Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Jedna od tema koja od učenika zahtijeva maksimalnu pažnju i istrajnost je rješavanje nejednakosti. Tako slične jednadžbi, a u isto vrijeme vrlo različite od njih. Jer njihovo rješavanje zahtijeva poseban pristup.
Svojstva koja će biti potrebna za pronalaženje odgovora
Svi oni se koriste za zamjenu postojećeg unosa s ekvivalentnim. Većina njih je slična onome što je bilo u jednadžbi. Ali postoje i razlike.
- Funkcija koja je definirana u ODZ-u, ili bilo koji broj, može se dodati na obje strane izvorne nejednakosti.
- Isto tako, množenje je moguće, ali samo pozitivnom funkcijom ili brojem.
- Ako se ova radnja izvodi s negativnom funkcijom ili brojem, tada se znak nejednakosti mora zamijeniti suprotnim.
- Funkcije koje nisu negativne mogu se podići na pozitivnu potenciju.
Ponekad je rješavanje nejednakosti popraćeno radnjama koje daju strane odgovore. Treba ih eliminisati upoređivanjem DL domena i skupa rješenja.
Korištenje metode intervala
Njegova suština je da se nejednakost svede na jednadžbu u kojoj se na desnoj strani nalazi nula.
- Odredite područje u kojem se nalaze dozvoljene vrijednosti varijabli, odnosno ODZ.
- Transformirajte nejednakost pomoću matematičkih operacija tako da desna strana ima nulu.
- Zamijenite znak nejednakosti sa “=” i riješite odgovarajuću jednačinu.
- Na numeričkoj osi označite sve odgovore koji su dobijeni tokom rješavanja, kao i OD intervale. U slučaju stroge nejednakosti, tačke se moraju nacrtati kao probušene. Ako postoji znak jednakosti, onda ih treba prefarbati.
- Odredite predznak izvorne funkcije na svakom intervalu dobivenom iz tačaka ODZ-a i odgovora koji ga dijele. Ako se predznak funkcije ne mijenja pri prolasku kroz tačku, onda je uključen u odgovor. U suprotnom je isključeno.
- Granične tačke za ODZ treba dalje provjeriti i tek onda uključiti ili ne uključiti u odgovor.
- Rezultirajući odgovor mora biti napisan u obliku kombinovanih skupova.
Malo o dvostrukim nejednakostima
Koriste dva znaka nejednakosti odjednom. To jest, neka funkcija je ograničena uslovima dva puta odjednom. Takve se nejednakosti rješavaju kao sistem dvojke, kada se original podijeli na dijelove. A u metodi intervala navedeni su odgovori iz rješavanja obje jednačine.
Da biste ih riješili, također je dozvoljeno koristiti gore navedena svojstva. Uz njihovu pomoć, zgodno je smanjiti nejednakost na nulu.
Šta je sa nejednačinama koje imaju modul?
U ovom slučaju, rješenje nejednačina koristi sljedeća svojstva, a ona vrijede za pozitivnu vrijednost “a”.
Ako "x" poprimi algebarski izraz, tada su važeće sljedeće zamjene:
- |x|< a на -a < х < a;
- |x| > a do x< -a или х >a.
Ako nejednakosti nisu stroge, onda su i formule tačne, samo što se u njima, pored znaka većeg ili manjeg, pojavljuje i “=”.
Kako se rješava sistem nejednakosti?
Ovo znanje će biti potrebno u slučajevima kada je takav zadatak zadan ili postoji zapis o dvostrukoj nejednakosti ili se modul pojavljuje u zapisu. U takvoj situaciji rješenje će biti vrijednosti varijabli koje bi zadovoljile sve nejednakosti u zapisu. Ako takvih brojeva nema, onda sistem nema rješenja.
Plan po kome se sprovodi rešavanje sistema nejednačina:
- riješiti svaki od njih posebno;
- prikazati sve intervale na brojevnoj osi i odrediti njihove sjecišta;
- zapišite odgovor sistema, koji će biti kombinacija onoga što se dogodilo u drugom paragrafu.
Šta raditi sa razlomcima?
Budući da njihovo rješavanje može zahtijevati promjenu znaka nejednakosti, morate vrlo pažljivo i pažljivo pratiti sve točke plana. U suprotnom, možete dobiti suprotan odgovor.
Rješavanje frakcijskih nejednačina također koristi metodu intervala. A akcioni plan će biti ovakav:
- Koristeći opisana svojstva, dajte razlomku takav oblik da ostane samo nula desno od znaka.
- Zamijenite nejednakost sa “=” i odredite tačke u kojima će funkcija biti jednaka nuli.
- Označite ih na koordinatnoj osi. U ovom slučaju, brojevi dobijeni kao rezultat izračunavanja u nazivniku uvijek će biti iskucani. Svi ostali su zasnovani na uslovu nejednakosti.
- Odrediti intervale konstantnosti predznaka.
- Kao odgovor, zapišite uniju onih intervala čiji predznak odgovara onom u izvornoj nejednakosti.
Situacije kada se iracionalnost pojavljuje u nejednakosti
Drugim riječima, postoji matematički korijen u notaciji. Od u školski kurs U algebri, većina zadataka je za kvadratni korijen, tako da će se ovo razmotriti.
Rješenje iracionalnih nejednakosti svodi se na dobijanje sistema od dva ili tri koji će biti ekvivalentan izvornom.
| Originalna nejednakost | stanje | ekvivalentni sistem |
| √ n(x)< m(х) | m(x) manje ili jednako 0 | nema rješenja |
| m(x) veće od 0 | n(x) je veće ili jednako 0 n(x)< (m(х)) 2 |
|
| √ n(x) > m(x) | m(x) veće ili jednako 0 n(x) > (m(x)) 2 |
|
n(x) je veće ili jednako 0 m(x) manje od 0 |
||
| √n(x) ≤ m(x) | m(x) manje od 0 | nema rješenja |
| m(x) veće ili jednako 0 | n(x) je veće ili jednako 0 n(x) ≤ (m(x)) 2 |
|
| √n(x) ≥ m(x) | m(x) veće ili jednako 0 n(x) ≥ (m(x)) 2 |
|
n(x) je veće ili jednako 0 m(x) manje od 0 |
||
| √ n(x)< √ m(х) | n(x) je veće ili jednako 0 n(x) manje od m(x) |
|
| √n(x) * m(x)< 0 | n(x) veće od 0 m(x) manje od 0 |
|
| √n(x) * m(x) > 0 | n(x) veće od 0 m(x) veće od 0 |
|
| √n(x) * m(x) ≤ 0 | n(x) veće od 0 |
|
n(x) je jednako 0 m(x) - bilo koji |
||
| √n(x) * m(x) ≥ 0 | n(x) veće od 0 |
|
n(x) je jednako 0 m(x) - bilo koji |
Primjeri rješavanja različitih vrsta nejednakosti
Da bi se teoriji o rješavanju nejednakosti dodala jasnoća, u nastavku su dati primjeri.
Prvi primjer. 2x - 4 > 1 + x
Rješenje: Da biste odredili ADI, sve što trebate učiniti je pažljivo pogledati nejednakost. Formira se od linearnih funkcija, stoga je definiran za sve vrijednosti varijable.
Sada trebate oduzeti (1 + x) s obje strane nejednakosti. Ispada: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Nakon što se otvore zagrade i daju slični pojmovi, nejednakost će poprimiti sljedeći oblik: x - 5 > 0.
Izjednačavajući ga sa nulom, lako je pronaći njegovo rješenje: x = 5.
Sada ova tačka sa brojem 5 mora biti označena na koordinatnoj zraci. Zatim provjerite znakove originalne funkcije. Na prvom intervalu od minus beskonačnosti do 5, možete uzeti broj 0 i zamijeniti ga u nejednakosti dobivenu nakon transformacija. Nakon proračuna ispada -7 >0. ispod luka intervala treba da potpišete znak minus.
Na sljedećem intervalu od 5 do beskonačnosti, možete odabrati broj 6. Tada se ispostavi da je 1 > 0. Ispod luka je znak “+”. Ovaj drugi interval će biti odgovor na nejednakost.
Odgovor: x leži u intervalu (5; ∞).
Drugi primjer. Potrebno je riješiti sistem od dvije jednačine: 3x + 3 ≤ 2x + 1 i 3x - 2 ≤ 4x + 2.
Rješenje. VA ovih nejednakosti također leži u području bilo kojeg broja, pošto su linearne funkcije date.
Druga nejednačina će imati oblik sljedeće jednačine: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Nakon transformacije: -x - 4 =0. Ovo proizvodi vrijednost za varijablu jednaku -4.
Ova dva broja moraju biti označena na osi, prikazujući intervale. Pošto nejednakost nije stroga, sve tačke moraju biti zasjenjene. Prvi interval je od minus beskonačnosti do -4. Neka bude izabran broj -5. Prva nejednakost će dati vrijednost -3, a druga 1. To znači da ovaj interval nije uključen u odgovor.
Drugi interval je od -4 do -2. Možete odabrati broj -3 i zamijeniti ga u obje nejednačine. U prvom i drugom, vrijednost je -1. To znači da ispod luka "-".
U posljednjem intervalu od -2 do beskonačnosti, najbolji broj je nula. Morate ga zamijeniti i pronaći vrijednosti nejednakosti. Prvi od njih daje pozitivan broj, a drugi nulu. Ova praznina se također mora isključiti iz odgovora.
Od tri intervala, samo jedan je rješenje nejednakosti.
Odgovor: x pripada [-4; -2].
Treći primjer. |1 - x| > 2 |x - 1|.
Rješenje. Prvi korak je određivanje tačaka u kojima funkcije nestaju. Za lijevu ovaj broj će biti 2, za desnu - 1. Treba ih označiti na gredi i odrediti intervale konstantnosti predznaka.
Na prvom intervalu, od minus beskonačnosti do 1, preuzima funkcija s lijeve strane nejednakosti pozitivne vrijednosti, a sa desne strane - negativan. Ispod luka trebate napisati dva znaka “+” i “-” jedan pored drugog.
Sljedeći interval je od 1 do 2. Na njemu obje funkcije poprimaju pozitivne vrijednosti. To znači da postoje dva plusa ispod luka.
Treći interval od 2 do beskonačnosti će dati sljedeći rezultat: lijeva funkcija je negativna, desna funkcija je pozitivna.
Uzimajući u obzir rezultirajuće znakove, potrebno je izračunati vrijednosti nejednakosti za sve intervale.
Prvi proizvodi sljedeću nejednakost: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus ispred dva u drugoj nejednakosti je zbog činjenice da je ova funkcija negativna.
Nakon transformacije, nejednakost izgleda ovako: x > 0. Odmah daje vrijednosti varijable. Odnosno, iz ovog intervala će biti odgovoreno samo na interval od 0 do 1.
Na drugom: 2 - x > 2 (x - 1). Transformacije će dati sljedeću nejednakost: -3x + 4 je veće od nule. Njegova nula će biti x = 4/3. Uzimajući u obzir znak nejednakosti, ispada da x mora biti manji od ovog broja. To znači da se ovaj interval smanjuje na interval od 1 do 4/3.
Ovo posljednje daje sljedeću nejednakost: - (2 - x) > 2 (x - 1). Njegova transformacija dovodi do sljedećeg: -x > 0. To jest, jednačina je tačna kada je x manje od nule. To znači da na traženom intervalu nejednakost ne daje rješenja.
U prva dva intervala ispostavilo se da je granični broj 1. Potrebno ga je posebno provjeriti. Odnosno, zamijenite ga izvornom nejednakošću. Ispada: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Brojanje pokazuje da je 1 veće od 0. Ovo je tačna tvrdnja, tako da je jedan uključen u odgovor.
Odgovor: x leži u intervalu (0; 4/3).
Na primjer, nejednakost je izraz \(x>5\).
Vrste nejednakosti:
Ako su \(a\) i \(b\) brojevi ili , tada se naziva nejednakost numerički. To je zapravo samo poređenje dva broja. Takve se nejednakosti dijele na vjerni I neveran.
Na primjer:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) je netačna numerička nejednakost, jer je \(17+3=20\), a \(20\) manji od \(115\) (i nije veći ili jednak) .
Ako su \(a\) i \(b\) izrazi koji sadrže varijablu, onda imamo nejednakost sa varijablom. Takve se nejednakosti dijele na vrste ovisno o sadržaju:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Varijabilno samo na prvi stepen |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Postoji varijabla u drugom stepenu (kvadrat), ali nema viših stepena (treća, četvrta, itd.) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Šta je rješenje za nejednakost?
Ako nejednakost umjesto varijable zamijenite brojem, ona će se pretvoriti u brojčanu.
Ako data vrijednost za x pretvori izvornu nejednakost u pravu numeričku, onda se ona zove rješenje nejednakosti. Ako ne, onda ova vrijednost nije rješenje. I to riješiti nejednakost– potrebno je pronaći sva njegova rješenja (ili pokazati da ih nema).
Na primjer, ako zamenimo broj \(7\) u linearnu nejednačinu \(x+6>10\), dobićemo ispravnu numeričku nejednačinu: \(13>10\). A ako zamijenimo \(2\), doći će do netačne numeričke nejednakosti \(8>10\). To jest, \(7\) je rješenje izvorne nejednakosti, ali \(2\) nije.
Međutim, nejednakost \(x+6>10\) ima druga rješenja. Zaista, dobićemo ispravne numeričke nejednakosti pri zamjeni \(5\), i \(12\), i \(138\)... A kako možemo pronaći sve moguća rješenja? Za to koriste Za naš slučaj imamo:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Odnosno, odgovaraće nam bilo koji broj veći od četiri. Sada morate zapisati odgovor. Rješenja nejednačina se obično pišu numerički, dodatno ih označavaju na brojevnoj osi senčenjem. Za naš slučaj imamo:
odgovor:
\(x\in(4;+\infty)\)
Kada se predznak nejednakosti mijenja?
Postoji jedna velika zamka u nejednakostima u koju učenici zaista „vole“ da upadnu:
Prilikom množenja (ili dijeljenja) nejednakosti negativnim brojem, ona se obrće („više“ za „manje“, „više ili jednako“ za „manje ili jednako“ i tako dalje)
Zašto se ovo dešava? Da bismo ovo razumjeli, pogledajmo transformacije numeričke nejednakosti \(3>1\). Tačno je, tri je zaista veće od jedan. Prvo, pokušajmo ga pomnožiti s bilo kojim pozitivnim brojem, na primjer, dva:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Kao što vidimo, nakon množenja nejednakost ostaje tačna. I bez obzira kojim pozitivnim brojem pomnožimo, uvijek ćemo dobiti tačnu nejednakost. Pokušajmo sada pomnožiti negativnim brojem, na primjer, minus tri:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Rezultat je netačna nejednakost, jer je minus devet manje od minus tri! Odnosno, da bi nejednakost postala istinita (i stoga je transformacija množenja negativnim bila "legalna"), trebate obrnuti znak poređenja, ovako: \(−9<− 3\).
Sa podjelom će ispasti na isti način, to možete sami provjeriti.
Gore napisano pravilo se odnosi na sve vrste nejednakosti, a ne samo na one numeričke.
primjer: Riješite nejednačinu \(2(x+1)-1<7+8x\)Rješenje:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Pomaknimo \(8x\) ulijevo, a \(2\) i \(-1\) udesno, ne zaboravljajući da promijenimo znakove |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Podijelimo obje strane nejednakosti sa \(-6\), ne zaboravljajući da promijenimo iz "manje" u "više" |
|
Označimo numerički interval na osi. Nejednakost, stoga "izbodemo" samu vrijednost \(-1\) i ne uzimamo je kao odgovor |
|
|
Zapišimo odgovor kao interval |
odgovor: \(x\in(-1;\infty)\)
Nejednakosti i invaliditet
Nejednačine, baš kao i jednadžbe, mogu imati ograničenja na , odnosno na vrijednosti x. Shodno tome, one vrijednosti koje su prema DZ-u neprihvatljive treba isključiti iz raspona rješenja.
primjer: Riješite nejednačinu \(\sqrt(x+1)<3\)
Rješenje: Jasno je da da bi lijeva strana bila manja od \(3\), radikalni izraz mora biti manji od \(9\) (na kraju krajeva, od \(9\) samo \(3\)). Dobijamo:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
Sve? Bilo koja vrijednost x manja od \(8\) će nam odgovarati? Ne! Jer ako uzmemo, na primjer, vrijednost \(-5\) koja izgleda da odgovara zahtjevu, to neće biti rješenje izvorne nejednakosti, jer će nas dovesti do izračunavanja korijena negativnog broja.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Stoga moramo uzeti u obzir i ograničenja vrijednosti X - ona ne može biti takva da ispod korijena postoji negativan broj. Dakle, imamo drugi zahtjev za x:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
A da bi x bilo konačno rješenje, mora istovremeno zadovoljiti oba zahtjeva: mora biti manje od \(8\) (da bi bilo rješenje) i veće od \(-1\) (da bi u principu bilo prihvatljivo). Ucrtavajući to na brojevnu pravu, imamo konačni odgovor:
odgovor: \(\lijevo[-1;8\desno)\)
Jednostavnije rečeno, možemo reći da su to nejednačine u kojima postoji varijabla samo do prvog stepena, a nije u nazivniku razlomka.
primjeri:\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)
\(5(x-1)-2x>3x-8\)
Primjeri nelinearnih nejednakosti:
\(3>-2\) – ovdje nema varijabli, samo brojevi, što znači da je ovo numerička nejednakost
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – postoji varijabla u nazivniku, ovo
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - postoji varijabla na drugi stepen, ovo je
Rješavanje linearnih nejednačina
Rješavanje nejednakosti postojat će bilo koji broj čija će zamjena umjesto varijable učiniti nejednakost istinitom. Riješite nejednakost- znači pronalaženje svih takvih brojeva.
Na primjer, za nejednakost \(x-2>0\) broj \(5\) će biti rješenje, jer kada zamenimo pet umesto x, dobijamo tačan broj: \(3>0\). Ali broj \(1\) neće biti rješenje, jer će zamjena rezultirati netačnom numeričkom nejednakošću: \(-1>0\) . Ali rješenje nejednakosti neće biti samo pet, već i \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) i beskonačan broj brojeva: bilo koji broj veći od dva.
Stoga se linearne nejednakosti ne mogu riješiti pretraživanjem i zamjenom vrijednosti. Umjesto toga, koristeći ih dovesti do jednog od sljedećih:
\(x
Odgovor se tada označava na brojevnoj pravoj i zapisuje kao (koji se naziva i interval).
Općenito, ako znate kako riješiti, onda možete raditi linearne nejednačine, jer je proces rješavanja vrlo sličan. Postoji samo jedan važan dodatak:
Primjer.
Riješite nejednačinu \(2(x+1)-1<7+8x\)
Rješenje:
odgovor: \(x\in(-1;\infty)\)
Specijalni slučaj br. 1: rješenje nejednakosti - bilo koji broj
U linearnim nejednačinama moguća je situacija kada se kao rješenje može koristiti apsolutno bilo koji broj - cijeli, razlomak, negativan, pozitivan, nula... Na primjer, ova nejednakost \(x+2>x\) bit će tačna za bilo koji vrijednost x. Pa kako bi drugačije, jer je na X na lijevoj strani dodana dvojka, ali ne i na desno. Naravno, broj na lijevoj strani će biti veći, bez obzira koji X uzmemo.
Primjer.
Riješite nejednakost \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Rješenje:
odgovor: \(x\in(-\infty;\infty)\)
Poseban slučaj br. 2: nejednakost nema rješenja
Moguća je i suprotna situacija, kada linearna nejednačina uopće nema rješenja, odnosno nema x neće je učiniti istinitom. Na primjer, \(x-2>x\) nikada neće biti istinito, jer se dva oduzima od x na lijevoj strani, ali ne i na desnoj. To znači da će na lijevoj strani uvijek biti manje, a ne više.
Primjer.
Riješite nejednačinu \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Rješenje:
|
\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\) |
Imenioci nam stoje na putu. Odmah ih se rješavamo množenjem svih nejednakosti sa zajedničkim nazivnikom svih, odnosno sa 6 |
|
|
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\) |
Hajde da otvorimo zagrade |
|
|
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\) |
Hajde da isečemo šta se može rezati |
|
|
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\) |
Na lijevoj strani ćemo otvoriti zagradu, a na desnoj ćemo prikazati slične pojmove |
|
|
\(3x-15>3x-4\) |
|
Pomaknimo \(3x\) ulijevo i \(-15\) udesno, mijenjajući znakove |
|
\(3x-3x>-4+15\) |
|
Ponovo predstavljamo slične pojmove |
|
|
Dobili ste netačnu brojčanu nejednakost. I to će biti netačno za bilo koji x, jer ni na koji način ne utiče na rezultirajuću nejednakost. To znači da bilo koja vrijednost X neće biti rješenje. |
odgovor: \(x\u\varnothing\)
Nejednakost je izraz sa, ≤ ili ≥. Na primjer, 3x - 5 Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih vrijednosti varijabli za koje je nejednakost istinita. Svaki od ovih brojeva je rješenje nejednakosti, a skup svih takvih rješenja je njegov mnoga rješenja. Zovu se nejednačine koje imaju isti skup rješenja ekvivalentne nejednakosti.
Linearne nejednakosti
Principi za rješavanje nejednačina su slični principima za rješavanje jednačina.Principi rješavanja nejednačina
Za bilo koje realne brojeve a, b i c:
Princip sabiranja nejednakosti: Ako a Princip množenja za nejednakosti: Ako je 0 tačno onda je ac Ako je i bc takođe tačno.
Slične izjave važe i za a ≤ b.
Kada se obje strane nejednakosti pomnože negativnim brojem, predznak nejednakosti mora biti obrnut.
Pozivaju se nejednakosti prvog nivoa, kao u primjeru 1 (dolje). linearne nejednakosti.
Primjer 1 Riješite svaku od sljedećih nejednačina. Zatim nacrtajte set rješenja.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Rješenje
Bilo koji broj manji od 11/5 je rješenje.
Skup rješenja je (x|x
Da bismo provjerili, možemo nacrtati graf od y 1 = 3x - 5 i y 2 = 6 - 2x. Tada je jasno da za x 
Skup rješenja je (x|x ≤ 1), ili (-∞, 1). Grafikon skupa rješenja je prikazan ispod. 
Dvostruke nejednakosti
Kada su dvije nejednakosti povezane riječju I, ili, tada se formira dvostruka nejednakost. Dvostruka nejednakost kao
-3
I 2x + 5 ≤ 7
pozvao povezan, jer koristi I. Ulaz -3 Dvostruke nejednačine se mogu riješiti primjenom principa sabiranja i množenja nejednačina.
Primjer 2 Riješi -3 Rješenje Imamo
Skup rješenja (x|x ≤ -1 ili x > 3). Rješenje možemo zapisati i koristeći intervalnu notaciju i simbol za udruženja ili uključujući oba skupa: (-∞ -1] (3, ∞). Grafikon skupa rješenja je prikazan ispod. 
Da provjerimo, nacrtajmo y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 i y 3 = 1. Imajte na umu da za (x|x ≤ -1 ili x > 3), y 1 ≤ y 2 ili y 1 > y 3 . 
Nejednakosti sa apsolutnom vrijednošću (modulus)
Nejednakosti ponekad sadrže module. Za njihovo rješavanje koriste se sljedeća svojstva.
Za a > 0 i algebarski izraz x:
|x| |x| > a je ekvivalentno x ili x > a.
Slične izjave za |x| ≤ a i |x| ≥ a.
Na primjer,
|x| |y| ≥ 1 je ekvivalentno y ≤ -1 ili y ≥ 1;
i |2x + 3| ≤ 4 je ekvivalentno -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Primjer 4 Riješite svaku od sljedećih nejednačina. Grafikujte skup rješenja.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1
Rješenje
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Skup rješenja je (x|x ≤ 2 ili x ≥ 3), ili (-∞, 2] )