Zapišite broj u binarnom brojevnom sistemu, a stepen dvojke s desna na lijevo. Na primjer, želimo konvertirati binarni broj 10011011 2 na decimalu. Hajde da to prvo zapišemo. Zatim zapisujemo stepene dvojke s desna na lijevo. Počnimo sa 2 0, što je jednako "1". Za svaki sljedeći broj stepen povećavamo za jedan. Zaustavljamo se kada je broj elemenata na listi jednak broju cifara u binarnom broju. Naš primjer broja, 10011011, ima osam cifara, tako da bi lista od osam elemenata izgledala ovako: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Zapišite cifre binarnog broja pod odgovarajućim stepenom dvojke. Sada jednostavno upišite 10011011 ispod brojeva 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 i 1, tako da svaka binarna znamenka odgovara različitom stepenu dvojke. Krajnja desna "1" binarnog broja mora odgovarati krajnjoj desnoj "1" stepena dvojke, i tako dalje. Ako želite, možete napisati binarni broj iznad stepena dvojke. Najvažnije je da se međusobno slažu.
Spojite cifre u binarnom broju sa odgovarajućim stepenom dvojke. Nacrtajte linije (s desna na lijevo) koje povezuju svaku uzastopnu cifru binarnog broja na stepen dva iznad njega. Počnite crtati linije spajanjem prve cifre binarnog broja sa prvim stepenom dva iznad njega. Zatim povucite liniju od druge cifre binarnog broja do drugog stepena dvojke. Nastavite da povezujete svaki broj na odgovarajući stepen dvojke. Ovo će vam pomoći da vizuelno vidite odnos između dva različita skupa brojeva.
Zapišite konačnu vrijednost svakog stepena dvojke. Prođite kroz svaku cifru binarnog broja. Ako je broj 1, upišite odgovarajući stepen dvojke ispod broja. Ako je ovaj broj 0, upišite 0 ispod broja.
- Pošto "1" odgovara "1", ostaje "1". Pošto "2" odgovara "1", ostaje "2". Pošto "4" odgovara "0", postaje "0". Pošto "8" odgovara "1", postaje "8", a pošto "16" odgovara "1" postaje "16". "32" odgovara "0" i postaje "0", "64" odgovara "0" i stoga postaje "0", dok "128" odgovara "1" i stoga postaje 128.
Zbrojite rezultirajuće vrijednosti. Sada dodajte rezultirajuće brojeve ispod linije. Evo šta treba da uradite: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Ovo je decimalni ekvivalent binarnog broja 10011011.
Napišite odgovor zajedno sa indeksom jednakim brojevnom sistemu. Sada sve što treba da uradite je da napišete 155 10 da pokažete da radite sa decimalnim odgovorom, koji se bavi stepenom desetice. Što više konvertujete binarne brojeve u decimale, lakše ćete zapamtiti stepen dvojke i brže ćete moći da izvršite zadatak.
Koristi ovu metodu za pretvaranje binarnog broja sa decimalnim zarezom u decimalni oblik. Ovu metodu možete koristiti čak i ako želite da konvertujete binarni broj kao što je 1,1 2 u decimalni. Sve što trebate znati je da je broj na lijevoj strani decimale običan broj, a broj na desnoj strani decimale je broj "pola" ili 1 x (1/2).
- "1" lijevo od decimalnog broja odgovara 2 0, ili 1. 1 desno od decimalnog broja odgovara 2 -1, ili.5. Dodajte 1 i 0,5 i dobijete 1,5, što je decimalni ekvivalent 1,1 2.
Prilikom pretvaranja brojeva iz decimalni sistem notaciju na bilo koju drugu, cijeli i razlomak se uvijek prevode odvojeno (prema različitim pravilima).
Prijevod cijelog dijela
Da biste konvertovali broj iz decimalnog brojevnog sistema u bilo koji drugi, potrebno je da izvršite celobrojno deljenje originalnog broja sa osnovom brojevnog sistema u koji želite da konvertujete broj. U ovom slučaju, ostatak dijeljenja i količnik su važni. Količnik se mora podijeliti sa osnovom dok ne ostane 0. Nakon toga svi ostatci se moraju ispisati u obrnutim redosledom- ovo će biti broj u novom brojevnom sistemu.
Na primjer, pretvaranje broja 25 iz decimalnog u binarni sistem će izgledati ovako:
Zapisujući ostatke obrnutim redoslijedom, dobijamo 25 10 =11001 2.
Ako razmislite o tome, lako možete primijetiti da će pri pretvaranju apsolutno bilo kojeg broja u binarni brojevni sistem posljednji ostatak (tj. prva cifra u rezultatu) uvijek biti jednak posljednjem količniku, koji se pretvorio biti manji od baze brojevnog sistema u koji prevodimo broj. Stoga se dijeljenje često zaustavlja prije nego što količnik postane jednak nuli – u trenutku kada količnik jednostavno postane manji od baze. Na primjer:
Konverzija iz decimalnog brojevnog sistema u bilo koji drugi brojevni sistem se vrši po potpuno istim pravilima. Evo primjera pretvaranja 393 10 u heksadecimalni brojevni sistem:
Zapisujući ostatke obrnutim redoslijedom, dobijamo 393 10 =189 16.
Morate shvatiti da se ostatci dobijaju u decimalnom brojevnom sistemu. Prilikom dijeljenja sa 16, ostaci se mogu pojaviti ne samo od 0 do 9, već i od 10 do 15. Svaki ostatak je uvijek tačno jedna cifra u brojevnom sistemu u koji se prevodi.
Na primjer, ako ste prilikom prelaska na heksadecimalni brojevni sistem dobili sljedeće ostatke (ispisane onim redoslijedom kako treba da budu napisani u broju): 10, 3, 15, 7, onda u heksadecimalnom brojevnom sistemu ovaj niz od ostatci će odgovarati broju A3F7 16 (neki greškom pišu broj kao 103157 16 - jasno je da je ovo potpuno drugačiji broj i da ako to učinite, ispada da se brojevi od A do F neće pojaviti u bilo kojem heksadecimalnom broju).
Fractional translation
Prilikom prevođenja razlomaka, za razliku od prevođenja cijelog dijela, ne morate dijeliti, već množite sa osnovom brojevnog sistema u koji pretvaramo. U ovom slučaju cijeli se dijelovi svaki put odbacuju, a razlomci se ponovo množe. Sakupljanjem cijelih dijelova onim redoslijedom kojim su dobijeni, dobijamo razlomak broja u potreban sistem Računanje.
Jedna operacija množenja daje tačno jedan dodatni znak u brojevnom sistemu u koji se vrši konverzija.
U ovom slučaju postoje dva uslova za završetak procesa:
1) kao rezultat sljedećeg množenja dobili ste nulu u razlomku. Jasno je da koliko god da pomnožite ovu nulu, ona će i dalje ostati nula. To znači da je broj pretvoren iz decimalnog brojevnog sistema u traženi tačno.
2) ne mogu se svi brojevi tačno prevesti. U ovom slučaju, obično se prevodi s određenom preciznošću. U ovom slučaju, oni prvo određuju koliko će decimalnih mjesta biti potrebno - to je broj puta koji će trebati izvršiti operaciju množenja.
Evo primjera pretvaranja broja 0,39 10 u binarni brojevni sistem. Preciznost - 8 znamenki (u ovom slučaju, tačnost prijevoda se bira proizvoljno):
Ako zapišemo cijele dijelove u direktnom redoslijedu, dobićemo 0,39 10 =0,01100011 2 .
Nema potrebe pisati prvu nulu (precrtanu plavom bojom na slici) - jer se ne odnosi na razlomak, već na cijeli dio. Neki ljudi greškom pišu ovu nulu nakon decimalnog zareza kada ispisuju rezultat.
Ovako će izgledati konverzija broja 0,39 10 u heksadecimalni brojni sistem. Tačnost - 8 cifara; u ovom slučaju, tačnost se ponovo bira proizvoljno:
Ako zapišemo cijele dijelove u direktnom redoslijedu, dobićemo 0,39 10 =0,63D700A3 16.
U isto vrijeme, vjerovatno ste primijetili da se cijeli dijelovi kada se množe dobiju u decimalnom brojevnom sistemu. Ove cjelobrojne dijelove dobivene prevođenjem razlomka broja treba tumačiti na potpuno isti način kao i ostatke pri prevođenju cijelog dijela broja. Odnosno, ako se pri konverziji u heksadecimalni brojevni sistem dobiju cjelobrojni dijelovi sljedećim redoslijedom: 3, 13, 7, 10, tada će odgovarajući broj biti jednak 0,3D7A 16 (a ne 0,313710 16, kao neki ponekad pogrešno napiše).
Pretvaranje brojeva sa cijelim i razlomkom
Da biste preveli broj sa cijelim brojem i razlomkom, potrebno je da prevedete cijeli broj odvojeno, a razlomački dio odvojeno, a zatim ta dva dijela napišete zajedno.
Na primjer, 25,39 10 =11001,01100011 2 (prevodi cijelog broja i razlomaka - vidi gore).
Pretvaranje malih cijelih brojeva iz decimalnog u binarni u vašoj glavi
Budući da se pri radu s različitim brojevnim sistemima, posebno pri razvoju programa, vrlo često javlja potreba za prevođenjem malih cijelih brojeva, onda, općenito govoreći, ima smisla zapamtiti prvih 16 brojeva (od 0 do 15).
Ali ako shvatite koliko je lako mentalno pretvoriti male cijele brojeve od 0 do 15 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni, onda možete jednostavno izračunati značajan dio tabele u svojoj glavi svaki put kada vam zatreba. Uradite ovu operaciju više puta, a u nekom trenutku ni sami nećete moći shvatiti jeste li već zapamtili tabelu ili još uvijek računate.
Dakle, da biste pretvorili mali pozitivan cijeli broj od 0 do 15 iz decimalnog u binarni, prva stvar koju trebate razumjeti je da svaka pozicija u binarnom broju odgovara stepenu dva. Istovremeno, stepene dvojke za pozicije od 0 do 3 vrlo je lako zapamtiti - to su brojevi 1, 2, 4 i 8:
A broj 10 je 2 plus 8:
Pa, broj 0 je grijeh ne zapamtiti, jer da biste ga dobili ne morate ništa dodati.
Napomena 1
Ako želite da konvertujete broj iz jednog brojevnog sistema u drugi, onda je zgodnije da ga prvo konvertujete u decimalni brojevni sistem, a tek onda iz decimalnog brojevnog sistema u bilo koji drugi brojevni sistem.
Pravila za pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni
IN kompjuterska tehnologija, koristeći mašinsku aritmetiku, važnu ulogu igra konverzija brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi. U nastavku dajemo osnovna pravila za takve transformacije (prevode).
Kada pretvarate binarni broj u decimalni broj, potrebno je da binarni broj predstavite kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajuće snage osnovnog broja, u ovom slučaju $2$, a zatim morate izračunati polinom koristeći pravila decimalne aritmetike:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Slika 1. Tabela 1
Primjer 1
Pretvorite broj $11110101_2$ u decimalni brojevni sistem.
Rješenje. Koristeći datu tablicu $1$ potencija baze $2$, broj predstavljamo kao polinom:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 + 128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Da biste broj iz oktalnog brojevnog sistema pretvorili u decimalni brojevni sistem, morate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajućeg stepena osnovnog broja, u ovom slučaju $8$, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Slika 2. Tabela 2
Primjer 2
Pretvorite broj $75013_8$ u decimalni brojevni sistem.
Rješenje. Koristeći datu tablicu $2$ potencija baze $8$, predstavljamo broj kao polinom:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Da biste broj pretvorili iz heksadecimalnog u decimalni, trebate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao proizvod cifre broja i odgovarajuće snage osnovnog broja, u ovom slučaju $16$, a zatim morate izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Slika 3. Tabela 3
Primjer 3
Pretvorite broj $FFA2_(16)$ u decimalni brojevni sistem.
Rješenje. Koristeći datu tablicu $3$ potencija baze $8$, broj predstavljamo kao polinom:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Pravila za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi
- Da biste konvertovali broj iz decimalnog sistema brojeva u binarni sistem, on se mora uzastopno podijeliti sa $2$ sve dok ne bude ostatak manji ili jednak $1$. Broj u binarnom sistemu predstavljen je kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostataka od dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 4
Pretvorite broj $22_(10)$ u binarni sistem brojeva.
Rješenje:
Slika 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Da biste broj iz decimalnog brojevnog sistema pretvorili u oktalni, on se mora uzastopno podijeliti sa $8$ dok ne bude ostatak manji ili jednak $7$. Broj u oktalnom brojevnom sistemu predstavljen je kao niz cifara posljednjeg rezultata dijeljenja i ostataka iz dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 5
Pretvorite broj $571_(10)$ u oktalni brojevni sistem.
Rješenje:
Slika 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Da biste konvertovali broj iz decimalnog sistema brojeva u heksadecimalni sistem, on se mora sukcesivno podeliti sa 16$ sve dok ne bude ostatak manji ili jednak 15$. Broj u heksadecimalnom sistemu predstavljen je kao niz cifara rezultata posljednjeg dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.
Primjer 6
Pretvorite broj $7467_(10)$ u heksadecimalni brojni sistem.
Rješenje:
Slika 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Da bi se pravi razlomak iz decimalnog brojevnog sistema pretvorio u nedekadski brojni sistem, potrebno je razlomački dio broja koji se pretvara uzastopno pomnožiti sa osnovom sistema u koji ga treba pretvoriti. Frakcije u novom sistemu biće predstavljene kao celi delovi proizvoda, počevši od prvog.
Na primjer: $0.3125_((10))$ u oktalnom brojevnom sistemu će izgledati kao $0.24_((8))$.
U ovom slučaju možete naići na problem kada konačni decimalni razlomak može odgovarati beskonačnom (periodičnom) razlomku u nedecimalnom brojevnom sistemu. U ovom slučaju, broj cifara u razlomku predstavljenom u novom sistemu zavisiće od zahtevane tačnosti. Također treba napomenuti da cijeli brojevi ostaju cijeli brojevi, a pravi razlomci ostaju razlomci u bilo kojem brojevnom sistemu.
Pravila za pretvaranje brojeva iz binarnog brojevnog sistema u drugi
- Da biste broj iz binarnog brojevnog sistema pretvorili u oktalni, on se mora podijeliti na trijade (trojke cifara), počevši od najmanje značajnog broja, ako je potrebno, dodajući nule na vodeću trozvuku, a zatim zamijeniti svaku trozvuku odgovarajućom oktalnom znamenkom prema tabeli 4.
Slika 7. Tabela 4
Primjer 7
Pretvorite broj $1001011_2$ u oktalni brojevni sistem.
Rješenje. Koristeći tabelu 4, pretvaramo broj iz binarnog brojevnog sistema u oktalni:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Da biste broj iz binarnog brojevnog sistema pretvorili u heksadecimalni, treba ga podijeliti na tetrade (četiri znamenke), počevši od najmanje značajnog broja, ako je potrebno, dodajući nule najznačajnijoj tetradi, a zatim zamijeniti svaku tetradu odgovarajućom oktalnom znamenkom prema tabeli 4.
Možete unijeti i cijele brojeve, na primjer 34, i razlomke, na primjer, 637.333. Za razlomke je naznačena tačnost prijevoda nakon decimalne točke.
Sa ovim kalkulatorom se također koriste sljedeće:
Načini predstavljanja brojeva
Binarno (binarni) brojevi - svaka cifra označava vrijednost jednog bita (0 ili 1), najznačajniji bit se uvijek piše lijevo, slovo “b” se stavlja iza broja. Radi lakše percepcije, sveske se mogu odvojiti razmacima. Na primjer, 1010 0101b.Heksadecimalno (heksadecimalni) brojevi - svaka tetrada je predstavljena jednim simbolom 0...9, A, B, ..., F. Ovaj prikaz se može označiti na različite načine, ovdje se koristi samo simbol “h” nakon posljednjeg heksadecimala cifra. Na primjer, A5h. U tekstovima programa isti broj može biti označen kao 0xA5 ili 0A5h, ovisno o sintaksi programskog jezika. Vodeća nula (0) dodaje se lijevo od najznačajnije heksadecimalne cifre predstavljene slovom radi razlikovanja između brojeva i simboličkih imena.
Decimala (decimalni) brojevi - svaki bajt (riječ, dvostruka riječ) je predstavljen regularnim brojem, a znak decimalnog prikaza (slovo “d”) se obično izostavlja. Bajt u prethodnim primjerima ima decimalnu vrijednost od 165. Za razliku od binarne i heksadecimalne notacije, decimalni je teško mentalno odrediti vrijednost svakog bita, što je ponekad neophodno.
Octal (oktalni) brojevi - svaka trojka bitova (podjela počinje od najmanje značajnog) se zapisuje kao broj 0-7, sa "o" na kraju. Isti broj bi bio zapisan kao 245o. Oktalni sistem je nezgodan jer se bajt ne može podijeliti jednako.
Algoritam za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sistem vrši se dijeljenjem broja sa osnovom novi sistem numerisanje sve dok ostatak ne ostane broj manji od osnove novog brojevnog sistema. Novi broj se upisuje kao ostaci dijeljenja, počevši od posljednjeg.Pretvaranje običnog decimalnog razlomka u drugi PSS vrši se množenjem samo razlomka broja sa osnovom novog brojevnog sistema dok sve nule ne ostanu u razlomku ili dok se ne postigne navedena tačnost prevođenja. Kao rezultat svake operacije množenja, formira se jedna znamenka novog broja, počevši od najveće.
Nepravilno prevođenje razlomaka vrši se prema pravilima 1 i 2. Cjelobrojni i razlomački dijelovi se pišu zajedno, odvojeni zarezom.
Primjer br. 1. 
Konverzija od 2 do 8 do 16 brojevnog sistema.
Ovi sistemi su višestruki od dva, stoga se prevod vrši pomoću tabele korespondencije (vidi dole).
Da biste broj iz binarnog brojevnog sistema pretvorili u oktalni (heksadecimalni) brojevni sistem, potrebno je podijeliti binarni broj od decimalne zapete desno i lijevo u grupe od tri (četiri za heksadecimalne) cifre, dopunjujući vanjske grupe sa nulama ako je potrebno. Svaka grupa je zamijenjena odgovarajućom oktalnom ili heksadecimalnom znamenkom.
Primjer br. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ovdje 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Prilikom pretvaranja u heksadecimalni sistem, morate podijeliti broj na dijelove od četiri cifre, slijedeći ista pravila.
Primjer br. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ovdje 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Pretvaranje brojeva iz 2, 8 i 16 u decimalni sistem vrši se tako što se broj razbije na pojedinačne i pomnoži sa osnovom sistema (iz kojeg je broj preveden) podignutom na stepen koji odgovara njegovom serijskom broju u broj koji se pretvara. U ovom slučaju, brojevi se numeriraju lijevo od decimalnog zareza (prvi broj je numeriran 0) s povećanjem, a desno s smanjenjem (tj. negativnim predznakom). Dobijeni rezultati se zbrajaju.
Primjer br. 4.
Primjer konverzije iz binarnog u decimalni brojevni sistem.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Primjer konverzije iz oktalnog u decimalni brojevni sistem. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Primjer konverzije iz heksadecimalnog u decimalni brojevni sistem. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Još jednom ponavljamo algoritam za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi PSS
- Iz decimalnog brojevnog sistema:
- podijeliti broj sa osnovom brojevnog sistema koji se prevodi;
- pronaći ostatak prilikom dijeljenja cijelog broja;
- zapišite sve ostatke od dijeljenja obrnutim redoslijedom;
- Iz binarnog brojevnog sistema
- Za konvertovanje u decimalni brojevni sistem, potrebno je pronaći zbir proizvoda baze 2 odgovarajućim stepenom cifre;
- Da biste broj pretvorili u oktalni, morate ga razbiti na trozvuke.
Na primjer, 1000110 = 1,000 110 = 106 8 - Da biste broj pretvorili iz binarnog u heksadecimalni, potrebno je podijeliti broj u grupe od 4 znamenke.
Na primjer, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Tabela korespondencije sistema brojeva:
| Binarni SS | Heksadecimalni SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tabela za konverziju u oktalni brojevni sistem
Rezultat je već primljen!
Sistemi brojeva
Postoje pozicioni i nepozicioni sistemi brojeva. Arapski sistem brojeva koji koristimo Svakodnevni život, je poziciona, ali Roman nije. U pozicionim brojevnim sistemima, pozicija broja jednoznačno određuje veličinu broja. Razmotrimo ovo na primjeru broja 6372 u decimalnom brojevnom sistemu. Numerimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:
Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Broj 10 određuje sistem brojeva (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti pozicije datog broja uzimaju se kao potencije.
Razmotrimo pravi decimalni broj 1287.923. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:
Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
IN opšti slučaj formula se može predstaviti na sljedeći način:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomak na poziciji (-k), s- sistem brojeva.
Nekoliko riječi o brojevnim sistemima Broj u decimalnom brojevnom sistemu sastoji se od mnogo cifara (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sistemu se sastoji od mnogo cifara (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1), u heksadecimalnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), pri čemu A,B,C,D,E,F odgovaraju brojevima 10,11, 12,13,14,15 U tabeli tab.1 prikazani su brojevi u različiti sistemi Računanje.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacija | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Za konvertovanje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi, najlakši način je da prvo konvertujete broj u decimalni brojevni sistem, a zatim konvertujete iz decimalnog brojevnog sistema u traženi brojevni sistem.
Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem
Koristeći formulu (1), možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem.
Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Primjer2. Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:
Primjer 3 . Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalnog brojnog sistema u decimalni SS. Rješenje:
Evo A-zamijenjeno sa 10, B- u 11, C- u 12, F- do 15.
Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem
Da biste pretvorili brojeve iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem, potrebno je da zasebno konvertujete celobrojni deo broja i razlomak broja.
Cjelobrojni dio broja se pretvara iz decimalnog SS u drugi brojevni sistem uzastopnim dijeljenjem cijelog broja sa osnovom brojevnog sistema (za binarni SS - sa 2, za 8-arni SS - sa 8, za 16 -ary SS - za 16, itd. ) dok se ne dobije cijeli ostatak, manji od baze CC.
Primjer 4 . Pretvorimo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kao što se može videti sa sl. 1, broj 159 kada se podijeli sa 2 daje količnik 79 i ostatak 1. Nadalje, broj 79 kada se podijeli sa 2 daje količnik 39 i ostatak 1, itd. Kao rezultat toga, konstruirajući broj iz ostataka dijeljenja (s desna na lijevo), dobijamo broj u binarnom SS: 10011111 . Stoga možemo napisati:
159 10 =10011111 2 .
Primjer 5 . Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Kada konvertujete broj iz decimalnog SS u oktalni SS, morate redom broj deliti sa 8 dok ne dobijete celobrojni ostatak manji od 8. Kao rezultat toga, konstruisanjem broja od ostataka deljenja (s desna na levo) dobijamo broj u oktalnom SS: 1147 (vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:
615 10 =1147 8 .
Primjer 6 . Pretvorimo broj 19673 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kao što se može vidjeti sa slike 3, uzastopnim dijeljenjem broja 19673 sa 16, ostatci su 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom brojevnom sistemu, broj 12 odgovara C, broj 13 D. Dakle, naš heksadecimalni broj je 4CD9.
Da prevedem ispravno decimale(realan broj sa nultim celim delom) u brojevni sistem sa osnovom s, potrebno je ovaj broj uzastopno množiti sa s dok razlomak ne bude čista nula, ili dobijemo traženi broj cifara. Ako se tokom množenja dobije broj čiji je cijeli broj različit od nule, onda se ovaj cijeli dio ne uzima u obzir (oni su sekvencijalno uključeni u rezultat).
Pogledajmo gore navedeno s primjerima.
Primjer 7 . Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kao što se može vidjeti sa slike 4, broj 0,214 se sekvencijalno množi sa 2. Ako je rezultat množenja broj čiji je cijeli broj različit od nule, tada se cijeli dio piše zasebno (lijevo od broja), a broj je zapisan cijelim dijelom nula. Ako množenje rezultira brojem s cijelim dijelom nula, tada se nula upisuje lijevo od njega. Proces množenja se nastavlja sve dok razlomak ne dostigne čistu nulu ili dok ne dobijemo potreban broj znamenki. Upisivanjem podebljanih brojeva (slika 4) od vrha do dna dobijamo traženi broj u binarnom brojevnom sistemu: 0. 0011011 .
Stoga možemo napisati:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Primjer 8 . Pretvorimo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Da bi se broj 0,125 pretvorio iz decimalnog SS u binarni, ovaj broj se uzastopno množi sa 2. U trećoj fazi, rezultat je 0. Kao rezultat toga, dobije se sljedeći rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Primjer 9 . Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Slijedeći primjere 4 i 5, dobijamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS, brojevi 12 i 11 odgovaraju brojevima C i B. Dakle, imamo:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Primjer 10 . Pretvorimo broj 0,512 iz decimalnog brojevnog sistema u oktalni SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
dobio:
0.512 10 =0.406111 8 .
Primjer 11 . Pretvorimo broj 159.125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 4) i razlomak broja (Primjer 8). Daljnjim kombinovanjem ovih rezultata dobijamo:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Primjer 12 . Pretvorimo broj 19673.214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 6) i razlomak broja (Primjer 9). Dalje, kombinujući ove rezultate dobijamo.