busyChannelCount++;

p_currentCondit += k * (i + 1);

if (busyChannelCount > 1)

(p_currentCondit++;)

return p_currentCondit + (int) QueueLength;

Promjena vremena provedenog od strane QS-a u stanjima sa dužinama čekanja 1, 2,3,4. Ovo se implementira sljedećim programskim kodom:

if (queueLength > 0)

timeInQueue += timeStep;

if (dužina čekanja > 1)

(timeInQueue += timeStep;)

Postoji takva operacija kao što je postavljanje zahtjeva za uslugu u besplatni kanal. Svi kanali se skeniraju počevši od prvog kada se ispuni uslov timeOfFinishProcessingReq [ i ] <= 0 (kanal je besplatan), na njega se podnosi prijava, tj. Generira se vrijeme završetka za servisiranje zahtjeva.

za (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i]<= 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] = GetServiceTime();

totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq [i];

Servis zahtjeva u kanalima modeliran je kodom:

za (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] > 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] -= timeStep;

Algoritam metode simulacije implementiran je u programskom jeziku C#.

3.3 Proračun indikatori učinka QS-a na osnovu rezultate njegovog simulacijskog modeliranja

Najvažniji pokazatelji su:

1) Vjerovatnoća odbijanja servisiranja aplikacije, tj. vjerovatnoća da zahtjev ostavi sistem neuslužen.U našem slučaju, zahtjev je odbijen ako su sva 2 kanala zauzeta i red je maksimalno popunjen (tj. 4 osobe u redu). Da bismo pronašli vjerovatnoću kvara, dijelimo vrijeme kada je QS u stanju s redom 4 sa ukupnim vremenom rada sistema.

2) Relativna propusnost je prosječan udio dolaznih zahtjeva koje opslužuje sistem.

3) Apsolutna propusnost je prosječan broj usluženih zahtjeva u jedinici vremena.

4) Dužina reda, tj. prosječan broj aplikacija u redu čekanja. Dužina reda je jednaka zbiru proizvoda broja ljudi u redu i vjerovatnoće odgovarajućeg stanja. Pronaći ćemo vjerovatnoće stanja kao omjer vremena kada je QS u ovom stanju i ukupnog vremena rada sistema.

5) Prosječno vrijeme koje aplikacija ostaje u redu je određeno Littleovom formulom

6) Prosječan broj zauzetih kanala utvrđuje se na sljedeći način:

7) Procenat aplikacija kojima je odbijena usluga nalazi se pomoću formule

8) Procenat usluženih aplikacija određuje se formulom

3.4 Statistička obrada rezultata i njihovo poređenje sa rezultatima analitičkog modeliranja

Jer indikatori efikasnosti se dobijaju kao rezultat simulacije QS-a u konačnom vremenu i sadrže slučajnu komponentu. Stoga, da bi se dobili pouzdaniji rezultati, potrebno ih je statistički obraditi. U tu svrhu ćemo procijeniti interval pouzdanosti za njih na osnovu rezultata 20 pokretanja programa.

Vrijednost pada unutar intervala povjerenja ako je nejednakost zadovoljena

, Gdje

matematičko očekivanje (prosječna vrijednost), pronađeno po formuli

Varijanca ispravljena,

,

N =20 – broj trčanja,

– pouzdanost. Kada i N =20 .

Rezultat programa je prikazan na sl. 6.

Rice. 6. Vrsta programa

Radi lakšeg poređenja rezultata dobijenih različitim metodama modeliranja, prikazujemo ih u obliku tabele.

Tabela 2.

Sa stola 2 pokazuje da rezultati dobijeni analitičkim modeliranjem QS-a spadaju u interval pouzdanosti dobijen iz rezultata simulacionog modeliranja. Odnosno, rezultati dobijeni različitim metodama su konzistentni.

Zaključak

Ovaj rad razmatra glavne metode za modeliranje QS i izračunavanje njihovih indikatora učinka.

Dvokanalni QS sistem sa maksimalnom dužinom reda od 4 modeliran je pomoću Kolmogorovljevih jednačina i pronađene su konačne vjerovatnoće stanja sistema. Izračunati su pokazatelji njegove efikasnosti.

Provedeno je simulacijsko modeliranje rada takvog QS-a. Kreiran je program u programskom jeziku C# koji simulira njegov rad. Proveden je niz proračuna na osnovu kojih su pronađene vrijednosti indikatora efikasnosti sistema i izvršena njihova statistička obrada.

Rezultati dobiveni simulacijskim modeliranjem su u skladu s rezultatima analitičkog modeliranja.

Književnost

1. Ventzel E.S. Operativno istraživanje. – M.: Drfa, 2004. – 208 str.

2. Volkov I.K., Zagoruiko E.A. Operativno istraživanje. – M.: Izdavačka kuća MSTU po imenu. N.E. Bauman, 2002. – 435 str.

3. Volkov I.K., Zuev S.M., Cvetkova G.M. Slučajni procesi. – M.: Izdavačka kuća MSTU po imenu. N.E. Bauman, 2000. – 447 str.

4. Gmurman V.E. Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerovatnoće i matematičke statistike. – M.: Viša škola, 1979. – 400 str.

5. Ivnitsky V.L. Teorija mreža čekanja. – M.: Fizmatlit, 2004. – 772 str.

6. Istraživanje operacija u ekonomiji / ur. N.Sh. Kremer. – M.: Jedinstvo, 2004. – 407 str.

7. Taha H.A. Uvod u istraživanje operacija. – M.: Izdavačka kuća “Williams”, 2005. – 902 str.

8. Kharin Yu.S., Malyugin V.I., Kirlitsa V.P. i dr.. Osnove simulacije i statističkog modeliranja. – Minsk: Design PRO, 1997. – 288 str.

U svim QS-ovima o kojima smo gore govorili, pretpostavljeno je da su svi zahtjevi koji ulaze u sistem homogeni, odnosno da imaju isti zakon raspodjele vremena usluge i da se servisiraju u sistemu prema opštoj disciplini odabira iz reda. Međutim, u mnogim stvarnim sistemima, zahtjevi koji ulaze u sistem su heterogeni kako u distribuciji vremena usluge tako i po svojoj vrijednosti za sistem i, prema tome, pravo na pravo na prioritetnu uslugu u trenutku kada je uređaj pušten. Takvi modeli se proučavaju u okviru teorije prioritetnih sistema čekanja. Ova teorija je prilično dobro razvijena i mnoge monografije su posvećene njenom izlaganju (vidi, na primjer, , , , itd.). Ovdje ćemo se ograničiti na kratak opis sistema prioriteta i razmotriti jedan sistem.

Razmotrimo jednolinijski QS sa čekanjem. Nezavisni najjednostavniji tokovi dolaze na ulaz sistema, tok ima intenzitet . Mi ćemo označiti

Servisna vremena za zahtjeve iz toka karakterizirana su funkcijom distribucije s Laplace-Stieltjes transformacijom i konačnim početnim vremenima

Zahtjevi iz niti će se zvati zahtjevi prioriteta k.

Smatramo da zahtjevi iz niti imaju veći prioritet od zahtjeva iz niti ako se Prioritet manifestuje u činjenici da se u trenutku završetka servisa, zahtjev sa maksimalnim prioritetom bira iz reda sljedećeg za uslugu. Zahtjevi koji imaju isti prioritet biraju se prema utvrđenoj uslužnoj disciplini, na primjer, prema FIFO disciplini.

Razmatraju se različite opcije ponašanja sistema u situaciji kada, dok servisira zahtjev određenog prioriteta, sistem prima zahtjev višeg prioriteta.

Sistem se naziva QS relativnog prioriteta ako dolazak takvog zahtjeva ne prekida uslugu zahtjeva. Ako dođe do takvog prekida, sistem se naziva QS sa apsolutnim prioritetom. U ovom slučaju, međutim, potrebno je razjasniti dalje ponašanje zahtjeva čija je usluga prekinuta. Razlikuju se sljedeće opcije: prekinuti zahtjev napušta sistem i gubi se; prekinuti zahtjev se vraća u red čekanja i nastavlja sa servisiranjem od tačke prekida nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem; prekinuti zahtjev se vraća u red čekanja i ponovo počinje sa servisiranjem nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem. Prekinuti zahtjev se servisira od strane uređaja nakon što svi zahtjevi sa višim prioritetom napuste sistem na vrijeme koje ima istu ili neku drugu distribuciju. Moguće je da je potrebno vrijeme usluge u narednim pokušajima identično vremenu koje je bilo potrebno za potpuno servisiranje danog zahtjeva u prvom pokušaju.

Dakle, postoji prilično veliki broj opcija za ponašanje sistema sa prioritetom, koje se mogu naći u gore navedenim knjigama. Ono što je zajedničko u analizi svih sistema sa prioritetima je korištenje koncepta perioda zauzetosti sistema zahtjevima prioriteta k i više. U ovom slučaju, glavna metoda za proučavanje ovih sistema je metoda uvođenja dodatnog događaja, ukratko opisana u Odjeljku 6.

Ilustrujmo karakteristike pronalaženja karakteristika sistema sa prioritetima na primeru sistema opisanog na početku ovog poglavlja. Pretpostavićemo da se radi o sistemu sa relativnim prioritetom i naći stacionarnu distribuciju vremena čekanja za prioritetni zahtev ako je stigao u sistem u vreme t (tzv. virtuelno vreme čekanja), za sistem sa relativnim prioritetima.

Označimo

Uslov za postojanje ovih granica je ispunjenje nejednakosti

gdje se vrijednost izračunava po formuli:

Označimo i .

Iskaz 21. Laplace-Stieltjesova transformacija stacionarne distribucije virtualnog vremena čekanja prioritetnog zahtjeva k definirana je na sljedeći način:

gdje su funkcije date formulom:

a funkcije se nalaze kao rješenja funkcionalnih jednačina:

Dokaz. Imajte na umu da je funkcija Laplace-Stieltjesova transformacija distribucije dužine perioda zauzetosti sistema sa zahtjevima prioriteta I i više (tj. vremenski interval od trenutka kada zahtjev prioriteta I i više stigne u prazan sistem i do prvog trenutka nakon toga kada je sistem oslobođen od zahtjeva za prisustvom prioriteta I i više). Dokaz da funkcija zadovoljava jednačinu (1.118) gotovo doslovno ponavlja dokaz tvrdnje 13. Napominjemo samo da je vrijednost vjerovatnoća da period kada je sistem zauzet zahtjevima prioriteta I i više počinje dolaskom prioriteta zahtjeva, a vrijednost se tumači kao vjerovatnoća nepostojanja katastrofe i zahtjeva prioriteta I i više, za periode zauzetosti uzrokovane katastrofom, u vrijeme servisiranja prioritetnog zahtjeva koji je započeo ovaj period zauzetosti.

Prvo, umjesto procesa, razmotrimo znatno jednostavniji pomoćni proces - vrijeme tokom kojeg bi zahtjev prioriteta k čekao da počne servisiranje da je stigao u sistem u vrijeme t i nakon toga nije ušao nijedan zahtjev višeg prioriteta. sistem.

Neka je Laplace-Stieltjesova transformacija distribucije slučajne varijable. Pokažimo da je funkcija definirana na sljedeći način:

(1.119)

Verovatnoća da je sistem prazan u jednom trenutku je verovatnoća da je servisiranje prioritetnog zahteva počelo u intervalu

Za dokaz (1.119) primjenjujemo metodu uvođenja dodatnog događaja. Neka stigne najjednostavniji tok katastrofa intenziteta s, bez obzira na rad sistema. Svaki zahtjev ćemo nazvati „lošim“ ako dođe do havarije tokom njegovog servisiranja, a „dobrim“ u suprotnom. Kao što slijedi iz izjava 5 i 6, tok loših zahtjeva prioriteta k i višeg je najjednostavniji sa intenzitetom

Hajde da uvedemo događaj A(s,t) - tokom vremena t sistem nije primio nijedan loš zahtjev prioriteta k ili višeg. Na osnovu izjave 1, vjerovatnoća ovog događaja se izračunava kao:

Izračunajmo ovu vjerovatnoću drugačije. Događaj A(s,t) je unija tri nekompatibilna događaja

Događaj je da nikakve katastrofe nisu stigle ni za vrijeme t ni za vrijeme.U ovom slučaju su, naravno, u vrijeme t u sistem stizali samo dobri zahtjevi prioriteta k i višeg. Verovatnoća događaja je očigledno jednaka

Događaj je da je katastrofa stigla u intervalu, ali je u trenutku dolaska sistem bio prazan, a za to vrijeme nije primljen nijedan loš zahtjev prioriteta k i višeg.

Vjerovatnoća događaja se izračunava na sljedeći način:

Događaj je da je katastrofa stigla u intervalu, ali je u trenutku njenog dolaska sistem servisirao zahtjev prioriteta ispod k, koji je počeo da se servisira u intervalu a tokom vremena t - i nije bilo loših zahtjeva prioriteta k i veće su primljene. Vjerovatnoća događaja se određuje na sljedeći način:

Budući da je događaj zbir tri nekompatibilna događaja, njegova vjerovatnoća je zbir vjerovatnoća ovih događaja. Zbog toga

Izjednačavanjem dva dobijena izraza za vjerovatnoću i množenjem obje strane jednakosti sa, nakon jednostavnih transformacija dobijamo (1.119)

Očigledno, da se katastrofa ne bi dogodila u vremenu čekanja na zahtjev koji stigne u vrijeme t, potrebno je i dovoljno da za to vrijeme ne pristignu nikakve katastrofe i zahtjevi prioriteta i viših, kao što je to u periodima gužve (zahtjevi od prioritet i viši) generirani s njima, dolazi do katastrofe. Iz ovih razmatranja i probabilističke interpretacije Laplace-Stieltjesove transformacije, dobijamo formulu koja daje vezu između transformacija u očiglednom obliku.

Teorija QS-a je posvećena razvoju metoda za analizu, projektovanje i racionalnu organizaciju sistema koji se odnose na različite oblasti delatnosti, kao što su komunikacije, računarska tehnologija, trgovina, transport i vojni poslovi. I pored svoje raznolikosti, navedeni sistemi imaju niz tipičnih svojstava, tj.

• Sistemi čekanja (sistemi čekanja) su sistemske modele, u kojem se prijave (zahtjevi) primaju nasumično izvana ili iznutra. Mora ih opsluživati ​​sistem na ovaj ili onaj način. Trajanje usluge je najčešće nasumično.
• QS je totalitet serving oprema I osoblje uz odgovarajuću organizaciju uslužnog procesa.
• Postaviti QMS znači postaviti ga strukturu i statistiku karakteristike redoslijeda primljenih zahtjeva i redoslijeda njihovog servisiranja.

• indikatori koji karakterišu sistem u celini: broj n zauzeti servisni kanali, broj servisiranih (λ b), usluga na čekanju ili odbijeni zahtjevi (λ c) po jedinici vremena itd.;
• probabilističke karakteristike: vjerovatnoća da će zahtjev biti uručen ( P obs) ili primite odbijenicu za uslugu ( P otvoren) da su svi uređaji besplatni ( str 0) ili je određeni broj njih zauzet ( p k), vjerovatnoća reda, itd.;
• ekonomski pokazatelji: trošak gubitaka u vezi sa odlaskom aplikacije koja iz ovog ili onog razloga nije servisirana iz sistema, ekonomski efekat koji se dobija kao rezultat servisiranja aplikacije, itd.

Višekanalni sistem sa kvarovima

Mješoviti sistemi

1. Sistem sa ograničenjem po dužini reda .
   Sastoji se od uređaja za pohranu (red) i servisnog čvora. Aplikacija napušta red čekanja i napušta sistem ako već ima m aplikacija u memoriji do trenutka kada se pojavi (m je maksimalni mogući broj mjesta u redu). Ako je zahtjev ušao u sistem i nađe barem jedan slobodan kanal, on odmah počinje da se servisira. Ako su u trenutku kada aplikacija stigne u sistem svi kanali zauzeti, onda aplikacija ne napušta sistem, već zauzima mjesto u redu čekanja. Aplikacija napušta sistem neuslužen ako su, do trenutka kada uđe u sistem, zauzeti svi servisni kanali i sva mjesta u redu čekanja.
   Za svaki sistem određena je disciplina reda. Ovo je sistem pravila koja određuju redosled kojim zahtevi stižu iz reda u servisni čvor. Ako su svi zahtjevi i kanali usluga jednaki, onda najčešće vrijedi pravilo „ko prvi dođe prvi uslužen“.
2. Sistem sa ograničenjem za vrijeme trajanja aplikacije u redu čekanja.
   Sastoji se od uređaja za pohranu (red) i servisnog čvora. Razlikuje se od prethodnog sistema po tome što zahtjev primljen u skladištu (red) može čekati da servis počne samo ograničeno vrijeme Dakle(najčešće je to slučajna varijabla). Ako je vreme Dakle je istekao, tada aplikacija napušta red čekanja i ostavlja sistem neuslužen.

Matematički opis QS-a

• Uobičajenost. Događaji slijede jedan po jedan (suprotno od toka, gdje događaji slijede u grupama).
• Stacionarnost. Vjerovatnoća da će se dati broj događaja dogoditi u vremenskom intervalu T zavisi samo od dužine intervala i ne zavisi od toga gde se ovaj interval nalazi na vremenskoj osi.
• Nema naknadnih efekata. Za dva vremenska intervala τ 1 i τ 2 koja se ne preklapaju, broj događaja koji pada na jedan od njih ne zavisi od toga koliko događaja pada na drugi interval.