Kurs koristi geometrijski jezik, sastavljen od notacija i simbola usvojenih na kursu matematike (naročito u novom predmetu geometrije u srednjoj školi).
Čitav niz oznaka i simbola, kao i veze između njih, mogu se podijeliti u dvije grupe:
grupa I - oznake geometrijskih figura i odnosi između njih;
grupa II oznake logičkih operacija koje čine sintaksičku osnovu geometrijskog jezika.
Ispod je puna lista matematičke simbole koji se koriste u ovom kursu. Posebna pažnja posvećena simbolima koji se koriste za označavanje projekcija geometrijskih figura.
Grupa I
SIMBOLI KOJI UKAZUJU GEOMETRIJSKE FIGURE I ODNOSE IZMEĐU NJIH
A. Označavanje geometrijskih figura
1. Geometrijska figura je označena - F.
2. Bodovi su označeni velikim slovima latinično pismo ili arapski brojevi:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Linije koje se proizvoljno nalaze u odnosu na ravni projekcije označene su malim slovima latinice:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Linije nivoa su označene: h - horizontalno; f- prednji.
Sljedeće oznake se također koriste za prave linije:
(AB) - prava linija koja prolazi kroz tačke A i B;
[AB) - zraka sa početkom u tački A;
[AB] - segment prave linije omeđen tačkama A i B.
4. Površine su označene malim slovima grčke abecede:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Da bi se naglasio način na koji je površina definirana, treba naznačiti geometrijske elemente pomoću kojih je definirana, na primjer:
α(a || b) - ravan α određena je paralelnim pravima a i b;
β(d 1 d 2 gα) - površinu β određuju vodilice d 1 i d 2, generator g i ravan paralelizma α.
5. Uglovi su naznačeni:
∠ABC - ugao sa vrhom u tački B, kao i ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Ugaoni: vrijednost ( stepen mera) označen je znakom postavljenim iznad ugla:
Veličina ugla ABC;
Veličina ugla φ.
Pravi ugao je označen kvadratom sa tačkom unutra
7. Udaljenosti između geometrijskih figura su označene sa dva vertikalna segmenta - ||.
Na primjer:
|AB| - rastojanje između tačaka A i B (dužina segmenta AB);
|Aa| - udaljenost od tačke A do prave a;
|Aα| - udaljenosti od tačke A do površine α;
|ab| - rastojanje između linija a i b;
|αβ| udaljenost između površina α i β.
8. Za ravni projekcije prihvaćene su sljedeće oznake: π 1 i π 2, gdje je π 1 horizontalna ravan projekcije;
π 2 - ravan frontalne projekcije.
Prilikom zamjene ravni projekcije ili uvođenja novih ravni, ove posljednje se označavaju π 3, π 4, itd.
9. Osi projekcije su označene: x, y, z, gdje je x osa apscise; y - ordinatna osa; z - aplicirana osa.
Mongeov konstantni pravolinijski dijagram je označen sa k.
10. Projekcije tačaka, pravih, površina, bilo koje geometrijske figure označene su istim slovima (ili brojevima) kao i original, uz dodatak superskripta koji odgovara projekcijskoj ravni na kojoj su dobijeni:
A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontalne projekcije tačaka; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontalne projekcije tačaka; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontalne projekcije pravih; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... frontalne projekcije linija; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površina; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontalne projekcije površina.
11. Tragovi ravni (površina) označavaju se istim slovima kao horizontalni ili frontalni, uz dodatak indeksa 0α, naglašavajući da ove prave leže u ravni projekcije i pripadaju ravni (površini) α.
Dakle: h 0α - horizontalni trag ravni (površine) α;
f 0α - frontalni trag ravni (površine) α.
12. Tragovi pravih linija (linija) označeni su velikim slovima, kojima počinju riječi koje određuju naziv (u latiničnoj transkripciji) ravni projekcije koju linija seče, sa indeksom koji označava pripadnost liniji.
Na primjer: H a - horizontalni trag prave (linije) a;
F a - frontalni trag prave (linije) a.
13. Niz tačaka, linija (bilo koja figura) označen je indeksima 1,2,3,...,n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
α 1, α 2, α 3,...,α n;
F 1, F 2, F 3,..., F n, itd.
Pomoćna projekcija tačke, dobijena kao rezultat transformacije da bi se dobila stvarna vrijednost geometrijske figure, označena je istim slovom sa indeksom 0:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Aksonometrijske projekcije
14. Aksonometrijske projekcije tačaka, pravih, površina označavaju se istim slovima kao i priroda sa dodatkom superskripta 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Sekundarne projekcije su označene dodavanjem superskripta 1:
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Radi lakšeg čitanja crteža u udžbeniku, prilikom oblikovanja ilustrativnog materijala koristi se nekoliko boja, od kojih svaka ima određeno semantičko značenje: crne linije (tačke) označavaju izvorne podatke; zelene boje koristi se za linije pomoćnih grafičkih konstrukcija; crvene linije (tačke) prikazuju rezultate konstrukcija ili onih geometrijskih elemenata na koje treba obratiti posebnu pažnju.
| br. od por. | Oznaka | Sadržaj | Primjer simboličke notacije |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Match | (AB)≡(CD) - prava linija koja prolazi kroz tačke A i B, poklapa se sa pravom koja prolazi kroz tačke C i D |
| 2 | ≅ | Kongruentno | ∠ABC≅∠MNK - ugao ABC je kongruentan uglu MNK |
| 3 | ∼ | Slično | ΔAVS∼ΔMNK - trouglovi AVS i MNK su slični |
| 4 | || | Paralelno | α||β - ravan α je paralelna ravni β |
| 5 | ⊥ | Perpendicular | a⊥b - prave a i b su okomite |
| 6 | Crossbreed | c d - prave c i d se seku | |
| 7 | Tangente | t l - prava t je tangenta na pravu l. βα - ravan β tangenta na površinu α |
|
| 8 | → | Prikazan | F 1 →F 2 - slika F 1 je mapirana na sliku F 2 |
| 9 | S | Projekcioni centar. Ako je centar projekcije neispravna tačka, tada je njegov položaj označen strelicom, koji označava pravac projekcije | - |
| 10 | s | Smjer projekcije | - |
| 11 | P | Paralelna projekcija | r s α Paralelna projekcija - paralelna projekcija na α ravan u pravcu s |
| br. od por. | Oznaka | Sadržaj | Primjer simboličke notacije | Primjer simboličke notacije u geometriji |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Setovi | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Elementi seta | - | - |
| 3 | { ... } | Sadrži... | F(A, B, C,...) | F(A, B, C,...) - figura F sastoji se od tačaka A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Prazan set | L - ∅ - skup L je prazan (ne sadrži elemente) | - |
| 5 | ∈ | Pripada, je element | 2∈N (gdje je N skup prirodni brojevi) - broj 2 pripada skupu N | A ∈ a - tačka A pripada pravoj a (tačka A leži na pravoj a) |
| 6 | ⊂ | Uključuje, sadrži | N⊂M - skup N je dio (podskup) skupa M svih racionalnih brojeva | a⊂α - prava a pripada ravni α (shvaćeno u smislu: skup tačaka prave a je podskup tačaka ravni α) |
| 7 | ∪ | Udruženje | C = A U B - skup C je unija skupova A i B; (1, 2. 3, 4.5) = (1,2,3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [VS] ∪ - izlomljena linija, ABCD je kombinovanje segmenata [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Raskrsnica mnogih | M=K∩L - skup M je presek skupova K i L (sadrži elemente koji pripadaju i skupu K i skupu L). M ∩ N = ∅ - presek skupova M i N je prazan skup (skupovi M i N nemaju zajedničke elemente) | a = α ∩ β - prava linija a je presek ravni α i β a ∩ b = ∅ - prave a i b se ne seku (Nemam zajedničke tačke) |
| br. od por. | Oznaka | Sadržaj | Primjer simboličke notacije |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Vezivanje rečenica; odgovara vezniku "i". Rečenica (p∧q) je istinita ako i samo ako su i p i q tačni | α∩β = (K:K∈α∧K∈β) Presjek površina α i β je skup tačaka (prava), koja se sastoji od svih onih i samo onih tačaka K koje pripadaju i površini α i površini β |
| 2 | ∨ | Disjunkcija rečenica; odgovara vezniku "ili". Rečenica (p∨q) istina kada je barem jedna od rečenica p ili q tačna (tj. ili p ili q, ili oboje). | - |
| 3 | ⇒ | Implikacija je logična posljedica. Rečenica p⇒q znači: "ako je p, onda q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Ako su dvije prave paralelne s trećom, onda su paralelne jedna s drugom |
| 4 | ⇔ | Rečenica (p⇔q) se razumije u smislu: "ako je p, onda i q; ako q, onda i p" | A∈α⇔A∈l⊂α. Tačka pripada ravni ako pripada nekoj pravoj koja pripada ovoj ravni. Tačan je i suprotan iskaz: ako tačka pripada određenoj pravoj, pripada ravni, onda pripada samoj ravni |
| 5 | ∀ | Opšti kvantifikator glasi: za svakoga, za svakoga, za bilo koga. Izraz ∀(x)P(x) znači: “za svaki x: vrijedi svojstvo P(x)” | ∀(ΔAVS)( = 180°) Za bilo koji (za bilo koji) trokut, zbir vrijednosti njegovih uglova na vrhovima jednaka 180° |
| 6 | ∃ | Egzistencijalni kvantifikator glasi: postoji. Izraz ∃(x)P(x) znači: "postoji x koji ima svojstvo P(x)" | (∀α)(∃a). Za bilo koju ravan α postoji prava a koja ne pripada ravni α i paralelno sa ravninom α |
| 7 | ∃1 | Kvantifikator jedinstvenosti postojanja glasi: postoji samo jedan (-i, -th)... Izraz ∃1(x)(Rh) znači: „postoji samo jedan (samo jedan) x, ima svojstvo Px" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za bilo koja dva razne tačke A i B postoji jedna prava linija a, prolazeći kroz ove tačke. |
| 8 | (Px) | Negacija iskaza P(x) | ab(∃α)(α⊃a, b). Ako se prave a i b sijeku, onda ne postoji ravan a koja ih sadrži |
| 9 | \ | Negacija znaka | ≠ -segment [AB] nije jednak segmentu .a?b - prava a nije paralelna pravoj b |
Tačka i prava linija su osnovne geometrijske figure na ravni.
Drevni grčki naučnik Euklid je rekao: “tačka” je nešto što nema dijelova.” Riječ "tačka" prevedena sa latinski jezik znači rezultat trenutnog dodira, uboda. Tačka je osnova za konstruisanje bilo koje geometrijske figure.
Prava linija ili jednostavno prava je linija duž koje je razmak između dvije tačke najkraći. Prava linija je beskonačna i nemoguće je prikazati cijelu pravu liniju i izmjeriti je.
Tačke se označavaju velikim latiničnim slovima A, B, C, D, E itd., a prave istim slovima, ali malim slovima a, b, c, d, e itd. Prava linija se može označiti i sa dva slova koja odgovaraju tačkama koje leže na njoj. Na primjer, prava linija a može biti označena AB.
Možemo reći da tačke AB leže na pravoj a ili da pripadaju pravoj a. I možemo reći da prava a prolazi kroz tačke A i B.
Protozoa geometrijske figure na ravni to je segment, zraka, izlomljena linija.
Segment je dio prave koji se sastoji od svih tačaka ove prave, ograničen sa dvije odabrane tačke. Ove tačke su krajevi segmenta. Segment je označen označavanjem njegovih krajeva.
Zraka ili poluprava je dio prave koji se sastoji od svih tačaka ove prave koje leže na jednoj strani date tačke. Ova tačka se naziva početna tačka poluprave ili početak zraka. Greda ima početnu tačku, ali nema kraj.
Poluprave ili zrake su označene sa dva mala latinična slova: početno i bilo koje drugo slovo koje odgovara tački koja pripada polupravi. U ovom slučaju, početna tačka se stavlja na prvo mjesto.
Ispada da je prava linija beskonačna: nema ni početak ni kraj; zraka ima samo početak, ali nema kraj, ali segment ima početak i kraj. Stoga možemo mjeriti samo segment.
Nekoliko segmenata koji su uzastopno povezani jedan s drugim tako da segmenti (susjedni) koji imaju jednu zajedničku tačku nisu smješteni na istoj pravoj liniji predstavljaju izlomljenu liniju.
Prekinuta linija može biti zatvorena ili otvorena. Ako se kraj posljednjeg segmenta poklapa s početkom prvog, imamo zatvorenu izlomljenu liniju; ako ne, to je otvorena linija.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Uprkos činjenici da je geometrija jedna od egzaktnih nauka, naučnici ne mogu jednoznačno definisati pojam „prava linija“. U samom opšti pogled možemo dati sljedeću definiciju: "Prava linija je prava duž koje je putanja jednaka udaljenosti između dvije tačke."
Šta je prava linija u matematici? Definicija prave linije u matematici je da prava linija nema krajeva i može se nastaviti u oba smjera neograničeno.
Osnovni pojmovi geometrije uključuju tačku, pravu i ravan; oni su dati bez definicije, ali definicije drugih geometrijskih figura su date kroz ove koncepte. Ravan, kao i prava linija, je primarni koncept koji nema definiciju. Ova tvrdnja je utvrđena sljedećim aksiomom: ako dvije tačke prave leže u određenoj ravni, onda sve tačke ove prave leže u ovoj ravni. A sama tvrdnja koja se dokazuje zove se teorema. Formulacija teoreme se obično sastoji od dva dijela.
Problem: gdje je prava, zraka, segment, kriva? Vrhovi izlomljene linije (slično vrhovima planina) su tačke od kojih počinje izlomljena linija, tačke u kojima se spajaju segmenti koji čine izlomljenu liniju, tačka u kojoj se izlomljena linija završava. Problem: koja je izlomljena linija duža, a koja više vrhova? Susjedne strane poligona su susjedne veze isprekidane linije. Vrhovi poligona su vrhovi izlomljene linije. Susedni vrhovi su krajnje tačke jedne strane poligona.
Na časovima matematike možete čuti sljedeće objašnjenje: matematički segment ima dužinu i krajeve. Segment u matematici je skup svih tačaka koje leže na pravoj liniji između krajeva segmenta.
U budućnosti će postojati definicije za različite figure osim dvije - tačke i prave linije. To znači da ponekad ravnu liniju možemo označiti sa dva velika latinična slova, na primjer, ravna linija \(AB\), jer se kroz ove dvije tačke ne može povući nijedna prava linija. Simbolično pišemo segment \(AB\).
Šta je poenta u matematici?
Teorema: Srednja linija trougla je paralelna sa jednom od njegovih stranica i jednaka je polovini te stranice. C. Visina pravouglog trougla povučena iz vrha pravi ugao, dijeli trokut na dva slična pravougaonog trougla, od kojih je svaki sličan datom trokutu. C. Upisani ugao sastavljen polukrugom je pravi ugao. Ovdje su osnovne definicije, teoreme i svojstva figura na ravni.
Vektor sa koordinatama tačke naziva se normalni vektor, okomit je na pravu.
U sistematskom prikazu geometrije, prava linija se obično uzima kao jedan od početnih pojmova, koji je samo posredno određen aksiomima geometrije.
4. Dvije divergentne prave na ravni se ili seku u jednoj tački ili su paralelne. Zraka je dio prave linije ograničen s jedne strane. Segment se, poput prave linije, označava sa jednim slovom ili dva. U potonjem slučaju, ova slova označavaju krajeve segmenta.