënt genoemd en kan worden gedefinieerd als de rotatiehoek van de elastische inbedding M = 1, d.w.z.  = θ M = 1 .

Een speciaal geval van elastische afdichting met  = 0 is harde beëindiging. In scheepsconstructies zijn elastische inbeddingen gewoonlijk balken die loodrecht op de betreffende ligger staan ​​en in hetzelfde vlak liggen. Balken, enz. kunnen bijvoorbeeld worden beschouwd als elastisch ingebed in frames.

Rijst. 1.8. elastische ondersteuning ( A) en elastische afdichting ( B)

Als de uiteinden van de balk lang zijn L worden ondersteund op elastische steunen (Fig. 1.9), dan zijn de reacties van de steunen in de eindsecties gelijk aan de schuifkrachten en kunnen de randvoorwaarden worden geschreven:

Het minteken in de eerste voorwaarde (1.31) wordt geaccepteerd omdat de positieve schuifkracht in het linker steungedeelte overeenkomt met de reactie die van boven naar beneden op de balk inwerkt, en van onder naar boven op de steun.

Als de uiteinden van de balk lang zijn Lelastisch afgedicht(Fig. 1.9), dan kunnen we voor steunsecties, rekening houdend met de tekenregel voor rotatiehoeken en buigmomenten, schrijven:

Het minteken in de tweede voorwaarde (1.32) wordt geaccepteerd omdat bij een positief moment in het rechter ondersteunende gedeelte van de balk het moment dat op de elastische afdichting inwerkt, tegen de klok in is gericht, en de positieve rotatiehoek in dit gedeelte met de klok mee is gericht, d.w.z. de richtingen van het moment en de rotatiehoek vallen niet samen.

Als we de differentiaalvergelijking (1.18) en alle randvoorwaarden in ogenschouw nemen, blijkt dat ze lineair zijn met betrekking tot zowel de daarin opgenomen doorbuigingen als hun afgeleiden, en de belastingen die op de balk inwerken. Lineariteit is een gevolg van de aannames over de geldigheid van de wet van Hooke en de kleinheid van bundelafbuigingen.

Rijst. 1.9. Een balk waarvan beide uiteinden elastisch ondersteund en elastisch ingebed zijn ( A);

krachten in elastische steunen en elastische afdichtingen die overeenkomen met positief
richtingen van buigmoment en schuifkracht ( B)

Wanneer meerdere belastingen op een balk worden uitgeoefend, is elk buigelement van de balk (doorbuiging, rotatiehoek, moment en schuifkracht) de som van de buigelementen als gevolg van de werking van elke belasting afzonderlijk. Deze zeer belangrijke positie, het principe van superpositie genoemd, of het principe van de optelling van de werking van belastingen, wordt veel gebruikt in praktische berekeningen en in het bijzonder om de statische onbepaaldheid van balken bloot te leggen.

1.3. Initiële parametersmethode

De algemene integraal van de differentiaalvergelijking voor het buigen van een ligger kan worden gebruikt om de elastische lijn van een ligger met één overspanning te bepalen in het geval dat de liggerbelasting een continue functie is van de coördinaat over de gehele overspanning. Als de belasting geconcentreerde krachten of momenten bevat, of als een verdeelde belasting inwerkt op een deel van de lengte van de balk (Fig. 1.10), kan uitdrukking (1.24) niet rechtstreeks worden gebruikt. In dit geval zou het mogelijk zijn om elastische lijnen in secties 1, 2 en 3 aan te duiden w 1 , w 2 , w 3, schrijf de integraal voor elk van hen op in de vorm (1.24) en vind alle willekeurige constanten uit de randvoorwaarden aan de uiteinden van de balk en de conjugatievoorwaarden aan de grenzen van de secties. De koppelingsvoorwaarden in het onderhavige geval worden als volgt uitgedrukt:

bij x=een 1

bij x=een 2

bij x=een 3

Het is gemakkelijk in te zien dat deze manier om het probleem op te lossen leidt tot een groot aantal willekeurige constanten, gelijk aan 4 N, Waar N– aantal secties over de lengte van de balk.

Rijst. 1.10. Balk met belastingen die in bepaalde gebieden worden toegepast verschillende soorten

Het is veel handiger om de elastische lijn van de balk in de vorm weer te geven

waarbij met termen buiten de dubbele lijn rekening wordt gehouden wanneer X³ A 1, X³ A 2, enz.

Het is duidelijk dat δ 1 w(X)=w 2 (X)−w 1 (X); δ2 w(X)=w 3 (X)−w 2 (X); enz.

Differentiaalvergelijkingen om correcties op de elastische lijn δ te bepalen iw (X) gebaseerd op (1.18) en (1.32) kan in de vorm worden geschreven

Algemene integraal voor elke correctie δ iw (X) naar de elastische lijn kan in de vorm (1.24) worden geschreven met xa = een ik . In dit geval de parameters Nee,moeder,θ een , w een hebben respectievelijk de betekenis van veranderingen (sprongen): in schuifkracht, buigmoment, rotatiehoek en afbuigpijl bij het passeren van de sectie x =een ik . Deze techniek wordt de initiële parametersmethode genoemd. Er kan worden aangetoond dat voor de balk getoond in Fig. 1.10, de vergelijking van de elastische lijn zal zijn

De methode van initiële parameters maakt het dus mogelijk, zelfs in de aanwezigheid van discontinuïteit in de belastingen, om de vergelijking van de elastische lijn te schrijven in een vorm die slechts vier willekeurige constanten bevat. N 0 , M 0 , θ 0 , w 0, die worden bepaald op basis van de randvoorwaarden aan de uiteinden van de ligger.

Merk op dat voor een groot aantal varianten van liggers met één overspanning die in de praktijk voorkomen, gedetailleerde buigtabellen zijn samengesteld die het gemakkelijk maken om doorbuigingen, rotatiehoeken en andere buigelementen te vinden.

1.4. Bepaling van schuifspanningen tijdens het buigen van balken

De hypothese van vlakke secties die wordt aangenomen in de theorie van het buigen van de balk leidt tot het feit dat de schuifvervorming in de balksectie gelijk is aan nul, en we zijn niet in staat om schuifspanningen te bepalen met behulp van de wet van Hooke. Echter sinds in algemeen geval Wanneer schuifkrachten inwerken op de secties van de balk, moeten overeenkomstige tangentiële spanningen ontstaan. Deze tegenstrijdigheid (die een gevolg is van de geaccepteerde hypothese van vlakke doorsneden) kan worden omzeild door rekening te houden met evenwichtsomstandigheden. We zullen aannemen dat wanneer een balk bestaande uit dunne stroken wordt gebogen, de tangentiële spanningen in de dwarsdoorsnede van elk van deze stroken gelijkmatig over de dikte zijn verdeeld en evenwijdig aan de lange zijden van de contour zijn gericht. Dit standpunt wordt praktisch bevestigd door exacte oplossingen van de elasticiteitstheorie. Laten we een balk van een open dunwandige I-balk bekijken. In afb. Figuur 1.11 toont de positieve richting van tangentiële spanningen in de flenzen en de profielwand tijdens het buigen in het vlak van de liggerwand. Laten we het benadrukken met een lengtedoorsnede I -I en twee doorsneden van een elementlengte dx (Afb. 1.12).

Laten we de tangentiële spanning in de aangegeven langsdoorsnede aangeven met τ, en de normaalkrachten in de initiële doorsnede met T. Normaalkrachten in het laatste gedeelte zullen toenemen. Laten we dan alleen lineaire stappen beschouwen.

Rijst. 1.12. Longitudinale krachten en schuifspanningen
in het liggerflenselement

De toestand van statisch evenwicht van een element geselecteerd uit de balk (de projecties van krachten op de as zijn gelijk aan nul OS) zullen

Waar ; F– gebied van het profieldeel afgesneden door de lijn I -I; δ – profieldikte op de sectie.

Uit (1.36) volgt:

Aangezien normale spanningen σ X worden dan bepaald met formule (1.8).

In dit geval nemen we aan dat de balk een constante dwarsdoorsnede heeft over de lengte ervan. Statisch moment van het profieldeel (afgesneden door lijn I -I) ten opzichte van de neutrale as van de straalsectie OJ is de integraal

Vervolgens verkrijgen we uit (1.37) voor de absolute waarde van spanningen:

De resulterende formule voor het bepalen van schuifspanningen geldt uiteraard ook voor bijvoorbeeld elke langsdoorsnede II-II(zie Fig. 1.11) en statisch moment S ots wordt berekend voor het afgesneden deel van het liggerprofielgebied ten opzichte van de neutrale as zonder rekening te houden met het teken.

Formule (1.38), in de zin van de afleiding, bepaalt de tangentiële spanningen in de langsdoorsneden van de ligger. Uit de stelling over het paren van tangentiële spanningen, bekend uit de cursus over sterkte van materialen, volgt dat dezelfde tangentiële spanningen werken op de overeenkomstige punten van de dwarsdoorsnede van de balk. Uiteraard de projectie van de hoofdvector van tangentiële spanningen op de as OZ moet gelijk zijn aan de schuifkracht N in een bepaald deel van de balk. Omdat in de consoles van balken van dit type, zoals getoond in Fig. 1.11 zijn tangentiële spanningen langs de as gericht OJ, d.w.z. loodrecht op het werkingsvlak van de last staan ​​en over het algemeen in evenwicht zijn, moet de schuifkracht in evenwicht worden gebracht door de schuifspanningen in het liggerlijf. De verdeling van tangentiële spanningen langs de hoogte van de muur volgt de wet van verandering in statisch moment S ots van het afgesneden deel van het gebied ten opzichte van de neutrale as (met constante dikte muren δ).

Overweeg een symmetrische doorsnede Ik-straal met riemgedeelte F 1 en muuroppervlak ω = hδ (Afb. 1.13).

Rijst. 1.13. Doorsnede van een I-balk

Statisch moment van het afgesneden deel van het gebied voor een punt gelegen op z vanaf de neutrale as zal dat er wel zijn

Zoals uit afhankelijkheid (1.39) blijkt, varieert het statische moment met z volgens de wet van de kwadratische parabool. Hoogste waarde S ots , en dus tangentiële spanningen τ , wordt verkregen op de neutrale as, waar z = 0:

De hoogste schuifspanning in de liggerwand ter hoogte van de neutrale as

Omdat het traagheidsmoment van het gedeelte van de betreffende balk gelijk is aan

dan zal de maximale schuifspanning zijn

Houding N/ω is niets meer dan de gemiddelde schuifspanning in de wand, berekend uitgaande van een uniforme spanningsverdeling. Neem bijvoorbeeld ω = 2 F 1 , volgens formule (1.41) krijgen we

De beschouwde balk heeft dus de grootste tangentiële spanning in de muur op de neutrale as, met slechts 12,5% groter is dan de gemiddelde waarde van deze spanningen. Opgemerkt moet worden dat voor de meeste balkprofielen die in scheepsrompen worden gebruikt, de maximale schuifspanningen de gemiddelde waarden met 10-15% overschrijden.

Als we kijken naar de verdeling van de schuifspanningen tijdens het buigen in het gedeelte van de balk getoond in Fig. 1.14, dan zie je dat ze een moment vormen ten opzichte van het zwaartepunt van de doorsnede. In het algemene geval is het buigen van een dergelijke balk in het vlak XOZ gaat gepaard met draaien.

Het buigen van de balk gaat niet gepaard met torsie als de belasting in een vlak evenwijdig aanwerkt XOZ door een punt gaat dat het midden van de bocht wordt genoemd. Dit punt wordt gekenmerkt door het feit dat het moment van alle tangentiële krachten in het gedeelte van de balk ten opzichte daarvan gelijk is aan nul.

Rijst. 1.14. Tangentiële spanningen tijdens het buigen van de kanaalbalk (punt A – middelpunt van de bocht)

Geeft de afstand tot het midden van de bocht aan A vanaf de as van de balkwand door e, noteren we de voorwaarde dat het moment van tangentiële krachten gelijk is aan nul ten opzichte van het punt A:

Waar Q 2 – tangentiële kracht in de muur, gelijk aan de schuifkracht, d.w.z. Q 2 =N;

Q 1 =Q 3 – kracht in de band, bepaald op basis van (1.38) door de afhankelijkheid

De schuifspanning (of schuifhoek) γ varieert langs de hoogte van de liggerwand op dezelfde manier als de schuifspanningen τ , zijn grootste waarde bereikt op de neutrale as.

Zoals is aangetoond is voor balken met koorden de verandering in tangentiële spanningen langs de hoogte van de muur zeer onbeduidend. Hierdoor kunnen we verder rekening houden met een bepaalde gemiddelde schuifhoek in de liggerwand

Afschuifvervorming leidt ertoe dat de rechte hoek tussen het dwarsdoorsnedevlak van de balk en de raaklijn aan de elastische lijn verandert met de hoeveelheid γ wo Een vereenvoudigd diagram van de schuifvervorming van een balkelement wordt getoond in Fig. 1.15.

Rijst. 1.15. Scheefvervormingsdiagram van liggerelementen

Na de pijl van doorbuiging veroorzaakt door doorschuiving te hebben aangegeven w sdv, kunnen we schrijven:

Rekening houdend met de tekenregel voor snijkracht N en zoek de rotatiehoek

Omdat de,

Als we (1.47) integreren, verkrijgen we

Constante A, opgenomen in (1.48), bepaalt de verplaatsing van de balk als stevig en kan gelijk worden gesteld aan elke waarde, sinds bij het bepalen van de totale afbuigingspijl door buiging w buigen en afschuiven w SDV

de som van de integratieconstanten zal verschijnen w 0 +A, bepaald op basis van de randvoorwaarden. Hier w 0 – doorbuiging door buiging bij de oorsprong.

Laten we het in de toekomst plaatsen A=0. Dan zal de uiteindelijke uitdrukking voor de elastische lijn, veroorzaakt door de afschuiving, de vorm aannemen

De buig- en afschuifcomponenten van de elastische lijn worden getoond in Fig. 1.16.

Rijst. 1.16. Kromming ( A) en afschuiving ( B) componenten van de elastische lijn van de balk

In het beschouwde geval is de rotatiehoek van de secties tijdens afschuiving nul. Daarom, rekening houdend met de afschuiving, worden de rotatiehoeken van de secties, buigmomenten en schuifkrachten alleen geassocieerd met de afgeleiden van de elastische lijn van de kromming:

De situatie is enigszins anders in het geval van geconcentreerde momenten die op de balk inwerken en die, zoals hieronder zal worden getoond, geen afbuigingen door afschuiving veroorzaken, maar alleen leiden tot extra rotatie van de secties van de balk.

Laten we een balk bekijken die vrij wordt ondersteund op stijve steunen, waarvan het linkergedeelte het moment is geldig M. De schuifkracht zal in dit geval zijn constant en gelijk

Voor de juiste referentiesectie verkrijgen we respectievelijk

.(1.52)

Expressies (1.51) en (1.52) kunnen worden herschreven als

De uitdrukkingen tussen haakjes karakteriseren de relatieve toevoeging aan de rotatiehoek van de sectie veroorzaakt door de afschuiving.

Als we bijvoorbeeld een eenvoudig ondersteunde balk beschouwen die in het midden van zijn overspanning met een kracht wordt belast R(Fig. 1.18), dan zal de doorbuiging van de balk onder kracht gelijk zijn aan

De buigdoorbuiging kunt u vinden in de buigtabellen van de liggers. De afschuifdoorbuiging wordt bepaald met formule (1.50), waarbij rekening wordt gehouden met het feit dat .

Rijst. 1.18. Diagram van een eenvoudig ondersteunde balk belast met een geconcentreerde kracht

Zoals blijkt uit formule (1.55) heeft de relatieve optelling van de bundeldoorbuiging als gevolg van afschuiving dezelfde structuur als de relatieve optelling van de rotatiehoek, maar met een andere numerieke coëfficiënt.

Laten we de notatie introduceren

waarbij β een numerieke coëfficiënt is, afhankelijk van de specifieke taak die wordt overwogen, het ontwerp van de steunen en de belasting van de balk.

Laten we de afhankelijkheid van de coëfficiënt analyseren k uit verschillende factoren.

Als we daar rekening mee houden, verkrijgen we in plaats van (1.56)

Het traagheidsmoment van een liggersectie kan altijd in de vorm worden weergegeven

,(1.58)

waarbij α een numerieke coëfficiënt is, afhankelijk van de vorm en kenmerken van de doorsnede. Dus voor een I-balk, volgens formule (1.40) met ω =2 F 1 zullen we vinden ik = ωh 2/3, d.w.z. α =1/3.

Merk op dat naarmate de afmeting van de liggerflenzen toeneemt, de coëfficiënt α zal toenemen.

Rekening houdend met (1.58), kunnen we in plaats van (1.57) schrijven:

Dus de waarde van de coëfficiënt k hangt in belangrijke mate af van de verhouding van de overspanning van de balk tot zijn hoogte, van de vorm van de sectie (via de coëfficiënt α), de opstelling van de steunen en de belasting van de balk (via de coëfficiënt β). Hoe relatief langer de straal ( H/L klein), hoe kleiner de invloed van schuifvervorming. Voor balken gerold profiel verwant H/L minder dan 1/10 ÷ 1/8 kan er praktisch geen rekening worden gehouden met de verschuivingscorrectie.

Bij balken met brede flenzen, zoals bijvoorbeeld kielen, stringers en flora’s in de samenstelling van bodemvloeren, kan de invloed van schuifkracht en bij de gespecificeerde H/L kan van groot belang blijken te zijn.

Opgemerkt moet worden dat schuifvervormingen niet alleen de toename van de bundeldoorbuigingen beïnvloeden, maar in sommige gevallen ook de resultaten van het onthullen van de statische onbepaaldheid van balken en straalsystemen.

Berekenen buigende balk Er zijn verschillende opties:
1. Berekening van de maximale belasting die het kan weerstaan
2. Selectie van de doorsnede van deze balk
3. Berekening op basis van maximaal toelaatbare spanningen (ter verificatie)
laat ons nadenken algemeen principe selectie van de straalsectie op twee steunen belast met een gelijkmatig verdeelde belasting of geconcentreerde kracht.
Om te beginnen moet je het punt (sectie) vinden waarop er een maximaal moment zal zijn. Dit is afhankelijk van het feit of de balk wordt ondersteund of ingebed. Hieronder vindt u diagrammen van buigmomenten voor de meest voorkomende schema's.

Nadat we het buigmoment hebben gevonden, moeten we het weerstandsmoment Wx van deze sectie vinden met behulp van de formule in de tabel:

Verder krijgen we, als we het maximale buigmoment delen door het weerstandsmoment in een bepaalde sectie maximale spanning in de balk en we moeten deze spanning vergelijken met de spanning die onze balk van een bepaald materiaal in het algemeen kan weerstaan.

Voor kunststof materialen(staal, aluminium, etc.) zal de maximale spanning gelijk zijn materiaalvloeigrens, A voor kwetsbaar(gietijzer) - treksterkte. De vloeigrens en treksterkte kunnen we uit de onderstaande tabellen halen.

Laten we een paar voorbeelden bekijken:
1. [i] U wilt controleren of een I-balk nr. 10 (staal St3sp5) van 2 meter lang, stevig verankerd in de muur, u ondersteunt als u eraan hangt. Laat uw massa 90 kg zijn.
Eerst moeten we een ontwerpschema selecteren.

Dit diagram laat zien dat het maximale moment bij de afdichting zal liggen, en aangezien onze I-balk dat ook heeft gelijke doorsnede over de gehele lengte, dan bevindt de maximale spanning zich in de afsluiting. Laten we het vinden:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN*m

Met behulp van de I-beam assortimentstabel vinden we het weerstandsmoment van I-beam nr. 10.

Het zal gelijk zijn aan 39,7 cm3. Laten we het omrekenen naar kubieke meters en dan 0,0000397 m3 krijgen.
Vervolgens vinden we met behulp van de formule de maximale spanningen die in de balk optreden.

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Nadat we de maximale spanning hebben gevonden die in de balk optreedt, kunnen we deze vergelijken met het maximum toegestane spanning gelijk aan de limiet de vloeibaarheid van staal St3sp5 is 245 MPa.

45,34 MPa klopt, wat betekent dat deze I-balk een massa van 90 kg kan weerstaan.

2. [i] Omdat we een behoorlijk grote voorraad hebben, zullen we het tweede probleem oplossen, waarin we de maximaal mogelijke massa zullen vinden die dezelfde I-balk nr. 10, 2 meter lang, zal ondersteunen.
Als we de maximale massa willen vinden, moeten we de waarden van de vloeigrens en de spanning die in de balk zal ontstaan ​​(b = 245 MPa = 245.000 kN*m2) gelijkstellen.