U slučaju proračuna okrugle grede pod dejstvom savijanja i torzije (sl. 34.3), potrebno je uzeti u obzir normalna i posmična naprezanja, jer maksimalne vrijednosti naponi u oba slučaja nastaju na površini. Proračun treba provesti prema teoriji čvrstoće, zamjenjujući složeno naponsko stanje jednako opasnim jednostavnim.

Maksimalni torzijski napon u presjeku

Maksimalni napon savijanja u presjeku

Prema jednoj teoriji čvrstoće, ovisno o materijalu grede, izračunava se ekvivalentni napon za opasan presjek i ispituje se čvrstoća grede korištenjem dopuštenog naprezanja savijanja za materijal grede.

Za okruglu gredu, momenti otpora presjeka su sljedeći:

Prilikom proračuna prema trećoj teoriji čvrstoće, teoriji maksimalnog posmičnog naprezanja, ekvivalentno naprezanje se izračunava pomoću formule

Teorija je primjenjiva na plastične materijale.

Prilikom izračunavanja prema teoriji energije promjene oblika, ekvivalentni napon se izračunava pomoću formule

Teorija je primjenjiva na duktilne i lomljive materijale.

teorija maksimalnog posmičnog naprezanja:

Ekvivalentni napon kada se izračuna prema teorija energije promjene oblika:

gdje je ekvivalentni trenutak.

Stanje snage

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Za dato stanje naprezanja (slika 34.4), koristeći hipotezu maksimalnih tangencijalnih napona, izračunajte faktor sigurnosti ako je σ T = 360 N/mm 2.

Test pitanja i zadaci

1. Kako je okarakterisano stanje stresa u nekoj tački i kako je prikazano?

2. Koje oblasti i koji naponi se nazivaju glavnim?

3. Navedite vrste napregnutih stanja.

4. Šta karakteriše deformisano stanje u tački?

5. U kojim slučajevima nastaju granična naponska stanja u duktilnim i krhkim materijalima?

6. Šta je ekvivalentni napon?

7. Objasnite svrhu teorija čvrstoće.

8. Napisati formule za izračunavanje ekvivalentnih napona u proračunima koristeći teoriju maksimalnih tangencijalnih napona i teoriju energije promjene oblika. Objasnite kako ih koristiti.

PREDAVANJE 35

Tema 2.7. Proračun grede okruglog presjeka s kombinacijom osnovnih deformacija

Poznavati formule za ekvivalentna naprezanja na osnovu hipoteza o najvećim tangencijalnim naponima i energiji promjene oblika.

Znati izračunati čvrstoću grede okruglog presjeka pod kombinacijom osnovnih deformacija.

Prostorno (složeno) savijanje

Ova vrsta savijanja naziva se prostorno savijanje kompleksni otpor, u kojem samo momenti savijanja i djeluju u poprečnom presjeku grede. Puni moment savijanja ne djeluje ni u jednoj od glavnih ravnina inercije. Ne postoji uzdužna sila. Prostorno ili složeno savijanje se često naziva neplanarnim savijanjem jer savijena os štapa nije ravna kriva. Ovo savijanje je uzrokovano silama koje djeluju u različitim ravninama okomitim na os grede (slika 1.2.1).

Sl.1.2.1

Slijedeći gore navedeni redoslijed rješavanja problema sa kompleksnim otporom, postavljamo prostorni sistem sila prikazan na Sl. 1.2.1, na dva takva da svaki od njih djeluje u jednoj od glavnih ravnina. Kao rezultat, dobijamo dva stana poprečno savijanje- u vertikalnoj i horizontalnoj ravni. Od četiri interna faktora sile koji nastaju u poprečnom presjeku grede, uzet ćemo u obzir utjecaj samo momenata savijanja. Konstruišemo dijagrame uzrokovane odgovarajućim silama (slika 1.2.1).

Analizirajući dijagrame momenata savijanja, dolazimo do zaključka da je presjek A opasan, jer se upravo u tom presjeku javljaju najveći momenti savijanja. Sada je potrebno uspostaviti opasne tačke sekcije A. Da bismo to uradili, konstruisaćemo nultu liniju. Jednačina nulte linije, uzimajući u obzir pravilo predznaka za članove uključene u ovu jednačinu, ima oblik:

Ovdje je znak “” usvojen u blizini drugog člana jednačine, jer će naponi u prvoj četvrtini uzrokovani momentom biti negativni.

Odredimo ugao nagiba nulte linije sa pozitivnim smjerom ose (slika 12.6):

Rice. 1.2.2

Iz jednadžbe (8) slijedi da je nulta linija za prostorno savijanje prava i prolazi kroz težište presjeka.

Od sl. 1.2.2 jasno je da će najveća naprezanja nastati u tačkama presjeka br. 2 i br. 4 koje su najudaljenije od nulte linije. Normalni naponi u ovim tačkama će biti isti po veličini, ali različiti po predznaku: u tački br. 4 naponi će biti pozitivni, tj. vlačna, u tački br. 2 - negativna, tj. kompresivan. Znakovi ovih naprezanja utvrđeni su fizičkim razmatranjima.

Sada kada su opasne tačke uspostavljene, izračunajmo maksimalna naprezanja u presjeku A i provjerimo čvrstoću grede koristeći izraz:

Uvjet čvrstoće (10) omogućava ne samo provjeru čvrstoće grede, već i odabir dimenzija njenog poprečnog presjeka ako je specificiran omjer širine poprečnog presjeka.

Kombinacija savijanja i torzije greda kružnog poprečnog presjeka najčešće se razmatra pri proračunu osovina. Slučajevi savijanja s torzijom greda nekružnog poprečnog presjeka su mnogo rjeđi.

U § 1.9 utvrđeno je da je u slučaju kada su momenti inercije presjeka u odnosu na glavne ose međusobno jednaki, koso savijanje grede nemoguće. U tom smislu, koso savijanje okruglih greda je nemoguće. Stoga u opšti slučaj djelovanjem vanjskih sila, okrugla greda doživljava kombinaciju sljedećih tipova deformacija: direktno poprečno savijanje, torziju i središnju napetost (ili kompresiju).

Hajde da razmotrimo ovo poseban slučaj proračun okrugle grede kada je uzdužna sila u njenim poprečnim presjecima nula. U ovom slučaju greda radi pod kombiniranim djelovanjem savijanja i torzije. Da bismo pronašli opasnu tačku grede, potrebno je ustanoviti kako se mijenjaju vrijednosti momenta savijanja i momenta po dužini grede, odnosno konstruirati dijagrame ukupnih momenata savijanja M i momenta. Razmotrićemo konstrukciju ovih dijagrama na konkretan primjer osovina prikazana na sl. 22.9, a. Osovina se oslanja na ležajeve A i B i pokreće je motor C.

Remenice E i F su postavljene na osovinu, kroz koje se provlače pogonski remeni sa zatezanjem. Pretpostavimo da se osovina rotira u ležajevima bez trenja; zanemarujemo vlastitu težinu osovine i remenice (u slučaju da je njihova vlastita težina značajna, treba je uzeti u obzir). Usmjerimo os poprečnog presjeka osovine okomito, a os horizontalno.

Veličina sila može se odrediti pomoću formula (1.6) i (2.6), ako je, na primjer, poznata snaga koju prenosi svaka remenica, ugaona brzina osovina i odnosi Nakon određivanja veličina sila, te sile se prenose paralelno sa sobom uzdužnoj osi osovine. U ovom slučaju na osovinu se primjenjuju torzioni momenti u presjecima u kojima se nalaze remenice E i F i jednaki su im. Ovi momenti su uravnoteženi momentom koji se prenosi od motora (Sl. 22.9, b). Sile se zatim razlažu na vertikalne i horizontalne komponente. Vertikalne sile će izazvati vertikalne reakcije u ležištima, a horizontalne sile će izazvati horizontalne reakcije.Veličine ovih reakcija određene su kao za gredu koja leži na dva oslonca.

Dijagram momenata savijanja koji djeluju u vertikalnoj ravni konstruiran je iz vertikalnih sila (slika 22.9, c). To je prikazano na sl. 22.9, d. Slično, iz horizontalnih sila (sl. 22.9, e), konstruiše se dijagram momenata savijanja koji djeluju u horizontalnoj ravni (sl. 22.9, f).

Iz dijagrama možete odrediti (u bilo kojem poprečnom presjeku) ukupni moment savijanja M pomoću formule

Koristeći vrijednosti M dobijene pomoću ove formule, konstruiše se dijagram ukupnih momenata savijanja (slika 22.9, g). U onim dijelovima okna u kojima ravni, granični dijagrami sijeku osi dijagrama u tačkama koje se nalaze na istoj vertikali, dijagram M je ograničen pravim linijama, a u ostalim dijelovima je ograničen krivinama.

(vidi skeniranje)

Na primjer, u odsjeku dotične osovine, dužina dijagrama M je ograničena na pravu liniju (slika 22.9, g), budući da su dijagrami u ovom dijelu ograničeni pravim linijama i sijeku osi dijagrama u tačkama koje se nalaze na istoj vertikali.

Tačka O presjeka prave linije sa osom dijagrama nalazi se na istoj vertikali. Slična situacija je tipična za dio osovine s dužinom

Dijagram ukupnih (ukupnih) momenata savijanja M karakterizira veličinu ovih momenata u svakom dijelu osovine. Ravnine djelovanja ovih momenata u različitim presjecima osovine su različite, ali ordinate dijagrama za sve presjeke su konvencionalno poravnate s ravninom crteža.

Dijagram obrtnog momenta je konstruisan na isti način kao i za čistu torziju (vidi § 1.6). Za dotičnu osovinu prikazano je na sl. 22.9, z.

Opasni presjek osovine utvrđuje se pomoću dijagrama ukupnih momenata savijanja M i momenta.Ako u presjeku grede konstantnog promjera sa najvećim momentom savijanja M djeluje i najveći moment savijanja, onda je ovaj presjek opasan. Konkretno, osovina koja se razmatra ima takav presjek koji se nalazi desno od remenice F na beskonačno maloj udaljenosti od nje.

Ako maksimalni moment savijanja M i maksimalni zakretni moment djeluju u različitim poprečnim presjecima, tada se presjek u kojem nijedna vrijednost nije najveća može pokazati opasnim. Kod greda promjenjivog promjera najopasniji presjek može biti onaj u kojem djeluju znatno manji momenti savijanja i torzije nego u drugim presjecima.

U slučajevima kada se opasan presjek ne može odrediti direktno iz dijagrama M te je potrebno provjeriti čvrstoću grede u nekoliko njegovih presjeka i na taj način utvrditi opasna naprezanja.

Nakon što se utvrdi opasan dio snopa (ili je identificirano nekoliko dijelova, od kojih se jedan može pokazati opasnim), potrebno je u njemu pronaći opasne tačke. Da bismo to učinili, razmotrimo naprezanja koja nastaju u poprečnom presjeku grede kada u njoj istovremeno djeluju moment savijanja M i zakretni moment

U okruglim šipkama, čija je dužina višestruka veći prečnik, vrijednosti najvećih tangencijalnih naprezanja od poprečne sile su male i ne uzimaju se u obzir pri proračunu čvrstoće greda pod kombiniranim djelovanjem savijanja i torzije.

Na sl. Slika 23.9 prikazuje poprečni presjek okrugle grede. U ovom presjeku djeluju moment savijanja M i moment. Osa y se uzima da je okomita na ravan djelovanja momenta savijanja. Osa y je dakle neutralna os presjeka.

U poprečnom presjeku grede normalna naprezanja nastaju savijanjem, a posmična naprezanja od torzije.

Normalni naponi a određuju se formulom Dijagram ovih napona je prikazan na sl. 23.9. Najveći normalni naponi u apsolutnoj vrijednosti javljaju se u tačkama A i B. Ovi naponi su jednaki

gdje je aksijalni moment otpora poprečnog presjeka grede.

Tangencijalni naponi se određuju formulom Dijagram ovih napona je prikazan na sl. 23.9.

U svakoj tački presjeka oni su usmjereni normalno na polumjer koji povezuje ovu tačku sa središtem presjeka. Najveća posmična naprezanja javljaju se u točkama koje se nalaze duž perimetra presjeka; oni su jednaki

gdje je polarni moment otpora poprečnog presjeka grede.

Za plastični materijal, tačke A i B poprečnog presjeka, u kojima istovremeno dosežu i normalna i posmična naprezanja najveća vrijednost, opasni su. Za krhke materijale, opasna tačka je ona u kojoj vlačna naprezanja nastaju iz momenta savijanja M.

Napeto stanje elementarnog paralelepipeda izolovanog u blizini tačke A prikazano je na Sl. 24.9, a. Duž ploha paralelepipeda, koje se poklapaju s poprečnim presjecima grede, djeluju normalni i tangencijalni naponi. Na osnovu zakona uparivanja tangencijalnih napona, naponi nastaju i na gornjoj i donjoj strani paralelepipeda. Njegova preostala dva lica su bez stresa. Dakle, u ovom slučaju postoji privatni pogled ravninsko naponsko stanje, detaljno razmotreno u pogl. 3. Glavna naprezanja amax i određena su formulama (12.3).

Nakon zamjene vrijednosti u njih dobijamo

Naponi imaju različiti znakovi i zbog toga

Elementarni paralelepiped, istaknut u blizini tačke A glavnim područjima, prikazan je na Sl. 24.9, b.

Proračun čvrstoće greda prilikom savijanja sa torzijom, kao što je već napomenuto (vidi početak § 1.9), provodi se korištenjem teorija čvrstoće. U ovom slučaju, proračun greda od plastičnih materijala obično se provodi na temelju treće ili četvrte teorije čvrstoće, a od krhkih - prema Mohrovoj teoriji.

Prema trećoj teoriji snage [vidi. formula (6.8)], zamjenjujući izraze u ovu nejednakost [vidi. formula (23.9)], dobijamo

Prostorno savijanje Ova vrsta složenog otpora se naziva u kojoj su samo momenti savijanja i
. Puni moment savijanja ne djeluje ni u jednoj od glavnih ravnina inercije. Ne postoji uzdužna sila. Često se naziva prostorno ili složeno savijanje neplanarna krivina, budući da zakrivljena os štapa nije ravna kriva. Ovo savijanje je uzrokovano silama koje djeluju u različitim ravninama okomitim na os grede (slika 12.4).

Slijedeći gore navedeni redoslijed rješavanja problema sa kompleksnim otporom, postavljamo prostorni sistem sila prikazan na Sl. 12.4, na dva takva da svaki od njih djeluje u jednoj od glavnih ravnina. Kao rezultat, dobivamo dva ravna poprečna zavoja - u vertikalnoj i horizontalnoj ravni. Od četiri unutrašnja faktora sile koji nastaju u poprečnom presjeku grede
, uzećemo u obzir uticaj samo momenata savijanja
. Gradimo dijagrame
, uzrokovane silama
(Sl. 12.4).

Analizirajući dijagrame momenata savijanja, dolazimo do zaključka da je presjek A opasan, jer se u tom presjeku javljaju najveći momenti savijanja.
I
. Sada je potrebno uspostaviti opasne tačke sekcije A. Da bismo to uradili, konstruisaćemo nultu liniju. Jednačina nulte linije, uzimajući u obzir pravilo predznaka za članove uključene u ovu jednačinu, ima oblik:

. (12.7)

Ovdje je znak “” usvojen u blizini drugog člana jednačine, budući da su naponi u prvoj četvrtini uzrokovani momentom
, biće negativan.

Odredimo ugao nagiba nulte linije sa pozitivnim smjerom ose (Sl.12.6):

. (12.8)

Iz jednadžbe (12.7) slijedi da je nulta linija za prostorno savijanje prava i prolazi kroz težište presjeka.

Sa slike 12.5 je jasno da će najveća naprezanja nastati u tačkama presjeka br. 2 i br. 4 koje su najudaljenije od nulte linije. Normalni naponi u ovim tačkama će biti isti po veličini, ali različiti po predznaku: u tački br. 4 naponi će biti pozitivni, tj. vlačna, u tački br. 2 – negativna, tj. kompresivan. Znakovi ovih naprezanja utvrđeni su fizičkim razmatranjima.

Sada kada su opasne tačke uspostavljene, izračunajmo maksimalna naprezanja u presjeku A i provjerimo čvrstoću grede koristeći izraz:

. (12.9)

Uvjet čvrstoće (12.9) omogućuje ne samo provjeru čvrstoće grede, već i odabir dimenzija njegovog poprečnog presjeka ako je naveden omjer širine poprečnog presjeka.

12.4. Kosi zavoj

Koso Ova vrsta složenog otpora naziva se u kojoj se samo momenti savijanja javljaju u poprečnim presjecima grede
I
, ali za razliku od prostornog savijanja, sve sile primijenjene na gredu djeluju u jednoj (silnoj) ravni, koja se ne poklapa ni sa jednom od glavnih ravnina inercije. Ova vrsta savijanja najčešće se susreće u praksi, pa ćemo je detaljnije proučiti.

Zamislite konzolnu gredu opterećenu silom , kao što je prikazano na slici 12.6, i napravljeno od izotropnog materijala.

Kao i kod prostornog savijanja, kod kosog savijanja nema uzdužne sile. Uticaj sile smicanja pri proračunu snage grede zanemarićemo je.

Dijagram dizajna grede prikazan na slici 12.6 prikazan je na slici 12.7.

Hajde da razbijemo struju do vertikalne i horizontalno komponente i od svake od ovih komponenti ćemo konstruisati dijagrame momenata savijanja
I
.

Izračunajmo komponente ukupnog momenta savijanja u presjeku :

;
.

Ukupni moment savijanja u presjeku jednaki

Dakle, komponente ukupnog momenta savijanja mogu se izraziti u terminima ukupnog momenta na sljedeći način:

;
. (12.10)

Iz izraza (12.10) jasno je da prilikom kosog savijanja nema potrebe za razlaganjem sistema vanjskih sila na komponente, jer su te komponente ukupnog momenta savijanja međusobno povezane pomoću ugla nagiba traga sile. avion . Kao rezultat toga, nema potrebe za konstruiranjem dijagrama komponenti
I
ukupni moment savijanja. Dovoljno je nacrtati dijagram ukupnog momenta savijanja
u ravni sila, a zatim pomoću izraza (12.10) odredimo komponente ukupnog momenta savijanja u bilo kojem dijelu grede koji nas zanima. Dobiveni zaključak značajno pojednostavljuje rješavanje problema sa kosim savijanjem.

Zamijenimo vrijednosti komponenti ukupnog momenta savijanja (12.10) u formulu za normalna naprezanja (12.2) na
. Dobijamo:

. (12.11)

Ovdje je znak “” pored ukupnog momenta savijanja postavljen posebno u svrhu automatskog dobivanja ispravnog predznaka normalnog naprezanja u točki presjeka koja se razmatra. Ukupni moment savijanja
i koordinate tačke I uzimaju se sa svojim predznacima, s tim da se u prvom kvadrantu predznaci koordinata tačaka uzimaju pozitivni.

Formula (12.11) je dobivena razmatranjem posebnog slučaja kosog savijanja grede, stegnute na jednom kraju, a na drugom opterećene koncentriranom silom. Međutim, ova formula je opća formula za izračunavanje napona pri kosom savijanju.

Opasni presjek, kao i kod prostornog savijanja u slučaju koji se razmatra (slika 12.6), bit će presjek A, budući da se u ovom presjeku javlja najveći ukupni moment savijanja. Odredićemo opasne tačke sekcije A konstruisanjem nulte linije. Jednačinu nulte linije dobijamo izračunavanjem, koristeći formulu (12.11), normalnih napona u tački sa koordinatama I , koji pripada nultoj liniji i izjednačiti pronađene napone sa nulom. Nakon jednostavnih transformacija dobijamo:

(12.12)

. (12.13)

Evo ugao nagiba nulte linije prema osi (Sl. 12.8).

Ispitivanjem jednačina (12.12) i (12.13) možemo izvući neke zaključke o ponašanju nulte linije pri kosom savijanju:

Iz slike 12.8 proizilazi da se najveća naprezanja javljaju na mjestima poprečnog presjeka koja su najudaljenija od nulte linije. U predmetu koji se razmatra, takve tačke su tačke br. 1 i br. 3. Dakle, s kosim savijanjem, uvjet čvrstoće ima oblik:

. (12.14)

ovdje:
;
.

Ako se momenti otpora presjeka u odnosu na glavne osi inercije mogu izraziti kroz dimenzije presjeka, prikladno je koristiti uvjet čvrstoće u ovom obliku:

. (12.15)

Prilikom odabira presjeka, jedan od aksijalnih momenata otpora se vadi iz zagrade i specificira relacijom . Znajući
,
i ugao , kroz uzastopne pokušaje, odrediti vrijednosti
I , zadovoljavajući uslov čvrstoće

. (12.16)

Za asimetrične presjeke koji nemaju izbočene uglove koristi se uvjet čvrstoće u obliku (12.14). U tom slučaju, sa svakim novim pokušajem odabira sekcije, potrebno je prvo ponovo pronaći položaj nulte linije i koordinate najudaljenije tačke (
). Za pravougaoni presek
. S obzirom na relaciju, iz uslova snage (12.16) lako se može naći količina
i dimenzije poprečnog presjeka.

Razmotrimo određivanje pomaka pri kosom savijanju. Pronađimo otklon u sekciji konzolna greda (sl. 12.9). Da bismo to učinili, prikazat ćemo gredu u jednom stanju i konstruirati dijagram pojedinačnih momenata savijanja u jednoj od glavnih ravnina. Ukupni otklon ćemo odrediti u presjeku , prethodno odredivši projekcije vektora pomaka na osi I . Projekcija vektora ukupnog otklona na osu nalazimo koristeći Mohrovu formulu:

Projekcija vektora ukupnog otklona na osu nalazimo na sličan način:

Ukupni otklon je određen formulom:

. (12.19)

Treba napomenuti da se kod kosog savijanja u formulama (12.17) i (12.18) pri određivanju projekcija otklona na koordinatne osi mijenjaju samo konstantni članovi ispred predznaka integrala. Sam integral ostaje konstantan. Prilikom rješavanja praktičnih zadataka izračunat ćemo ovaj integral primjenom Mohr-Simpsonove metode. Da biste to učinili, pomnožite dijagram jedinica
za teret
(Sl. 12.9), konstruisan u ravni sile, a zatim pomnožite rezultujući rezultat uzastopno sa konstantnim koeficijentima, respektivno, I . Kao rezultat dobijamo projekcije ukupnog otklona I na koordinatnoj osi I . Izrazi za projekcije otklona za opći slučaj opterećenja, kada greda ima parcele će izgledati ovako:

; (12.20)

. (12.21)

Odvojimo pronađene vrijednosti za ,I (Sl. 12.8). Vektor ukupnog otklona je sa osovinom oštri ugao , čije se vrijednosti mogu pronaći pomoću formule:

, (12.22)

. (12.23)

Upoređujući jednačinu (12.22) sa jednačinom nulte linije (12.13), dolazimo do zaključka da

ili
,

odakle slijedi da su nulta linija i vektor ukupnog otklona međusobno okomite. Ugao je komplement ugla do 900. Ovaj uslov se može koristiti za provjeru pri rješavanju problema kosog savijanja:

. (12.24)

Dakle, smjer otklona tijekom kosog savijanja je okomit na nultu liniju. Iz ovoga proizilazi važan uslov, Šta smjer otklona se ne poklapa sa smjerom djelujuće sile(Sl. 12.8). Ako je opterećenje ravan sistem sila, tada os zakrivljene grede leži u ravnini koja se ne poklapa sa ravninom djelovanja sila. Greda se kosi u odnosu na ravan sile. Ova okolnost poslužila je kao osnova za činjenicu da se takav zavoj počeo zvati koso.

Primjer 12.1. Odredite položaj nulte linije (nađite ugao ) za poprečni presjek grede prikazan na slici 12.10.

1. Ugao na trag ravni sile crtat ćemo iz pozitivnog smjera ose . Ugao Uvijek ćemo to shvatiti oštro, ali uzimajući u obzir znak. Bilo koji ugao se smatra pozitivnim ako pravi sistem njegove koordinate su odložene od pozitivnog smjera ose suprotno od kazaljke na satu, a negativan ako je ugao položen u smjeru kazaljke na satu. U ovom slučaju ugao smatra se negativnim (
).

2. Odrediti omjer aksijalnih momenata inercije:

.

3. Zapisujemo jednačinu nulte linije za koso savijanje u obliku iz kojeg nalazimo ugao :

;
.

4. Ugao ispostavilo se pozitivno, pa smo ga odvojili od pozitivnog smjera ose suprotno od kazaljke na satu do nulte linije (slika 12.10).

Primjer 12.2. Odrediti veličinu normalnog naprezanja u tački A poprečnog presjeka grede za vrijeme kosog savijanja, ako je moment savijanja
kNm, koordinate tačke
cm,
vidi dimenzije poprečnog presjeka grede i ugao nagiba ravnine sile prikazani su na slici 12.11.

1. Prvo izračunajmo momente inercije presjeka u odnosu na ose I :

cm 4;
cm 4.

2. Napišimo formulu (12.11) za određivanje normalnih napona u proizvoljnoj tački poprečnog presjeka pri kosom savijanju. Prilikom zamjene vrijednosti momenta savijanja u formulu (12.11) treba uzeti u obzir da je moment savijanja prema uvjetima problema pozitivan.

7,78 MPa.

Primjer 12.3. Odredite dimenzije poprečnog presjeka grede prikazane na slici 12.12a. Materijal grede – čelik sa dozvoljenim naprezanjem
MPa. Specificiran je omjer širine i visine
. Opterećenja i ugao nagiba ravni sile prikazani su na slici 12.12c.

1. Da bismo odredili položaj opasnog presjeka, konstruiramo dijagram momenata savijanja (slika 12.12b). Opasan je dio A. Maksimalni moment savijanja na opasnom dijelu
kNm.

2. Opasna tačka u sekciji A će biti jedna od ugaonih tačaka. Uslov čvrstoće zapisujemo u formu

,

Gdje ga možemo naći, s obzirom da je odnos
:

3. Odredite dimenzije poprečnog presjeka. Aksijalni moment otpora
uzimajući u obzir odnos stranaka
jednak:

cm 3, odakle

cm;
cm.

Primjer 12.4. Kao rezultat savijanja grede, težište presjeka se pomaknulo u smjeru određenom kutom sa osovinom (Sl. 12.13, a). Odredite ugao nagiba force plane. Oblik i dimenzije poprečnog presjeka grede prikazani su na slici.

1. Odrediti ugao nagiba traga ravni sile Koristimo izraz (12.22):

, gdje
.

Omjer momenata inercije
(vidi primjer 12.1). Onda

.

Ostavimo ovu vrijednost ugla po strani iz pozitivnog smjera ose (Sl. 12.13, b). Trag ravni sile na slici 12.13b je prikazan kao isprekidana linija.

2. Provjerimo dobiveno rješenje. Da biste to učinili, s pronađenom vrijednošću ugla Odredimo poziciju nulte linije. Koristimo izraz (12.13):

.

Nulta linija je prikazana na slici 12.13 kao isprekidana linija. Nulta linija mora biti okomita na liniju otklona. Provjerimo ovo:

Primjer 12.5. Odrediti ukupni otklon grede u presjeku B za vrijeme kosog savijanja (slika 12.14a). Materijal grede – čelik sa modulom elastičnosti
MPa. Dimenzije poprečnog presjeka i ugao nagiba ravni sile prikazani su na slici 12.14b.

1. Odredite projekcije vektora ukupnog otklona u sekciji A I . Da bismo to učinili, napravit ćemo dijagram opterećenja momenata savijanja
(Sl. 12.14, c), pojedinačni dijagram
(Sl. 12.14, d).

2. Koristeći Mohr-Simpsonovu metodu, množimo teret
i samac
dijagrami momenata savijanja pomoću izraza (12.20) i (12.21):

m
mm.

m
mm.

Aksijalni momenti inercije presjeka
cm 4 i
Uzimamo cm 4 iz primjera 12.1.

3. Odrediti ukupnu deformaciju presjeka B:

.

Pronađene vrijednosti projekcija ukupnog ugiba i samog punog ugiba ucrtane su na crtežu (sl. 12.14b). Kako su se projekcije ukupnog otklona pokazale pozitivne pri rješavanju zadatka, ostavimo ih po strani u smjeru djelovanja jedinične sile, tj. dolje ( ) i lijevo ( ).

5. Da bismo provjerili ispravnost rješenja, odredimo ugao nagiba nulte linije prema osi :

Zbrojimo module uglova pravca ukupnog otklona I :

To znači da je puni otklon okomit na nultu liniju. Dakle, problem je ispravno riješen.

Kratke informacije iz teorije

Drvo podliježe uvjetima složenog otpora ako više faktora unutrašnjih sila u poprečnim presjecima nije jednako nuli u isto vrijeme.

Sljedeći slučajevi složenog opterećenja su od najvećeg praktičnog interesa:

1. Kosi zavoj.

2. Savijanje sa zatezanjem ili kompresijom kada je u poprečnom
presjek, nastaju uzdužna sila i momenti savijanja, kao npr
na primjer, tokom ekscentrične kompresije grede.

3. Savijanje sa torzijom, karakterizirano prisustvom u stražnjici
riječne dionice savijanja (ili dva savijanja) i torzijske
momente.

Kosi zavoj.

Koso savijanje je slučaj savijanja grede u kojem se ravnina djelovanja ukupnog momenta savijanja u presjeku ne poklapa ni sa jednom od glavnih osi inercije. Najpogodnije je koso savijanje posmatrati kao istovremeno savijanje grede u dvije glavne ravnine zoy i zox, pri čemu je os z osa grede, a osi x i y su glavne središnje ose poprečnog presjeka.

Razmotrimo konzolnu gredu pravokutnog poprečnog presjeka opterećenu silom P (sl. 1).

Proširujući silu P duž glavnih centralnih osi poprečnog presjeka, dobivamo:

P y =Pcos φ, P x =Psin φ

Momenti savijanja se javljaju u trenutnom presjeku grede

M x = - P y z = -P z cos φ,

M y = P x z = P z sin φ.

Predznak momenta savijanja M x određuje se na isti način kao u slučaju ravna krivina. Trenutak M y ćemo smatrati pozitivnim ako je u tačkama sa pozitivna vrijednost koordinata x ovaj moment uzrokuje vlačna naprezanja. Inače, predznak momenta M y se lako može ustanoviti analogijom sa određivanjem predznaka momenta savijanja M x, ako mentalno zarotirate presjek tako da se os x poklapa s originalnim smjerom y ose .

Napon u proizvoljnoj točki poprečnog presjeka grede može se odrediti pomoću formula za određivanje napona za slučaj savijanja u ravnini. Na osnovu principa nezavisnog djelovanja sila, sumiramo naprezanja uzrokovana svakim od momenata savijanja

(1)

Vrijednosti momenata savijanja (sa vlastitim predznacima) i koordinate točke u kojoj se izračunava napon zamjenjuju se u ovaj izraz.

Za određivanje opasnih tačaka presjeka potrebno je odrediti položaj nulte ili neutralne linije (geometrijski položaj tačaka presjeka u kojima su naponi σ = 0). Maksimalni naponi se javljaju u tačkama koje su najudaljenije od nulte linije.

Jednačina nulte linije se dobija iz jednačine (1) na =0:

odakle slijedi da nulta linija prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Tangencijalna naprezanja koja nastaju u presjecima grede (pri Q x ≠0 i Q y ≠0), u pravilu se mogu zanemariti. Ako postoji potreba da se oni odrede, tada se prvo komponente ukupnog posmičnog naprezanja τ x i τ y izračunavaju prema formuli D. Ya. Žuravskog, a zatim se potonji geometrijski sumiraju:

Za procjenu čvrstoće grede potrebno je odrediti maksimalna normalna naprezanja u opasnom presjeku. Budući da je u najopterećenijim točkama stanje naprezanja jednoosno, uvjet čvrstoće pri proračunu korištenjem metode dopuštenog naprezanja ima oblik

Za plastične materijale,

Za lomljive materijale,

n - faktor sigurnosti.

Ako računate koristeći metodu granična stanja, tada uslov snage ima oblik:

gdje je R projektirani otpor,

m – koeficijent uslova rada.

U slučajevima kada materijal grede ima različitu otpornost na zatezanje i pritisak, potrebno je odrediti i maksimalno vlačno i maksimalno tlačno naprezanje, a zaključak o čvrstoći grede donosi se iz odnosa:

gdje su R p i R c izračunati vlačni i tlačni otpori materijala, respektivno.

Za određivanje otklona grede, zgodno je prvo pronaći pomake presjeka u glavnim ravninama u smjeru x i y osi.

Proračun ovih pomaka ƒ x i ƒ y može se izvršiti konstruiranjem univerzalne jednadžbe za zakrivljenu os grede ili energetskim metodama.

Ukupni otklon se može naći kao geometrijski zbir:

uslov krutosti grede ima oblik:

gdje je - dozvoljeni otklon grede.

Ekscentrična kompresija

U ovom slučaju, tlačna sila P na gredu je usmjerena paralelno s osi grede i primjenjuje se u točki koja se ne poklapa s težištem presjeka. Neka su X p i Y p koordinate tačke primene sile P, merene u odnosu na glavne centralne ose (slika 2).

Efektivno opterećenje uzrokuje pojavu sljedećih faktora unutrašnjih sila u poprečnim presjecima: N= -P, Mx= -Py p, My=-Px p

Znaci momenata savijanja su negativni, jer potonji uzrokuju kompresiju u točkama koje pripadaju prvoj četvrtini. Napon u proizvoljnoj tački presjeka određen je izrazom

(9)

Zamjenom vrijednosti N, Mx i Mu dobijamo

(10)

Pošto su Uh= F, Uu= F (gdje su i x i i y glavni polumjeri inercije), posljednji izraz se može svesti na oblik

(11)

Jednačinu nulte linije dobijamo postavljanjem =0

1+ (12)

Segmenti i odsječeni nultom linijom na koordinatnoj osi izražavaju se na sljedeći način:

Pomoću ovisnosti (13) lako se može pronaći položaj nulte linije u presjeku (slika 3), nakon čega se određuju tačke najudaljenije od ove prave, koje su opasne, jer u njima nastaju maksimalni naponi.

Napregnuto stanje u točkama presjeka je jednoosno, pa je uvjet za čvrstoću grede sličan prethodno razmatranom slučaju kosog savijanja grede - formule (5), (6).

Prilikom ekscentričnog sabijanja greda, čiji materijal je slabo otporan na napetost, poželjno je spriječiti pojavu vlačnih napona u poprečnom presjeku. Naprezanja istog predznaka nastat će u presjeku ako nulta linija prođe izvan presjeka ili ga, u ekstremnim slučajevima, dodirne.

Ovaj uvjet je zadovoljen kada se tlačna sila primjenjuje unutar regije koja se naziva jezgro presjeka. Jezgro presjeka je područje koje pokriva težište presjeka i karakterizira ga činjenica da svaka uzdužna sila primijenjena unutar ove zone uzrokuje naprezanja istog znaka u svim točkama grede.

Da bi se konstruisalo jezgro preseka, potrebno je postaviti položaj nulte linije tako da dodiruje presek, a da ga nigde ne preseca, i pronaći odgovarajuću tačku primene sile P. Povlačenjem porodice tangenta na sekcije, dobijamo skup polova koji im odgovaraju, čija će geometrijska lokacija dati obris (konturu) jezgrenih sekcija.

Neka, na primjer, dobijemo dio prikazan na sl. 4, sa glavnim centralnim osovinama x i y.

Za konstruisanje jezgra preseka predstavljamo pet tangenta, od kojih se četiri poklapaju sa stranicama AB, DE, EF i FA, a peta povezuje tačke B i D. tangente I-I, . . . ., 5-5 na osi x, y i zamjenom ovih vrijednosti u ovisnosti (13), određujemo koordinate x p, y p za pet polova 1, 2....5, koje odgovaraju pet položaja nulta linija. Tangenta I-I se može pomeriti u poziciju 2-2 rotacijom oko tačke A, dok se pol I mora kretati pravolinijski i, kao rezultat rotacije tangente, pomeriti se u tačku 2. Shodno tome, svi polovi koji odgovaraju međuodredbe tangenta između I-I i 2-2 će se nalaziti na pravoj liniji 1-2. Slično, može se dokazati da će i preostale strane jezgre presjeka biti pravokutne, tj. jezgro presjeka je poligon, za konstrukciju kojeg je dovoljno spojiti polove 1, 2, ... 5 pravim linijama.

Savijanje sa torzijom okrugle grede.

Kod savijanja sa torzijom u poprečnom presjeku grede, u opštem slučaju, pet unutrašnjih faktora sile nije jednako nuli: M x, M y, M k, Q x i Q y. Međutim, u većini slučajeva utjecaj posmičnih sila Q x i Q y može se zanemariti ako presjek nije tankih zidova.

Normalni naponi u poprečnom presjeku mogu se odrediti iz veličine rezultirajućeg momenta savijanja

jer neutralna os je okomita na šupljinu djelovanja momenta M u.

Na sl. Na slici 5 prikazani su momenti savijanja M x i M y u obliku vektora (smjerovi M x i M y su izabrani pozitivni, tj. takvi da su u točkama prvog kvadranta naponski presjeci zatezni).

Smjer vektora M x i M y bira se na takav način da ih posmatrač, gledajući s kraja vektora, vidi usmjerene suprotno od kazaljke na satu. U ovom slučaju, neutralna linija poklapa se sa smjerom rezultujućeg vektora momenta M u, a najopterećenije točke presjeka A i B leže u ravni djelovanja ovog momenta.