Kako riješiti svojstva kvadratnih korijena. Kvadratni korijen. Akcije s kvadratnim korijenima. Modul. Poređenje kvadratnih korijena

Činjenica 1.
\(\bullet\) Uzmimo neki nenegativan broj \(a\) (to jest, \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) kvadratni korijen iz broja \(a\) se zove takav nenegativan broj \(b\) , kada se kvadrira dobijamo broj \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizilazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ova ograničenja su važan uslov postojanje kvadratnog korijena i treba ih zapamtiti!
Podsjetimo da bilo koji broj kada se kvadrira daje nenegativan rezultat. To jest, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Koliko je \(\sqrt(25)\) jednako? Znamo da je \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Pošto po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, onda \(-5\) nije prikladan, dakle, \(\sqrt(25)=5\) (pošto \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se uzimanje kvadratnog korijena broja \(a\) , a broj \(a\) naziva se radikalni izraz.
\(\bullet\) Na osnovu definicije, izraza \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), itd. nema smisla.

Činjenica 2.
Za brza izračunavanja bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodni brojevi od \(1\) do \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Činjenica 3.
Sa kojim radnjama možete izvršiti kvadratni korijeni?
\(\metak\) Zbir ili razlika kvadratni korijeni NIJE JEDNAKO kvadratnom korijenu zbira ili razlike, tj \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Dakle, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada prvo morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\ sqrt(49)\ ), a zatim ih presavijte. dakle, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći pri sabiranju \(\sqrt a+\sqrt b\), onda se takav izraz ne transformira dalje i ostaje takav kakav jeste. Na primjer, u zbiru \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) se ne može transformirati u u svakom slučaju, zato \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nažalost, ovaj izraz se ne može dalje pojednostaviti\(\bullet\) Proizvod/količnik kvadratnog korijena jednak je kvadratnom korijenu proizvoda/količnika, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uslovom da obe strane jednakosti imaju smisla)
primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene velikih brojeva rastavljanjem na faktore.
Pogledajmo primjer. Nađimo \(\sqrt(44100)\) . Budući da \(44100:100=441\) , onda \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti, broj \(441\) je djeljiv sa \(9\) (pošto je zbir njegovih znamenki 9 i djeljiv je sa 9), dakle, \(441:9=49\), odnosno \(441=9\ cdot 49\) .
Tako smo dobili: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokažimo kako unositi brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (kratka oznaka za izraz \(5\cdot \sqrt2\)). Budući da je \(5=\sqrt(25)\) , onda \ Imajte na umu da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Žašto je to? Hajde da objasnimo koristeći primer 1). Kao što već razumijete, ne možemo nekako transformirati broj \(\sqrt2\). Zamislimo da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa više od \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\)). A znamo da je ovo jednako četiri takva broja \(a\) , odnosno \(4\sqrt2\) .

Činjenica 4.
\(\bullet\) Često kažu "ne možete izdvojiti korijen" kada se ne možete riješiti znaka \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) prilikom pronalaženja vrijednosti broja . Na primjer, možete uzeti korijen broja \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali nemoguće je izdvojiti korijen broja \(3\), odnosno pronaći \(\sqrt3\), jer ne postoji broj koji bi na kvadrat dao \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi s takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) i tako dalje. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj "pi", približno jednak \(3,14\)), \(e\) (ovaj broj se zove Eulerov broj, približno je jednak \(2,7\) \)) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će bilo koji broj biti racionalan ili iracionalan. A zajedno su svi racionalni i sve iracionalni brojevi formiraju skup tzv skup realnih brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da su svi brojevi koji su uključeni ovog trenutka znamo da se zovu realni brojevi.

Činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od tačke \(a\) do \(0\) na prava linija. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) su jednaki 3, jer su udaljenosti od tačaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) jednake isto i jednako \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, onda \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, onda \(|a|=-a\) .
Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Kažu da za negativne brojeve modul „jede“ minus, dok pozitivni brojevi, kao i broj \(0\), ostaju nepromijenjeni modulom.
ALI Ovo pravilo vrijedi samo za brojeve. Ako se ispod vašeg predznaka modula nalazi nepoznato \(x\) (ili neka druga nepoznata), na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo da li je pozitivan, nula ili negativan, onda se riješite modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje isti: \(|x|\) . \(\bullet\) Važe sljedeće formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( osiguran) a\geqslant 0\] Vrlo često se pravi sljedeća greška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) jedno te isto. Ovo je tačno samo ako je \(a\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda je ovo netačno. Dovoljno je razmotriti ovaj primjer. Uzmimo umjesto \(a\) broj \(-1\) . Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (na kraju krajeva, nemoguće je koristiti korijenski znak stavite negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pažnju na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jer \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Pošto je \(\sqrt(a^2)=|a|\) , onda je \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se uzme korijen broja koji je do nekog stepena, ovaj stepen se prepolovi.
primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije isporučen, ispada da je korijen broja jednak \(-25\ ) ; ali sjećamo se da se po definiciji korijena to ne može dogoditi: kada izvlačimo korijen, uvijek bismo trebali dobiti pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (pošto bilo koji broj na paran stepen nije negativan)

Činjenica 6.
Kako uporediti dva kvadratna korijena?
\(\bullet\) Za kvadratne korijene vrijedi: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aprimjer:
1) uporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo, transformirajmo drugi izraz u \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dakle, pošto \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Između kojih cijelih brojeva se nalazi \(\sqrt(50)\)?
Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Uporedimo \(\sqrt 2-1\) i \(0.5\) . Pretpostavimo da je \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\početi(poravnano) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jedan na obje strane))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadriranje obje strane))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(poravnano)\] Vidimo da smo dobili netačnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila netačna i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje određenog broja na obje strane nejednakosti ne utječe na njen predznak. Množenje/dijeljenje obje strane nejednakosti pozitivnim brojem također ne utiče na njen predznak, ali množenje/dijeljenje negativnim brojem obrće predznak nejednakosti!
Možete kvadrirati obje strane jednačine/nejednačine SAMO AKO obje strane nisu negativne. Na primjer, u nejednakosti iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednakosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Treba to zapamtiti \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \end(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam kada upoređujete brojeve! \(\bullet\) Da biste izdvojili korijen (ako se može izvući) iz nekog velikog broja kojeg nema u tabeli kvadrata, prvo morate odrediti između kojih se "stotina" nalazi, zatim – između kojih " desetice”, a zatim odredite posljednju cifru ovog broja. Pokažimo kako to funkcionira na primjeru.
Uzmimo \(\sqrt(28224)\) . Znamo da \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), itd. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Stoga je \(\sqrt(28224)\) između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se "desetica" nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\)). Također iz tabele kvadrata znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Dakle, broj \(\sqrt(28224)\) je između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju cifru. Prisjetimo se koji jednocifreni brojevi, kada se kvadriraju, daju \(4\) na kraju? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) će se završiti sa 2 ili 8. Provjerimo ovo. Nađimo \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prema tome, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Da biste adekvatno riješili Jedinstveni državni ispit iz matematike, prvo morate proučiti teorijski materijal koji vas upoznaje sa brojnim teoremama, formulama, algoritmima itd. Na prvi pogled može izgledati da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena na jednostavan i razumljiv način za studente bilo kojeg nivoa obuke je zapravo prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronalaženje osnovnih formula za Jedinstveni državni ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno proučavati teoriju u matematici ne samo za one koji polažu Jedinstveni državni ispit?

1. Zato što vam proširuje vidike. Proučavanje teorijskog gradiva iz matematike korisno je za sve koji žele da dobiju odgovore na širok spektar pitanja vezanih za poznavanje svijeta oko sebe. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. To je upravo ono što se ogleda u nauci, kroz koju je moguće razumjeti svijet.
2. Zato što razvija inteligenciju. Proučavajući referentni materijal za Jedinstveni državni ispit iz matematike, kao i rješavanjem raznih zadataka, osoba uči logično razmišljati i zaključivati, kompetentno i jasno formulirati misli. Razvija sposobnost analize, generalizacije i izvođenja zaključaka.

Pozivamo Vas da lično ocijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnog materijala.

Korijenske formule. Svojstva kvadratnih korijena.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

U prethodnoj lekciji shvatili smo šta je kvadratni korijen. Vrijeme je da otkrijemo koji postoje formule za korijenešta su svojstva korena, i šta se sa svim tim može učiniti.

Formule korijena, svojstva korijena i pravila za rad s korijenima- ovo je u suštini ista stvar. Postoji iznenađujuće malo formula za kvadratne korijene. Što me svakako čini srećnom! Ili bolje rečeno, možete napisati mnogo različitih formula, ali za praktičan i siguran rad s korijenima dovoljne su samo tri. Sve ostalo proizilazi iz ovo troje. Iako se mnogi ljudi zbune u tri formule korijena, da...

Počnimo s najjednostavnijim. evo nje:

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Matematika je nastala kada je čovjek postao svjestan sebe i počeo se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja da izmjerite, uporedite, prebrojite ono što vas okružuje je ono što je u osnovi jedne od fundamentalnih nauka naših dana. U početku su to bile čestice elementarne matematike, koje su omogućavale povezivanje brojeva sa njihovim fizičkim izrazima, kasnije su se zaključci počeli iznositi samo teoretski (zbog njihove apstrakcije), ali nakon nekog vremena, kako je rekao jedan naučnik, “ matematika je dostigla plafon složenosti kada je nestala iz nje.” svi brojevi.” Koncept “kvadratnog korijena” pojavio se u vrijeme kada se mogao lako potkrijepiti empirijskim podacima, nadilazeći ravan proračuna.

Gde je sve počelo

Prvo pominjanje korijena, koji se trenutno označava kao √, zabilježeno je u radovima vavilonskih matematičara, koji su postavili temelje moderne aritmetike. Naravno, malo su ličile na sadašnji oblik - naučnici tih godina prvi su koristili glomazne tablete. Ali u drugom milenijumu pr. e. Izveli su približnu formulu izračuna koja je pokazala kako se izvlači kvadratni korijen. Fotografija ispod prikazuje kamen na kojem su babilonski naučnici uklesali proces za izvođenje √2, a ispostavilo se da je toliko tačan da je neslaganje u odgovoru pronađeno tek na desetoj decimali.

Osim toga, korijen se koristio ako je bilo potrebno pronaći stranicu trougla, pod uvjetom da su ostale dvije poznate. Pa, kada se rješavaju kvadratne jednadžbe, nema spasa od vađenja korijena.

Uz babilonska djela, predmet članka proučavan je i u kineskom djelu “Matematika u devet knjiga”, a stari Grci su došli do zaključka da svaki broj iz kojeg se korijen ne može izvući bez ostatka daje iracionalan rezultat .

Porijeklo ovog pojma povezano je s arapskim predstavljanjem broja: drevni naučnici su vjerovali da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korijena, poput biljke. Na latinskom, ova riječ zvuči kao radix (možete pratiti uzorak - sve što ima "korijensko" značenje je suglasno, bilo da je rotkvica ili radikulitis).

Naučnici narednih generacija preuzeli su ovu ideju, označivši je kao Rx. Na primjer, u 15. vijeku, da bi naznačili da je uzet kvadratni korijen proizvoljnog broja a, napisali su R 2 a. „Krpelj“, poznat modernim očima, pojavio se tek u 17. veku zahvaljujući Rene Descartesu.

Naši dani

U matematičkom smislu, kvadratni korijen broja y je broj z čiji je kvadrat jednak y. Drugim riječima, z 2 =y je ekvivalentno √y=z. Međutim, ova definicija je relevantna samo za aritmetički korijen, jer podrazumijeva nenegativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, √y=z, gdje je z veće ili jednako 0.

Općenito, što se odnosi na određivanje algebarskog korijena, vrijednost izraza može biti pozitivna ili negativna. Dakle, zbog činjenice da je z 2 =y i (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ili √y=|z|.

Zbog činjenice da je ljubav prema matematici samo rasla s razvojem nauke, postoje različite manifestacije naklonosti prema njoj koje se ne izražavaju suvim proračunima. Na primjer, uz takve zanimljive pojave kao što je dan broja broja Pi, slave se i praznici kvadratnog korijena. Obilježavaju se devet puta svakih sto godina, a određuju se po sljedećem principu: brojevi koji redom označavaju dan i mjesec moraju biti kvadratni korijen godine. Dakle, sledeći put ćemo ovaj praznik slaviti 4. aprila 2016. godine.

Svojstva kvadratnog korijena na polju R

Gotovo svi matematički izrazi imaju geometrijsku osnovu, a √y, koji je definiran kao stranica kvadrata površine y, nije izbjegao ovu sudbinu.

Kako pronaći korijen broja?

Postoji nekoliko algoritama proračuna. Najjednostavniji, ali u isto vrijeme prilično glomazan je uobičajeni aritmetički izračun, koji je sljedeći:

1) od broja čiji nam je korijen potreban redom se oduzimaju neparni brojevi - sve dok ostatak na izlazu ne bude manji od oduzetog ili čak jednak nuli. Broj poteza će na kraju postati željeni broj. Na primjer, izračunavanje kvadratnog korijena od 25:

Sljedeći neparni broj je 11, a ostatak je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takve slučajeve postoji proširenje Taylor serije:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , pri čemu n uzima vrijednosti od 0 do

+∞, i |y|≤1.

Grafički prikaz funkcije z=√y

Razmotrimo elementarnu funkciju z=√y na polju realnih brojeva R, gdje je y veće ili jednako nuli. Njegov raspored izgleda ovako:

Kriva raste iz ishodišta i nužno siječe tačku (1; 1).

Svojstva funkcije z=√y na polju realnih brojeva R

1. Domen definicije funkcije koja se razmatra je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).

2. Raspon vrijednosti funkcije koja se razmatra je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je opet uključena).

3. Funkcija uzima svoju minimalnu vrijednost (0) samo u tački (0; 0). Ne postoji maksimalna vrijednost.

4. Funkcija z=√y nije ni parna ni neparna.

5. Funkcija z=√y nije periodična.

6. Postoji samo jedna tačka preseka grafika funkcije z=√y sa koordinatnim osa: (0; 0).

7. Tačka presjeka grafika funkcije z=√y je također nula ove funkcije.

8. Funkcija z=√y kontinuirano raste.

9. Funkcija z=√y uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njen graf zauzima prvi koordinatni ugao.

Opcije za prikaz funkcije z=√y

U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik stepena pisanja kvadratnog korijena: √y=y 1/2. Ova opcija je zgodna, na primjer, za podizanje funkcije na stepen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Ova metoda je također dobra reprezentacija za diferencijaciju sa integracijom, jer je zahvaljujući njoj kvadratni korijen predstavljen kao obična funkcija stepena.

A u programiranju, zamjena simbola √ je kombinacija slova sqrt.

Vrijedi napomenuti da je u ovoj oblasti kvadratni korijen u velikoj potražnji, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za proračune. Sam algoritam brojanja je prilično složen i baziran je na rekurziji (funkcija koja sama sebe poziva).

Kvadratni korijen u kompleksnom polju C

Uglavnom, predmet ovog članka je potaknuo otkriće polja kompleksnih brojeva C, budući da je matematičare proganjalo pitanje dobivanja parnog korijena negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica i, koju karakteriše vrlo zanimljivo svojstvo: njen kvadrat je -1. Zahvaljujući tome, kvadratne jednadžbe su rješavane čak i sa negativnim diskriminantom. U C-u su za kvadratni korijen relevantna ista svojstva kao i u R-u, jedino što su ograničenja na radikalni izraz uklonjena.

Ovaj članak je zbirka detaljnih informacija koje se odnose na temu svojstava korijena. S obzirom na temu, počećemo sa svojstvima, proučiti sve formulacije i pružiti dokaze. Da bismo konsolidirali temu, razmotrit ćemo svojstva n-tog stepena.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Svojstva korijena

Pričaćemo o nekretninama.

1. Nekretnina pomnožene brojeve a I b, što je predstavljeno kao jednakost a · b = a · b. Može se predstaviti u obliku faktora, pozitivnih ili jednakih nuli a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. iz količnika a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, može se napisati i u ovom obliku a b = a b;
3. Svojstvo po stepenu broja a sa parnim eksponentom a 2 m = a m za bilo koji broj a, na primjer, svojstvo iz kvadrata broja a 2 = a.

U bilo kojoj od predstavljenih jednačina možete zamijeniti dijelove prije i poslije znaka crtice, na primjer, jednakost a · b = a · b se transformira kao a · b = a · b. Svojstva jednakosti se često koriste za pojednostavljenje složenih jednačina.

Dokaz prvih svojstava zasniva se na definiciji kvadratnog korijena i svojstava potencija s prirodnim eksponentom. Da bismo opravdali treće svojstvo, potrebno je pozvati se na definiciju modula broja.

Prije svega, potrebno je dokazati svojstva kvadratnog korijena a · b = a · b. Prema definiciji, potrebno je uzeti u obzir da je a b broj, pozitivan ili jednak nuli, koji će biti jednak a b tokom izgradnje u kvadrat. Vrijednost izraza a · b je pozitivna ili jednaka nuli kao proizvod nenegativnih brojeva. Svojstvo stepena pomnoženih brojeva omogućava nam da predstavimo jednakost u obliku (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Po definiciji kvadratnog korijena, a 2 = a i b 2 = b, zatim a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Na sličan način se to može dokazati iz proizvoda k množitelji a 1 , a 2 , … , a kće biti jednak proizvodu kvadratnih korijena ovih faktora. Zaista, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iz ove jednakosti slijedi da je a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Pogledajmo nekoliko primjera kako bismo pojačali temu.

Primjer 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 i 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Potrebno je dokazati svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena količnika: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Svojstvo nam omogućava da zapišemo jednakost a: b 2 = a 2: b 2 i a 2: b 2 = a: b, dok je a: b pozitivan broj ili jednak nuli. Ovaj izraz će postati dokaz.

Na primjer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 i 30,121 = 30,121.

Razmotrimo svojstvo kvadratnog korijena kvadrata broja. Može se zapisati kao jednakost kao 2 = a Da bismo dokazali ovo svojstvo, potrebno je detaljno razmotriti nekoliko jednakosti za a ≥ 0 i na a< 0 .

Očigledno, za a ≥ 0 jednakost a 2 = a je tačna. At a< 0 jednakost a 2 = - a će biti tačna. Zapravo, u ovom slučaju − a > 0 i (− a) 2 = a 2 . Možemo zaključiti, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 2

5 2 = 5 = 5 i - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.

Dokazano svojstvo će pomoći da se opravda a 2 m = a m, gdje a– pravi, i m-prirodni broj. Zaista, svojstvo podizanja moći nam omogućava da zamijenimo moć a 2 m izraz (a m) 2, tada a 2 m = (a m) 2 = a m.

Primjer 3

3 8 = 3 4 = 3 4 i (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Svojstva n-tog korijena

Prvo, moramo razmotriti osnovna svojstva n-tog korijena:

1. Svojstvo iz proizvoda brojeva a I b, koji su pozitivni ili jednaki nuli, mogu se izraziti kao jednakost a · b n = a n · b n , ovo svojstvo vrijedi za proizvod k brojevi a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. iz razlomka ima svojstvo a b n = a n b n , gdje je a je bilo koji realan broj koji je pozitivan ili jednak nuli, i b– pozitivan realni broj;
3. Za bilo koje a pa čak i indikatore n = 2 m a 2 · m 2 · m = a je tačno, a za neparno n = 2 m − 1 vrijedi jednakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Svojstvo ekstrakcije iz a m n = a n m , gdje je a– bilo koji broj, pozitivan ili jednak nuli, n I m su prirodni brojevi, ovo svojstvo se takođe može predstaviti u obliku. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Za bilo koje nenegativno a i proizvoljno n I m, koji su prirodni, možemo definisati i pravednu jednakost a m n · m = a n ;
6. Svojstvo stepena n iz snage broja a, koja je pozitivna ili jednaka nuli, na prirodnu snagu m, definisana jednakošću a m n = a n m ;
7. Svojstvo poređenja koje ima iste eksponente: za bilo koje pozitivne brojeve a I b takav da a< b , nejednakost a n< b n ;
8. Svojstvo poređenja koje ima iste brojeve ispod korijena: if m I n – prirodni brojevi koji m > n, zatim u 0 < a < 1 nejednakost a m > a n je tačna i kada a > 1 izvršio m< a n .

Gore navedene jednakosti vrijede ako se dijelovi prije i poslije znaka jednakosti zamjenjuju. Mogu se koristiti iu ovom obliku. Ovo se često koristi tokom pojednostavljivanja ili transformacije izraza.

Dokaz gore navedenih svojstava korijena zasniva se na definiciji, svojstvima stepena i definiciji modula broja. Ova svojstva moraju biti dokazana. Ali sve je u redu.

1. Prije svega, dokažimo svojstva n-tog korijena proizvoda a · b n = a n · b n . Za a I b , koji su pozitivan ili jednak nuli , vrijednost a n · b n je također pozitivna ili jednaka nuli, jer je posljedica množenja nenegativnih brojeva. Svojstvo proizvoda na prirodni stepen omogućava nam da zapišemo jednakost a n · b n n = a n n · b n n . Po definiciji korijena n-ti stepen a n n = a i b n n = b , dakle, a n · b n n = a · b . Rezultirajuća jednakost je upravo ono što je trebalo dokazati.

Ovo svojstvo se može dokazati na sličan način za proizvod k množitelji: za nenegativne brojeve a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Evo primjera korištenja root svojstva n-ta snaga iz proizvoda: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 i 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Dokažimo svojstvo korijena količnika a b n = a n b n . At a ≥ 0 I b > 0 uslov a n b n ≥ 0 je zadovoljen i a n b n n = a n n b n n = a b .

Pokažimo primjere:

Primjer 4

8 27 3 = 8 3 27 3 i 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Za sljedeći korak potrebno je dokazati svojstva n-tog stepena od broja do stepena n. Zamislimo ovo kao jednakost a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a za bilo koju realnu a i prirodno m. At a ≥ 0 dobijamo a = a i a 2 m = a 2 m, što dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a, a jednakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a je očigledna. At a< 0 dobijamo, respektivno, a = - a i a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Posljednja transformacija broja vrijedi prema svojstvu snage. Upravo to dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a, a a 2 m - 1 2 m - 1 = a će biti tačna, pošto se smatra neparnim stepenom - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 za bilo koji broj c , pozitivan ili jednak nuli.

Kako bismo konsolidirali primljene informacije, razmotrimo nekoliko primjera korištenja svojstva:

Primjer 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 i (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Dokažimo sljedeću jednakost a m n = a n m . Da biste to učinili, trebate zamijeniti brojeve ispred i iza znaka jednakosti a n · m = a m n . To će značiti da je unos ispravan. Za a,što je pozitivno ili jednako nuli , oblika a m n je broj pozitivan ili jednak nuli. Okrenimo se svojstvu uzdizanja moći na stepen i njegovoj definiciji. Uz njihovu pomoć, možete transformirati jednakosti u obliku a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Ovo dokazuje svojstvo korijena razmatranog korijena.

Ostale osobine se dokazuju slično. Zaista, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Na primjer, 7 3 5 = 7 5 3 i 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Dokažimo sljedeće svojstvo a m n · m = a n . Da biste to učinili, potrebno je pokazati da je n broj, pozitivan ili jednak nuli. Kada se podigne na stepen n m je jednako a m. Ako je broj a onda je pozitivan ili jednak nuli n-. stepen iz red a je pozitivan broj ili jednak nuli.U ovom slučaju, a n · m n = a n n m , što je trebalo dokazati.

Kako bismo konsolidirali stečeno znanje, pogledajmo nekoliko primjera.

1. Dokažimo sljedeće svojstvo – svojstvo korijena stepena oblika a m n = a n m . Očigledno je da kada a ≥ 0 stepen a n m je nenegativan broj. Štaviše, ona n th stepen je jednak a m, zaista, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ovo dokazuje svojstvo stepena koji se razmatra.

Na primjer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. To je potrebno dokazati za sve pozitivne brojeve a i b uslov je zadovoljen a< b . Razmotrimo nejednakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Stoga, a n< b n при a< b .

Na primjer, dajmo 12 4< 15 2 3 4 .

1. Razmotrite svojstvo korijena n-th stepen. Potrebno je prvo razmotriti prvi dio nejednakosti. At m > n I 0 < a < 1 istina a m > a n . Pretpostavimo da je a m ≤ a n. Svojstva će vam omogućiti da pojednostavite izraz na a n m · n ≤ a m m · n . Tada, prema svojstvima stepena sa prirodnim eksponentom, vrijedi nejednakost a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tj. a n ≤ a m. Dobijena vrijednost na m > n I 0 < a < 1 ne odgovara gore navedenim svojstvima.

Na isti način se može dokazati da kada m > n I a > 1 uslov a m je tačan< a n .

Da biste konsolidirali gornja svojstva, razmotrite nekoliko konkretni primjeri. Pogledajmo nejednakosti koristeći određene brojeve.

Primjer 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter