Breuken komen we veel eerder in het leven tegen dan dat we ze op school beginnen te bestuderen. Als we een hele appel doormidden snijden, krijgen we de helft van het fruit. Laten we het nog een keer knippen - het wordt ¼. Dit zijn breuken. En alles leek eenvoudig. Voor een volwassene. Voor het kind (en dit onderwerp beginnen te studeren aan het einde van de basisschool) abstracte wiskundige concepten zijn nog steeds angstaanjagend onbegrijpelijk, en de leraar moet duidelijk uitleggen wat een goede en onechte breuk, gemeenschappelijk en decimaal, is, welke bewerkingen ermee kunnen worden uitgevoerd en, belangrijker nog, wat ze allemaal kunnen doen. hiervoor is nodig.

Wat zijn breuken?

Leren kennen nieuw onderwerp op school begint het met gewone breuken. Ze zijn gemakkelijk te herkennen aan de horizontale lijn die de twee cijfers scheidt: boven en onder. De bovenste heet de teller, de onderste de noemer. Er is ook een optie in kleine letters voor het schrijven van onjuiste en juiste gewone breuken - via een schuine streep, bijvoorbeeld: ½, 4/9, 384/183. Deze optie wordt gebruikt wanneer de regelhoogte beperkt is en het niet mogelijk is om een ​​“twee verdiepingen” inschrijfformulier te gebruiken. Waarom? Ja, omdat het handiger is. We zullen dit iets later zien.

Naast de gebruikelijke zijn er ook decimalen. Het is heel eenvoudig om ze te onderscheiden: als in het ene geval een horizontale of schuine streep wordt gebruikt, wordt in het andere geval een komma gebruikt om reeksen getallen van elkaar te scheiden. Laten we naar een voorbeeld kijken: 2.9; 163,34; 1.953. We hebben bewust een puntkomma gebruikt als scheidingsteken om de getallen af ​​te bakenen. De eerste van hen zal als volgt luiden: “twee komma negen.”

Nieuwe concepten

Laten we terugkeren naar gewone breuken. Ze zijn er in twee soorten.

De definitie van een echte breuk is als volgt: het is een breuk waarvan de teller kleiner is dan de noemer. Waarom is het belangrijk? We zullen het nu zien!

Je hebt verschillende appels, gehalveerd. Totaal - 5 delen. Hoe zou je zeggen: heb je ‘twee en een half’ of ‘vijf en een half’ appels? Natuurlijk klinkt de eerste optie natuurlijker, en we zullen deze gebruiken als we met vrienden praten. Maar als we moeten berekenen hoeveel fruit elke persoon krijgt, als er vijf mensen in het bedrijf zijn, zullen we het getal 5/2 opschrijven en dit door 5 delen - vanuit wiskundig oogpunt zal dit duidelijker zijn .

Voor het benoemen van echte en onechte breuken geldt dus de volgende regel: als een heel deel kan worden onderscheiden in een breuk (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), dan is het onregelmatig. Als dit niet mogelijk is, zoals in het geval van ½, 13/16, 9/10, zal het correct zijn.

De belangrijkste eigenschap van een breuk

Als de teller en de noemer van een breuk gelijktijdig worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal, verandert de waarde ervan niet. Stel je voor: ze sneden de cake in 4 gelijke delen en gaven je er één. Ze sneden dezelfde cake in acht stukken en gaven je er twee. Maakt het echt uit? ¼ en 2/8 zijn tenslotte hetzelfde!

Afname

Auteurs van problemen en voorbeelden in wiskundeboeken proberen vaak leerlingen in verwarring te brengen door breuken aan te bieden die lastig zijn om te schrijven, maar die feitelijk kunnen worden afgekort. Hier is een voorbeeld van een echte breuk: 167/334, wat er erg “eng” uitziet. Maar we kunnen het eigenlijk schrijven als ½. Het getal 334 is deelbaar door 167 zonder rest - na het uitvoeren van deze bewerking krijgen we 2.

Gemengde cijfers

Een onechte breuk kan worden weergegeven als een gemengd getal. Dit is wanneer het hele deel naar voren wordt gebracht en ter hoogte van de horizontale lijn wordt geschreven. In feite heeft de uitdrukking de vorm van een som: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 enzovoort.

Om het hele deel eruit te halen, moet je de teller delen door de noemer. Schrijf de rest van de scheiding bovenaan, boven de lijn, en het hele gedeelte vóór de uitdrukking. We krijgen dus twee structurele delen: hele eenheden + echte breuk.

U kunt ook de omgekeerde bewerking uitvoeren - hiervoor moet u het gehele deel met de noemer vermenigvuldigen en de resulterende waarde aan de teller toevoegen. Niets ingewikkelds.

Vermenigvuldiging en deling

Vreemd genoeg is het vermenigvuldigen van breuken gemakkelijker dan het optellen ervan. Het enige dat nodig is, is de horizontale lijn verlengen: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Bij deling is alles ook eenvoudig: je moet de breuken kruislings vermenigvuldigen: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Breuken toevoegen

Wat moet u doen als u een optelling moet uitvoeren of als er verschillende getallen in de noemer staan? Het zal niet werken om hetzelfde te doen als bij vermenigvuldigen - hier zou je de definitie van een juiste breuk en de essentie ervan moeten begrijpen. Het is noodzakelijk om de termen naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, dat wil zeggen dat de onderste delen van beide breuken dezelfde getallen moeten bevatten.

Om dit te doen, moet u de basiseigenschap van een breuk gebruiken: vermenigvuldig beide delen met hetzelfde getal. Bijvoorbeeld 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Hoe kies je tot welke noemer je de termen wilt herleiden? Het zou zo moeten zijn minimaal aantal, een veelvoud van beide getallen in de noemers van de breuken: voor 1/3 en 1/9 is dit 9; voor ½ en 1/7 - 14, omdat er geen kleinere waarde bestaat die zonder rest deelbaar is door 2 en 7.

Gebruik

Waar worden onechte breuken voor gebruikt? Het is immers veel handiger om meteen het hele onderdeel te selecteren, een gemengd nummer te krijgen - en klaar! Het blijkt dat als je twee breuken moet vermenigvuldigen of delen, het winstgevender is om onregelmatige breuken te gebruiken.

Laten we nemen volgende voorbeeld: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Het lijkt erop dat er helemaal niets valt te bezuinigen. Maar wat als we het optelresultaat tussen de eerste haakjes schrijven als een onechte breuk? Kijk: (37/17) / (37/68)

Nu valt alles op zijn plaats! Laten we het voorbeeld zo schrijven dat alles duidelijk wordt: (37*68) / (17*37).

Laten we 37 schrappen in de teller en de noemer en uiteindelijk de boven- en onderkant delen door 17. Herinner je je de basisregel voor juiste en onechte breuken? We kunnen ze vermenigvuldigen en delen door elk getal, zolang we het maar tegelijkertijd voor de teller en de noemer doen.

We krijgen dus het antwoord: 4. Het voorbeeld zag er ingewikkeld uit, maar het antwoord bevat slechts één getal. Dit gebeurt vaak in de wiskunde. Het belangrijkste is om niet bang te zijn en eenvoudige regels te volgen.

Veelgemaakte fouten

Bij de implementatie kan een student gemakkelijk een van de veelgemaakte fouten maken. Meestal ontstaan ​​ze door onoplettendheid, en soms doordat het bestudeerde materiaal nog niet goed in het hoofd is opgeslagen.

Vaak zorgt de som van de getallen in de teller ervoor dat je de afzonderlijke componenten ervan wilt verkleinen. Laten we in het voorbeeld zeggen: (13 + 2) / 13, geschreven zonder haakjes (met een horizontale lijn), veel studenten schrappen vanwege onervarenheid 13 boven en onder. Maar dit mag onder geen enkele omstandigheid worden gedaan, want dit is een grove fout! Als er in plaats van optellen een vermenigvuldigingsteken zou staan, zouden we het getal 2 in het antwoord krijgen. Maar bij het uitvoeren van optellen zijn geen bewerkingen met een van de termen toegestaan, alleen met de gehele som.

Jongens maken ook vaak fouten bij het delen van breuken. Laten we twee echte onherleidbare breuken nemen en door elkaar delen: (5/6) / (25/33). De leerling kan deze door elkaar halen en de resulterende uitdrukking schrijven als (5*25) / (6*33). Maar dit zou gebeuren met vermenigvuldiging, maar in ons geval zal alles enigszins anders zijn: (5*33) / (6*25). We verminderen wat mogelijk is, en het antwoord zal 11/10 zijn. We schrijven de resulterende onechte breuk als een decimaal - 1,1.

Beugels

Bedenk dat in elke wiskundige uitdrukking de volgorde van bewerkingen wordt bepaald door de prioriteit van de bewerkingstekens en de aanwezigheid van haakjes. Als alle andere zaken gelijk zijn, wordt de volgorde van de acties van links naar rechts geteld. Dit geldt ook voor breuken: de uitdrukking in de teller of noemer wordt strikt volgens deze regel berekend.

Dit is tenslotte het resultaat van het delen van het ene getal door het andere. Als ze niet gelijkmatig verdeeld zijn, wordt het een breuk - dat is alles.

Hoe een breuk op een computer te schrijven

Omdat standaardtools het niet altijd mogelijk maken om een ​​fractie te maken die uit twee 'lagen' bestaat, nemen studenten soms hun toevlucht tot verschillende trucs. Ze kopiëren bijvoorbeeld de tellers en noemers naar de grafische editor van Paint en lijmen ze aan elkaar, waarbij ze een horizontale lijn ertussen tekenen. Natuurlijk is er een eenvoudigere optie, die overigens veel biedt extra functies, wat in de toekomst nuttig voor u zal zijn.

Open Microsoft Word. Een van de panelen bovenaan het scherm heet "Invoegen" - klik erop. Aan de rechterkant, aan de kant waar de pictogrammen voor het sluiten en minimaliseren van het venster zich bevinden, bevindt zich een knop "Formule". Dit is precies wat we nodig hebben!

Als u deze functie gebruikt, verschijnt er een rechthoekig gebied op het scherm waarin u wiskundige symbolen kunt gebruiken die niet op het toetsenbord staan, en breuken kunt schrijven in klassieke uitstraling. Dat wil zeggen: de teller en de noemer delen door een horizontale lijn. Het zal je misschien zelfs verbazen dat zo’n juiste breuk zo gemakkelijk te schrijven is.

Leer wiskunde

Zit je in groep 5-6, dan is kennis van wiskunde (inclusief het vermogen om met breuken te werken!) binnenkort voor veel schoolvakken vereist. Bij bijna elk probleem in de natuurkunde, bij het meten van de massa van stoffen in de scheikunde, in de meetkunde en trigonometrie, kun je niet zonder breuken. Binnenkort leer je alles in je hoofd te berekenen, zonder zelfs maar uitdrukkingen op papier te schrijven, maar steeds meer complexe voorbeelden. Leer daarom wat een juiste breuk is en hoe je ermee kunt werken, blijf op de hoogte leerplan, doe je huiswerk op tijd en je zult slagen.

Breuken

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel graag...”)

Breuken zijn op de middelbare school niet zo erg. Voorlopig. Totdat je graden tegenkomt rationele indicatoren ja logaritmes. En daar... U drukt en drukt op de rekenmachine, en deze toont een volledige weergave van enkele cijfers. Je moet met je hoofd denken, net als in de derde klas.

Laten we eindelijk breuken ontdekken! Welnu, hoeveel kun je erin verwarren!? Bovendien is het allemaal eenvoudig en logisch. Dus, wat zijn de soorten breuken?

Soorten breuken. Transformaties.

Er zijn drie soorten breuken.

1. Gemeenschappelijke breuken , Bijvoorbeeld:

Soms plaatsen ze in plaats van een horizontale lijn een schuine streep: 1/2, 3/4, 19/5, nou ja, enzovoort. Hier zullen we deze spelling vaak gebruiken. Het bovenste nummer wordt gebeld teller, lager - noemer. Als je deze namen voortdurend door elkaar haalt (het gebeurt...), zeg dan tegen jezelf de zin: " Zzzzz herinneren! Zzzzz noemer - kijk zzzzz uh!" Kijk, alles zal zzzz onthouden worden.)

Het streepje, horizontaal of schuin, betekent divisie van het bovenste getal (teller) naar het onderste getal (noemer). Dat is alles! In plaats van een streepje is het heel goed mogelijk om een ​​deelteken te plaatsen: twee punten.

Wanneer volledige deling mogelijk is, moet dit gebeuren. Dus in plaats van de breuk “32/8” is het veel prettiger om het getal “4” te schrijven. Die. 32 wordt eenvoudigweg gedeeld door 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ik heb het niet eens over de breuk "4/1". Dat is ook gewoon "4". En als het niet volledig deelbaar is, laten we het als een breuk staan. Soms moet je de tegenovergestelde handeling uitvoeren. Converteer een geheel getal naar een breuk. Maar daarover later meer.

2. Decimalen , Bijvoorbeeld:

In dit formulier moet u de antwoorden op taak "B" opschrijven.

3. Gemengde cijfers , Bijvoorbeeld:

Gemengde cijfers worden op de middelbare school vrijwel niet gebruikt. Om ermee te kunnen werken, moeten ze worden vertaald naar gewone breuken. Maar je moet dit zeker wel kunnen! Anders kom je zo'n nummer tegen in een probleem en bevriest... Uit het niets. Maar we zullen deze procedure onthouden! Iets lager.

Meest veelzijdig gewone breuken. Laten we met hen beginnen. Als een breuk allerlei logaritmen, sinussen en andere letters bevat, verandert daar trouwens niets aan. In de zin dat alles acties met breukuitdrukkingen verschillen niet van acties met gewone breuken!

De belangrijkste eigenschap van een breuk.

Dus laten we gaan! Om te beginnen zal ik je verrassen. De hele verscheidenheid aan breuktransformaties wordt geleverd door één enkele eigenschap! Zo heet het hoofdeigenschap van een breuk. Herinneren: Als de teller en de noemer van een breuk worden vermenigvuldigd (gedeeld) met hetzelfde getal, verandert de breuk niet. Die:

Het is duidelijk dat je kunt blijven schrijven totdat je blauw in je gezicht bent. Laat sinussen en logaritmen u niet in verwarring brengen, we zullen ze verder behandelen. Het belangrijkste is om te begrijpen dat al deze verschillende uitdrukkingen dat zijn dezelfde fractie . 2/3.

Hebben we het nodig, al deze transformaties? En hoe! Nu zul je het zelf zien. Laten we om te beginnen de basiseigenschap van een breuk gebruiken breuken verkleinen. Het lijkt iets elementairs. Deel de teller en de noemer door hetzelfde getal en dat is alles! Het is onmogelijk om een ​​fout te maken! Maar... de mens is een creatief wezen. Je kunt overal een fout maken! Vooral als je niet een breuk als 5/10 moet verkleinen, maar een breukuitdrukking met allerlei letters.

Hoe u breuken correct en snel kunt verkleinen zonder extra werk te doen, leest u in het speciale hoofdstuk 555.

Een normale leerling neemt niet de moeite om de teller en de noemer door hetzelfde getal (of dezelfde uitdrukking) te delen! Hij streept eenvoudigweg alles door wat boven en onder hetzelfde is! Dit is waar het op de loer ligt typische fout, een blooper, zo je wilt.

U moet bijvoorbeeld de uitdrukking vereenvoudigen:

Er is hier niets om over na te denken, streep de letter “a” bovenaan en de “2” onderaan! We krijgen:

Alles is correct. Maar in werkelijkheid waren jullie verdeeld alle teller en alle de noemer is "a". Als je gewend bent om gewoon door te strepen, dan kun je haastig de "a" in de uitdrukking doorstrepen

en krijg het weer

Wat categorisch onwaar zou zijn. Want hier alle de teller op "a" is al niet gedeeld! Deze fractie kan niet worden verminderd. Overigens is zo'n reductie, eh... een serieuze uitdaging voor de leraar. Dit is niet vergeven! Weet je nog? Bij het verkleinen moet je delen alle teller en alle noemer!

Het verkleinen van breuken maakt het leven een stuk eenvoudiger. Je krijgt ergens een breuk, bijvoorbeeld 375/1000. Hoe kan ik nu met haar blijven samenwerken? Zonder rekenmachine? Vermenigvuldigen, zeg maar, optellen, kwadrateren!? En als je niet te lui bent, en het voorzichtig met vijf inkort, en nog eens vijf, en zelfs... terwijl het wordt ingekort, kortom. Laten we 3/8 halen! Veel leuker, toch?

Met de hoofdeigenschap van een breuk kunt u gewone breuken omzetten in decimalen en omgekeerd zonder rekenmachine! Dit is belangrijk voor het Unified State Exam, toch?

Hoe breuken van het ene type naar het andere te converteren.

Met decimale breuken is alles eenvoudig. Zoals het gehoord wordt, zo wordt het geschreven! Laten we zeggen 0,25. Dit is nul komma vijfentwintig honderdsten. Wij schrijven dus: 25/100. We verminderen (we delen de teller en de noemer door 25), we krijgen de gebruikelijke breuk: 1/4. Alle. Het gebeurt en er wordt niets verminderd. Zoals 0,3. Dit is drie tiende, d.w.z. 3/10.

Wat als de gehele getallen niet nul zijn? Het is ok. We schrijven de hele breuk op zonder komma's in de teller en in de noemer - wat er wordt gehoord. Bijvoorbeeld: 3.17. Dit is drie komma zeventien honderdste. We schrijven 317 in de teller en 100 in de noemer. We krijgen 317/100. Niets wordt verminderd, dat betekent alles. Dit is het antwoord. Elementaire Watson! Uit alles wat er is gezegd, een nuttige conclusie: elke decimale breuk kan worden omgezet in een gewone breuk .

Maar sommige mensen kunnen de omgekeerde conversie van gewoon naar decimaal niet doen zonder een rekenmachine. En het is noodzakelijk! Hoe schrijf je het antwoord op het Unified State Exam!? Lees aandachtig en beheers dit proces.

Wat is het kenmerk van een decimale breuk? Haar noemer is Altijd kost 10, of 100, of 1000, of 10000 enzovoort. Als uw gemeenschappelijke breuk een noemer als deze heeft, is er geen probleem. Bijvoorbeeld 4/10 = 0,4. Of 7/100 = 0,07. Of 12/10 = 1,2. Wat als het antwoord op de taak in sectie “B” 1/2 bleek te zijn? Wat zullen we als reactie schrijven? Decimalen zijn vereist...

Laat ons herdenken hoofdeigenschap van een breuk ! Met wiskunde kun je op een gunstige manier de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen. Trouwens, wat dan ook! Behalve nul natuurlijk. Laten we deze eigenschap dus in ons voordeel gebruiken! Waarmee kan de noemer worden vermenigvuldigd, d.w.z. 2 zodat het 10 wordt, of 100, of 1000 (kleiner is natuurlijk beter...)? Om 5 uur, uiteraard. Voel je vrij om de noemer te vermenigvuldigen (dit is ons nodig) met 5. Maar dan moet de teller ook met 5 vermenigvuldigd worden. Dit is al zo wiskunde eisen! We krijgen 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Dat is alles.

Er komen echter allerlei noemers tegen. Je komt bijvoorbeeld de breuk 3/16 tegen. Probeer uit te vinden waarmee je 16 moet vermenigvuldigen om 100 of 1000 te krijgen... Werkt het niet? Dan kun je eenvoudig 3 delen door 16. Bij gebrek aan een rekenmachine zul je moeten delen met een hoekje, op een vel papier, zoals ze dat op de basisschool leerden. We krijgen 0,1875.

En er zijn ook hele slechte noemers. Er is bijvoorbeeld geen manier om de breuk 1/3 in een goed decimaal getal te veranderen. Zowel op de rekenmachine als op een vel papier krijgen we 0,3333333... Dit betekent dat 1/3 een exacte decimale breuk is vertaalt niet. Hetzelfde als 1/7, 5/6 enzovoort. Er zijn er veel, onvertaalbaar. Dit brengt ons tot een andere nuttige conclusie. Niet elke breuk kan worden omgezet in een decimaal getal !

Trouwens, dit hulpvolle informatie voor zelftest. In onderdeel "B" moet u een decimale breuk in uw antwoord noteren. En je hebt bijvoorbeeld 4/3. Deze breuk wordt niet omgezet in een decimaal getal. Dit betekent dat je ergens onderweg een fout hebt gemaakt! Ga terug en controleer de oplossing.

Dus we hebben gewone en decimale breuken bedacht. Het enige dat overblijft is het omgaan met gemengde cijfers. Om ermee te kunnen werken, moeten ze worden omgezet in gewone breuken. Hoe je dat doet? Je kunt een zesdeklasser betrappen en het hem vragen. Maar er zal niet altijd een zesdeklasser bij de hand zijn... Je zult het zelf moeten doen. Het is niet moeilijk. Je moet de noemer van het breukdeel vermenigvuldigen met het hele deel en de teller van het breukdeel optellen. Dit is de teller van de gewone breuk. Hoe zit het met de noemer? De noemer blijft hetzelfde. Het klinkt ingewikkeld, maar in werkelijkheid is alles eenvoudig. Laten we eens kijken naar een voorbeeld.

Stel dat je geschokt was toen je het getal in het probleem zag:

Rustig, zonder paniek, denken we. Het hele onderdeel is 1. Eenheid. Het fractionele deel is 3/7. Daarom is de noemer van het gebroken deel 7. Deze noemer zal de noemer zijn van de gewone breuk. We tellen de teller. We vermenigvuldigen 7 met 1 (het gehele deel) en tellen 3 op (de teller van het breukdeel). We krijgen 10. Dit is de teller van de gewone breuk. Dat is alles. Het ziet er nog eenvoudiger uit wiskundige notatie:

Is het duidelijk? Verzeker dan uw succes! Converteren naar gewone breuken. Je zou 10/7, 7/2, 23/10 en 21/4 moeten krijgen.

De omgekeerde bewerking – het omzetten van een onechte breuk naar een gemengd getal – is op de middelbare school zelden nodig. Nou, als dat zo is... En als je niet op de middelbare school zit, kun je de speciale Sectie 555 bekijken. Overigens leer je daar ook over onechte breuken.

Nou, dat is praktisch alles. Je herinnerde je de soorten breuken en begreep het Hoe breng ze over van het ene type naar het andere. De vraag blijft: Waarvoor doe het? Waar en wanneer deze diepgaande kennis toepassen?

Ik antwoord. Elk voorbeeld zelf suggereert de noodzakelijke acties. Als in het voorbeeld gewone breuken, decimalen en zelfs gemengde getallen met elkaar worden gemengd, zetten we alles om in gewone breuken. Het kan altijd. Als er zoiets staat als 0,8 + 0,3, dan tellen we het zo, zonder enige vertaling. Waarom hebben we extra werk nodig? Wij kiezen voor de oplossing die handig is ons !

Als de taak alleen uit decimale breuken bestaat, maar eh... een of andere slechte, ga dan naar de gewone breuken en probeer het! Kijk, alles komt goed. U moet bijvoorbeeld het getal 0,125 kwadrateren. Het is niet zo eenvoudig als je niet gewend bent geraakt aan het gebruik van een rekenmachine! Je moet niet alleen getallen in een kolom vermenigvuldigen, je moet ook nadenken over waar je de komma plaatst! In je hoofd zal het zeker niet werken! Wat als we overgaan naar een gewone breuk?

0,125 = 125/1000. We verminderen het met 5 (dit is om te beginnen). Wij krijgen 25/200. Nogmaals met 5. We krijgen 5/40. Oh, het krimpt nog steeds! Terug naar 5! Wij krijgen 1/8. We kwadrateren het gemakkelijk (in onze gedachten!) En krijgen 1/64. Alle!

Laten we deze les samenvatten.

1. Er zijn drie soorten breuken. Gemeenschappelijke, decimale en gemengde getallen.

2. Decimalen en gemengde getallen Altijd kan worden omgezet in gewone breuken. Omgekeerde overdracht niet altijd beschikbaar.

3. De keuze van het type breuken waarmee een taak moet worden gewerkt, hangt af van de taak zelf. In de aanwezigheid van verschillende soorten breuken in één taak, het meest betrouwbare is om door te gaan naar gewone breuken.

Nu kun je oefenen. Converteer eerst deze decimale breuken naar gewone breuken:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Je zou antwoorden als deze moeten krijgen (in een puinhoop!):

Laten we hier eindigen. In deze les hebben we ons geheugen opgefrist belangrijkste punten door breuken. Het komt echter voor dat er niets bijzonders te verversen valt...) Als iemand het helemaal vergeten is, of het nog niet onder de knie heeft... Dan kun je terecht bij een speciale Sectie 555. Alle basisprincipes worden daar gedetailleerd behandeld. Velen plotseling begrijp alles zijn begonnen. En ze lossen breuken meteen op).

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

In de wiskunde is een breuk een getal dat uit één of meer eenheden bestaat. Dat wil zeggen, een breuk vertegenwoordigt een deel van één geheel. Als een object bijvoorbeeld in 4 gelijke delen wordt verdeeld en er 1 van wordt genomen, krijgen we de breuk 1/4, waarbij 3 de teller is, 4 de noemer en het resultaat van een dergelijke deling (0,25) het quotiënt is. In het schoolcurriculum worden verschillende breuken gebruikt; de naam ervan hangt af van hun type.

Gemeenschappelijke, decimale en periodieke breuken

Volgens de opnamemethode worden gewone en decimale breuken onderscheiden. In het eerste geval wordt de breuk ook wel een enkelvoudige breuk genoemd. Het bestaat uit twee natuurlijke getallen, gescheiden door een horizontale of schuine streep, zoals in de onderstaande afbeelding.

Een decimaal is een gewone breuk met als noemer één gevolgd door nullen. Een voorbeeld van zo'n breuk wordt weergegeven in de volgende afbeelding. Dergelijke breuken worden echter meestal zonder noemer geschreven en een komma (0,3) wordt gebruikt om een ​​deel van het geheel aan te duiden. In dit geval worden evenveel getallen achter de komma aangegeven als er nullen staan ​​in de noemer van de enkelvoudige breuk.

Het deel van de decimale breuk dat vóór het positionele punt is geschreven, wordt het hele deel van de breuk genoemd, daarna - decimalen. Bovendien kan het aantal decimalen eindig (2,3) of oneindig (2,333333) zijn.

In het laatste geval we praten over over periodieke breuken, aangezien herhalende getallen punten worden genoemd. Schriftelijk is het gebruikelijk om de periode tussen haakjes te zetten, bijvoorbeeld 2,(3). Dit item luidt als volgt: twee gehele getallen en drie in een punt. Periodieke breuken kunnen echter worden afgerond, dan worden ze vaak ronde breuken genoemd, hoewel het in de wiskunde juister zou zijn om van een afgeronde breuk te spreken.

Juiste, oneigenlijke en gemengde breuken

Een breuk wordt juist genoemd als de modulus van de teller kleiner is dan de modulus van de noemer (1/3, 2/5, 7/8), anders wordt de breuk een onechte breuk genoemd (3/2, 9/7, 13/5). Breuken waarvan de teller en de noemer gelijk zijn, worden ook geclassificeerd als onechte breuken.

Tegelijkertijd kan elke onechte breuk worden weergegeven als een gemengde breuk; hieronder wordt een voorbeeld van een dergelijke breuk gegeven.

Hier is 1 het gehele deel van het gemengde getal, en 1/2 het breukdeel. Om een ​​gemengd getal om te zetten in een breuk, moet je het hele deel vermenigvuldigen met de noemer en de teller optellen bij de resulterende waarde. Als resultaat van dergelijke acties wordt de teller van een gewone breuk gevonden, terwijl de noemer hetzelfde blijft.

Reduceerbare en irreducibele breuken

Wanneer de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal kunnen worden gedeeld (behalve één), wordt de breuk reduceerbaar genoemd, in elk ander geval - onherleidbaar. Bijvoorbeeld:

• 3/9 is een reduceerbare breuk, aangezien zowel de teller als de noemer door 3 gedeeld kunnen worden;
• 3/5 is een onherleidbare breuk, omdat beide getallen een priemgetal zijn, d.w.z. zijn alleen deelbaar door zichzelf en 1;
• 2/7 is een onherleidbare breuk, omdat er geen gemeenschappelijk getal is dat zowel de teller als de noemer kan delen.

Samengestelde en wederkerige breuken

Vaak begrijpen schoolkinderen niet welke breuk een omgekeerde breuk wordt genoemd en welke een samengestelde breuk is. Het blijkt dat alles vrij eenvoudig is. Als we de breuk 7/8 nemen en de teller en de noemer omwisselen, krijgen we de breuk 8/7. Het zijn deze breuken (7/8 en 8/7) die wederkerig worden genoemd. Bovendien moet worden opgemerkt dat het product van dergelijke fracties altijd gelijk is aan 1.

Samengestelde breuken omvatten uitdrukkingen die verschillende kenmerken van de breuk omvatten. Voorbeelden van dergelijke fracties worden hieronder gegeven.

Daarnaast wordt er onderscheid gemaakt tussen positieve en negatieve fracties. Om dit laatste aan te geven, wordt vóór de breuk een “-” teken geplaatst. In dit geval wordt het teken “+” meestal niet aangegeven, zoals bij positieve getallen.

Breuken van een eenheid en wordt weergegeven als \frac(a)(b).

Teller van breuk (a)- het getal dat zich boven de breuklijn bevindt en dat het aantal aandelen aangeeft waarin de eenheid is verdeeld.

Breuknoemer (b)- het getal onder de breuklijn en dat aangeeft in hoeveel delen de eenheid is verdeeld.

Verberg show

De belangrijkste eigenschap van een breuk

Als ad=bc dan twee breuken \frac(a)(b) En \frac(c)(d) worden als gelijkwaardig beschouwd. De breuken zijn bijvoorbeeld gelijk \frac35 En \frac(9)(15), aangezien 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) En \frac(24)(14), aangezien 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Uit de definitie van gelijkheid van breuken volgt dat de breuken gelijk zullen zijn \frac(a)(b) En \frac(am)(bm), aangezien a(bm)=b(am) - duidelijk voorbeeld toepassing van de associatieve en commutatieve eigenschappen van vermenigvuldiging van natuurlijke getallen in actie.

Middelen \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- zo ziet het eruit hoofdeigenschap van een breuk.

Met andere woorden, we krijgen een breuk die gelijk is aan de gegeven breuk door de teller en de noemer van de oorspronkelijke breuk te vermenigvuldigen of te delen door hetzelfde natuurlijke getal.

Een fractie verkleinen is het proces waarbij een breuk wordt vervangen waarbij de nieuwe breuk gelijk is aan de oorspronkelijke, maar met een kleinere teller en noemer.

Het is gebruikelijk om breuken te verkleinen op basis van de basiseigenschap van de breuk.

Bijvoorbeeld, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(teller en noemer worden gedeeld door het getal 3); de resulterende fractie kan opnieuw worden verminderd door te delen door 5, dat wil zeggen \frac(15)(20)=\frac34.

Onherleidbare fractie is een fractie van de vorm \frac34, waarbij de teller en de noemer onderling priemgetallen zijn. Het belangrijkste doel van het verkleinen van een breuk is om de breuk onherleidbaar te maken.

Breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer

Laten we twee breuken als voorbeeld nemen: \frac(2)(3) En \frac(5)(8) met verschillende noemers 3 en 8. Om deze breuken tot een gemeenschappelijke noemer te brengen, vermenigvuldigen we eerst de teller en de noemer van de breuk \frac(2)(3) door 8. We krijgen het volgende resultaat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Vervolgens vermenigvuldigen we de teller en de noemer van de breuk \frac(5)(8) door 3. Als resultaat krijgen we: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). De oorspronkelijke breuken worden dus teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer 24.

Rekenkundige bewerkingen op gewone breuken

Optelling van gewone breuken

a) Als de noemers hetzelfde zijn, wordt de teller van de eerste breuk opgeteld bij de teller van de tweede breuk, waardoor de noemer hetzelfde blijft. Zoals je kunt zien in het voorbeeld:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Voor verschillende noemers worden breuken eerst herleid tot een gemeenschappelijke noemer, en vervolgens worden de tellers opgeteld volgens regel a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Breuken aftrekken

a) Als de noemers hetzelfde zijn, trek dan de teller van de tweede breuk af van de teller van de eerste breuk, waarbij de noemer hetzelfde blijft:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Als de noemers van de breuken verschillend zijn, worden de breuken eerst naar een gemeenschappelijke noemer gebracht en worden vervolgens de acties herhaald zoals in punt a).

Gemeenschappelijke breuken vermenigvuldigen

Bij het vermenigvuldigen van breuken wordt aan de volgende regel voldaan:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

dat wil zeggen, ze vermenigvuldigen de tellers en noemers afzonderlijk.

Bijvoorbeeld:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Breuken delen

Breuken worden op de volgende manier verdeeld:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

dat wil zeggen, een fractie \frac(a)(b) vermenigvuldigd met een breuk \frac(d)(c).

Voorbeeld: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Wederzijdse cijfers

Als ab=1, dan is het getal b wederkerig nummer voor het getal a.

Voorbeeld: voor het getal 9 is het omgekeerde \frac(1)(9), omdat 9\cdot\frac(1)(9)=1, voor het getal 5 - \frac(1)(5), omdat 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Decimalen

Decimale heet een echte breuk waarvan de noemer 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n is.

Bijvoorbeeld: \frac(6)(10)=0,6;\enspatie \frac(44)(1000)=0,044.

Onregelmatige getallen met een noemer van 10^n of gemengde getallen worden op dezelfde manier geschreven.

Bijvoorbeeld: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspatie \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Elke gewone breuk met een noemer die een deler is van een bepaalde macht van 10, wordt weergegeven als een decimale breuk.

Voorbeeld: 5 is een deler van 100, dus het is een breuk \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Rekenkundige bewerkingen op decimalen

Decimalen toevoegen

Als u twee decimale breuken wilt optellen, moet u ze zo rangschikken dat er identieke cijfers onder elkaar staan ​​en een komma onder de komma, en vervolgens de breuken optellen als gewone getallen.

Decimalen aftrekken

Het wordt op dezelfde manier uitgevoerd als optellen.

Decimalen vermenigvuldigen

Bij het vermenigvuldigen decimale getallen het is voldoende om de gegeven getallen te vermenigvuldigen, zonder op komma's te letten (zoals gehele getallen), en in het resulterende antwoord scheidt een komma aan de rechterkant het aantal cijfers na de komma in beide factoren in totaal.

Laten we 2,7 vermenigvuldigen met 1,3. We hebben 27 \cdot 13=351 . We scheiden twee cijfers aan de rechterkant met een komma (het eerste en tweede getal hebben één cijfer achter de komma; 1+1=2). Als resultaat krijgen we 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Als het resulterende resultaat minder cijfers bevat dan er door een komma gescheiden moeten worden, worden de ontbrekende nullen vooraan geschreven, bijvoorbeeld:

Om met 10, 100, 1000 te vermenigvuldigen, moet u de komma 1, 2, 3 cijfers naar rechts verplaatsen (indien nodig wordt aan de rechterkant een bepaald aantal nullen toegewezen).

Bijvoorbeeld: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700.

Decimale deling

Het delen van een decimale breuk door een natuurlijk getal gebeurt op dezelfde manier als het delen van een natuurlijk getal door een natuurlijk getal. De komma in het quotiënt wordt geplaatst nadat de verdeling van het hele deel is voltooid.

Als het gehele deel van het deeltal kleiner is dan de deler, dan is het antwoord nul gehele getallen, bijvoorbeeld:

Laten we eens kijken naar het delen van een decimaal door een decimaal. Laten we zeggen dat we 2,576 moeten delen door 1,12. Laten we eerst het deeltal en de deler van de breuk vermenigvuldigen met 100, dat wil zeggen, de komma naar rechts verplaatsen in het deeltal en de deler met evenveel cijfers als er in de deler na de komma staan ​​(in in dit voorbeeld door twee). Dan moet je de breuk 257,6 delen door het natuurlijke getal 112, dat wil zeggen dat het probleem wordt teruggebracht tot het reeds overwogen geval:

Het komt voor dat de uiteindelijke decimale breuk niet altijd wordt verkregen bij het delen van het ene getal door het andere. Het resultaat is een oneindige decimale breuk. In dergelijke gevallen gaan we verder met gewone breuken.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

1 Wat zijn gewone breuken? Soorten breuken.
Een breuk betekent altijd een deel van een geheel. Feit is dat de hoeveelheid niet altijd in natuurlijke getallen kan worden uitgedrukt, dat wil zeggen herberekend: 1,2,3, enz. Hoe duid je bijvoorbeeld een halve watermeloen of een kwartier aan? Dit is de reden waarom breuken of getallen verschenen.

Om te beginnen moet gezegd worden dat er over het algemeen twee soorten breuken zijn: gewone breuken en decimale breuken. Gewone breuken worden als volgt geschreven:
Decimale breuken worden anders geschreven:

Gewone breuken bestaan ​​uit twee delen: bovenaan staat de teller, onderaan de noemer. De teller en de noemer worden gescheiden door een breuklijn. Dus onthoud:

Elke breuk is een onderdeel van een geheel. Meestal in zijn geheel genomen 1 (eenheid). De noemer van een breuk laat zien in hoeveel delen het geheel is verdeeld ( 1 ), en de teller geeft aan hoeveel delen er zijn genomen. Als we de cake in 6 gelijke delen snijden (in de wiskunde zeggen ze dat). aandelen ), dan is elk deel van de cake gelijk aan 1/6. Als Vasya 4 stuks at, betekent dit dat hij 4/6 at.

Aan de andere kant is een schuine streep niets anders dan een deelteken. Daarom is een breuk het quotiënt van twee getallen: de teller en de noemer. In de tekst van problemen of in recepten worden breuken meestal als volgt geschreven: 2/3, 1/2, enz. Sommige breuken hebben hun eigen naam, bijvoorbeeld 1/2 - "half", 1/3 - "derde", 1/4 - "kwart"
Laten we nu eens kijken welke soorten gewone breuken er zijn.

2 Soorten gewone breuken

Er zijn drie soorten gewone breuken: juist, oneigenlijk en gemengd:

Juiste fractie

Als de teller kleiner is dan de noemer, wordt een dergelijke breuk genoemd juist, Bijvoorbeeld: Een echte breuk is altijd kleiner dan 1.

Onjuiste breuk

Als de teller groter is dan de noemer of gelijk is aan de noemer, wordt een dergelijke breuk genoemd fout, Bijvoorbeeld:

Een onechte breuk is groter dan één (als de teller groter is dan de noemer) of gelijk aan één (als de teller gelijk is aan de noemer)

Gemengde fractie

Als een breuk bestaat uit een geheel getal (geheel getal) en een echte breuk (breukdeel), dan heet zo’n breuk gemengd, Bijvoorbeeld:

Een gemengde breuk is altijd groter dan één.

3 Fractieconversies

In de wiskunde moeten gewone breuken vaak worden omgezet, dat wil zeggen dat een gemengde breuk moet worden omgezet in een onechte breuk en omgekeerd. Dit is nodig om bepaalde bewerkingen uit te voeren, zoals vermenigvuldigen en delen.

Dus, elke gemengde breuk kan worden omgezet in een onechte breuk. Om dit te doen, wordt het hele deel vermenigvuldigd met de noemer en wordt de teller van het gebroken deel opgeteld. Het resulterende bedrag wordt als teller genomen en de noemer blijft hetzelfde, bijvoorbeeld:

Elke onechte breuk kan worden omgezet in een gemengde breuk. Om dit te doen, deelt u de teller door de noemer (met een rest). Het resulterende getal is het gehele deel en de rest is de teller van het breukdeel, bijvoorbeeld:

Tegelijkertijd zeggen ze: “We hebben het hele deel geïsoleerd van de onechte breuk.”

Nog een regel om te onthouden: Elk geheel getal kan worden weergegeven als een breuk met de noemer 1, Bijvoorbeeld:

Laten we het hebben over het vergelijken van breuken.

4 Vergelijking van breuken

Bij het vergelijken van breuken zijn er verschillende opties: Het is gemakkelijk om breuken met dezelfde noemers te vergelijken, maar het is veel moeilijker als de noemers verschillend zijn. En er is ook een vergelijking van gemengde fracties. Maar maak je geen zorgen, nu zullen we elke optie in detail bekijken en leren hoe we breuken kunnen vergelijken.

Breuken met dezelfde noemers vergelijken

Van twee breuken met dezelfde noemers maar verschillende tellers is de breuk met de grootste teller groter, bijvoorbeeld:

Breuken met dezelfde tellers vergelijken

Van twee breuken met dezelfde tellers maar verschillende noemers is de breuk met de kleinere noemer groter, bijvoorbeeld:

Gemengde en onechte breuken vergelijken met echte breuken

Een onechte of gemengde breuk is altijd groter dan een echte breuk, bijvoorbeeld:

Vergelijking van twee gemengde fracties

Bij het vergelijken van twee gemengde breuken is de breuk waarvan het gehele deel groter is groter, bijvoorbeeld:

Als de hele delen van gemengde breuken hetzelfde zijn, is de breuk waarvan het breukdeel groter is groter, bijvoorbeeld:

Breuken met verschillende tellers en noemers vergelijken

Je kunt breuken met verschillende tellers en noemers niet vergelijken zonder ze om te zetten. Eerst moeten de breuken worden herleid tot dezelfde noemer, en vervolgens moeten hun tellers worden vergeleken. Hoe groter de breuk is waarvan de teller groter is. Maar in de volgende twee secties van het artikel zullen we bekijken hoe we breuken tot dezelfde noemer kunnen herleiden. Eerst zullen we kijken naar de basiseigenschap van breuken en breuken reduceren, en vervolgens breuken direct reduceren tot dezelfde noemer.

5 De belangrijkste eigenschap van een breuk. Breuken verkleinen. Het concept van GCD.

Herinneren: Je kunt alleen breuken met dezelfde noemer optellen, aftrekken en vergelijken. Als de noemers verschillend zijn, moet je eerst de breuken naar dezelfde noemer brengen, dat wil zeggen, een van de breuken transformeren zodat de noemer dezelfde wordt als die van de tweede breuk.

Breuken hebben één ding belangrijk bezit, ook wel genoemd de belangrijkste eigenschap van een breuk:

Als zowel de teller als de noemer van een breuk worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal, verandert de waarde van de breuk niet:

Dankzij deze eigenschap kunnen we dat breuken verkleinen:

Een breuk verkleinen is het delen van zowel de teller als de noemer door hetzelfde getal.(zie voorbeeld net hierboven). Wanneer we een breuk verkleinen, kunnen we onze acties als volgt schrijven:

Vaker wordt in notitieboekjes de breuk als volgt afgekort:

Maar onthoud: je kunt alleen factoren reduceren. Als de teller of de noemer een som of een verschil bevat, kunt u de termen niet reduceren. Voorbeeld:

Je moet de som eerst omzetten in een vermenigvuldiger:

Soms is het handig om bij het werken met grote getallen een breuk te verkleinen grootste gemene deler van teller en noemer (GCD)

Grootste gemene deler (GCD) meerdere getallen is het grootste natuurlijke getal waardoor deze getallen deelbaar zijn zonder rest.

Om de ggd van twee getallen te vinden (bijvoorbeeld de teller en de noemer van een breuk), moet je beide getallen in priemfactoren ontbinden, dezelfde factoren in beide ontbindingen markeren en deze factoren vermenigvuldigen. Het resulterende product zal de GCD zijn. We moeten bijvoorbeeld een breuk verkleinen:

Laten we de ggd van de nummers 96 en 36 vinden:

GCD laat ons zien dat zowel de teller als de noemer een factor 12 hebben, en we kunnen de breuk gemakkelijk verkleinen.

Om breuken op dezelfde noemer te brengen, is het soms voldoende om een ​​van de breuken te verkleinen. Maar vaker is het nodig om voor beide fracties aanvullende factoren te selecteren. Nu zullen we bekijken hoe dit wordt gedaan. Dus:

6 Hoe breuken tot dezelfde noemer te herleiden. Kleinste gemene veelvoud (LCM).

Wanneer we breuken terugbrengen tot dezelfde noemer, selecteren we een getal voor de noemer dat deelbaar is door zowel de eerste als de tweede noemer (dat wil zeggen, het zou een veelvoud zijn van beide noemers, in wiskundige termen). En het is wenselijk dat dit aantal zo klein mogelijk is, het is handiger om te tellen. We moeten dus de LCM van beide noemers vinden.

Kleinste gemene veelvoud van twee getallen (LCM) is het kleinste natuurlijke getal dat zonder rest deelbaar is door beide getallen. Soms is de LCM mondeling te vinden, maar vaker, vooral als je met grote getallen werkt, moet je de LCM schriftelijk vinden, met behulp van het volgende algoritme:

Om de LCM van verschillende nummers te vinden, hebt u het volgende nodig:

1. Factor deze getallen in priemfactoren
2. Neem de grootste uitbreiding en schrijf deze getallen als product
3. Selecteer in andere decomposities de getallen die niet in de grootste decompositie voorkomen (of daarin minder vaak voorkomen) en tel deze op bij het product.
4. Vermenigvuldig alle getallen in het product, dit is de LCM.

Laten we bijvoorbeeld de LCM van de getallen 28 en 21 vinden:

Laten we echter terugkeren naar onze fracties. Nadat we de LCM van beide noemers hebben gevonden of geschreven, moeten we de tellers van deze breuken vermenigvuldigen met extra vermenigvuldigers. Je kunt ze vinden door de LCM te delen door de noemer van de overeenkomstige breuk, bijvoorbeeld:

Dus hebben we onze breuken teruggebracht tot dezelfde noemer: 15.

7 Breuken optellen en aftrekken

Breuken met gelijke noemers optellen en aftrekken

Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen, maar de noemer hetzelfde laten, bijvoorbeeld:

Om breuken met dezelfde noemers af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer hetzelfde laten, bijvoorbeeld:

Gemengde breuken met gelijke noemers optellen en aftrekken

Om gemengde breuken op te tellen, moet je hun hele delen afzonderlijk optellen en vervolgens hun breuken optellen, en het resultaat schrijven als een gemengde breuk:

Als u bij het toevoegen van gebroken delen een onechte breuk krijgt, selecteert u het hele deel ervan en voegt u het toe aan het hele deel, bijvoorbeeld:

Het aftrekken gebeurt op een vergelijkbare manier: het gehele deel wordt afgetrokken van het hele deel en het fractionele deel wordt afgetrokken van het fractionele deel:

Als het fractionele deel van het aftrekkertje groter is dan het fractionele deel van het minuend, ‘lenen’ we er één van het hele deel, veranderen we het minuend in een onechte breuk, en gaan dan verder zoals gewoonlijk:

Insgelijks Trek een breuk af van een geheel getal:

Hoe een geheel getal en een breuk op te tellen

Om een ​​geheel getal en een breuk op te tellen, voegt u eenvoudigweg dat getal vóór de breuk toe om een ​​gemengde breuk te maken, bijvoorbeeld:

Als wij het optellen van een geheel getal en een gemengde breuk, voegen we dit getal toe aan het hele deel van de breuk, bijvoorbeeld:

Breuken met verschillende noemers optellen en aftrekken.

Om breuken met verschillende noemers op te tellen of af te trekken, moet je ze eerst naar dezelfde noemer brengen, en dan te werk gaan zoals bij het optellen van breuken met dezelfde noemers (de tellers optellen):

Bij het aftrekken gaan we op dezelfde manier te werk:

Als we met gemengde breuken werken, herleiden we hun breuken tot dezelfde noemer en trekken we vervolgens zoals gewoonlijk af: het hele deel van het hele deel, en het breukdeel van het breukdeel:

8 Breuken vermenigvuldigen en delen.

Het vermenigvuldigen en delen van breuken is veel gemakkelijker dan het optellen en aftrekken, omdat je ze niet tot dezelfde noemer hoeft te herleiden. Herinneren eenvoudige regels breuken vermenigvuldigen en delen:

Voordat u getallen in de teller en de noemer gaat vermenigvuldigen, is het raadzaam om de breuk te verkleinen, dat wil zeggen om dezelfde factoren in de teller en de noemer te verwijderen, zoals in ons voorbeeld.

Een breuk delen door een natuurlijk getal, moet je de noemer met dit getal vermenigvuldigen en de teller ongewijzigd laten:

Bijvoorbeeld:

Een breuk delen door een breuk

Om de ene breuk door de andere te delen, moet je het deeltal vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler (de omgekeerde breuk).

Als we de breuk omkeren, dat wil zeggen, de teller en de noemer omwisselen, krijgen we een omgekeerde breuk. Het product van een breuk en de inverse ervan geeft één. In de wiskunde worden dergelijke getallen reciprocals genoemd:

Bijvoorbeeld cijfers - wederzijds omgekeerd, sindsdien

Laten we dus terugkeren naar het delen van een breuk door een breuk:

Om de ene breuk door de andere te delen, moet je het deeltal vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler:

Bijvoorbeeld:

Bij het delen van gemengde breuken moet je, net als bij vermenigvuldigen, deze eerst omzetten in onechte breuken:

Bij het vermenigvuldigen en delen van breuken door hele natuurlijke getallen, kun je deze getallen ook weergeven als breuken met een noemer 1 .

En wanneer een geheel getal delen door een breuk geef dit getal weer als een breuk met een noemer 1 :