U procesu izučavanja kursa geometrije često se pojavljuju pojmovi "ugao", "vertikalni uglovi", "susedni uglovi". Razumijevanje svakog od pojmova pomoći će vam da shvatite problem i da ga ispravno riješite. Šta su susjedni uglovi i kako ih odrediti?
Susjedni uglovi - definicija pojma
Termin "susedni uglovi" karakteriše dva ugla formirana zajedničkom zrakom i dve dodatne poluprave koje leže na istoj pravoj liniji. Sva tri zraka izlaze iz iste tačke. Zajednička poluprava je istovremeno strana i jednog i drugog ugla.
Susjedni uglovi - osnovna svojstva
1. Na osnovu formulacije susednih uglova, lako je uočiti da zbir takvih uglova uvek čini obrnuti ugao, čija je stepenska mera 180°:
- Ako su μ i η susjedni uglovi, tada je μ + η = 180°.
- Poznavajući veličinu jednog od susjednih uglova (na primjer, μ), lako možete izračunati mjeru stepena drugog ugla (η) koristeći izraz η = 180° – μ.
2. Ovo svojstvo uglova nam omogućava da izvučemo sledeći zaključak: ugao koji je susedan pravom uglu takođe će biti pravi.
3. Uzimajući u obzir trigonometrijske funkcije (sin, cos, tg, ctg), na osnovu formula redukcije za susjedne uglove μ i η, vrijedi sljedeće:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Susjedni uglovi - primjeri
Primjer 1
Dat je trokut sa vrhovima M, P, Q – ΔMPQ. Pronađite uglove koji su susedni uglovima ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Produžimo svaku stranu trougla ravnom linijom.
- Znajući da se susjedni uglovi međusobno nadopunjuju do obrnutog ugla, saznajemo da:
pored ugla ∠QMP je ∠LMP,
pored ugla ∠MPQ je ∠SPQ,
pored ugla ∠PQM je ∠HQP.
Primjer 2
Vrijednost jednog susjednog ugla je 35°. Kolika je mjera stepena drugog susjednog ugla?
- Zbir dva susjedna ugla je 180°.
- Ako je ∠μ = 35°, onda uz njega ∠η = 180° – 35° = 145°.
Primjer 3
Odredite vrijednosti susjednih uglova ako je poznato da je mjera stepena jednog od njih tri puta veća od stepena mjere drugog ugla.
- Označimo veličinu jednog (manjeg) ugla sa – ∠μ = λ.
- Tada će, prema uslovima zadatka, vrijednost drugog ugla biti jednaka ∠η = 3λ.
- Na osnovu osnovnog svojstva susjednih uglova, slijedi μ + η = 180°
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
To znači da je prvi ugao ∠μ = λ = 45°, a drugi ugao ∠η = 3λ = 135°.
Sposobnost korištenja terminologije, kao i poznavanje osnovnih svojstava susjednih uglova, pomoći će vam u rješavanju mnogih geometrijskih problema.
Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne zrake. Na slici 20 uglovi AOB i BOC su susjedni.
Zbir susjednih uglova je 180°
Teorema 1. Zbir susjednih uglova je 180°.
Dokaz. Greda OB (vidi sliku 1) prolazi između stranica rasklopljenog ugla. Zbog toga ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
Iz teoreme 1 slijedi da ako su dva ugla jednaka, onda su im susjedni uglovi jednaki.
Vertikalni uglovi su jednaki
Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su strane jednog ugla komplementarne zrake stranica drugog. Uglovi AOB i COD, BOD i AOC, formirani na preseku dve prave, su vertikalni (slika 2).
Teorema 2. Vertikalni uglovi su jednaki.
Dokaz. Razmotrimo vertikalne uglove AOB i COD (vidi sliku 2). Ugao BOD je susedan svakom od uglova AOB i COD. Prema teoremi 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Iz ovoga zaključujemo da je ∠ AOB = ∠ COD.
Posljedica 1. Ugao pored pravog ugla je pravi ugao.
Razmotrimo dvije prave linije AC i BD koje se seku (slika 3). Formiraju četiri ugla. Ako je jedan od njih ravan (ugao 1 na sl. 3), onda su i preostali uglovi pravi (uglovi 1 i 2, 1 i 4 su susedni, uglovi 1 i 3 su vertikalni). U ovom slučaju kažu da se ove prave sijeku pod pravim kutom i nazivaju se okomiti (ili međusobno okomiti). Okomitost pravih AC i BD označava se na sljedeći način: AC ⊥ BD.
Simetrala okomita na segment je prava okomita na ovaj segment i koja prolazi kroz njegovu sredinu.
AN - okomito na pravu
Razmotrimo pravu a i tačku A koja ne leži na njoj (slika 4). Povežimo tačku A sa segmentom sa tačkom H pravom linijom a. Segment AN se naziva okomom povučenom iz tačke A na pravu a ako su prave AN i a okomite. Tačka H naziva se osnova okomice.
Kvadrat za crtanje
Sljedeća teorema je tačna.
Teorema 3. Iz bilo koje tačke koja ne leži na pravoj, moguće je povući okomitu na ovu pravu, i, osim toga, samo jednu.
Da nacrtate okomicu iz tačke na pravu liniju na crtežu, koristite kvadrat za crtanje (slika 5).
Komentar. Formulacija teoreme se obično sastoji od dva dijela. Jedan dio govori o tome šta je dato. Ovaj dio se naziva uvjetom teoreme. Drugi dio govori o tome šta treba dokazati. Ovaj dio se zove zaključak teoreme. Na primjer, uslov teoreme 2 je da su uglovi vertikalni; zaključak - ovi uglovi su jednaki.
Bilo koja teorema može se detaljno izraziti riječima tako da njen uvjet počinje riječju “ako”, a zaključak riječju “onda”. Na primjer, teorema 2 može se detaljno iznijeti na sljedeći način: „Ako su dva ugla okomita, onda su jednaki.”
Primjer 1. Jedan od susjednih uglova je 44°. Čemu je drugi jednak?
Rješenje.
Označimo mjeru stepena drugog ugla sa x, tada prema teoremi 1.
44° + x = 180°.
Rješavajući rezultirajuću jednačinu, nalazimo da je x = 136°. Dakle, drugi ugao je 136°.
Primjer 2. Neka ugao COD na slici 21 bude 45°. Koliki su uglovi AOB i AOC?
Rješenje.
Uglovi COD i AOB su vertikalni, pa su prema teoremi 1.2 jednaki, tj. ∠ AOB = 45°. Ugao AOC je susedan uglu COD, što znači prema teoremi 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Primjer 3. Pronađite susjedne uglove ako je jedan od njih 3 puta veći od drugog.
Rješenje.
Označimo mjeru stepena manjeg ugla sa x. Tada će mjera stepena većeg ugla biti 3x. Pošto je zbir susjednih uglova jednak 180° (Teorema 1), onda je x + 3x = 180°, odakle je x = 45°.
To znači da su susjedni uglovi 45° i 135°.
Primjer 4. Zbir dva vertikalna ugla je 100°. Pronađite veličinu svakog od četiri ugla.
Rješenje.
Neka ispunjava uslove zadatka Slika 2. Vertikalni uglovi COD prema AOB su jednaki (teorema 2), što znači da su i njihove mjere stepena jednake. Dakle, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (njihov zbir prema uslovu je 100°). Ugao BOD (takođe ugao AOC) je susedan uglu COD, i stoga, prema teoremi 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
Pitanje 1. Koji se uglovi nazivaju susjednim?
Odgovori. Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne poluprave.
Na slici 31, uglovi (a 1 b) i (a 2 b) su susedni. Imaju zajedničku stranu b, a stranice a 1 i a 2 su dodatne poluprave.
Pitanje 2. Dokažite da je zbir susjednih uglova 180°.
Odgovori. Teorema 2.1. Zbir susjednih uglova je 180°.
Dokaz. Neka su ugao (a 1 b) i ugao (a 2 b) dati susedni uglovi (vidi sliku 31). Zraka b prolazi između stranica a 1 i a 2 pravog ugla. Dakle, zbir uglova (a 1 b) i (a 2 b) jednak je nesavijenom uglu, odnosno 180°. Q.E.D.
Pitanje 3. Dokažite da ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.
Odgovori.
Iz teoreme 2.1
Iz toga slijedi da ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.
Recimo da su uglovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki. Moramo dokazati da su uglovi (a 2 b) i (c 2 d) također jednaki.
Zbir susjednih uglova je 180°. Iz ovoga slijedi da je a 1 b + a 2 b = 180° i c 1 d + c 2 d = 180°. Dakle, a 2 b = 180° - a 1 b i c 2 d = 180° - c 1 d. Pošto su uglovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki, dobijamo da je a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Po svojstvu tranzitivnosti znaka jednakosti slijedi da je a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
Pitanje 4. Koji ugao se naziva pravi (oštar, tup)?
Odgovori. Ugao jednak 90° naziva se pravi ugao.
Ugao manji od 90° naziva se oštar ugao.
Ugao veći od 90° i manji od 180° naziva se tup.
Pitanje 5. Dokažite da je ugao koji se nalazi pored pravog ugla pravi ugao.
Odgovori. Iz teoreme o zbiru susednih uglova sledi da je ugao pored pravog ugla pravi ugao: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Pitanje 6. Koji uglovi se nazivaju vertikalni?
Odgovori. Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla komplementarne poluprave stranica drugog.
Pitanje 7. Dokažite da su vertikalni uglovi jednaki.
Odgovori. Teorema 2.2. Vertikalni uglovi su jednaki.
Dokaz. Neka su (a 1 b 1) i (a 2 b 2) dati vertikalni uglovi (slika 34). Ugao (a 1 b 2) graniči sa uglom (a 1 b 1) i sa uglom (a 2 b 2). Odavde, koristeći teoremu o zbiru susjednih uglova, zaključujemo da svaki od uglova (a 1 b 1) i (a 2 b 2) nadopunjuje ugao (a 1 b 2) do 180°, tj. uglovi (a 1 b 1) i (a 2 b 2) su jednaki. Q.E.D.
Pitanje 8. Dokažite da ako je, kada se dvije prave seku, jedan od uglova pravi, onda su i ostala tri ugla prava.
Odgovori. Pretpostavimo da se prave AB i CD sijeku u tački O. Pretpostavimo da je ugao AOD 90°. Pošto je zbir susjednih uglova 180°, dobijamo da je AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Ugao COB je okomit u odnosu na ugao AOD, tako da su jednaki. To jest, ugao COB = 90°. Ugao COA je okomit u odnosu na ugao BOD, tako da su jednaki. To jest, ugao BOD = 90°. Dakle, svi uglovi su jednaki 90°, odnosno svi su pravi uglovi. Q.E.D.
Pitanje 9. Koje se prave nazivaju okomiti? Koji znak se koristi za označavanje okomitosti linija?
Odgovori. Dvije prave se nazivaju okomiti ako se sijeku pod pravim uglom.
Okomitost linija je označena znakom \(\perp\). Unos \(a\perp b\) glasi: "Prava a je okomita na pravu b."
Pitanje 10. Dokažite da kroz bilo koju tačku na pravoj možete povući pravu okomitu na nju, i to samo jednu.
Odgovori. Teorema 2.3. Kroz svaku liniju možete povući pravu okomitu na nju, i to samo jednu.
Dokaz. Neka je a data prava, a A data tačka na njoj. Označimo sa a 1 jednu od poluprava prave a sa početnom tačkom A (slika 38). Oduzmimo ugao (a 1 b 1) jednak 90° od poluprave a 1. Tada će prava linija koja sadrži zraku b 1 biti okomita na pravu a.
Pretpostavimo da postoji još jedna prava, koja takođe prolazi kroz tačku A i okomita na pravu a. Označimo sa c 1 polupravu ove prave koja leži u istoj poluravni sa zrakom b 1 .
Uglovi (a 1 b 1) i (a 1 c 1), svaki jednak 90°, položeni su u jednoj poluravni od poluprave a 1. Ali iz poluprave a 1 u datu poluravninu može se staviti samo jedan ugao jednak 90°. Dakle, ne može postojati druga prava koja prolazi kroz tačku A i okomita na pravu a. Teorema je dokazana.
Pitanje 11.Šta je okomito na pravu?
Odgovori. Okomita na datu pravu je odsječak prave koji je okomit na datu pravu, čiji je jedan od krajeva u točki presjeka. Ovaj kraj segmenta se zove osnovu okomito.
Pitanje 12. Objasnite od čega se sastoji dokaz kontradikcijom.
Odgovori. Metoda dokaza koju smo koristili u teoremi 2.3 naziva se dokaz kontradikcijom. Ova metoda dokaza je da prvo postavimo pretpostavku suprotnu od onoga što teorema kaže. Zatim, rasuđivanjem, oslanjajući se na aksiome i dokazane teoreme, dolazimo do zaključka koji je u suprotnosti ili sa uslovima teoreme, ili sa jednom od aksioma, ili sa prethodno dokazanom teoremom. Na osnovu toga zaključujemo da je naša pretpostavka bila netačna, te je stoga tvrdnja teoreme tačna.
Pitanje 13.Šta je simetrala ugla?
Odgovori. Simetrala ugla je zraka koja izlazi iz vrha ugla, prolazi između njegovih stranica i dijeli ugao na pola.
Šta je susedni ugao
Ugao je geometrijska figura (slika 1), koju čine dvije zrake OA i OB (strane ugla), koje izlaze iz jedne tačke O (vrh ugla).
SUSJEDNI UGLOVI- dva ugla čiji je zbir 180°. Svaki od ovih uglova nadopunjuje drugi do punog ugla.
Susedni uglovi- (Agles adjacets) oni koji imaju zajednički vrh i zajedničku stranu. Uglavnom se ovaj naziv odnosi na uglove čije preostale dvije strane leže u suprotnim smjerovima jedne povučene prave linije.
Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne poluprave.
pirinač. 2
Na slici 2 uglovi a1b i a2b su susjedni. Imaju zajedničku stranicu b, a stranice a1, a2 su dodatne poluprave.
pirinač. 3
Na slici 3 prikazana je prava linija AB, tačka C se nalazi između tačaka A i B. Tačka D je tačka koja ne leži na pravoj AB. Ispostavilo se da su uglovi BCD i ACD susedni. Imaju zajedničku stranu CD, a stranice CA i CB su dodatne poluprave prave AB, pošto su tačke A, B odvojene početnom tačkom C.
Teorema susednog ugla
Teorema: zbir susjednih uglova je 180°
dokaz:
Uglovi a1b i a2b su susedni (vidi sliku 2) Zrak b prolazi između stranica a1 i a2 rasklopljenog ugla. Dakle, zbir uglova a1b i a2b jednak je razvijenom uglu, odnosno 180°. Teorema je dokazana.
Ugao jednak 90° naziva se pravi ugao. Iz teoreme o zbiru susednih uglova sledi da je i ugao susedan pravom uglu pravi ugao. Ugao manji od 90° naziva se oštar, a veći od 90° tup. Budući da je zbir susjednih uglova 180°, onda je ugao uz oštar ugao tup ugao. Ugao pored tupog ugla je oštar ugao.
Susedni uglovi- dva ugla sa zajedničkim vrhom, čija je jedna strana zajednička, a ostale stranice leže na istoj pravoj liniji (ne poklapaju se). Zbir susjednih uglova je 180°.
Definicija 1. Ugao je dio ravni omeđen dvjema zrakama zajedničkog porijekla.
Definicija 1.1. Ugao je figura koja se sastoji od tačke - vrha ugla - i dve različite poluprave koje izlaze iz ove tačke - stranica ugla.
Na primjer, ugao BOC na slici 1. Razmotrimo prvo dvije prave koje se ukrštaju. Kada se prave linije seku, one formiraju uglove. Postoje posebni slučajevi:
Definicija 2. Ako su stranice ugla dodatne poluprave jedne prave, onda se ugao naziva razvijenim.
Definicija 3. Pravi ugao je ugao od 90 stepeni.
Definicija 4. Ugao manji od 90 stepeni naziva se oštar ugao.
Definicija 5. Ugao veći od 90 stepeni i manji od 180 stepeni naziva se tupim uglom.
linije koje se seku.
Definicija 6. Dva ugla, čija je jedna strana zajednička, a druge leže na istoj pravoj liniji, nazivaju se susjednim.
Definicija 7. Uglovi čije se stranice nastavljaju jedna na drugu nazivaju se vertikalni uglovi.
Na slici 1:
susjedni: 1 i 2; 2 i 3; 3 i 4; 4 i 1
vertikalno: 1 i 3; 2 i 4
Teorema 1. Zbir susjednih uglova je 180 stepeni.
Za dokaz, razmotrite na Sl. 4 susjedna ugla AOB i BOC. Njihov zbir je razvijeni ugao AOC. Dakle, zbir ovih susednih uglova je 180 stepeni.
pirinač. 4
Veza između matematike i muzike
„Razmišljajući o umetnosti i nauci, o njihovim međusobnim vezama i protivrečnostima, došao sam do zaključka da su matematika i muzika na krajnjim polovima ljudskog duha, da je sva stvaralačka duhovna delatnost čoveka ograničena i određena ova dva antipoda i da sve je između njih. ono što je čovečanstvo stvorilo u oblasti nauke i umetnosti."
G. Neuhaus
Čini se da je umjetnost vrlo apstraktna oblast od matematike. Međutim, veza između matematike i muzike je određena i istorijski i iznutra, uprkos činjenici da je matematika najapstraktnija nauka, a muzika najapstraktniji oblik umetnosti.
Konsonancija određuje prijatan zvuk žice
Ovaj muzički sistem zasnivao se na dva zakona koji nose imena dva velika naučnika - Pitagore i Arhite. Ovo su zakoni:
1. Dvije zvučne žice određuju konsonanciju ako su njihove dužine povezane kao cijeli brojevi koji formiraju trouglasti broj 10=1+2+3+4, tj. kao 1:2, 2:3, 3:4. Štaviše, što je manji broj n u omjeru n:(n+1) (n=1,2,3), rezultujući interval je konsonantniji.
2. Frekvencija vibracije w zvučne žice je obrnuto proporcionalna njenoj dužini l.
w = a:l,
gdje je a koeficijent koji karakterizira fizička svojstva niza.
Ponudit ću vam i smiješnu parodiju o svađi između dva matematičara =)
Geometrija oko nas
Geometrija u našem životu nije od male važnosti. Zbog činjenice da kada pogledate oko sebe, neće biti teško primijetiti da smo okruženi raznim geometrijskim oblicima. Susrećemo ih svuda: na ulici, u učionici, kod kuće, u parku, u teretani, u školskoj menzi, u suštini, gde god da se nalazimo. Ali tema današnje lekcije je susjedni ugalj. Zato pogledajmo okolo i pokušajmo pronaći uglove u ovom okruženju. Ako pažljivo pogledate prozor, možete vidjeti da neke grane drveća formiraju susjedne uglove, a u pregradama na kapiji možete vidjeti mnogo okomitih uglova. Navedite vlastite primjere susjednih uglova koje opažate u svom okruženju.
Vježba 1.
1. Na stolu na stalku za knjige je knjiga. Koji ugao formira?
2. Ali učenik radi na laptopu. Koji ugao vidite ovde?
3. Koji ugao formira okvir za fotografije na postolju?
4. Mislite li da je moguće da dva susjedna ugla budu jednaka?
Zadatak 2.
Pred vama je geometrijska figura. Kakva je ovo figura, nazovite je? Sada imenujte sve susjedne uglove koje možete vidjeti na ovoj geometrijskoj figuri.
Zadatak 3.
Evo slike crteža i slike. Pažljivo ih pogledajte i recite mi koje vrste riba vidite na slici i iz kojih uglova vidite na slici.
Rješavanje problema
1) Zadata su dva ugla koja su međusobno povezana kao 1:2, a susjedna s njima - kao 7:5. Trebate pronaći ove uglove.2) Poznato je da je jedan od susjednih uglova 4 puta veći od drugog. Čemu su jednaki susjedni uglovi?
3) Potrebno je pronaći susedne uglove, pod uslovom da je jedan od njih za 10 stepeni veći od drugog.
Matematički diktat za ponavljanje prethodno naučenog gradiva
1) Dovršite crtež: prave a I b seku se u tački A. Manji od formiranih uglova označite brojem 1, a preostale uglove - redom brojevima 2,3,4; komplementarne zrake prave a prolaze kroz a1 i a2, a prava b je kroz b1 i b2.2) Koristeći dovršeni crtež, unesite potrebna značenja i objašnjenja u praznine u tekstu:
a) ugao 1 i ugao .... susjedni jer...
b) ugao 1 i ugao…. vertikalno jer...
c) ako je ugao 1 = 60°, onda je ugao 2 = ..., jer...
d) ako je ugao 1 = 60°, onda je ugao 3 = ..., jer...
Riješiti probleme:
1. Može li zbir 3 ugla nastala presjekom 2 prave biti jednak 100°? 370°?
2. Na slici pronađite sve parove susjednih uglova. A sada okomiti uglovi. Imenujte ove uglove.
3. Trebate pronaći ugao kada je tri puta veći od susjednog.
4. Dve prave linije su se sekle jedna drugu. Kao rezultat ove raskrsnice nastala su četiri ugla. Odredite vrijednost bilo kojeg od njih, pod uslovom da:
a) zbir 2 od četiri ugla je 84°;
b) razlika između 2 ugla je 45°;
c) jedan ugao je 4 puta manji od drugog;
d) zbir tri ova ugla je 290°.
Sažetak lekcije
1. navedite uglove koji nastaju kada se 2 prave ukrste?
2. Imenujte sve moguće parove uglova na slici i odredite njihov tip.
Zadaća:
1. Pronađite omjer stepena mjera susjednih uglova kada je jedan od njih za 54° veći od drugog.
2. Nađi uglove koji nastaju kada se 2 prave ukrštaju, pod uslovom da je jedan od uglova jednak zbiru 2 druga ugla koja su mu susjedna.
3. Potrebno je pronaći susjedne uglove kada simetrala jednog od njih formira ugao sa stranom drugog koji je za 60° veći od drugog ugla.
4. Razlika između 2 susjedna ugla jednaka je trećini zbira ova dva ugla. Odredite vrijednosti 2 susjedna ugla.
5. Razlika i zbir 2 susjedna ugla su u omjeru 1:5. Pronađite susjedne uglove.
6. Razlika između dva susjedna je 25% njihovog zbira. Kako se odnose vrijednosti 2 susjedna ugla? Odredite vrijednosti 2 susjedna ugla.
pitanja:
- Šta je ugao?
- Koje vrste uglova postoje?
- Koja je osobina susjednih uglova?
Svaki ugao, ovisno o svojoj veličini, ima svoje ime:
| Tip kuta | Veličina u stepenima | Primjer |
|---|---|---|
| Začinjeno | Manje od 90° | |
| Pravo | Jednako 90°. Na crtežu se pravi ugao obično označava simbolom koji se povlači od jedne do druge strane ugla. |
 |
| Blunt | Više od 90°, ali manje od 180° |  |
| Prošireno | Jednako 180° Pravi ugao jednak je zbiru dva prava ugla, a pravi ugao je polovina pravog ugla. |
 |
| Konveksna | Više od 180°, ali manje od 360° |  |
| Pun | Jednako 360° |  |
Dva ugla se nazivaju susjedni, ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge dvije strane čine pravu liniju:
Uglovi MOP I PON susjedni, budući da greda OP- zajednička strana, i druge dvije strane - OM I ON napravi pravu liniju.
Zajednička strana susjednih uglova naziva se koso do ravno, na kojoj leže druge dvije strane, samo u slučaju kada susjedni uglovi nisu međusobno jednaki. Ako su susjedni uglovi jednaki, onda će njihova zajednička strana biti okomito.
Zbir susjednih uglova je 180°.
Dva ugla se nazivaju vertikalno, ako strane jednog ugla nadopunjuju stranice drugog ugla u prave linije:
Uglovi 1 i 3, kao i uglovi 2 i 4, su vertikalni.
Vertikalni uglovi su jednaki.
Dokažimo da su vertikalni uglovi jednaki:
Zbir ∠1 i ∠2 je pravi ugao. A zbir ∠3 i ∠2 je pravi ugao. Dakle, ova dva iznosa su jednaka:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
U ovoj jednakosti nalazi se identičan član lijevo i desno - ∠2. Jednakost neće biti narušena ako se izostavi ovaj pojam s lijeve i desne strane. Onda ćemo dobiti.