Određivanje položaja tačke u prostoru
Dakle, položaj tačke u prostoru može se odrediti samo u odnosu na neke druge tačke. Tačka u odnosu na koju se razmatra položaj drugih tačaka se zove referentna tačka . Takođe ćemo koristiti drugo ime za referentnu tačku - osmatračnica . Obično je referentna tačka (ili tačka posmatranja) povezana sa nekim koordinatni sistem , koji se zove referentni sistem. U odabranom referentnom sistemu, pozicija SVAKE tačke je određena sa TRI koordinate.
Desni dekartov (ili pravougaoni) koordinatni sistem
Ovaj koordinatni sistem se sastoji od tri međusobno okomite usmjerene prave, tzv koordinatne ose , koji se sijeku u jednoj tački (početak). Početna tačka se obično označava slovom O.
Koordinatne ose se nazivaju:
1. Osa apscise – označena kao OX;
2. Y osa – označena kao OY;
3. Primjena osa – označena kao OZ
Hajde sada da objasnimo zašto se ovaj koordinatni sistem zove desnoruki. Pogledajmo ravan XOY iz pozitivnog smjera ose OZ, na primjer iz tačke A, kao što je prikazano na slici.
Pretpostavimo da počinjemo da rotiramo osu OX oko tačke O. Dakle - desni koordinatni sistem ima takvo svojstvo da ako pogledate ravan XOY iz bilo koje tačke na pozitivnoj poluosi OZ (za nas je ovo tačka A) , tada, kada okrenete os OX za 90 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, njen pozitivni smjer će se poklopiti s pozitivnim smjerom ose OY.
Ova odluka je donesena u naučni svet, samo ga moramo prihvatiti onakvog kakav jeste.
Dakle, nakon što smo se odlučili za referentni sistem (u našem slučaju, desni Dekartov koordinatni sistem), položaj bilo koje tačke opisuje se kroz vrijednosti njenih koordinata ili, drugim riječima, kroz vrijednosti projekcija ove tačke na koordinatne ose.
Piše se ovako: A(x, y, z), gdje su x, y, z koordinate tačke A.
Pravougaoni koordinatni sistem se može zamisliti kao linije preseka tri međusobno okomite ravni.
Treba napomenuti da pravougaoni koordinatni sistem možete orijentisati u prostoru na bilo koji način, a mora biti ispunjen samo jedan uslov - ishodište koordinata mora da se poklapa sa referentnim centrom (ili tačkom posmatranja).
Sferni koordinatni sistem
Položaj tačke u prostoru može se opisati i na drugi način. Pretpostavimo da smo odabrali oblast prostora u kojoj se nalazi referentna tačka O (ili tačka posmatranja), a znamo i udaljenost od referentne tačke do određene tačke A. Povežimo ove dve tačke pravom linijom OA . Ova linija se zove radijus vektor i označava se kao r. Sve tačke koje imaju istu vrijednost vektora radijusa leže na sferi čiji je centar u referentnoj tački (ili tački posmatranja), a poluprečnik ove sfere jednak je radijus vektoru.
Stoga nam postaje očigledno da nam poznavanje vrijednosti radijus vektora ne daje nedvosmislen odgovor o poziciji tačke koja nas zanima. Potrebne su vam još DVE koordinate, jer da biste nedvosmisleno odredili lokaciju tačke, broj koordinata mora biti TRI.
Zatim ćemo postupiti na sljedeći način - konstruirati ćemo dvije međusobno okomite ravni, koje će, naravno, dati liniju presjeka, a ova linija će biti beskonačna, jer same ravnine nisu ničim ograničene. Postavimo tačku na ovoj liniji i označimo je, na primjer, kao tačku O1. Hajde sada da spojimo ovu tačku O1 sa centrom sfere – tačkom O i vidimo šta će se desiti?
I ispada vrlo zanimljiva slika:
· I jedan i drugi avion će biti centralno avioni.
· Presek ovih ravni sa površinom sfere je označen sa veliki krugovima
· Jedan od ovih krugova - proizvoljno, nazvat ćemo EQUATOR, tada će drugi krug biti pozvan GLAVNI MERIDIJAN.
· Linija preseka dve ravni će jednoznačno odrediti pravac LINIJE GLAVNOG MERIDIJANA.
Točke preseka linije glavnog meridijana sa površinom sfere označavamo kao M1 i M2
Kroz centar sfere, tačku O u ravni glavnog meridijana, povlačimo pravu liniju okomitu na liniju glavnog meridijana. Ova prava linija se zove POLAR AXIS .
Polarna os će preseći površinu sfere u dve tačke tzv POLOVI SFERE. Označimo ove tačke kao P1 i P2.
Određivanje koordinata tačke u prostoru
Sada ćemo razmotriti proces određivanja koordinata točke u prostoru, a također ćemo dati imena tim koordinatama. Da bismo upotpunili sliku, prilikom određivanja položaja tačke, ukazujemo na glavne pravce iz kojih se broje koordinate, kao i pozitivan pravac pri brojanju.
1. Postavite poziciju u prostoru referentne tačke (ili tačke posmatranja). Označimo ovu tačku slovom O.
2. Konstruirajte sferu čiji je radijus jednak dužini radijus vektora tačke A. (Poluprečnik vektora tačke A je rastojanje između tačaka O i A). Centar sfere nalazi se u referentnoj tački O.
3. Postavljamo poziciju u prostoru ravni EQUATOR, a shodno tome i ravni GLAVNOG MERIDIJANA. Treba podsjetiti da su ove ravni međusobno okomite i da su centralne.
4. Ukrštanje ovih ravnina sa površinom sfere određuje za nas položaj kruga ekvatora, kružnice glavnog meridijana, kao i pravac linije glavnog meridijana i polarne ose.
5. Odrediti položaj polova polarne ose i polova glavne meridijanske linije. (Polovi polarne ose su tačke preseka polarne ose sa površinom sfere. Polovi linije glavnog meridijana su tačke preseka linije glavnog meridijana sa površinom sfere ).
6. Kroz tačku A i polarnu osu konstruišemo ravan, koju ćemo nazvati ravan meridijana tačke A. Kada se ova ravan preseca sa površinom sfere, dobiće se veliki krug koji ćemo nazvati MERIDIJAN tačke A.
7. Meridijan tačke A će u nekoj tački preseći kružnicu Ekvatora, koju ćemo označiti kao E1
8. Položaj tačke E1 na ekvatorijalnoj kružnici određen je dužinom luka zatvorenog između tačaka M1 i E1. Odbrojavanje je COUNTER kazaljke na satu. Luk ekvatorijalne kružnice zatvoren između tačaka M1 i E1 naziva se DUŽINA tačke A. Geografska dužina se označava slovom .
Hajde da sumiramo međurezultate. On ovog trenutka znamo DVIJE od TRI koordinate koje opisuju položaj tačke A u prostoru - ovo je vektor radijusa (r) i geografska dužina (). Sada ćemo odrediti treću koordinatu. Ova koordinata je određena položajem tačke A na njenom meridijanu. Ali pozicija početne tačke sa koje se odvija brojanje nije jasno definisana: računanje možemo početi i od pola sfere (tačka P1) i od tačke E1, odnosno od tačke preseka meridijanskih linija tačke A i ekvatora (ili drugim rečima - od linije ekvatora).
U prvom slučaju, položaj tačke A na meridijanu naziva se POLARNA UDALJENOST (označena kao R) i određuje se dužinom luka zatvorenog između tačke P1 (ili polne tačke sfere) i tačke A. Brojanje se vrši duž meridijanske linije od tačke P1 do tačke A.
U drugom slučaju, kada je odbrojavanje od linije ekvatora, položaj tačke A na meridijanskoj liniji naziva se LATITUDA (označena kao i određen je dužinom luka zatvorenog između tačke E1 i tačke A.
Sada konačno možemo reći da je položaj tačke A u sfernom koordinatnom sistemu određen:
· dužina poluprečnika sfere (r),
dužina luka geografske dužine (),
dužina luka polarnog rastojanja (p)
U ovom slučaju, koordinate tačke A biće zapisane na sledeći način: A(r, , p)
Ako koristimo drugačiji referentni sistem, tada se pozicija tačke A u sfernom koordinatnom sistemu određuje kroz:
· dužina poluprečnika sfere (r),
dužina luka geografske dužine (),
· dužina luka geografske širine ()
U ovom slučaju, koordinate tačke A biće zapisane na sledeći način: A(r, , )
Metode za mjerenje lukova
Postavlja se pitanje - kako mjeriti ove lukove? Najjednostavniji i prirodnim putem- Ovo je za direktno mjerenje dužina lukova sa fleksibilnim ravnalom, a to je moguće ako su dimenzije sfere uporedive sa dimenzijama osobe. Ali šta učiniti ako ovaj uslov nije ispunjen?
U ovom slučaju ćemo pribjeći mjerenju RELATIVNE dužine luka. Uzet ćemo obim kao standard, dio koji je luk koji nas zanima. Kako to mogu učiniti?
Pravougaoni (drugi nazivi su ravan, dvodimenzionalni) koordinatni sistem, nazvan po francuskom naučniku Descartesu (1596-1650) "Kartezijanski koordinatni sistem na ravni", formiran je presekom na ravni pod pravim uglom (okomito) od dvije numeričke ose tako da je pozitivna poluos jedne usmjerena udesno (x-osa, ili osa apscise), a druga je usmjerena prema gore (y-osa, ili osa ordinate).
Točka presjeka osa poklapa se sa tačkom 0 svake od njih i naziva se ishodište koordinata.
Za svaku od osa bira se proizvoljna skala (jedan segment dužine). Svaka tačka na ravni odgovara jednom paru brojeva, koji se nazivaju koordinate ove tačke na ravni. Obrnuto, svaki uređeni par brojeva odgovara jednoj tački na ravni za koju su ti brojevi koordinate.
Prva koordinata tačke naziva se apscisa te tačke, a druga koordinata se naziva ordinata.
Cijela koordinatna ravan podijeljena je na 4 kvadranta (četvrtine). Kvadranti se nalaze od prvog do četvrtog u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (vidi sliku).
Da biste odredili koordinate tačke, morate pronaći njenu udaljenost do apscise i ordinatne ose. Budući da je udaljenost (najkraća) određena okomom, tada se iz tačke dvije okomice (pomoćne linije na koordinatnoj ravni) spuštaju na os tako da je točka njihovog presjeka lokacija dati poen u koordinatnoj ravni. Tačke presjeka okomica sa osama nazivaju se projekcije tačke na koordinatne ose.
Prvi kvadrant je ograničen pozitivnim poluosama apscise i ordinate. Dakle, koordinate tačaka u ovoj četvrtini ravnine će biti pozitivne
(znakovi "+" i
Na primjer, tačka M (2; 4) na gornjoj slici.
Drugi kvadrant je ograničen negativnom x-osom i pozitivnom y-osom. Prema tome, koordinate tačaka duž ose apscise će biti negativne (znak “-”), a duž ordinatne ose pozitivne (znak “+”).
Na primjer, tačka C (-4; 1) na gornjoj slici.
Treći kvadrant je ograničen negativnom x-osom i negativnom y-osom. Prema tome, koordinate tačaka duž apscise i ordinatne ose bit će negativne (znaci “-” i “-”).
Na primjer, tačka D (-6; -2) na gornjoj slici.
Četvrti kvadrant je ograničen pozitivnom x-osom i negativnom y-osom. Prema tome, koordinate tačaka duž ose apscise će biti pozitivne (znak “+”). a duž ordinatne ose - negativan (znak “-”).
Na primjer, tačka R (3; -3) na gornjoj slici.
Konstruisanje tačke koristeći njene određene koordinate
naći ćemo prvu koordinatu tačke na x-osi i kroz nju povući pomoćnu liniju - okomicu;
nalazimo drugu koordinatu tačke na ordinatnoj osi i kroz nju povlačimo pomoćnu liniju - okomicu;
tačka preseka dve okomice (pomoćne linije) odgovaraće tački sa datim koordinatama.
Pravougaoni koordinatni sistem na ravni formiraju dve međusobno okomite koordinatne ose X’X i Y’Y. Koordinatne osi se sijeku u tački O, koja se zove ishodište, na svakoj osi se bira pozitivan smjer. Pozitivan smjer osi (u desnorukom koordinatnom sistemu) se bira tako da kada se os X'X rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njegov pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom Y'Y ose. Četiri ugla (I, II, III, IV) formirana od koordinatnih ose X'X i Y'Y nazivaju se koordinatni uglovi (vidi sliku 1).
Položaj tačke A na ravni određen je sa dvije koordinate x i y. Koordinata x je jednaka dužini segmenta OB, koordinata y jednaka je dužini segmenta OC u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti OB i OC su definisani linijama povučenim iz tačke A paralelno sa Y'Y i X'X osama, respektivno. Koordinata x naziva se apscisa tačke A, koordinata y se naziva ordinata tačke A. Piše se na sledeći način: A(x, y).
Ako tačka A leži u koordinatnom uglu I, tada tačka A ima pozitivnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu II, tada tačka A ima negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu III, tada tačka A ima negativnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu IV, tada tačka A ima pozitivnu apscisu i negativnu ordinatu.
Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru formiraju tri međusobno okomite koordinatne ose OX, OY i OZ. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koja se naziva ishodište, na svakoj osi je odabran pozitivan smjer, označen strelicama, i jedinica mjere za segmente na osi. Jedinice mjere su iste za sve ose. OX - apscisa osa, OY - ordinatna osa, OZ - aplikatna osa. Pozitivan smjer osi se bira tako da kada se os OX zarotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njen pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom ose OY, ako se ova rotacija promatra iz pozitivnog smjera OZ ose. Takav koordinatni sistem se naziva desnoruki. Ako thumb desna ruka Uzmimo pravac X kao pravac X, indeksni kao pravac Y, a srednji kao Z pravac, tada se formira desnoruki koordinatni sistem. Slični prsti lijeve ruke formiraju lijevi koordinatni sistem. Nemoguće je kombinovati desni i levi koordinatni sistem tako da se odgovarajuće ose poklapaju (vidi sliku 2).
Položaj tačke A u prostoru određen je sa tri koordinate x, y i z. Koordinata x je jednaka dužini segmenta OB, koordinata y je dužina segmenta OC, koordinata z je dužina segmenta OD u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti OB, OC i OD su definisani ravninama povučenim iz tačke A paralelno sa ravnima YOZ, XOZ i XOY, respektivno. Koordinata x naziva se apscisa tačke A, y koordinata se naziva ordinata tačke A, koordinata z se naziva aplikata tačke A. Piše se na sledeći način: A(a, b, c).
Orty
Pravougaoni koordinatni sistem (bilo koje dimenzije) je takođe opisan skupom jediničnih vektora poravnatih sa koordinatnim osa. Broj jediničnih vektora jednak je dimenziji koordinatnog sistema i svi su okomiti jedni na druge.
U trodimenzionalnom slučaju takvi jedinični vektori se obično označavaju i j k ili e x e y e z. U ovom slučaju, u slučaju desnog koordinatnog sistema, važe sledeće formule sa vektorskim proizvodom vektora:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Priča
Pravougaoni koordinatni sistem prvi je uveo Rene Descartes u svom djelu “Rasprava o metodi” 1637. godine. Stoga se pravougaoni koordinatni sistem naziva i - Dekartov koordinatni sistem. Koordinatna metoda opisivanja geometrijskih objekata označila je početak analitičke geometrije. Pierre Fermat je također doprinio razvoju metode koordinata, ali su njegovi radovi prvi put objavljeni nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo na ravni.
Koordinatni metod za trodimenzionalni prostor prvi je upotrebio Leonhard Euler još u 18. veku.
vidi takođe
Linkovi
Wikimedia fondacija. 2010.
Pogledajte šta je "Kartezijanski koordinatni sistem" u drugim rječnicima:
KARTEZIJANSKI KOORDINATNI SISTEM, pravolinijski koordinatni sistem na ravni ili u prostoru (obično sa međusobno okomitim osama i jednakim razmjerima duž osa). Ime je dobio po R. Descartesu (vidi DESCARTES Rene). Descartes je prvi predstavio... enciklopedijski rječnik
KARTEZIJANSKI KOORDINATNI SISTEM- pravougaoni koordinatni sistem na ravni ili u prostoru, u kojem su skale duž osa iste, a koordinatne ose međusobno okomite. D. s. K. se označava slovima x:, y za tačku na ravni ili x, y, z za tačku u prostoru. (Cm.… …
KARTEZIAN KOORDINATNI SISTEM, sistem koji je uveo Rene DESCARTES, u kojem je položaj tačke određen rastojanjem od nje do linija (ose) koje se međusobno seku. U najjednostavnijoj verziji sistema, ose (označene x i y) su okomite.... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik
Dekartov koordinatni sistem
Pravolinijski koordinatni sistem (vidi Koordinate) na ravni ili u prostoru (obično sa jednakim razmjerima duž osa). I sam R. Descartes u “Geometriji” (1637) koristio je samo koordinatni sistem na ravni (općenito, kosi). Često… … Velika sovjetska enciklopedija
Skup definicija koji implementira metodu koordinata, odnosno način određivanja položaja točke ili tijela pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuju položaj određene tačke naziva se koordinate ove tačke. U... ... Wikipediji
kartezijanski sistem- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. kartezijanski sistem; Dekartov sistem koordinata vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Dekartov sistem, f; Kartezijanski sistem... ... Fizikos terminų žodynas
KOORDINATNI SISTEM- skup uslova koji određuju položaj tačke na pravoj liniji, na ravni, u prostoru. Postoje različiti linearni oblici: kartezijanski, kosi, cilindrični, sferni, krivolinijski itd. Linearni i ugaone vrednosti, određivanje pozicije...... Velika politehnička enciklopedija
Ortonormirani pravolinijski koordinatni sistem u Euklidskom prostoru. D.p.s. na ravni je određen s dvije međusobno okomite ravne koordinatne ose, na svakoj od kojih je izabran pozitivan smjer i segment jedinice ... Mathematical Encyclopedia
Pravougaoni koordinatni sistem je pravolinijski koordinatni sistem sa međusobno okomitim osama na ravni ili u prostoru. Najjednostavniji i stoga najčešće korišteni koordinatni sistem. Vrlo lako i direktno sažeto za... ... Wikipediju
Knjige
- Računarska dinamika fluida. Teorijska osnova. Udžbenik, Pavlovski Valerij Aleksejevič, Nikuščenko Dmitrij Vladimirovič. Knjiga je posvećena sistematskom izlaganju teorijske osnove za postavljanje problema matematičkog modeliranja strujanja tečnosti i gasa. Posebna pažnja posvećena pitanjima izgradnje...
Konstrukcija kartezijanskog pravougaonog koordinatnog sistema
na površini
Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem u ravni formiraju dve međusobno okomite koordinatne ose OX 1 I OX 2 , koji se sijeku u tački O, koji se naziva ishodište koordinata (slika 1). Na svakoj osi se bira pozitivan smjer, označen strelicama, i jedinica mjere za segmente na osi. Jedinice su obično iste za sve ose (što nije obavezno). IN desno koordinatni sistem, pozitivan smjer osi se bira tako da kada je os usmjerena OX 2 gore, os OX 1 pogledao udesno. OX 1 -- apscisa osa, OX 2 -- ordinatna osa. Četiri ugla (I, II, III, IV) formirana od koordinatnih osa OX 1 I OX 2 , nazivaju se koordinatni uglovi ili kvadrantima.
Dot B A na koordinatnu osu OX 1 ;
Dot C - ortografska projekcija bodova A na koordinatnu osu OX 2 ;
Konstrukcija kartezijanskog pravougaonog koordinatnog sistema u svemiru
Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem u prostoru formiraju tri međusobno okomite koordinatne ose OX, OY I OZ. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koji se naziva ishodište koordinata, na svakoj osi je odabran pozitivan smjer, označen strelicama, i jedinica mjere za segmente na osi. Jedinice su obično iste za sve ose (što nije obavezno). OX-- apscisa osa, OY-- ordinatna osa, OZ-- osovina aplikatora.
Ako se za pravac uzme palac desne ruke X, indeks - za smjer Y a srednji je za pravac Z, tada se formira u pravu koordinatni sistem. Slični prsti lijeve ruke formiraju lijevi koordinatni sistem. Drugim riječima, pozitivan smjer osi se bira tako da kada osa rotira OX u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90° njegov pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom ose OY, ako se ova rotacija promatra iz pozitivnog smjera ose OZ. Nemoguće je kombinovati desni i levi koordinatni sistem tako da se odgovarajuće ose poklapaju (slika 2). Dot F- ortogonalna projekcija tačke A na koordinatnu ravan OXY; Dot E- ortogonalna projekcija tačke A na koordinatnu ravan OYZ; Dot G- ortogonalna projekcija tačke A na koordinatnu ravan OX Z ;
Prikaz kartezijanskog pravougaonog koordinatnog sistema u svemiru prikazano na slikama 3, 4 i 5.
Određivanje koordinata tačke u Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu
Glavno pitanje svakog koordinatnog sistema je pitanje određivanja koordinata tačke koja se nalazi u njegovoj ravni ili prostoru.
Određivanje koordinata tačke na ravnom Dekartovom koordinatnom sistemu
Položaj tačke A na ravni je određen sa dvije koordinate - x I y (Sl. 5). Koordinate x jednaka dužini segmenta O.B., koordinata y -- dužina segmenta O.C. u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti O.B. I O.C. određene su linijama povučenim iz tačke A paralelno sa osama OY I OX respektivno. Koordinate x naziva se apscisa (lat. apscisa- segment), koordinata y -- ordinata (lat. ordinate- nalaze se redom) bodova A. Napišite to ovako:
Ako je poenta A leži u koordinatnom uglu I, tada ima pozitivnu apscisu i ordinatu. Ako je poenta A leži u koordinatnom uglu II, tada postoje negativna apscisa i pozitivna ordinata. Ako je poenta A leži u koordinatnom uglu III, tada ima negativnu apscisu i ordinatu. Ako je poenta A leži u koordinatnom uglu IV, tada postoje pozitivna apscisa i negativna ordinata.
Ovako se određuju koordinate u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni.
