\(\bullet\) Racionalna jednadžba je jednačina predstavljena u obliku \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] gdje je \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomi (zbir "X-ova" različitih stepena, pomnožen različitim brojevima).
Izraz na lijevoj strani jednačine naziva se racionalni izraz.
EA (opseg prihvatljivih vrijednosti) racionalne jednadžbe su sve vrijednosti \(x\) na kojima nazivnik NE nestaje, odnosno \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Na primjer, jednadžbe \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] su racionalne jednačine.
U prvoj jednadžbi, ODZ su svi \(x\) takvi da je \(x\ne 3\) (pisati \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); u drugoj jednadžbi – sve su to \(x\) takvi da je \(x\ne -1; x\ne 1\) (napišite \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); a u trećoj jednačini nema ograničenja na ODZ, odnosno ODZ je sve \(x\) (oni pišu \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Teoreme:
1) Umnožak dva faktora jednak je nuli ako i samo ako je jedan od njih jednak nuli, a drugi ne gubi značenje, pa je jednačina \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) je ekvivalentan sistemu \[\begin(slučajevi) \left[ \begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno.\\ \ tekst (ODZ jednadžbe) \kraj (slučajevi)\] 2) Razlomak je jednak nuli ako i samo ako je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli, dakle, jednačina \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) je ekvivalentan sistemu jednačina \[\početak(slučajevi) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \kraj(slučajevi)\]\(\bullet\) Pogledajmo nekoliko primjera.
1) Riješite jednačinu \(x+1=\dfrac 2x\) . Nađimo ODZ zadata jednačina je \(x\ne 0\) (pošto je \(x\) u nazivniku).
To znači da se ODZ može napisati na sljedeći način: .
Premjestimo sve pojmove u jedan dio i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( slučajevi) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(case)\] Rješenje prve jednačine sistema će biti \(x=-2, x=1\) . Vidimo da su oba korijena različita od nule. Dakle, odgovor je: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Riješite jednačinu \(\lijevo(\dfrac4x - 2\desno)\cdot (x^2-x)=0\). Nađimo ODZ ove jednadžbe. Vidimo da je jedina vrijednost \(x\) za koju lijeva strana nema smisla \(x=0\) . Dakle, ODZ se može napisati ovako: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Dakle, ova jednačina je ekvivalentna sistemu:
\[\begin(slučajevi) \left[ \begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno. \\ x\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(slučajevi) \left[ \begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno.\\ x\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno.\\ x\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(sakupljeno) \begin(poravnano) &x=2\\ &x=1 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno.\] Zaista, uprkos činjenici da je \(x=0\) korijen drugog faktora, ako zamijenite \(x=0\) u originalnu jednačinu, onda to neće imati smisla, jer izraz \(\dfrac 40\) nije definiran.
Dakle, rješenje ove jednadžbe je \(x\in \(1;2\)\) .
3) Riješite jednačinu \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] U našoj jednadžbi \(4x^2-1\ne 0\) , iz koje je \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , odnosno \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Pomerimo sve pojmove na lijevu stranu i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(slučajevi) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(slučajevi) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(slučajevi) \left[ \begin(sakupljeni) \begin( poravnato) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(poravnano)\kraj(sakupljeno) \desno.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(slučajevi) \quad \ Strelica lijevo desno \quad x=-3\)
Odgovor: \(x\in \(-3\)\) .
Komentar. Ako se odgovor sastoji od konačnog skupa brojeva, onda se oni mogu napisati razdvojeni tačkom i zarezom u vitičastim zagradama, kao što je prikazano u prethodnim primjerima.
Problemi koji zahtijevaju rješavanje racionalnih jednačina susreću se svake godine na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, tako da kada se pripremaju za polaganje sertifikacionog testa, maturanti bi svakako trebali sami ponoviti teoriju na ovu temu. Diplomci koji polažu i osnovni i specijalistički nivo ispita moraju biti sposobni da se nose sa takvim zadacima. Savladao teoriju i pozabavio se praktične vježbe na temu “Racionalne jednačine” studenti će moći rješavati zadatke s bilo kojim brojem radnji i računati na dobijanje takmičarskih bodova na osnovu rezultata položenog Jedinstvenog državnog ispita.
Kako se pripremiti za ispit koristeći obrazovni portal Shkolkovo?
Ponekad možete pronaći izvor koji u potpunosti predstavlja osnovnu teoriju za rješavanje matematički problemi ispada da je prilično teško. Udžbenik možda jednostavno nije pri ruci. A pronalaženje potrebnih formula ponekad može biti prilično teško čak i na internetu.
Obrazovni portal Shkolkovo oslobodit će vas potrebe za pretraživanjem potrebnog materijala i pomoći će vam da se dobro pripremite za polaganje ispita za sertifikaciju.
Naši stručnjaci su pripremili i predstavili svu potrebnu teoriju na temu „Racionalne jednačine“ u najpristupačnijem obliku. Nakon proučavanja predstavljenih informacija, studenti će moći da popune praznine u znanju.
Da se uspešno pripremite za Jedinstveni državni ispit za maturante Neophodno je ne samo osvježiti pamćenje osnovnog teorijskog materijala na temu „Racionalne jednačine“, već i vježbati rješavanje zadataka na konkretni primjeri. Veliki izbor zadataka predstavljen je u odjeljku “Katalog”.
Za svaku vježbu na stranici naši stručnjaci su napisali algoritam rješenja i naveli tačan odgovor. Učenici mogu vježbati rješavanje zadataka različitog stepena težine u zavisnosti od nivoa njihove vještine. Lista zadataka u odgovarajućem odjeljku se stalno dopunjuje i ažurira.
Proučite teorijski materijal i usavršite vještine rješavanja problema na temu “Racionalne jednačine”, slične teme koji su uključeni u Testovi objedinjenog državnog ispita, može se obaviti online. Ako je potrebno, bilo koji od predstavljenih zadataka može se dodati u odjeljak „Favoriti“. Ponavljam ponovo osnovna teorija na temu „Racionalne jednačine“, srednjoškolac će moći da se vrati na problem u budućnosti kako bi razgovarao o napretku njegovog rešavanja sa nastavnikom na času algebre.
Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije sabiranja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje bilo kojim brojem osim nule.
Koncept frakcionog racionalnog izraza
Frakcijski izraz je matematički izraz koji pored operacija sabiranja, oduzimanja i množenja koje se izvode s brojevima i slovnim varijablama, kao i dijeljenja brojem koji nije jednak nuli, sadrži i podjelu na izraze sa slovnim varijablama.
Racionalni izrazi su svi izrazi u celini i razlomci. Racionalne jednačine su jednačine u kojima su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva i desna strana cjelobrojni izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva cijeli broj.
Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva razlomkom.
Primjeri frakcionih racionalnih izraza
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Šema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe
1. Naći zajednički imenilac svih razlomaka koji su uključeni u jednačinu.
2. Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom.
3. Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu.
4. Provjerite korijene i isključite one koji čine da zajednički imenilac nestane.
Budući da rješavamo razlomke racionalne jednadžbe, postojat će varijable u nazivnicima razlomaka. To znači da će oni biti zajednički imenitelj. A u drugoj tački algoritma množimo sa zajedničkim nazivnikom, tada se mogu pojaviti strani korijeni. Pri čemu će zajednički imenitelj biti jednak nuli, što znači da će množenje s njim biti besmisleno. Stoga je na kraju potrebno provjeriti dobivene korijene.
Pogledajmo primjer:
Riješite frakcionu racionalnu jednačinu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Držaćemo se toga opšta šema: Hajde da prvo pronađemo zajednički imenilac svih razlomaka. Dobijamo x*(x-5).
Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite rezultirajuću cijelu jednačinu.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Pojednostavimo rezultirajuću jednačinu. Dobijamo:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Dobijamo jednostavnu redukovanu kvadratnu jednačinu. Mi to rješavamo bilo kojim od poznate metode, dobijamo korijene x=-2 i x=5.
Sada provjeravamo dobijena rješenja:
Zamijenite brojeve -2 i 5 u zajednički imenilac. Kod x=-2, zajednički imenilac x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. To znači da će broj -2 biti korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe.
Kod x=5 zajednički imenilac x*(x-5) postaje nula. Dakle, ovaj broj nije korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe, jer će postojati podjela sa nulom.
Već smo naučili kako rješavati kvadratne jednačine. Proširimo proučavane metode na racionalne jednačine.
Šta se desilo racionalno izražavanje? Već smo se susreli sa ovim konceptom. Racionalni izrazi su izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih moći i simbola matematičkih operacija.
Prema tome, racionalne jednačine su jednačine oblika: , gdje 
- racionalni izrazi.
Ranije smo razmatrali samo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na linearne. Pogledajmo sada one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe.
Primjer 1
Riješite jednačinu: .
Rješenje:
Razlomak je jednak 0 ako i samo ako mu je brojilac jednak 0, a nazivnik nije jednak 0.
Dobijamo sledeći sistem:
Prva jednačina sistema je kvadratna jednačina. Prije nego što ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente sa 3. Dobijamo:
Dobijamo dva korijena: ; .
Pošto 2 nikada nije jednako 0, moraju biti ispunjena dva uslova: 
. Budući da se nijedan od korijena gore dobivene jednadžbe ne poklapa sa prihvatljive vrijednosti varijable koje su dobijene rješavanjem druge nejednačine, obje su rješenja ove jednačine.
odgovor:.
Dakle, hajde da formulišemo algoritam rešenja racionalne jednačine:
1. Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu tako da desna strana završi sa 0.
2. Transformirajte i pojednostavite lijevu stranu, dovedite sve razlomke na zajednički imenilac.
3. Izjednačite rezultujući razlomak sa 0 koristeći sljedeći algoritam: 
.
4. Zapišite one korijene koji su dobijeni u prvoj jednačini i zadovoljite drugu nejednačinu u odgovoru.
Pogledajmo još jedan primjer.
Primjer 2
Riješite jednačinu: 
.
Rješenje
Na samom početku sve pojmove pomjerimo ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani. Dobijamo:
Sada dovedimo lijevu stranu jednačine na zajednički nazivnik:
Ova jednačina je ekvivalentna sistemu:
Prva jednačina sistema je kvadratna jednačina.
Koeficijenti ove jednačine: . Izračunavamo diskriminanta:
Dobijamo dva korijena: ; .
Sada riješimo drugu nejednakost: proizvod faktora nije jednak 0 ako i samo ako nijedan faktor nije jednak 0.
Moraju biti ispunjena dva uslova: 
. Nalazimo da je od dva korijena prve jednadžbe samo jedan prikladan - 3.
odgovor:.
U ovoj lekciji smo se prisjetili što je racionalni izraz, a naučili i kako rješavati racionalne jednadžbe koje se svode na kvadratne jednačine.
U sljedećoj lekciji ćemo se osvrnuti na racionalne jednadžbe kao modele realnih situacija, kao i na probleme kretanja.
Bibliografija
- Bašmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2004.
- Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimović E.A. i drugi Algebra, 8. 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Tutorial za obrazovne institucije. - M.: Obrazovanje, 2006.
- Festival pedagoških ideja" Javni čas" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Zadaća
Do sada smo rješavali samo cjelobrojne jednačine u odnosu na nepoznatu, odnosno jednadžbe u kojima nazivnici (ako ih ima) nisu sadržavali nepoznatu.
Često morate rješavati jednadžbe koje sadrže nepoznanicu u nazivnicima: takve jednačine se nazivaju razlomcima.
Da bismo riješili ovu jednačinu, množimo obje strane s polinomom koji sadrži nepoznatu. Hoće li nova jednačina biti ekvivalentna ovoj? Da bismo odgovorili na pitanje, riješimo ovu jednačinu.
Množenjem obe strane sa , dobijamo:
Rješavajući ovu jednačinu prvog stepena, nalazimo:
Dakle, jednačina (2) ima jedan korijen
Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:
To znači da je to i korijen jednačine (1).
Jednačina (1) nema druge korijene. U našem primjeru, to se može vidjeti, na primjer, iz činjenice da je u jednadžbi (1)
Kako nepoznati djelitelj mora biti jednak dividendi 1 podijeljenoj s količnikom 2, tj.
Dakle, jednačine (1) i (2) imaju jedan korijen, što znači da su ekvivalentne.
2. Riješimo sada sljedeću jednačinu:
Najjednostavniji zajednički nazivnik: ; pomnožimo sve članove jednačine sa njim:
Nakon smanjenja dobijamo:
Proširimo zagrade:
Dovodeći slične uslove, imamo:
Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo:
Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:
Na lijevoj strani dobili smo izraze koji nemaju smisla.
To znači da jednačina (1) nije korijen. Iz toga slijedi da jednačine (1) i nisu ekvivalentne.
U ovom slučaju kažu da je jednadžba (1) dobila vanjski korijen.
Uporedimo rješenje jednačine (1) sa rješenjem jednačina koje smo ranije razmatrali (vidi § 51). U rješavanju ove jednadžbe morali smo izvršiti dvije operacije koje do sada nismo vidjeli: prvo, pomnožili smo obje strane jednačine izrazom koji sadrži nepoznato (zajednički nazivnik), i drugo, smanjili smo algebarske razlomke faktorima koji sadrže nepoznato .
Uspoređujući jednačinu (1) sa jednačinom (2), vidimo da nisu sve vrijednosti x koje vrijede za jednačinu (2) važeće za jednačinu (1).
Upravo brojevi 1 i 3 nisu prihvatljive vrijednosti nepoznate za jednačinu (1), ali su kao rezultat transformacije postali prihvatljivi za jednačinu (2). Pokazalo se da je jedan od ovih brojeva rješenje jednačine (2), ali, naravno, ne može biti rješenje jednačine (1). Jednačina (1) nema rješenja.
Ovaj primjer pokazuje da kada pomnožite obje strane jednadžbe faktorom koji sadrži nepoznatu i poništite algebarski razlomci Može se dobiti jednačina koja nije ekvivalentna ovoj, naime: mogu se pojaviti strani korijeni.
Odavde izvlačimo sljedeći zaključak. Prilikom rješavanja jednadžbe koja sadrži nepoznatu u nazivniku, rezultirajući korijeni se moraju provjeriti zamjenom u originalnu jednačinu. Strani korijeni moraju se odbaciti.
Ciljevi lekcije:
edukativni:
- formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina;
- razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina;
- razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli;
- podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina koristeći algoritam;
- provjeravanje nivoa savladanosti teme izvođenjem testa.
razvojni:
- razvijanje sposobnosti pravilnog operisanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja;
- razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, poređenje i generalizacija;
- razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanje na tome;
- razvoj kritičkog mišljenja;
- razvoj istraživačkih vještina.
Obrazovanje:
- podsticanje kognitivnog interesa za predmet;
- negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
- negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.
Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat.
Zdravo momci! Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?
Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na času? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina”.
2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.
A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Odgovorite na sljedeća pitanja:
- Šta je jednačina? ( Jednakost s promjenljivom ili varijablama.)
- Kako se zove jednačina broj 1? ( Linearno.) Rješenje linearne jednačine. (Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
- Kako se zove jednačina broj 3? ( Square.) Rješenja kvadratne jednačine. (Izolacija potpunog kvadrata pomoću formula koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)
- Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
- Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)
- Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula..)
3. Objašnjenje novog materijala.
Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.
Odgovori: 10.
Koji frakciona racionalna jednačina Možete li pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8
Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.
Odgovori: 1,5.
Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).
x 2 -7x+12 = 0
D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.
Odgovori: 3;4.
Sada pokušajte riješiti jednačinu broj 7 koristeći jednu od sljedećih metoda.
(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 |
x 2 -2x-5=x+5 |
||
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0 |
x 2 -2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0 |
|||
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0 |
|||
x 1 =0 x 2 =5 D=49 |
|||
x 3 =5 x 4 =-2 |
x 3 =5 x 4 =-2 |
||
Odgovori: 0;5;-2. |
Odgovori: 5;-2. |
Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?
Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena, zaista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.
- Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5,6,7? ( U jednačinama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi sa promjenljivom.)
- Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita.)
- Kako saznati da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)
Prilikom testiranja neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koji nam omogućava da eliminišemo ovu grešku? Da, ova metoda se zasniva na uslovu da je razlomak jednak nuli.
x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.
Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.
Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.
Odgovori: -2.
Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.
Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:
- Pomerite sve na lijevu stranu.
- Smanjite razlomke na zajednički nazivnik.
- Napravite sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.
- Riješite jednačinu.
- Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
- Zapišite odgovor.
Diskusija: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: isključite iz njegovih korijena one koji čine da zajednički imenilac nestane).
4. Početno razumijevanje novog gradiva.
Raditi u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c,i); br. 601(a,e,g). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.
b) 2 – strani koren. Odgovor: 3.
c) 2 – strani koren. Odgovor: 1.5.
a) Odgovor: -12.5.
g) Odgovor: 1;1.5.
5. Postavljanje domaće zadaće.
- Pročitajte pasus 25 iz udžbenika, analizirajte primjere 1-3.
- Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
- Rešiti u sveskama br. 600 (a, d, e); br. 601(g,h).
- Pokušajte riješiti broj 696(a) (opcionalno).
6. Izvršavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.
Rad se obavlja na komadima papira.
Primjer zadatka:
A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?
B) Razlomak je jednak nuli kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.
P) Da li je broj -3 korijen jednačine broj 6?
D) Riješi jednačinu br. 7.
Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:
- “5” se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka.
- "4" - 75%-89%
- "3" - 50%-74%
- “2” se daje učeniku koji je uradio manje od 50% zadatka.
- Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 je opciono.
7. Refleksija.
Na samostalne radne listove stavite:
- 1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
- 2 – zanimljivo, ali nejasno;
- 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo;
- 4 – nije zanimljivo, nije jasno.
8. Sumiranje lekcije.
Dakle, danas smo se u lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe Različiti putevi, testirali svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate svog samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, a kod kuće ćete imati priliku da učvrstite svoje znanje.
Koja je metoda rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, čega treba da se setite? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?
Hvala svima, lekcija je gotova.