Korijenske formule. Svojstva kvadratnih korijena.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
U prethodnoj lekciji shvatili smo šta je kvadratni korijen. Vrijeme je da otkrijemo koji postoje formule za korijenešta su svojstva korena, i šta se sa svim tim može učiniti.
Formule korijena, svojstva korijena i pravila za rad s korijenima- ovo je u suštini ista stvar. Formule za kvadratni korijeni iznenađujuće malo. Što me svakako čini srećnom! Ili bolje rečeno, možete napisati mnogo različitih formula, ali za praktičan i siguran rad s korijenima dovoljne su samo tri. Sve ostalo proizilazi iz ovo troje. Iako se mnogi ljudi zbune u tri formule korijena, da...
Počnimo s najjednostavnijim. evo nje:
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Ovaj članak je zbirka detaljne informacije, koji se odnosi na temu svojstava korijena. S obzirom na temu, počećemo sa svojstvima, proučiti sve formulacije i pružiti dokaze. Da bismo konsolidirali temu, razmotrit ćemo svojstva n-tog stepena.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Svojstva korijena
Pričaćemo o nekretninama.
- Nekretnina pomnožene brojeve a I b, što je predstavljeno kao jednakost a · b = a · b. Može se predstaviti u obliku faktora, pozitivnih ili jednakih nuli a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
- iz količnika a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, može se napisati i u ovom obliku a b = a b;
- Svojstvo po stepenu broja a sa parnim eksponentom a 2 m = a m za bilo koji broj a, na primjer, svojstvo iz kvadrata broja a 2 = a.
U bilo kojoj od predstavljenih jednačina možete zamijeniti dijelove prije i poslije znaka crtice, na primjer, jednakost a · b = a · b se transformira kao a · b = a · b. Svojstva jednakosti se često koriste za pojednostavljenje složenih jednačina.
Dokaz prvih svojstava zasniva se na definiciji kvadratnog korijena i svojstava potencija s prirodnim eksponentom. Da bismo opravdali treće svojstvo, potrebno je pozvati se na definiciju modula broja.
Prije svega, potrebno je dokazati svojstva kvadratnog korijena a · b = a · b. Prema definiciji, potrebno je uzeti u obzir da je a b broj, pozitivan ili jednak nuli, koji će biti jednak a b tokom izgradnje u kvadrat. Vrijednost izraza a · b je pozitivna ili jednaka nuli kao proizvod nenegativnih brojeva. Svojstvo stepena pomnoženih brojeva omogućava nam da predstavimo jednakost u obliku (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Po definiciji kvadratnog korijena, a 2 = a i b 2 = b, zatim a · b = a 2 · b 2 = a · b.
Na sličan način se to može dokazati iz proizvoda k množitelji a 1 , a 2 , … , a kće biti jednak proizvodu kvadratnih korijena ovih faktora. Zaista, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
Iz ove jednakosti slijedi da je a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.
Pogledajmo nekoliko primjera kako bismo pojačali temu.
Primjer 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 i 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .
Potrebno je dokazati svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena količnika: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Svojstvo nam omogućava da zapišemo jednakost a: b 2 = a 2: b 2 i a 2: b 2 = a: b, dok je a: b pozitivan broj ili jednak nuli. Ovaj izraz će postati dokaz.
Na primjer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 i 30,121 = 30,121.
Razmotrimo svojstvo kvadratnog korijena kvadrata broja. Može se zapisati kao jednakost kao 2 = a Da bismo dokazali ovo svojstvo, potrebno je detaljno razmotriti nekoliko jednakosti za a ≥ 0 i na a< 0 .
Očigledno, za a ≥ 0 jednakost a 2 = a je tačna. At a< 0 jednakost a 2 = - a će biti tačna. Zapravo, u ovom slučaju − a > 0 i (− a) 2 = a 2 . Možemo zaključiti, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 2
5 2 = 5 = 5 i - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.
Dokazano svojstvo će pomoći da se opravda a 2 m = a m, gdje a– pravi, i m –prirodni broj. Zaista, svojstvo podizanja moći nam omogućava da zamijenimo moć a 2 m izraz (a m) 2, tada a 2 m = (a m) 2 = a m.
Primjer 3
3 8 = 3 4 = 3 4 i (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .
Svojstva n-tog korijena
Prvo, moramo razmotriti osnovna svojstva n-tog korijena:
- Svojstvo iz proizvoda brojeva a I b, koji su pozitivni ili jednaki nuli, mogu se izraziti kao jednakost a · b n = a n · b n , ovo svojstvo vrijedi za proizvod k brojevi a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
- iz razlomka ima svojstvo a b n = a n b n , gdje je a je bilo koji realan broj koji je pozitivan ili jednak nuli, i b– pozitivan realni broj;
- Za bilo koje a pa čak i indikatore n = 2 m a 2 · m 2 · m = a je tačno, a za neparno n = 2 m − 1 vrijedi jednakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
- Svojstvo ekstrakcije iz a m n = a n m , gdje je a– bilo koji broj, pozitivan ili jednak nuli, n I m su prirodni brojevi, ovo svojstvo se takođe može predstaviti u obliku. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
- Za bilo koje nenegativno a i proizvoljno n I m, koji su prirodni, možemo definisati i pravednu jednakost a m n · m = a n ;
- Svojstvo stepena n iz snage broja a, koja je pozitivna ili jednaka nuli, na prirodnu snagu m, definisana jednakošću a m n = a n m ;
- Svojstvo poređenja koje ima iste eksponente: za bilo koje pozitivne brojeve a I b takav da a< b , nejednakost a n< b n ;
- Svojstvo poređenja koje ima iste brojeve ispod korijena: if m I n – prirodni brojevi koji m > n, zatim u 0 < a < 1 nejednakost a m > a n je tačna i kada a > 1 izvršio m< a n .
Gore navedene jednakosti vrijede ako se dijelovi prije i poslije znaka jednakosti zamjenjuju. Mogu se koristiti iu ovom obliku. Ovo se često koristi tokom pojednostavljivanja ili transformacije izraza.
Dokaz gore navedenih svojstava korijena zasniva se na definiciji, svojstvima stepena i definiciji modula broja. Ova svojstva moraju biti dokazana. Ali sve je u redu.
- Prije svega, dokažimo svojstva n-tog korijena proizvoda a · b n = a n · b n . Za a I b , koji su pozitivan ili jednak nuli , vrijednost a n · b n je također pozitivna ili jednaka nuli, jer je posljedica množenja nenegativnih brojeva. Svojstvo proizvoda na prirodni stepen omogućava nam da zapišemo jednakost a n · b n n = a n n · b n n . Po definiciji korijena n-ti stepen a n n = a i b n n = b , dakle, a n · b n n = a · b . Rezultirajuća jednakost je upravo ono što je trebalo dokazati.
Ovo svojstvo se može dokazati na sličan način za proizvod k množitelji: za nenegativne brojeve a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.
Evo primjera korištenja root svojstva n-ta snaga iz proizvoda: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 i 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .
- Dokažimo svojstvo korijena količnika a b n = a n b n . At a ≥ 0 I b > 0 uslov a n b n ≥ 0 je zadovoljen i a n b n n = a n n b n n = a b .
Pokažimo primjere:
Primjer 4
8 27 3 = 8 3 27 3 i 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.
- Za sljedeći korak potrebno je dokazati svojstva n-tog stepena od broja do stepena n. Zamislimo ovo kao jednakost a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a za bilo koju realnu a i prirodno m. At a ≥ 0 dobijamo a = a i a 2 m = a 2 m, što dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a, a jednakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a je očigledna. At a< 0 dobijamo, respektivno, a = - a i a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Posljednja transformacija broja vrijedi prema svojstvu snage. Upravo to dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a, a a 2 m - 1 2 m - 1 = a će biti tačna, pošto se smatra neparnim stepenom - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 za bilo koji broj c , pozitivan ili jednak nuli.
Kako bismo konsolidirali primljene informacije, razmotrimo nekoliko primjera korištenja svojstva:
Primjer 5
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 i (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Dokažimo sljedeću jednakost a m n = a n m . Da biste to učinili, trebate zamijeniti brojeve ispred i iza znaka jednakosti a n · m = a m n . To će značiti da je unos ispravan. Za a,što je pozitivno ili jednako nuli , oblika a m n je broj pozitivan ili jednak nuli. Okrenimo se svojstvu uzdizanja moći na stepen i njegovoj definiciji. Uz njihovu pomoć, možete transformirati jednakosti u obliku a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Ovo dokazuje svojstvo korijena razmatranog korijena.
Ostale osobine se dokazuju slično. Zaista, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .
Na primjer, 7 3 5 = 7 5 3 i 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.
- Dokažimo sljedeće svojstvo a m n · m = a n . Da biste to učinili, potrebno je pokazati da je n broj, pozitivan ili jednak nuli. Kada se podigne na stepen n m je jednako a m. Ako je broj a onda je pozitivan ili jednak nuli n-. stepen iz red a je pozitivan broj ili jednak nuli.U ovom slučaju, a n · m n = a n n m , što je trebalo dokazati.
Kako bismo konsolidirali stečeno znanje, pogledajmo nekoliko primjera.
- Dokažimo sljedeće svojstvo – svojstvo korijena stepena oblika a m n = a n m . Očigledno je da kada a ≥ 0 stepen a n m je nenegativan broj. Štaviše, ona n th stepen je jednak a m, zaista, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ovo dokazuje svojstvo stepena koji se razmatra.
Na primjer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- To je potrebno dokazati za sve pozitivne brojeve a i b uslov je zadovoljen a< b . Razmotrimo nejednakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Stoga, a n< b n при a< b .
Na primjer, dajmo 12 4< 15 2 3 4 .
- Razmotrite svojstvo korijena n-th stepen. Potrebno je prvo razmotriti prvi dio nejednakosti. At m > n I 0 < a < 1 istina a m > a n . Pretpostavimo da je a m ≤ a n. Svojstva će vam omogućiti da pojednostavite izraz na a n m · n ≤ a m m · n . Tada, prema svojstvima stepena sa prirodnim eksponentom, vrijedi nejednakost a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tj. a n ≤ a m. Dobijena vrijednost na m > n I 0 < a < 1 ne odgovara gore navedenim svojstvima.
Na isti način se može dokazati da kada m > n I a > 1 uslov a m je tačan< a n .
Da biste konsolidirali gornja svojstva, razmotrite nekoliko konkretni primjeri. Pogledajmo nejednakosti koristeći određene brojeve.
Primjer 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Lekcija i prezentacija na temu:
"Svojstva kvadratnog korijena. Formule. Primjeri rješenja, problemi s odgovorima"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Obrazovna pomagala i simulatori u Internet prodavnici Integral za 8. razred
Interaktivni udžbenik "Geometrija za 10 minuta" za 8. razred
Obrazovni kompleks "1C: Škola. Geometrija, 8. razred"
Svojstva kvadratnog korijena
Nastavljamo proučavati kvadratne korijene. Danas ćemo pogledati osnovna svojstva korijena. Sva osnovna svojstva su intuitivna i u skladu sa svim operacijama koje smo ranije radili.Nekretnina 1. Kvadratni korijen iz proizvoda dva nenegativna broja jednak je proizvodu kvadratnih korijena ovih brojeva: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.
Uobičajeno je da se dokazuju bilo koja svojstva, hajde da to uradimo.
Neka je $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Zatim moramo dokazati da je $x=y*z$.
Kvadratirajmo svaki izraz.
Ako je $\sqrt(a*b)=x$, onda je $a*b=x^2$.
Ako je $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, onda kvadriranjem oba izraza dobijamo: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, to jest, $x^2=(y*z)^2$. Ako su kvadrati dva nenegativna broja jednaki, onda su i sami brojevi jednaki, što je i trebalo dokazati.
Iz našeg svojstva slijedi da je, na primjer, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.
Napomena 1. Svojstvo vrijedi i za slučaj kada postoji više od dva nenegativna faktora ispod korijena.
Nekretnina 2. Ako je $a≥0$ i $b>0$, tada vrijedi sljedeća jednakost: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$
To jest, korijen količnika je jednak količniku korijena.
Dokaz.
Upotrijebimo tabelu i ukratko dokažimo svoje svojstvo.
Primjeri korištenja svojstava kvadratnih korijena
Primjer 1.Izračunajte: $\sqrt(81*25*121)$.
Rješenje.
Naravno, možemo uzeti kalkulator, pomnožiti sve brojeve ispod korijena i izvršiti operaciju vađenja kvadratnog korijena. A ako nemate kalkulator pri ruci, šta onda da radite?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Odgovor: 495.
Primjer 2. Izračunajte: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.
Rješenje.
Hajde da predstavimo radikalni broj kao nepravilan razlomak: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Koristimo svojstvo 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= $3,4.
Odgovor: 3.4.
Primjer 3.
Izračunajte: $\sqrt(40^2-24^2)$.
Rješenje.
Možemo direktno procijeniti naš izraz, ali se gotovo uvijek može pojednostaviti. Hajde da pokušamo ovo da uradimo.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Dakle, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Odgovor: 32.
Momci, imajte na umu da ne postoje formule za operacije sabiranja i oduzimanja radikalnih izraza i izrazi prikazani u nastavku nisu tačni.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.
Primjer 4.
Izračunajte: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Rješenje.
Gore prikazana svojstva rade i s lijeva na desno i unutra obrnutim redosledom, to je:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Koristeći ovo, riješimo naš primjer.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$
B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.
Odgovor: a) 16; b) 2.
Nekretnina 3. Ako je $a≥0$ i n prirodan broj, onda vrijedi jednakost: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.
Na primjer. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ i tako dalje.
Primjer 5.
Izračunajte: $\sqrt(129600)$.
Rješenje.
Broj koji nam je predstavljen je prilično velik, hajde da ga podijelimo na osnovne faktore.
Dobili smo: $129600=5^2*2^6*3^4$ ili $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Odgovor: 360.
Problemi koje treba riješiti samostalno
1. Izračunajte: $\sqrt(144*36*64)$.2. Izračunajte: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Izračunajte: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Izračunajte:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.
Matematika je nastala kada je čovjek postao svjestan sebe i počeo se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja za mjerenjem, upoređivanjem, prebrojavanjem onoga što vas okružuje - to je ono što leži u osnovi jedne osnovne nauke naših dana. U početku su to bile čestice elementarne matematike, što je omogućilo povezivanje brojeva sa njihovim fizičkim izrazima, kasnije su zaključci počeli da se iznose samo teoretski (zbog njihove apstraktnosti), ali nakon nekog vremena, kako je rekao jedan naučnik, „matematika je dostigla plafon složenosti kada su svi brojevi nestao iz toga.” Koncept “kvadratnog korijena” pojavio se u vrijeme kada se mogao lako potkrijepiti empirijskim podacima, nadilazeći ravan proračuna.
Gde je sve počelo
Prvo spominjanje korijena, koji je ovog trenutka označen kao √, zabilježen je u radovima vavilonskih matematičara, koji su postavili temelje moderne aritmetike. Naravno, malo su ličile na sadašnji oblik - naučnici tih godina prvi su koristili glomazne tablete. Ali u drugom milenijumu pr. e. Izveli su približnu formulu izračuna koja je pokazala kako se izvlači kvadratni korijen. Fotografija ispod prikazuje kamen na kojem su babilonski naučnici uklesali proces za izvođenje √2, a ispostavilo se da je toliko tačan da je neslaganje u odgovoru pronađeno tek na desetoj decimali.
Osim toga, korijen se koristio ako je bilo potrebno pronaći stranicu trougla, pod uvjetom da su ostale dvije poznate. Pa, kada se rješavaju kvadratne jednadžbe, nema spasa od vađenja korijena.
Uz babilonska djela, predmet članka proučavan je i u kineskom djelu “Matematika u devet knjiga”, a stari Grci su došli do zaključka da svaki broj iz kojeg se korijen ne može izvući bez ostatka daje iracionalan rezultat .
Porijeklo ovaj termin povezan sa arapskim predstavljanjem broja: drevni naučnici su verovali da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korena, poput biljke. Na latinskom, ova riječ zvuči kao radix (možete pratiti uzorak - sve što ima "korijensko" značenje je suglasno, bilo da je rotkvica ili radikulitis).
Naučnici narednih generacija preuzeli su ovu ideju, označivši je kao Rx. Na primjer, u 15. vijeku, da bi naznačili da je uzet kvadratni korijen proizvoljnog broja a, napisali su R 2 a. „Krpelj“, poznat modernim očima, pojavio se tek u 17. veku zahvaljujući Rene Descartesu.
Naši dani
U matematičkom smislu, kvadratni korijen broja y je broj z čiji je kvadrat jednak y. Drugim riječima, z 2 =y je ekvivalentno √y=z. kako god ovu definiciju relevantno samo za aritmetički korijen, budući da implicira nenegativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, √y=z, gdje je z veće ili jednako 0.
IN opšti slučaj, koji služi za određivanje algebarskog korijena, vrijednost izraza može biti pozitivna ili negativna. Dakle, zbog činjenice da je z 2 =y i (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ili √y=|z|.
Zbog činjenice da je ljubav prema matematici samo rasla s razvojem nauke, postoje različite manifestacije naklonosti prema njoj koje se ne izražavaju suvim proračunima. Na primjer, uz takve zanimljive pojave kao što je dan broja broja Pi, slave se i praznici kvadratnog korijena. Obilježavaju se devet puta svakih sto godina, a određuju se po sljedećem principu: brojevi koji redom označavaju dan i mjesec moraju biti kvadratni korijen godine. Dakle, sledeći put ćemo ovaj praznik slaviti 4. aprila 2016. godine.
Svojstva kvadratnog korijena na polju R
Gotovo svi matematički izrazi imaju geometrijsku osnovu, a √y, koji je definiran kao stranica kvadrata površine y, nije izbjegao ovu sudbinu.
Kako pronaći korijen broja?
Postoji nekoliko algoritama proračuna. Najjednostavniji, ali u isto vrijeme prilično glomazan je uobičajeni aritmetički izračun, koji je sljedeći:
1) od broja čiji nam je korijen potreban redom se oduzimaju neparni brojevi - sve dok ostatak na izlazu ne bude manji od oduzetog ili čak jednak nuli. Broj poteza će na kraju postati željeni broj. Na primjer, izračunavanje kvadratnog korijena od 25:
Sljedeći neparni broj je 11, a ostatak je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Za takve slučajeve postoji proširenje Taylor serije:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , pri čemu n uzima vrijednosti od 0 do
+∞, i |y|≤1.
Grafički prikaz funkcije z=√y
Razmotrimo elementarnu funkciju z=√y na polju realnih brojeva R, gdje je y veće ili jednako nuli. Njegov raspored izgleda ovako:
Kriva raste iz ishodišta i nužno siječe tačku (1; 1).
Svojstva funkcije z=√y na polju realnih brojeva R
1. Domen definicije funkcije koja se razmatra je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).
2. Raspon vrijednosti funkcije koja se razmatra je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je opet uključena).
3. Funkcija uzima svoju minimalnu vrijednost (0) samo u tački (0; 0). Ne postoji maksimalna vrijednost.
4. Funkcija z=√y nije ni parna ni neparna.
5. Funkcija z=√y nije periodična.
6. Postoji samo jedna tačka preseka grafika funkcije z=√y sa koordinatnim osa: (0; 0).
7. Tačka presjeka grafika funkcije z=√y je također nula ove funkcije.
8. Funkcija z=√y kontinuirano raste.
9. Funkcija z=√y uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njen graf zauzima prvi koordinatni ugao.
Opcije za prikaz funkcije z=√y
U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik stepena pisanja kvadratnog korijena: √y=y 1/2. Ova opcija je zgodna, na primjer, za podizanje funkcije na stepen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Ova metoda je također dobra reprezentacija za diferencijaciju sa integracijom, jer je zahvaljujući njoj kvadratni korijen predstavljen kao obična funkcija stepena.
A u programiranju, zamjena simbola √ je kombinacija slova sqrt.
Vrijedi napomenuti da je u ovoj oblasti kvadratni korijen u velikoj potražnji, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za proračune. Sam algoritam brojanja je prilično složen i baziran je na rekurziji (funkcija koja sama sebe poziva).
Kvadratni korijen u kompleksnom polju C
Uglavnom, predmet ovog članka je potaknuo otkriće polja kompleksnih brojeva C, budući da je matematičare proganjalo pitanje dobivanja parnog korijena negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica i, koju karakteriše vrlo zanimljivo svojstvo: njen kvadrat je -1. Zahvaljujući tome, kvadratne jednadžbe su rješavane čak i sa negativnim diskriminantom. U C-u su za kvadratni korijen relevantna ista svojstva kao i u R-u, jedino što su ograničenja na radikalni izraz uklonjena.
Svojstva kvadratnih korijena
Do sada smo izveli pet aritmetičkih operacija nad brojevima: sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i stepenovanje, a u proračunima su se aktivno koristila različita svojstva ovih operacija, na primjer a + b = b + a, an-bn = (ab)n, itd.
Ovo poglavlje uvodi novu operaciju - uzimanje kvadratnog korijena nenegativnog broja. Da biste ga uspješno koristili, morate se upoznati sa svojstvima ove operacije, što ćemo učiniti u ovom dijelu.
Dokaz. Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Jednakost" width="120" height="25 id=">!}.
Upravo tako ćemo formulisati sljedeću teoremu.
(Kratka formulacija koja je pogodnija za upotrebu u praksi: korijen razlomka jednak je razlomku korijena, ili korijen količnika jednak je količniku korijena.)
Ovaj put ćemo dati samo kratak sažetak dokaza, a vi pokušajte dati odgovarajuće komentare slične onima koji su činili suštinu dokaza teoreme 1.
Napomena 3. Naravno, ovaj primjer se može riješiti drugačije, pogotovo ako imate mikrokalkulator pri ruci: pomnožite brojeve 36, 64, 9, a zatim uzmite kvadratni korijen dobivenog proizvoda. Međutim, složit ćete se da gore predloženo rješenje izgleda kulturnije.
Napomena 4.
U prvoj metodi izvršili smo proračune „head-on”. Drugi način je elegantniji:
prijavili smo se formula a2 - b2 = (a - b) (a + b) i koristio svojstvo kvadratnog korijena.
Napomena 5. Neke "vruće glave" ponekad nude ovo "rješenje" za primjer 3:
To, naravno, nije tačno: vidite - rezultat nije isti kao u primjeru 3. Činjenica je da nema svojstva https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!} Postoje samo svojstva koja se odnose na množenje i dijeljenje kvadratnih korijena. Budite pažljivi i oprezni, ne uzimajte želje.
Završavajući ovaj paragraf, napomenimo još jednu stvar koja je prilično jednostavna i istovremeno važna imovina:
ako je a > 0 i n - prirodni broj, To
Pretvaranje izraza koji sadrže operaciju kvadratnog korijena
Do sada smo vršili samo transformacije racionalni izrazi, koristeći za to pravila radnji na polinomima i algebarski razlomci, skraćene formule množenja itd. U ovom poglavlju smo uveli novu operaciju - operaciju kvadratnog korijena; mi smo to ustanovili
gdje su, podsjetimo, a, b nenegativni brojevi.
Koristeći ove formule, možete izvesti različite transformacije na izrazima koji sadrže operaciju kvadratnog korijena. Pogledajmo nekoliko primjera, a u svim primjerima ćemo pretpostaviti da varijable uzimaju samo nenegativne vrijednosti.
Primjer 3. Unesite množitelj ispod predznaka kvadratnog korijena:
Primjer 6. Pojednostavite izraz Rješenje. Izvodimo sekvencijalne transformacije: