Als je netwerken van verschillende groottes opzet en elke dag met berekeningen bezig bent, hoef je dit soort spiekbriefjes niet te maken, alles gebeurt vanuit een onvoorwaardelijke reflex. Maar als je heel zelden in netwerken rondsnuffelt, weet je niet altijd wat het masker in decimale vorm is voor het voorvoegsel 21 of wat het netwerkadres is voor hetzelfde voorvoegsel. In dit verband besloot ik verschillende kleine artikelen te schrijven - spiekbriefjes over het converteren van getallen naar verschillende nummersystemen, netwerkadressen, maskers, enz. In dit deel zullen we het hebben over het converteren van getallen naar verschillende getalsystemen.
1. Nummersystemen
Wanneer je iets doet dat te maken heeft met computernetwerken en IT, kom je dit concept sowieso tegen. En als slimme IT-er moet je dit op zijn minst een beetje begrijpen, ook al zul je het in de praktijk zeer zelden gebruiken.
Laten we eens kijken naar de vertaling van elk cijfer van een IP-adres 98.251.16.138
in de volgende nummersystemen:
- Binair
- Octaal
- Decimale
- Hexadecimaal
1.1 Decimaal
Omdat de getallen in decimalen zijn geschreven, slaan we de conversie van decimaal naar decimaal over :)
1.1.1 Decimaal → Binair
Zoals we weten wordt het binaire getalsysteem in bijna alle moderne computers en vele andere computerapparatuur gebruikt. Het systeem is heel eenvoudig: we hebben alleen 0 en 1.
Om een getal met een tiende om te zetten in binaire vorm, moet je deling modulo 2 gebruiken (dat wil zeggen geheeltallig delen door 2), waardoor we altijd een rest van 1 of 0 hebben. In dit geval is het resultaat: van rechts naar links geschreven. Een voorbeeld zet alles op zijn plaats:
Figuur 1.1 – Getallen converteren van decimaal naar binair systeem
Figuur 1.2 – Getallen converteren van decimaal naar binair systeem
Ik zal de deling van het getal 98 beschrijven. We delen 98 door 2, het resultaat is 49 en de rest is 0. Vervolgens gaan we verder met delen en delen 49 door 2, het resultaat is 24 met een rest van 1. En op dezelfde manier komen we bij deelbaar tot 1 of 0. Vervolgens schrijven we het resultaat van rechts naar links.
1.1.2 Decimaal → Octaal
Het octale systeem is een geheel getalsysteem met grondtal 8. D.w.z. alle getallen daarin worden weergegeven in het bereik van 0 – 7 en om te converteren vanuit het decimale systeem moet je deling modulo 8 gebruiken.
Figuur 1.3 – Getallen converteren van decimaal naar octaal systeem
De indeling is vergelijkbaar met het 2-puntensysteem.
1.1.3 Decimaal → Hexadecimaal
Het hexadecimale systeem heeft het octale systeem bijna volledig vervangen. Het heeft een grondtal van 16, maar gebruikt decimale cijfers van 0 tot 9 + Latijnse letters van A (nummer 10) tot F (nummer 15). U komt het elke keer tegen als u de instellingen van uw netwerkadapter controleert: dit is het MAC-adres. Hetzelfde als IPv6 wordt gebruikt.
Figuur 1.4 – Getallen converteren van decimaal naar hexadecimaal
1.2 Binair
In het vorige voorbeeld hebben we alle decimale getallen omgezet naar andere getalsystemen, waarvan er één binair is. Laten we nu elk getal vanuit de binaire vorm converteren.
1.2.1 Binair → Decimaal
Om getallen van binair naar decimaal om te zetten, moet je twee nuances kennen. De eerste is dat elke nul en één een vermenigvuldiger van 2 inch hebben nde graad, waarin n van rechts naar links met precies één toeneemt. De tweede is dat na het vermenigvuldigen alle getallen moeten worden opgeteld en we het getal in decimale vorm krijgen. Het resultaat is dat we een formule als deze krijgen:
D = (een n × p n-1) + (een n-1 × p n-2) + (een n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)
Waar,
D is het decimale getal waarnaar we op zoek zijn;
N– het aantal tekens in een binair getal;
a – getal in binaire vorm op nde positie(d.w.z. eerste teken, tweede, enz.);
p – coëfficiënt gelijk aan 2,8 of 16 tot de macht N(afhankelijk van het nummersysteem)
Laten we bijvoorbeeld het getal 110102 nemen. We kijken naar de formule en schrijven:
- Het nummer bestaat uit 5 tekens ( N=5)
- p = 2 (aangezien we converteren van binair naar decimaal)
een 5 = 1, een 4 = 1, een 3 = 0, een 2 = 1, een 1 = 0
Als resultaat hebben we:
D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10
Voor degenen die gewend zijn om van rechts naar links te schrijven, ziet het formulier er als volgt uit:
D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10
Maar zoals we weten verandert het herschikken van de voorwaarden niets aan de som. Laten we nu onze getallen naar decimale vorm converteren.
Figuur 1.5 – Getallen omzetten van binair naar decimaal systeem
1.2.2 Binair → Octaal
Bij het vertalen moeten we het binaire getal van rechts naar links in groepen van drie tekens verdelen. Als de laatste groep niet uit drie tekens bestaat, vervangen we de ontbrekende bits eenvoudig door nullen. Bijv.:
10101001 = 0 10 101 001
1011100 = 00 1 011 100
Elke groep bits is een van de octale getallen. Om erachter te komen welke, moet je voor elke groep bits de hierboven geschreven formule 1.2.1 gebruiken. Als resultaat krijgen we.
Figuur 1.6 – Getallen converteren van binair naar octaal systeem
1.2.3 Binair → Hexadecimaal
Hier moeten we het binaire getal opsplitsen in groepen van vier tekens van rechts naar links, gevolgd door het toevoegen van nullen aan de ontbrekende bits van de groep, zoals hierboven beschreven. Als de laatste groep uit nullen bestaat, moeten deze worden genegeerd.
110101011 = 000 1 1010 1011
1011100 = 0 101 1100
001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000
Elke groep bits is een van de hexadecimale getallen. Voor elke groep bits gebruiken we formule 1.2.1.
Figuur 1.7 – Getallen converteren van binair naar hexadecimaal
1.3 Octaal
In dit systeem kunnen we alleen problemen ondervinden bij het converteren naar hexadecimaal, omdat de rest van de vertaling soepel verloopt.
1.3.1 Octaal → Binair
Elk getal in het octale systeem is een groep van drie bits in het binaire systeem, zoals hierboven beschreven. Om te vertalen moeten we een spiekbriefje gebruiken:
Figuur 1.8 – Aansporing voor het converteren van getallen uit het octale systeem
Met behulp van deze tablet converteren we onze getallen naar het binaire systeem.
Figuur 1.9 – Getallen converteren van octaal naar binair
Ik zal de conclusie een beetje beschrijven. Ons eerste getal is 142, wat betekent dat er drie groepen van elk drie bits zullen zijn. We gebruiken het spoor en zien dat nummer 1 001 is, nummer 4 100 en nummer 2 010. Als resultaat hebben we het nummer 001100010.
1.3.2 Octaal → Decimaal
Hier gebruiken we alleen formule 1.2.1 met een coëfficiënt van 8 (d.w.z. p=8). Als gevolg daarvan hebben we
Figuur 1.10 – Getallen converteren van octaal naar decimaal systeem
- Het nummer bestaat uit 3 tekens ( N=3)
- p = 8 (aangezien we converteren van octaal naar decimaal)
een 3 = 1, een 2 = 4, een 1 = 2
Als resultaat hebben we:
D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10
1.3.3 Octaal → Hexadecimaal
Zoals eerder geschreven, moeten we om te vertalen eerst de getallen omzetten in het binaire systeem, en vervolgens van binair naar hexadecimaal, en ze in groepen van 4 bits verdelen. U kunt de volgende aansporing gebruiken.
Figuur 1.11 – Aansporing voor het converteren van getallen uit het hexadecimale systeem
Deze tabel helpt u bij het converteren van binair naar hexadecimaal. Laten we nu onze cijfers omzetten.
Figuur 1.12 – Getallen converteren van octaal naar hexadecimaal
1.4 Hexadecimaal
Dit systeem heeft hetzelfde probleem bij het converteren naar octaal. Maar daarover later meer.
1.4.1 Hex → Binair
Elk getal in hexadecimaal is een groep van vier bits in binair getal, zoals hierboven beschreven. Om te vertalen kunnen we het spiekbriefje hierboven gebruiken. Als gevolg:
Figuur 1.13 – Getallen converteren van hexadecimaal naar binair
Laten we het eerste getal nemen - 62. Met behulp van de tabel (Fig. 1.11) zien we dat 6 0110 is, en 2 0010, als resultaat hebben we het nummer 01100010.
1.4.2 Hex → Decimaal
Hier gebruiken we alleen formule 1.2.1 met een coëfficiënt van 16 (d.w.z. p=16). Als gevolg daarvan hebben we
Figuur 1.14 – Getallen converteren van hexadecimaal naar decimaal
Laten we het eerste getal nemen. Gebaseerd op formule 1.2.1:
- Het nummer bestaat uit 2 tekens ( N=2)
- p = 16 (aangezien we converteren van hexadecimaal naar decimaal)
een 2 = 6, een 1 = 2
Als gevolg daarvan hebben we.
D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10
1.4.3 Hex → Octaal
Om naar het octale systeem te converteren, moet u eerst naar binair converteren, het vervolgens in groepen van 3 bits verdelen en de tabel gebruiken (Fig. 1.8). Als gevolg:
Figuur 1.15 – Getallen converteren van hexadecimaal naar octaal
We zullen het hebben over IP-adressen, maskers en netwerken.
2.3. Getallen omzetten van het ene getalsysteem naar het andere
2.3.1. Gehele getallen omzetten van het ene getalsysteem naar het andere
Het is mogelijk een algoritme te formuleren voor het converteren van gehele getallen uit een radixsysteem P tot een systeem met een basis Q :
1. Basis nieuw systeem druk getallen uit met getallen uit het oorspronkelijke getalsysteem en voer alle daaropvolgende acties uit in het oorspronkelijke getalsysteem.
2. Deel het gegeven getal en de resulterende gehele quotiënten consistent door de basis van het nieuwe getalsysteem totdat we een quotiënt verkrijgen dat kleiner is dan de deler.
3. De resulterende resten, die cijfers zijn van het getal in het nieuwe getallenstelsel, worden in overeenstemming gebracht met het alfabet van het nieuwe getallenstelsel.
4. Stel een getal samen in het nieuwe getalsysteem en schrijf het op, beginnend bij de laatste rest.
Voorbeeld 2.12. Converteer het decimale getal 173 10 naar een octaal getalsysteem:
We krijgen: 173 10 =255 8
Voorbeeld 2.13. Converteer het decimale getal 173 10 naar een hexadecimaal getalsysteem:
We krijgen: 173 10 = 16 n.Chr.
Voorbeeld 2.14. Converteer het decimale getal 11 10 naar het binaire getalsysteem. Het is handiger om de hierboven besproken reeks acties (vertaalalgoritme) als volgt weer te geven:
We krijgen: 11 10 =1011 2.
Voorbeeld 2.15. Soms is het handiger om het vertaalalgoritme in tabelvorm op te schrijven. Laten we het decimale getal 363 10 omzetten in een binair getal.
|
Verdeler |
|||||||||
We krijgen: 363 10 =101101011 2
2.3.2. Breukgetallen omzetten van het ene getalsysteem naar het andere
Het is mogelijk een algoritme te formuleren voor het omrekenen van een juiste breuk met grondtal P in een breuk met grondtal Q:
1. Druk de basis van het nieuwe getallenstelsel uit met getallen uit het oorspronkelijke getallenstelsel en voer alle daaropvolgende acties uit in het oorspronkelijke getallenstelsel.
2. Vermenigvuldig consequent de gegeven getallen en de resulterende fractionele delen van de producten met de basis van het nieuwe systeem totdat het fractionele deel van het product gelijk wordt aan nul of de vereiste nauwkeurigheid van de getalrepresentatie is bereikt.
3. De resulterende gehele delen van de producten, die cijfers zijn van het getal in het nieuwe getallensysteem, moeten in overeenstemming worden gebracht met het alfabet van het nieuwe getallenstelsel.
4. Stel het breukdeel van een getal samen in het nieuwe getalsysteem, beginnend bij het gehele deel van het eerste product.
Voorbeeld 2.17. Converteer het getal 0,65625 10 naar het octale getalsysteem.
We krijgen: 0,65625 10 =0,52 8
Voorbeeld 2.17. Converteer het getal 0,65625 10 naar een hexadecimaal getalsysteem.
|
X 16 |
|
We krijgen: 0,65625 10 =0.A8 1
Voorbeeld 2.18. Converteer de decimale breuk 0,5625 10 naar het binaire getalsysteem.
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
We krijgen: 0,5625 10 =0,1001 2
Voorbeeld 2.19. Converteer de decimale breuk 0,7 10 naar het binaire getalsysteem.
Het is duidelijk dat dit proces voor onbepaalde tijd kan doorgaan, waardoor steeds meer nieuwe tekens ontstaan in het beeld van het binaire equivalent van het getal 0,7 10. Dus in vier stappen krijgen we het getal 0,1011 2, en in zeven stappen het getal 0,1011001 2, wat een nauwkeurigere weergave is van het getal 0,7 10 in binair getal. nummersysteem, en enz. Een dergelijk eindeloos proces wordt bij een bepaalde stap beëindigd, wanneer wordt aangenomen dat de vereiste nauwkeurigheid van de getalweergave is verkregen.
2.3.3. Vertaling van willekeurige getallen
Vertaling van willekeurige getallen, d.w.z. getallen die een geheel getal en een breukdeel bevatten, worden in twee fasen uitgevoerd: het gehele deel wordt afzonderlijk vertaald en het breukdeel afzonderlijk. Bij de uiteindelijke registratie van het resulterende getal wordt het gehele deel gescheiden van het breukdeel door een komma (punt).
Voorbeeld 2.20. Converteer het getal 17,25 10 naar het binaire getalsysteem.
We krijgen: 17,25 10 =1001,01 2
Voorbeeld 2.21. Converteer het getal 124,25 10 naar een octaal systeem.
We krijgen: 124,25 10 =174,2 8
2.3.4. Getallen converteren van grondtal 2 naar grondtal 2 n en omgekeerd
Vertaling van gehele getallen. Als de basis van het q-ary-getalsysteem een macht van 2 is, dan kan de conversie van getallen van het q-ary-getalsysteem naar het 2-ary-getalsysteem en terug worden uitgevoerd met behulp van meer eenvoudige regels. Om een geheel binair getal in het getalsysteem met grondtal q=2 n te schrijven, heb je het volgende nodig:
1. Verdeel het binaire getal van rechts naar links in groepen van elk n cijfers.
2. Als de laatste linkergroep minder dan n cijfers heeft, moet deze aan de linkerkant worden aangevuld met nullen tot het vereiste aantal cijfers.
Voorbeeld 2.22. Het getal 101100001000110010 2 wordt omgezet naar het octale getalsysteem.
We verdelen het getal van rechts naar links in drieklanken en schrijven onder elk ervan het overeenkomstige octale cijfer:
We krijgen de octale weergave van het oorspronkelijke nummer: 541062 8 .
Voorbeeld 2.23. Het getal 1000000000111110000111 2 wordt omgezet naar het hexadecimale getalsysteem.
We verdelen het getal van rechts naar links in tetrads en schrijven onder elk daarvan het overeenkomstige hexadecimale cijfer:
We krijgen de hexadecimale weergave van het oorspronkelijke nummer: 200F87 16.
Gebrekende getallen converteren. Om een fractioneel binair getal te schrijven in een getallensysteem met grondtal q=2 n, heb je nodig:
1. Verdeel het binaire getal van links naar rechts in groepen van elk n cijfers.
2. Indien de laatste rechtse groep minder dan n cijfers heeft, dan moet deze rechts aangevuld worden met nullen tot het vereiste aantal cijfers.
3. Beschouw elke groep als een n-bit binair getal en schrijf het met het overeenkomstige cijfer in het getalsysteem met grondtal q=2 n.
Voorbeeld 2.24. Het getal 0,10110001 2 wordt omgezet naar het octale getalsysteem.
We verdelen het getal van links naar rechts in drieklanken en onder elk ervan schrijven we het overeenkomstige octale cijfer:
We krijgen de octale weergave van het oorspronkelijke getal: 0,542 8 .
Voorbeeld 2.25. Het getal 0,100000000011 2 wordt omgezet naar het hexadecimale getalsysteem. We verdelen het getal van links naar rechts in tetrads en schrijven onder elk daarvan het overeenkomstige hexadecimale cijfer:
We krijgen de hexadecimale weergave van het oorspronkelijke getal: 0,803 16
Vertaling van willekeurige getallen. Om een willekeurig binair getal in het getalsysteem met grondtal q=2 n te schrijven, heb je nodig:
1. Verdeel het gehele deel van een bepaald binair getal van rechts naar links, en het breukdeel van links naar rechts in groepen van elk n cijfers.
2. Indien de laatste linker- en/of rechtergroep minder dan n cijfers telt, dan dienen deze links en/of rechts aangevuld te worden met nullen tot het benodigde aantal cijfers;
3. Beschouw elke groep als een n-bit binair getal en schrijf het met het overeenkomstige cijfer in het getallenstelsel met grondtal q = 2 n
Voorbeeld 2.26. Laten we het getal 111100101.0111 2 omzetten naar het octale getalsysteem.
We verdelen de gehele en gebroken delen van het getal in drieklanken en schrijven onder elk ervan het overeenkomstige octale cijfer:
We krijgen de octale weergave van het oorspronkelijke getal: 745.34 8 .
Voorbeeld 2.27. Het getal 11101001000,11010010 2 wordt omgezet naar het hexadecimale getalsysteem.
We verdelen de gehele en fractionele delen van het getal in notitieboekjes en schrijven onder elk daarvan het overeenkomstige hexadecimale cijfer:
We krijgen de hexadecimale weergave van het oorspronkelijke getal: 748,D2 16.
Getallen uit getalstelsels met grondtal q=2 converterenn naar binair. Om een willekeurig getal geschreven in het getalsysteem met grondtal q=2 n om te zetten in het binaire getalsysteem, moet je elk cijfer van dit getal vervangen door het n-cijferige equivalent in het binaire getalsysteem.
Voorbeeld 2.28 Laten we het hexadecimale getal 4AC35 16 omzetten naar het binaire getalsysteem.
Volgens het algoritme:
Wij krijgen: 1001010110000110101 2 .
Taken voor onafhankelijke voltooiing (antwoorden)
2.38. Vul de tabel in, waarin in elke rij hetzelfde gehele getal moet worden geschreven diverse systemen Afrekening.
|
Binair |
Octaal |
Decimale |
Hexadecimaal |
2.39. Vul de tabel in, in elke rij waarvan hetzelfde breukgetal in verschillende getalsystemen moet worden geschreven.
|
Binair |
Octaal |
Decimale |
Hexadecimaal |
2.40. Vul de tabel in, in elke rij waarvan hetzelfde willekeurige getal (het getal kan zowel een geheel getal als een gebroken deel bevatten) in verschillende getalsystemen moet worden geschreven.
|
Binair |
Octaal |
Decimale |
Hexadecimaal |
|
59.B |
Notitie 1
Als u een getal van het ene getalsysteem naar het andere wilt converteren, is het handiger om het eerst naar het decimale getallensysteem te converteren en pas daarna van het decimale getallenstelsel naar een ander getalsysteem te converteren.
Regels voor het converteren van getallen van elk getalsysteem naar decimaal
IN computer technologie Met behulp van machinale rekenkunde wordt een belangrijke rol gespeeld door de conversie van getallen van het ene getalsysteem naar het andere. Hieronder geven we de basisregels voor dergelijke transformaties (vertalingen).
Wanneer u een binair getal naar een decimaal getal converteert, moet u het binaire getal weergeven als een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als het product van een cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal, in dit geval $2$, en dan moet je de polynoom berekenen met behulp van de regels van de decimale rekenkunde:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Figuur 1. Tabel 1
voorbeeld 1
Converteer het getal $11110101_2$ naar het decimale getalsysteem.
Oplossing. Met behulp van de gegeven tabel met machten van $1$ van de basis $2$, stellen we het getal voor als een polynoom:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Om een getal van het octale getalsysteem naar het decimale getalsysteem om te zetten, moet je het weergeven als een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als het product van een cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal. geval $8$, en dan moet je de polynoom berekenen volgens de regels van de decimale rekenkunde:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Figuur 2. Tabel 2
Voorbeeld 2
Converteer het getal $75013_8$ naar het decimale getalsysteem.
Oplossing. Met behulp van de gegeven tabel met machten van $2$ van het grondtal $8$, stellen we het getal voor als een polynoom:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Om een getal van hexadecimaal naar decimaal om te zetten, moet je het weergeven als een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als het product van een cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal, in dit geval $16$, en dan je moet de polynoom berekenen volgens de regels van de decimale rekenkunde:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Figuur 3. Tabel 3
Voorbeeld 3
Converteer het getal $FFA2_(16)$ naar het decimale getalsysteem.
Oplossing. Met behulp van de gegeven tabel met machten van $3$ van het grondtal $8$, stellen we het getal voor als een polynoom:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Regels voor het converteren van getallen van het decimale getalsysteem naar een ander
- Om een getal van het decimale getalsysteem naar het binaire systeem te converteren, moet het opeenvolgend worden gedeeld door $2$ totdat er een rest overblijft die kleiner is dan of gelijk is aan $1$. Een getal in het binaire systeem wordt weergegeven als een reeks van het laatste resultaat van de deling en de restanten van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 4
Converteer het getal $22_(10)$ naar het binaire getalsysteem.
Oplossing:
Figuur 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Om een getal van het decimale getalsysteem naar octaal te converteren, moet het opeenvolgend worden gedeeld door $8$ totdat er een rest overblijft die kleiner is dan of gelijk is aan $7$. Een getal in het octale getalsysteem wordt weergegeven als een reeks cijfers van het laatste delingsresultaat en de restanten van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 5
Converteer het getal $571_(10)$ naar het octale getalsysteem.
Oplossing:
Figuur 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Om een getal om te zetten van het decimale getalsysteem naar het hexadecimale systeem, moet het achtereenvolgens worden gedeeld door $16$ totdat er een rest overblijft die kleiner is dan of gelijk is aan $15$. Een getal in het hexadecimale systeem wordt weergegeven als een reeks cijfers van het resultaat van de laatste deling en de rest van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 6
Converteer het getal $7467_(10)$ naar een hexadecimaal getalsysteem.
Oplossing:
Figuur 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Om een juiste breuk om te zetten van een decimaal getalsysteem naar een niet-decimaal getalsysteem, is het noodzakelijk om het fractionele deel van het getal dat wordt geconverteerd opeenvolgend te vermenigvuldigen met de basis van het systeem waarnaar het moet worden geconverteerd. Breuken in het nieuwe systeem zullen worden weergegeven als hele delen van producten, te beginnen met de eerste.
Bijvoorbeeld: $0,3125_((10))$ in een octaal getalsysteem ziet er uit als $0,24_((8))$.
In dit geval kunt u een probleem tegenkomen tijdens de finale decimale kan overeenkomen met een oneindige (periodieke) breuk in het niet-decimale getalsysteem. In dit geval zal het aantal cijfers in de breuk die in het nieuwe systeem wordt weergegeven, afhangen van de vereiste nauwkeurigheid. Er moet ook worden opgemerkt dat gehele getallen gehele getallen blijven, en dat echte breuken breuken blijven in elk getalsysteem.
Regels voor het converteren van getallen van een binair getalsysteem naar een ander
- Om een getal van het binaire getalsysteem naar octaal te converteren, moet het worden verdeeld in drieklanken (drietallen cijfers), te beginnen met het minst significante cijfer, indien nodig, nullen toevoegen aan de leidende drieklank en vervolgens elke drieklank vervangen door het overeenkomstige octale cijfer volgens Tabel 4.
Figuur 7. Tabel 4
Voorbeeld 7
Converteer het getal $1001011_2$ naar het octale getalsysteem.
Oplossing. Met behulp van Tabel 4 converteren we het getal van het binaire getalsysteem naar octaal:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Om een getal van het binaire getalsysteem naar hexadecimaal te converteren, moet het worden verdeeld in tetrads (vier cijfers), te beginnen met het minst significante cijfer, indien nodig, nullen optellend bij het meest significante tetrad, en vervolgens elke tetrad vervangen door het overeenkomstige octale cijfer volgens Tabel 4.
1. Ordinaal tellen in verschillende getalsystemen.
In het moderne leven gebruiken we positionele getalsystemen, dat wil zeggen systemen waarin het getal dat door een cijfer wordt aangegeven, afhangt van de positie van het cijfer in de notatie van het getal. Daarom zullen we er in de toekomst alleen over praten, waarbij we de term 'positioneel' weglaten.
Om te leren hoe we getallen van het ene systeem naar het andere kunnen converteren, zullen we begrijpen hoe de opeenvolgende registratie van getallen plaatsvindt aan de hand van het voorbeeld van het decimale systeem.
Omdat we een decimaal getalsysteem hebben, hebben we 10 symbolen (cijfers) om getallen te construeren. We beginnen te tellen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De cijfers zijn voorbij. We vergroten de bitdiepte van het getal en resetten het cijfer van de lage orde: 10. Vervolgens verhogen we het cijfer van de lage orde totdat alle cijfers verdwenen zijn: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. We verhogen het cijfer van de hoogste orde met 1 en resetten het cijfer van de lage orde: 20. Wanneer we alle cijfers voor beide cijfers gebruiken (we krijgen het getal 99), vergroten we opnieuw de cijfercapaciteit van het getal en resetten we de bestaande cijfers: 100. Enzovoort.
Laten we proberen hetzelfde te doen in het 2e, 3e en 5e systeem (we introduceren de notatie voor het 2e systeem, voor het 3e, enz.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Als het getalsysteem een grondtal groter dan 10 heeft, zullen we extra tekens moeten invoeren; het is gebruikelijk om letters van het Latijnse alfabet in te voeren. Voor het 12-cijferige systeem hebben we bijvoorbeeld naast tien cijfers ook twee letters ( en ) nodig:
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversie van het decimale getallenstelsel naar een ander systeem.
Om een decimaal getal met een positief geheel getal om te zetten in een getalsysteem met een ander grondtal, moet je dit getal delen door het grondtal. Verdeel het resulterende quotiënt opnieuw door de basis, en verder totdat het quotiënt kleiner is dan de basis. Schrijf daarom op één regel het laatste quotiënt en alle resten op, beginnend bij de laatste.
Voorbeeld 1. Laten we het decimale getal 46 omzetten naar het binaire getalsysteem.
Voorbeeld 2. Laten we het decimale getal 672 omzetten naar het octale getalsysteem.
Voorbeeld 3. Laten we het decimale getal 934 omzetten naar het hexadecimale getalsysteem.
3. Conversie van elk getalsysteem naar decimaal.
Laten we, om te leren hoe we getallen uit een ander systeem naar decimalen kunnen converteren, de notatie analyseren die we kennen decimaal getal.
Het decimale getal 325 is bijvoorbeeld 5 eenheden, 2 tientallen en 3 honderdtallen, d.w.z.
De situatie is precies hetzelfde in andere getalsystemen, alleen zullen we niet vermenigvuldigen met 10, 100, enz., maar met de machten van de basis van het getalsysteem. Laten we bijvoorbeeld het getal 1201 nemen in het ternaire getalsysteem. Laten we de cijfers van rechts naar links nummeren, beginnend bij nul, en ons getal voorstellen als de som van de producten van een cijfer en drie tot de macht van het cijfer van het getal:
Dit is de decimale notatie van ons getal, d.w.z.
Voorbeeld 4. Laten we het octale getal 511 omzetten naar het decimale getalsysteem.
Voorbeeld 5. Laten we het hexadecimale getal 1151 omzetten naar het decimale getalsysteem.
4. Conversie van het binaire systeem naar het systeem met de basis “macht van twee” (4, 8, 16, etc.).
Om een binair getal om te zetten in een getal met een macht van twee basen, is het noodzakelijk om de binaire reeks in groepen te verdelen op basis van het aantal cijfers gelijk aan de macht van rechts naar links en elke groep te vervangen door het overeenkomstige cijfer van het nieuwe getal. nummer systeem.
Laten we bijvoorbeeld het binaire getal 1100001111010110 omzetten naar het octale systeem. Om dit te doen, verdelen we het in groepen van 3 tekens, beginnend vanaf de rechterkant (sinds ), en gebruiken we vervolgens de correspondentietabel en vervangen we elke groep door een nieuw nummer:
In stap 1 hebben we geleerd hoe we een correspondentietabel kunnen maken.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Die.
Voorbeeld 6. Laten we het binaire getal 1100001111010110 omzetten naar hexadecimaal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Conversie van een systeem met de basis “macht van twee” (4, 8, 16, etc.) naar binair.
Deze vertaling is vergelijkbaar met de vorige, maar dan in de tegenovergestelde richting: we vervangen elk cijfer door een groep cijfers in het binaire systeem uit de correspondentietabel.
Voorbeeld 7. Laten we het hexadecimale getal C3A6 omzetten naar het binaire getalsysteem.
Om dit te doen, vervangt u elk cijfer van het getal door een groep van 4 cijfers (sinds ) uit de correspondentietabel, en vult u de groep indien nodig aan met nullen aan het begin:
Schrijf het getal in het binaire getalsysteem en de machten van twee van rechts naar links. We willen bijvoorbeeld het binaire getal 10011011 2 naar decimaal converteren. Laten we het eerst opschrijven. Vervolgens schrijven we de machten van twee van rechts naar links. Laten we beginnen met 2 0, wat gelijk is aan "1". Voor elk volgend getal verhogen we de graad met één. We stoppen wanneer het aantal elementen in de lijst gelijk is aan het aantal cijfers in het binaire getal. Ons voorbeeldnummer, 10011011, heeft acht cijfers, dus een lijst van acht elementen zou er als volgt uitzien: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Schrijf de cijfers van het binaire getal onder de overeenkomstige machten van twee. Schrijf nu eenvoudigweg 10011011 onder de getallen 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 en 1, zodat elk binair cijfer overeenkomt met een andere macht van twee. De meest rechtse "1" van het binaire getal moet overeenkomen met de meest rechtse "1" van de machten van twee, enzovoort. Als u wilt, kunt u het binaire getal boven de machten van twee schrijven. Het belangrijkste is dat ze bij elkaar passen.
Zorg ervoor dat de cijfers in een binair getal overeenkomen met de overeenkomstige machten van twee. Teken lijnen (van rechts naar links) die elk opeenvolgend cijfer van het binaire getal verbinden met de macht van twee erboven. Begin met het tekenen van lijnen door het eerste cijfer van een binair getal te verbinden met de eerste macht van twee erboven. Trek vervolgens een lijn van het tweede cijfer van het binaire getal naar de tweede macht van twee. Ga door met het verbinden van elk getal met de overeenkomstige macht van twee. Dit zal u helpen de relatie tussen twee verschillende reeksen getallen visueel te zien.
Schrijf de uiteindelijke waarde van elke macht van twee op. Doorloop elk cijfer van een binair getal. Als het getal 1 is, schrijf dan de overeenkomstige macht van twee onder het getal. Als dit getal 0 is, schrijf dan 0 onder het getal.
- Omdat "1" overeenkomt met "1", blijft het "1". Omdat "2" overeenkomt met "1", blijft het "2". Omdat "4" overeenkomt met "0", wordt het "0". Omdat "8" overeenkomt met "1", wordt het "8", en aangezien "16" overeenkomt met "1" wordt het "16". "32" komt overeen met "0" en wordt "0", "64" komt overeen met "0" en wordt daarom "0", terwijl "128" overeenkomt met "1" en daarom 128 wordt.
Tel de resulterende waarden bij elkaar op. Voeg nu de resulterende getallen toe onder de regel. Dit is wat je moet doen: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Dit is het decimale equivalent van het binaire getal 10011011.
Schrijf het antwoord samen met een subscript dat gelijk is aan het getallenstelsel. Nu hoef je alleen maar 155 10 te schrijven om aan te geven dat je met een decimaal antwoord werkt, dat gaat over machten van tien. Hoe meer u binaire getallen omzet in decimalen, hoe gemakkelijker het voor u zal zijn om machten van twee te onthouden, en hoe sneller u de taak kunt voltooien.
Gebruik deze methode om een binair getal met een decimaalpunt naar een decimaal getal om te zetten. U kunt deze methode zelfs gebruiken als u een binair getal zoals 1,1 2 naar decimaal wilt converteren. Het enige dat u hoeft te weten, is dat het getal aan de linkerkant van de decimaal een normaal getal is, en dat het getal aan de rechterkant van de decimaal het "halve" getal is, oftewel 1 x (1/2).
- "1" links van het decimale getal komt overeen met 2 0, of 1. 1 rechts van het decimale getal komt overeen met 2 -1, of.5. Voeg 1 en .5 toe en je krijgt 1,5, wat het decimale equivalent is van 1,1 2.