2.4.1. Definicija. Neka nam bude dat nehomogen sistem linearnih jednačina
Razmislite o homogenom sistemu
čija se matrica koeficijenata poklapa sa matricom koeficijenata sistema (2.4.1). Tada se poziva sistem (2.4.2). smanjeni homogeni sistem (2.4.1).
2.4.2. Teorema. Opće rješenje nehomogenog sistema jednako je zbiru nekog posebnog rješenja nehomogenog sistema i opšteg rješenja redukovanog homogenog sistema.
Dakle, za pronalaženje opšteg rešenja za nehomogen sistem (2.4.1) dovoljno je:
1) Istražite kompatibilnost. U slučaju kompatibilnosti:
2) Naći opšte rešenje redukovanog homogenog sistema.
3) Pronađite bilo koje posebno rješenje za originalno (nehomogeno).
4) Sabiranjem pronađenog partikularnog rješenja i opšteg rješenja zadatog naći opšte rješenje originalnog sistema.
2.4.3. Vježbajte. Istražite kompatibilnost sistema i, u slučaju kompatibilnosti, pronađite njegovo opšte rješenje u obliku zbira pojedinačnog i opšteg datog.
Rješenje. a) Da bismo riješili problem, primjenjujemo gornju shemu:
1) Ispitujemo kompatibilnost sistema (metodom obrubljivanja minora): Rang glavne matrice je 3 (vidi rješenje vježbe 2.2.5, a), a nenulti minor maksimalnog reda je sastavljen od elemenata 1., 2., 4. red i 1., 3., 4. stupac. Da bismo pronašli rang proširene matrice, graničimo je sa 3. redom i 6. kolonom proširene matrice: =0. znači, rg A =rg=3, a sistem je konzistentan. Konkretno, on je ekvivalentan sistemu
2) Nađimo opšte rješenje X 0 smanjeni homogeni sistem
X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}
(vidi rješenje vježbe 2.2.5, a)).
3) Nađimo bilo koje posebno rješenje x h originalnog sistema . Da biste to učinili, u sistemu (2.4.3), ekvivalentnom originalnom, slobodne nepoznate x 2 i x Pretpostavljamo da je 5 jednako, na primjer, nuli (ovo je najpogodniji podatak):
i riješite rezultirajući sistem: x 1 =- , x 3 =- , x 4 =-5. Dakle, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ je posebno rješenje sistema.
4) Naći opće rješenje X n originalnog sistema :
X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=
={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.
Komentar. Uporedite odgovor koji ste dobili sa drugim odgovorom u primeru 1.2.1 c). Za dobijanje odgovora u prvom obliku za 1.2.1 c) uzimaju se osnovne nepoznanice x 1 , x 3 , x 5 (minor za koji takođe nije jednak nuli), a kao slobodan ¾ x 2 i x 4 .
§3. Neke aplikacije.
3.1. O pitanju matričnih jednačina. Podsjećamo vas na to matrična jednačina preko terena F je jednadžba u kojoj je nepoznata matrica nad poljem F .
Najjednostavnije matrične jednačine su jednačine oblika
SJEKIRA=B , XA =B (2.5.1)
Gdje A , B ¾ data (poznata) matrica nad poljem F , A X ¾ takve matrice, čijom se zamjenom jednačine (2.5.1) pretvaraju u prave matrične jednakosti. Konkretno, matrična metoda određenih sistema se svodi na rješavanje matrične jednadžbe.
U slučaju kada su matrice A u jednačinama (2.5.1) su nedegenerisani, imaju rješenja, respektivno X =A B I X =B.A. .
U slučaju kada je barem jedna od matrica na lijevoj strani jednadžbe (2.5.1) singularna, ova metoda više nije prikladna, jer odgovarajuća inverzna matrica A ne postoji. U ovom slučaju, pronalaženje rješenja jednačina (2.5.1) svodi se na rješavanje sistema.
Ali prvo, hajde da predstavimo neke koncepte.
Nazovimo skup svih rješenja sistema opšta odluka . Nazovimo posebno uzeto rješenje neodređenog sistema privatno rešenje .
3.1.1. Primjer. Riješiti matričnu jednačinu nad poljem R.
A) X = ; b) X = ; V) X = .
Rješenje. a) Kako je =0, onda formula X =A B nije pogodno za rješavanje ove jednačine. Ako u radu XA =B matrica A ima 2 reda, zatim matricu X ima 2 kolone. Broj linija X mora odgovarati broju redova B . Zbog toga X ima 2 linije. dakle, X ¾ neka kvadratna matrica drugog reda: X = . Hajde da zamenimo X u originalnu jednačinu:
Množenjem matrica na lijevoj strani (2.5.2) dolazimo do jednakosti
Dvije matrice su jednake ako i samo ako imaju iste dimenzije i ako su im odgovarajući elementi jednaki. Stoga je (2.5.3) ekvivalentno sistemu
Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu
Rješavajući ga, na primjer, Gausovom metodom, dolazimo do skupa rješenja (5-2 b , b , -2d , d ), Gdje b , d trče nezavisno jedno od drugog R. dakle, X = .
b) Slično kao a) imamo X = i.
Ovaj sistem je nedosljedan (provjerite!). Stoga ova matrična jednačina nema rješenja.
c) Označimo ovu jednačinu sa SJEKIRA =B . Jer A ima 3 kolone i B onda ima 2 kolone X ¾ neka matrica dimenzije 3´2: X = . Stoga imamo sljedeći lanac ekvivalencija:
Posljednji sistem rješavamo Gaussovom metodom (izostavljamo komentare)
Tako dolazimo do sistema
čije je rješenje (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Gdje z , w trče nezavisno jedno od drugog R.
Odgovor: a) X = , b , d Î R.
b) Ne postoje rješenja.
V) X = z , w Î R.
3.2. O pitanju permutabilnosti matrica. Općenito, proizvod matrica je nepromjenjiv, odnosno ako A I B takav da AB I B.A. definisani su, dakle, uopšteno govoreći, AB ¹ B.A. . Ali primjer matrice identiteta E pokazuje da je moguća i komutabilnost A.E. =E.A. za bilo koju matricu A , kad bi samo A.E. I E.A. bili odlučni.
U ovom dijelu ćemo razmotriti probleme pronalaženja skupa svih matrica koje komutiraju sa datom. dakle,
Nepoznato x 1 , y 2 i z 3 može imati bilo koju vrijednost: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Onda
dakle, X = .
Odgovori. A) X d ¾ bilo koji broj.
b) X ¾ skup matrica oblika , gdje je a , b I g ¾ bilo koji broj.
Filijala u Kalugi savezne državne budžetske obrazovne ustanove visokog stručnog obrazovanja
„Moskovski državni tehnički univerzitet po imenu N.E. Bauman"
(Kharkovski ogranak Moskovskog državnog tehničkog univerziteta po imenu N.E. Bauman)
Vlaykov N.D.
Rješenje homogenih SLAE
Smjernice za izvođenje vježbi
na kursu analitičke geometrije
Kaluga 2011
Ciljevi lekcije strana 4
Plan časa, strana 4
Neophodne teorijske informacije str.5
Praktični dio str.10
Praćenje savladanosti obrađenog gradiva str.13
Domaća zadaća str.14
Broj sati: 2
Ciljevi lekcije:
Sistematizirati stečena teorijska znanja o vrstama SLAE i metodama za njihovo rješavanje.
Steknite vještine rješavanja homogenih SLAE.
Plan lekcije:
Ukratko izložite teorijski materijal.
Riješite homogenu SLAE.
Naći osnovni sistem rješenja homogene SLAE.
Pronađite određeno rješenje homogene SLAE.
Formulirajte algoritam za rješavanje homogene SLAE.
Provjerite svoj trenutni domaći zadatak.
Izvršite poslove verifikacije.
Predstavite temu sljedećeg seminara.
Pošaljite trenutni domaći zadatak.
Neophodne teorijske informacije.
Matrix rang.
Def. Rang matrice je broj koji je jednak maksimalnom redu među njenim minorima koji nisu nula. Rang matrice je označen sa .
Ako kvadratna matrica nije singularna, tada je njen rang jednak njenom redu. Ako je kvadratna matrica singularna, tada je njen rang manji od njenog reda.
Rang dijagonalne matrice jednak je broju njenih dijagonalnih elemenata koji nisu nula.
Theor. Kada se matrica transponira, njen rang se ne mijenja, tj. 
.
Theor. Rang matrice se ne mijenja elementarnim transformacijama njenih redova i stupaca.
Teorema o baznom molu.
Def. Minor 
matrice 
naziva se osnovnim ako su ispunjena dva uslova:
a) nije jednako nuli;
b) njen red je jednak rangu matrice 
.
Matrix 
može imati više osnovnih minora.
Matrični redovi i kolone 
, u kojem se nalazi odabrani osnovni mol, nazivaju se osnovnim.
Theor. Teorema o baznom molu. Osnovni redovi (kolone) matrice 
, što odgovara bilo kojem od njegovih osnovnih maloljetnika 
, su linearno nezavisne. Bilo koji red (kolone) matrice 
, nije uključeno u 
, su linearne kombinacije osnovnih redova (kolona).
Theor. Za bilo koju matricu, njen rang je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova (kolona).
Izračunavanje ranga matrice. Metoda elementarnih transformacija.
Koristeći elementarne transformacije reda, bilo koja matrica se može svesti na ešalonski oblik. Rang matrice koraka jednak je broju redova koji nisu nula. Osnova u njemu je minor, koji se nalazi na presjeku redova koji nisu nula sa stupcima koji odgovaraju prvim elementima koji nisu nula s lijeve strane u svakom od redova.
SLAU. Osnovne definicije.
Def. Sistem 
(15.1)
Brojevi 
nazivaju se SLAE koeficijenti. Brojevi 
nazivaju se slobodnim terminima jednačina.
SLAE unos u obrascu (15.1) naziva se koordinata.
Def. SLAE se naziva homogenim ako 
. Inače se naziva heterogena.
Def. Rješenje za SLAE je skup nepoznatih vrijednosti tako da se, nakon zamjene, svaka jednadžba sistema pretvara u identitet. Svako specifično rješenje SLAE se također naziva njegovim posebnim rješenjem.
Rješavanje SLAE znači rješavanje dva problema:
Saznajte da li SLAE ima rješenja;
Pronađite sva rješenja ako postoje.
Def. SLAE se naziva spoj ako ima barem jedno rješenje. Inače se naziva nekompatibilnim.
Def. Ako SLAE (15.1) ima rješenje, i to jedinstveno, onda se ono naziva definitivnim, a ako rješenje nije jedinstveno, onda se naziva neodređenim.
Def. Ako je u jednačini (15.1) 
,SLAE se zove kvadrat.
SLAU formulari za snimanje.
Pored koordinatnog oblika (15.1), SLAE zapisi se često koriste u drugim njegovim reprezentacijama.
(15.2)
Relacija se naziva vektorski oblik SLAE notacije.
Ako za osnovu uzmemo proizvod matrica, onda se SLAE (15.1) može napisati na sljedeći način:
(15.3)
ili 
.
Zapis SLAE (15.1) u obliku (15.3) naziva se matrica.
Homogene SLAE.
Homogeni sistem 
linearne algebarske jednadžbe sa 
nepoznate je sistem oblika
Homogeni SLAE su uvijek konzistentni, jer uvijek postoji nulto rješenje.
Kriterijum za postojanje rješenja različitog od nule. Da bi postojalo rješenje različito od nule za homogeni kvadrat SLAE, potrebno je i dovoljno da njegova matrica bude singularna.
Theor. Ako kolone 
,
,
…,
su rješenja za homogenu SLAE, onda je svaka njihova linearna kombinacija također rješenje za ovaj sistem.
Posljedica. Ako homogena SLAE ima rješenje različito od nule, onda ima beskonačan broj rješenja.
Prirodno je pokušati pronaći takva rješenja 
,
,
…,
sistema tako da se svako drugo rješenje predstavlja kao njihova linearna kombinacija i, osim toga, na jedinstven način.
Def. Bilo koji set 
linearno nezavisne kolone 
,
,
…,
, koji su rješenja homogene SLAE 
, Gdje 
- broj nepoznatih, i 
- rang njegove matrice 
, naziva se osnovnim sistemom rješenja ove homogene SLAE.
Prilikom proučavanja i rješavanja homogenih sistema linearnih jednačina fiksiraćemo bazni minor u matricu sistema. Osnovni minor će odgovarati osnovnim stupcima i, prema tome, osnovnim nepoznatim. Preostale nepoznanice nazvaćemo slobodnima.
Theor. O strukturi općeg rješenja homogene SLAE. Ako 
,
,
…,
- proizvoljan fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE 
, tada se svako njegovo rješenje može predstaviti u obliku
Gdje 
,
…,
- neke su trajne.
To. opšte rešenje homogene SLAE ima oblik
Praktični dio.
Razmotrite moguće skupove rješenja sljedećih tipova SLAE i njihovu grafičku interpretaciju.
;
;
.
Razmotriti mogućnost rješavanja ovih sistema korištenjem Cramerovih formula i matrične metode.
Objasnite suštinu Gaussove metode.
Riješite sljedeće probleme.
Primjer 1. Riješite homogenu SLAE. Pronađite FSR.
.
Zapišimo matricu sistema i svedemo je na stepenasti oblik.
.
sistem će imati beskonačno mnogo rješenja. FSR će se sastojati od 
kolone.
Odbacimo nulte linije i ponovo napišemo sistem:
.
Osnovni mol ćemo smatrati u gornjem lijevom uglu. To. 
- osnovne nepoznanice, i 
- besplatno. Hajde da se izrazimo 
preko besplatnog 
:
;
Hajde da stavimo 
.
Konačno imamo:
- koordinatni oblik odgovora, ili
- matrični oblik odgovora, ili
- vektorski oblik odgovora (vektor - kolone su FSR kolone).
Algoritam za rješavanje homogene SLAE.
Pronađite FSR i opšte rješenje sljedećih sistema:
№2.225(4.39)
. odgovor: 
№2.223(2.37)
. odgovor:
№2.227(2.41)
. odgovor: 
Riješite homogenu SLAE:
. odgovor: 
Riješite homogenu SLAE:
. odgovor: 
Prezentacija teme narednog seminara.
Rješavanje sistema linearnih nehomogenih jednačina.
Praćenje savladanosti obrađenog gradiva.
Probni rad 3 - 5 minuta. U časopisu učestvuju 4 učenika sa neparnim brojevima, počevši od broja 10
|
Slijedite ove korake:
|
Slijedite ove korake:
|
|
|
Izračunaj determinantu:
|
;
;
|
Slijedite ove korake:
|
Slijedite ove korake:
|
|
Pronađite inverznu matricu ove:
|
Izračunaj determinantu:
|
nedefinisano
Zadaća:
1. Riješite probleme:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2.Rad kroz predavanja na sljedeće teme:
Sistemi linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Koordinatni, matrični i vektorski oblici snimanja. Kronecker-Capelli kriterij za kompatibilnost SLAE. Heterogene SLAE. Kriterijum za postojanje različitog od nule rješenja homogene SLAE. Svojstva rješenja homogene SLAE. Osnovni sistem rješenja homogene SLAE, teorema o njenom postojanju. Normalan fundamentalni sistem rješenja. Teorema o strukturi općeg rješenja homogene SLAE. Teorema o strukturi općeg rješenja nehomogene SLAE.
Linearni sistem se zove homogena , ako su svi slobodni članovi jednaki 0.
U matričnom obliku, homogeni sistem je zapisan: 
.
Homogeni sistem (2) je uvijek konzistentan
. Očigledno, skup brojeva 
,
,
…,
zadovoljava svaku jednačinu sistema. Rješenje 
pozvao nula
ili trivijalan
odluka. Dakle, homogeni sistem uvijek ima nulto rješenje.
Pod kojim uslovima će homogeni sistem (2) imati različita od nule (netrivijalna) rješenja?
Teorema 1.3
Homogeni sistem (2) ima rješenja različita od nule
ako i samo ako je rang r
njegova glavna matrica 
manje nepoznatih n
.
Sistem (2) – neizvjestan 
.
Zaključak 1.
Ako je broj jednačina m
homogeni sistem ima manje varijabli 
, tada je sistem neizvjestan i ima mnogo rješenja koja nisu nula.
Zaključak 2.
Kvadratni homogeni sistem 
ima rješenja različita od nule ako i kada je glavna matrica ovog sistema 
degenerisan, tj. odrednica 
.
Inače, ako je determinanta 
, kvadratni homogeni sistem ima jedina stvar
nulto rješenje
.
Neka je rang sistema (2) 
odnosno sistem (2) ima netrivijalna rješenja.
Neka 
I 
- pojedinačna rješenja ovog sistema, tj. 
I 
.
Osobine rješenja homogenog sistema
Zaista, .
Zaista, .
Kombinujući svojstva 1) i 2), možemo reći da ako 
…,
- rješenja homogenog sistema (2), tada je svaka njihova linearna kombinacija ujedno i njegovo rješenje. Evo 
- proizvoljni realni brojevi.
Može se naći 
linearno nezavisna parcijalna rješenja
homogeni sistem (2), uz pomoć kojeg se može dobiti bilo koje drugo posebno rješenje ovog sistema, tj. dobiti opće rješenje za sistem (2).
Definicija 2.2
Totalnost 
linearno nezavisna parcijalna rješenja 
…,
homogeni sistem (2) takav da se svako rješenje sistema (2) može predstaviti kao njihova linearna kombinacija naziva se fundamentalni sistem rješenja
(FSR) homogenog sistema (2).
Neka 
…,
je fundamentalni sistem rješenja, onda se generalno rješenje homogenog sistema (2) može predstaviti kao:
Gdje 
.
Komentar.
Da biste dobili FSR, morate pronaći privatna rješenja 
…,
, dajući jednoj slobodnoj varijabli vrijednost “1”, a svim ostalim slobodnim varijablama vrijednost “0”.
Dobijamo 
,,
…,
- FSR.
Primjer. Pronađite opšte rešenje i osnovni sistem rešenja homogenog sistema jednačina:
Rješenje. Zapišimo proširenu matricu sistema, prethodno stavili posljednju jednačinu sistema na prvo mjesto i doveli je u postupni oblik. Kako se desna strana jednadžbe ne mijenja kao rezultat elementarnih transformacija, ostaje nula, stupac 
možda neće biti ispisana.
̴ 
̴ 
̴ 
Sistemski rang gdje 
- broj varijabli. Sistem je neizvjestan i ima mnogo rješenja.
Osnovni mol za varijable 
ne-nula: 
izabrati 
kao osnovne varijable, ostalo 
- slobodne varijable (uzimaju bilo koje realne vrijednosti).
Poslednja matrica u lancu odgovara postupnom sistemu jednačina:
(3)
Izrazimo osnovne varijable 
preko slobodnih varijabli 
(obrnut Gaussovom metodom).
Iz posljednje jednačine koju izražavamo 
:
i zamijenite ga u prvu jednačinu. Naći ćemo ga. Hajde da otvorimo zagrade, damo slične i izrazimo 
:
.
Believing 
,
,
, Gdje 
, pišemo
- generalno rješenje sistema.
Hajde da pronađemo fundamentalni sistem rešenja
,
,
.
Tada se opšte rešenje homogenog sistema može zapisati kao:
Komentar.
FSR je mogao biti pronađen i na drugi način, a da se prethodno nije pronašlo opšte rješenje za sistem. Da bi se to uradilo, rezultujući sistem koraka (3) je trebalo tri puta rešiti, uz pretpostavku za 
:
; Za 
:
; Za 
:
.
Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina
U sklopu nastave Gaussova metoda I Nekompatibilni sistemi/sistemi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogeni sistemi linearnih jednačina, Gdje besplatni član(koji je obično na desnoj strani) najmanje jedan iz jednadžbi bio različit od nule.
A sada, nakon dobrog zagrevanja sa matrični rang, nastavićemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije on homogeni sistem linearnih jednačina.
Na osnovu prvih pasusa, materijal može izgledati dosadno i osrednje, ali ovaj utisak je varljiv. Pored daljeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.
Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?
Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima jednačina sistema je nula. Na primjer:
To je apsolutno jasno homogen sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, ono što vam upada u oči je tzv trivijalan rješenje 
. Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bez razmetanja. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ...Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:
Primjer 1
Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati vertikalnu traku i nulti stupac slobodnih pojmova - na kraju krajeva, bez obzira na to što radite s nulama, one će ostati nule: 
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3.
(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem 
, i, koristeći inverznu Gaussovu metodu, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.
Odgovori:
Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima samo trivijalno rešenje, Ako rang sistemske matrice(u ovom slučaju 3) je jednako broju varijabli (u ovom slučaju – 3 komada).
Zagrijmo se i podesimo naš radio na val elementarnih transformacija:
Primjer 2
Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina 
Iz članka Kako pronaći rang matrice? Prisjetimo se racionalne tehnike istovremenog smanjivanja brojeva matrice. U suprotnom ćete morati rezati veliku ribu koja često grize. Približan primjer zadatka na kraju lekcije.
Nule su dobre i zgodne, ali u praksi je slučaj mnogo češći kada se redovi sistemske matrice linearno zavisna. I tada je pojava generalnog rješenja neizbježna:
Primjer 3
Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina 
Rješenje: hajde da zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik. Prva radnja je usmjerena ne samo na dobivanje jedne vrijednosti, već i na smanjenje brojeva u prvom stupcu:
(1) Treći red je dodan prvom redu, pomnožen sa –1. Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. U gornjem lijevom kutu dobio sam jedinicu sa “minusom”, koja je često mnogo pogodnija za daljnje transformacije.
(2) Prva dva reda su ista, jedan od njih je obrisan. Iskreno, nisam forsirao rješenje - ispalo je tako. Ako transformacije izvodite na šablonski način, onda linearna zavisnost linije bi se otkrile nešto kasnije.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 3.
(4) Promijenjen je predznak prvog reda.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan sistem: 
Algoritam radi potpuno isto kao za heterogeni sistemi. Varijable “sjedi na stepenicama” su glavne, varijabla koja nije dobila “korak” je besplatna.
Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu: 
Odgovori: zajednička odluka: 
Trivijalno rješenje je uključeno u opću formulu i nije ga potrebno posebno zapisivati.
Provjera se također vrši prema uobičajenoj šemi: rezultirajuće opšte rješenje mora se zamijeniti u lijevu stranu svake jednačine sistema i za sve zamjene mora se dobiti zakonska nula.
To bi bilo moguće završiti tiho i mirno, ali rješenje za homogeni sistem jednačina često treba biti predstavljeno u vektorskom obliku korišćenjem fundamentalni sistem rješenja. Molim vas, zaboravite na to za sada analitička geometrija, pošto ćemo sada govoriti o vektorima u opštem algebarskom smislu, što sam malo otvorio u članku o matrični rang. Nema potrebe prekrivati terminologiju, sve je prilično jednostavno.
Homogeni sistem linearnih jednačina AX = 0 uvijek zajedno. Ima netrivijalna (ne-nula) rješenja ako r= rang A< n .
Za homogene sisteme, osnovne varijable (čiji koeficijenti čine osnovni minor) se izražavaju kroz slobodne varijable relacijama oblika:
Onda n-r Linearno nezavisna vektorska rješenja bit će:
i svako drugo rješenje je njihova linearna kombinacija. Vektorska rješenja 
formiraju normalizovani fundamentalni sistem.
U linearnom prostoru, skup rješenja homogenog sistema linearnih jednačina čini podprostor dimenzija n-r; 
- osnova ovog podprostora.
Sistem m linearne jednačine sa n nepoznato(ili, linearni sistem
 |
Evo x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, a mn- sistemski koeficijenti - i b 1 , b 2 , … b m a iji) i nepoznato ( j
Sistem (1) se poziva homogenab 1 = b 2 = … = b m= 0), inače - heterogena.
Sistem (1) se poziva kvadrat, ako je broj m jednačine jednake broju n nepoznato.
Rješenje sistemi (1) - set n brojevi c 1 , c 2 , …, c n, tako da je zamjena svakog c i umjesto x i u sistem (1) pretvara sve njegove jednačine u identitete.
Sistem (1) se poziva joint non-joint
Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n razne
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
siguran neizvjesno. Ako ima više jednačina nego nepoznanica, zove se redefinisano.
Rješavanje sistema linearnih jednačina
Rješavanje matričnih jednadžbi ~ Gaussova metoda
Metode za rješavanje sistema linearnih jednačina dijele se u dvije grupe:
1. preciznim metodama, koji su konačni algoritmi za izračunavanje korijena sistema (rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice, Cramerovog pravila, Gaussove metode, itd.),
2. iterativne metode, koji omogućavaju dobijanje rešenja sistema sa zadatom tačnošću kroz konvergentne iterativne procese (metoda iteracije, Seidelova metoda, itd.).
Zbog neizbježnog zaokruživanja, rezultati čak i egzaktnih metoda su približni. Kada se koriste iterativne metode, dodatno se dodaje greška metode.
Efikasna upotreba iterativnih metoda značajno zavisi od uspešnog izbora početne aproksimacije i brzine konvergencije procesa.
Rješavanje matričnih jednadžbi
Razmotrite sistem n linearne algebarske jednadžbe u odnosu na n nepoznato X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matrix A, čiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznate, a redovi koeficijenti za nepoznate u odgovarajućoj jednačini, naziva se matrica sistema; matrica-kolona b, čiji su elementi desna strana jednačina sistema, naziva se matrica sa desne strane ili jednostavno desnu stranu sistema. Matrica kolone X, čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sistemsko rešenje.
Ako je matrica A- nespecijalne, odnosno det A n e je jednako 0, tada sistem (13) ili njemu ekvivalentna matrična jednačina (14) ima jedinstveno rješenje.
U stvari, pod uvjetom da det A nije jednako 0 postoji inverzna matrica A-1 . Množenje obje strane jednačine (14) matricom A-1 dobijamo:
| (16) |
Formula (16) daje rješenje jednačine (14) i ona je jedinstvena.
Pogodno je rješavati sisteme linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve.
lsolve( A, b)
Vektor rješenja je vraćen x takav da Oh= b.
Argumenti:
A- kvadratna, nesingularna matrica.
b- vektor koji ima isti broj redova koliko ima redova u matrici A .
Slika 8 prikazuje rješenje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznate.
Gaussova metoda
Gausova metoda, koja se naziva i Gausova metoda eliminacije, sastoji se u činjenici da se sistem (13) reducira sekvencijalnom eliminacijom nepoznatih na ekvivalentan sistem sa trouglastom matricom:
U matričnom zapisu, to znači da se prvo (direktan pristup Gaussove metode), elementarnim operacijama na redovima, proširena matrica sistema svodi na postupni oblik:
a zatim (obrnuto od Gaussove metode) ova matrica koraka se transformira tako da u prvom n kolone dobijamo jediničnu matricu:
.
Zadnje, ( n+ 1) stupac ove matrice sadrži rješenje sistema (13).
U Mathcadu, pomicanje naprijed i nazad Gaussove metode obavlja funkcija rref(A).
Slika 9 prikazuje rješenje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom, koja koristi sljedeće funkcije:
rref( A)
Vraća se oblik koraka matrice A.
povećati ( A, IN)
Vraća niz formiran od strane lokacije A I IN rame uz rame. Nizovi A I IN mora imati isti broj redova.
podmatrica( A, ir, jr, ic, jc)
Vraća podmatricu koja se sastoji od svih elemenata sa ir By jr i kolone sa ic By jc. Budi siguran da ir jr I
ic jc, inače će redoslijed redova i/ili kolona biti obrnut.
Slika 9.
Opis metode
Za sistem od n linearnih jednadžbi sa n nepoznatih (nad proizvoljnim poljem)
sa determinantom sistemske matrice Δ različitom od nule, rješenje se zapisuje u obliku
(i-ta kolona sistemske matrice zamijenjena je kolonom slobodnih pojmova).
U drugom obliku, Cramerovo pravilo je formulirano na sljedeći način: za bilo koje koeficijente c1, c2, ..., cn vrijedi sljedeća jednakost:
U ovom obliku, Cramerova formula vrijedi bez pretpostavke da je Δ različit od nule; nije čak ni neophodno da koeficijenti sistema budu elementi integralnog prstena (determinanta sistema može biti čak i delilac nule u koeficijent prsten). Također možemo pretpostaviti da se ili skupovi b1,b2,...,bn i x1,x2,...,xn, ili skup c1,c2,...,cn, ne sastoje od elemenata prstena koeficijenata sistema, ali neki modul iznad ovog prstena. U ovom obliku, Cramerova formula se koristi, na primjer, u dokazu formule za Gramovu determinantu i Nakayaminu lemu.
| 35) Kronecker-Capelli teorema |
Da bi sistem m nehomogenih linearnih jednačina u n nepoznatih bio konzistentan, neophodan je i dovoljan dokaz neophodnosti. Neka je sistem (1.13) konzistentan, odnosno postoje takvi brojevi X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n ,Šta  (1.15) Oduzmimo od posljednje kolone proširene matrice njen prvi stupac, pomnožen sa α 1, drugi - sa α 2, ..., n-ti - pomnožen sa α n, odnosno od posljednje kolone matrice (1.14) treba oduzeti leve strane jednakosti ( 1.15). Tada dobijamo matricu  čiji se rang neće promijeniti kao rezultat elementarnih transformacija i . Ali to je očigledno, a samim tim i dokaz dovoljnosti. Neka i zbog određenosti neka se nenulti minor reda r nalazi u gornjem lijevom uglu matrice:  To znači da se preostali redovi matrice mogu dobiti kao linearne kombinacije prvih r redova, odnosno m-r redova matrice mogu se predstaviti kao sume prvih r redova pomnožene nekim brojevima. Ali tada su prve r jednačine sistema (1.13) nezavisne, a ostale su njihove posledice, odnosno rešenje sistema prvih r jednačina je automatski rešenje preostalih jednačina. Postoje dva moguća slučaja. 1. r=n. Tada sistem koji se sastoji od prvih r jednačina ima isti broj jednačina i nepoznanica i konzistentan je, a njegovo rješenje je jedinstveno. 2.r |
36) izvesnost, neizvesnost
Sistem m linearne jednačine sa n nepoznato(ili, linearni sistem) u linearnoj algebri je sistem jednačina oblika
 |
Evo x 1 , x 2 , …, x n- nepoznanice koje treba utvrditi. a 11 , a 12 , …, a mn- sistemski koeficijenti - i b 1 , b 2 , … b m- slobodni članovi - pretpostavlja se da su poznati. Indeksi koeficijenata ( a ij) sistemi označavaju brojeve jednačina ( i) i nepoznato ( j), na kojoj ovaj koeficijent stoji, respektivno.
Sistem (1) se poziva homogena, ako su svi slobodni članovi jednaki nuli ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), inače - heterogena.
Sistem (1) se poziva joint, ako ima barem jedno rješenje, i non-joint, ako ona nema jedinstveno rješenje.
Zajednički sistem tipa (1) može imati jedno ili više rješenja.
Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) nazivaju se zglobni sistemi oblika (1). razne, ako je barem jedna od jednakosti povrijeđena:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Zajednički sistem oblika (1) se zove siguran, ako ima jedinstveno rješenje; ako ima najmanje dva različita rješenja, onda se zove neizvjesno
37) Rješavanje sistema linearnih jednačina Gausovom metodom
Neka originalni sistem izgleda ovako
Matrix A naziva se glavna matrica sistema, b- kolona slobodnih članova.
Tada se, prema svojstvu elementarnih transformacija nad redovima, glavna matrica ovog sistema može svesti na postupni oblik (iste transformacije moraju se primijeniti na stupac slobodnih pojmova):
Tada se pozivaju varijable glavne varijable. Svi ostali su pozvani besplatno.
[uredi]Uslov kompatibilnosti
Gornji uslov za sve može se formulisati kao neophodan i dovoljan uslov za kompatibilnost:
Podsjetimo da je rang zajedničkog sistema rang njegove glavne matrice (ili proširene matrice, pošto su jednake).
Algoritam
Opis
Algoritam za rješavanje SLAE pomoću Gaussove metode podijeljen je u dvije faze.
§ U prvoj fazi se vrši takozvano direktno pomeranje, kada se elementarnim transformacijama preko redova sistem dovodi u stepenasti ili trouglasti oblik, ili se utvrdi da je sistem nekompatibilan. Naime, među elementima prve kolone matrice odaberite jedan različit od nule, pomaknite ga na najgornju poziciju preuređivanjem redova i oduzmite rezultirajući prvi red od preostalih redova nakon preuređivanja, množeći ga vrijednošću jednak omjeru prvog elementa svakog od ovih redova prema prvom elementu prvog reda, čime se nula stupac ispod njega. Nakon što su ove transformacije završene, prvi red i prvi stupac se mentalno precrtavaju i nastavljaju sve dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u bilo kojoj iteraciji nema elementa različitog od nule među elementima prve kolone, idite na sljedeću kolonu i izvedite sličnu operaciju.
§ U drugoj fazi izvodi se takozvani obrnuti potez, čija je suština da se sve rezultirajuće osnovne varijable izraze u terminima nebaznih i konstruiše se fundamentalni sistem rješenja, odnosno, ako su sve varijable osnovni, zatim numerički izraziti jedino rješenje sistema linearnih jednačina. Ovaj postupak počinje posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (a postoji samo jedna) i zamjenjuje se u prethodne jednačine, i tako dalje, idući uz „stepenice“. Svaki red odgovara tačno jednoj bazičnoj varijabli, tako da na svakom koraku osim posljednjeg (najgornjeg), situacija tačno ponavlja slučaj posljednje linije.
Gaussova metoda zahtijeva red O(n 3) radnje.
Ova metoda se oslanja na:
38)Kronecker-Capelli teorem.
Sistem je konzistentan ako i samo ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu njegove proširene matrice.