Već smo naučili rješavati kvadratne jednačine. Proširimo proučavane metode na racionalne jednačine.
Šta je racionalni izraz? Već smo se susreli sa ovim konceptom. Racionalni izrazi su izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih moći i simbola matematičkih operacija.
Prema tome, racionalne jednačine su jednačine oblika: , gdje 
- racionalni izrazi.
Ranije smo razmatrali samo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na linearne. Pogledajmo sada one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe.
Primjer 1
Riješite jednačinu: .
Rješenje:
Razlomak je jednak 0 ako i samo ako mu je brojilac jednak 0, a nazivnik nije jednak 0.
Dobijamo sledeći sistem:
Prva jednačina sistema je kvadratna jednačina. Prije nego što ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente sa 3. Dobijamo:
Dobijamo dva korijena: ; .
Pošto 2 nikada nije jednako 0, moraju biti ispunjena dva uslova: 
. Budući da se nijedan od korijena gore dobivene jednadžbe ne poklapa s nevažećim vrijednostima varijable koje su dobijene rješavanjem druge nejednačine, oba su rješenja ove jednadžbe.
odgovor:.
Dakle, hajde da formulišemo algoritam za rešavanje racionalnih jednačina:
1. Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu tako da desna strana završi sa 0.
2. Transformirajte i pojednostavite lijevu stranu, dovedite sve razlomke na zajednički imenilac.
3. Izjednačite rezultujući razlomak sa 0 koristeći sljedeći algoritam: 
.
4. Zapišite one korijene koji su dobijeni u prvoj jednačini i zadovoljite drugu nejednačinu u odgovoru.
Pogledajmo još jedan primjer.
Primjer 2
Riješite jednačinu: 
.
Rješenje
Na samom početku sve pojmove pomjerimo ulijevo tako da na desnoj strani ostane 0. Dobijamo:
Sada dovedimo lijevu stranu jednačine na zajednički nazivnik:
Ova jednačina je ekvivalentna sistemu:
Prva jednačina sistema je kvadratna jednačina.
Koeficijenti ove jednadžbe: . Izračunavamo diskriminanta:
Dobijamo dva korijena: ; .
Sada riješimo drugu nejednakost: proizvod faktora nije jednak 0 ako i samo ako nijedan faktor nije jednak 0.
Moraju biti ispunjena dva uslova: 
. Nalazimo da je od dva korijena prve jednadžbe samo jedan prikladan - 3.
odgovor:.
U ovoj lekciji smo se prisjetili što je racionalni izraz, a naučili i kako rješavati racionalne jednadžbe koje se svode na kvadratne jednačine.
U sljedećoj lekciji ćemo se osvrnuti na racionalne jednadžbe kao modele realnih situacija, kao i na probleme kretanja.
Bibliografija
- Bašmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2004.
- Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovič E.A. i dr. Algebra, 8. 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Tutorial za obrazovne institucije. - M.: Obrazovanje, 2006.
- Festival pedagoških ideja" Javni čas" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Zadaća
Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije sabiranja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje bilo kojim brojem osim nule.
Koncept frakcionog racionalnog izraza
Frakcijski izraz je matematički izraz koji pored operacija sabiranja, oduzimanja i množenja koje se izvode s brojevima i slovnim varijablama, kao i dijeljenja brojem koji nije jednak nuli, sadrži i podjelu na izraze sa slovnim varijablama.
Racionalni izrazi su svi izrazi u celini i razlomci. Racionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva i desna strana cjelobrojni izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva cijeli broj.
Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva razlomkom.
Primjeri frakcionih racionalnih izraza
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Šema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe
1. Naći zajednički imenilac svih razlomaka koji su uključeni u jednačinu.
2. Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom.
3. Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu.
4. Provjerite korijene i isključite one koji čine da zajednički imenilac nestane.
Budući da rješavamo razlomke racionalne jednadžbe, postojat će varijable u nazivnicima razlomaka. To znači da će oni biti zajednički imenitelj. A u drugoj tački algoritma množimo sa zajedničkim nazivnikom, tada se mogu pojaviti strani korijeni. Pri čemu će zajednički imenitelj biti jednak nuli, što znači da će množenje s njim biti besmisleno. Stoga je na kraju potrebno provjeriti dobivene korijene.
Pogledajmo primjer:
Riješite frakcionu racionalnu jednačinu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Držaćemo se toga opšta šema: Hajde da prvo pronađemo zajednički imenilac svih razlomaka. Dobijamo x*(x-5).
Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite rezultirajuću cijelu jednačinu.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Pojednostavimo rezultirajuću jednačinu. Dobijamo:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Dobijamo jednostavnu redukovanu kvadratnu jednačinu. Mi to rješavamo bilo kojim od poznate metode, dobijamo korijene x=-2 i x=5.
Sada provjeravamo dobijena rješenja:
Zamijenite brojeve -2 i 5 u zajednički imenilac. Kod x=-2 zajednički imenilac x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. To znači da će broj -2 biti korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe.
Kod x=5 zajednički imenilac x*(x-5) postaje nula. Prema tome, ovaj broj nije korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe, budući da će postojati podjela sa nulom.
Uveli smo gornju jednačinu u § 7. Prvo, prisjetimo se šta je racionalni izraz. Ovo je algebarski izraz sastavljen od brojeva i varijable x koristeći operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i stepenovanja s prirodnim eksponentom.
Ako je r(x) racionalan izraz, onda se jednačina r(x) = 0 naziva racionalnom jednačinom.
Međutim, u praksi je zgodnije koristiti nešto šire tumačenje pojma „racionalna jednačina“: ovo je jednadžba oblika h(x) = q(x), gdje su h(x) i q(x) racionalni izrazi.
Do sada nismo mogli riješiti nijednu racionalnu jednačinu, već samo onu koja je, kao rezultat raznih transformacija i razmišljanja, svedena na linearna jednačina. Sada su naše mogućnosti mnogo veće: moći ćemo riješiti racionalnu jednadžbu koja se ne svodi samo na linearnu
mu, ali i na kvadratnu jednačinu.
Prisjetimo se kako smo ranije rješavali racionalne jednadžbe i pokušajmo formulirati algoritam rješenja.
Primjer 1. Riješite jednačinu
Rješenje. Prepišimo jednačinu u formu
U ovom slučaju, kao i obično, koristimo činjenicu da jednakosti A = B i A - B = 0 izražavaju isti odnos između A i B. To nam je omogućilo da pomaknemo član na lijevu stranu jednačine sa suprotan znak.
Transformirajmo lijevu stranu jednačine. Imamo
Prisjetimo se uslova jednakosti razlomci nula: ako i samo ako su dvije relacije istovremeno zadovoljene:
1) brojilac razlomka je nula (a = 0); 2) imenilac razlomka je različit od nule).
Izjednačavajući brojilac razlomka na lijevoj strani jednačine (1) sa nulom, dobijamo
Ostaje provjeriti ispunjenost drugog gore navedenog uslova. Relacija znači za jednačinu (1) da je . Vrijednosti x 1 = 2 i x 2 = 0,6 zadovoljavaju naznačene odnose i stoga služe kao korijeni jednačine (1), a ujedno i korijeni date jednačine.
1) Pretvorimo jednačinu u oblik
2) Hajde da transformišemo lijevu stranu ove jednačine:
(istovremeno promijenio predznake u brojiocu i
razlomci).
Dakle, data jednačina poprima oblik
3) Riješite jednačinu x 2 - 6x + 8 = 0. Pronađite
4) Za pronađene vrijednosti provjerite ispunjenost uslova 
. Broj 4 ispunjava ovaj uslov, ali broj 2 ne. To znači da je 4 korijen date jednadžbe, a 2 vanjski korijen.
ODGOVOR: 4.
2. Rješavanje racionalnih jednačina uvođenjem nove varijable
Metoda uvođenja nove varijable vam je poznata, koristili smo je više puta. Pokažimo na primjerima kako se koristi u rješavanju racionalnih jednačina.
Primjer 3. Riješite jednačinu x 4 + x 2 - 20 = 0.
Rješenje. Hajde da uvedemo novu varijablu y = x 2 . Pošto je x 4 = (x 2) 2 = y 2, data jednačina se može prepisati kao
y 2 + y - 20 = 0.
Ovo je kvadratna jednadžba čiji se korijeni mogu pronaći koristeći poznato formule; dobijamo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ali y = x 2, što znači da je problem sveden na rješavanje dvije jednadžbe:
x 2 =4; x 2 = -5.
Iz prve jednadžbe nalazimo da druga jednačina nema korijena.
Odgovor: .
Jednačina oblika ax 4 + bx 2 + c = 0 naziva se bikvadratna jednačina („bi“ je dva, tj. neka vrsta „dvostruke kvadratne“ jednadžbe). Upravo riješena jednačina bila je upravo bikvadratna. Bilo koja bikvadratna jednadžba se rješava na isti način kao i jednadžba iz primjera 3: uvedite novu varijablu y = x 2, riješite rezultirajuću kvadratnu jednačinu u odnosu na varijablu y, a zatim se vratite na varijablu x.
Primjer 4. Riješite jednačinu
Rješenje. Imajte na umu da se isti izraz x 2 + 3x ovdje pojavljuje dvaput. To znači da ima smisla uvesti novu varijablu y = x 2 + 3x. To će omogućiti da se jednačina prepiše u jednostavnijem i ugodnijem obliku (što je, zapravo, svrha uvođenja novog varijabla- i pojednostavljivanje snimanja
postaje jasnija, a struktura jednadžbe postaje jasnija):
Sada koristimo algoritam za rješavanje racionalne jednadžbe.
1) Premjestimo sve članove jednačine u jedan dio:
= 0
2) Transformirajte lijevu stranu jednačine
Dakle, transformisali smo datu jednačinu u oblik
3) Iz jednačine - 7y 2 + 29y -4 = 0 nalazimo (ti i ja smo već riješili dosta kvadratnih jednačina, tako da vjerovatno ne vrijedi uvijek davati detaljne proračune u udžbeniku).
4) Provjerimo pronađene korijene koristeći uvjet 5 (y - 3) (y + 1). Oba korena zadovoljavaju ovaj uslov.
Dakle, kvadratna jednadžba za novu varijablu y je riješena: 
Pošto y = x 2 + 3x, a y, kao što smo ustanovili, uzima dvije vrijednosti: 4 i , još uvijek moramo riješiti dvije jednačine: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Korijeni prve jednadžbe su brojevi 1 i -4, korijeni druge jednadžbe su brojevi
U razmatranim primjerima način uvođenja nove varijable bio je, kako matematičari vole reći, adekvatan situaciji, odnosno dobro joj je odgovarao. Zašto? Da, jer se isti izraz jasno pojavio u jednadžbi nekoliko puta i postojao je razlog da se ovaj izraz označi novim slovom. Ali to se ne dešava uvek; ponekad se nova varijabla „pojavi“ samo tokom procesa transformacije. Upravo to će se dogoditi u sljedećem primjeru.
Primjer 5. Riješite jednačinu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Rješenje. Imamo
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Zx+2.
To znači da se data jednačina može prepisati u obliku
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Sada se „pojavila“ nova varijabla: y = x 2 - 3x.
Uz njegovu pomoć, jednačina se može prepisati u obliku y (y + 2) = 24, a zatim y 2 + 2y - 24 = 0. Korijeni ove jednačine su brojevi 4 i -6.
Vraćajući se na prvobitnu varijablu x, dobijamo dvije jednačine x 2 - 3x = 4 i x 2 - 3x = - 6. Iz prve jednačine nalazimo x 1 = 4, x 2 = - 1; druga jednadžba nema korijena.
ODGOVOR: 4, - 1.
Rješavanje jednadžbi s razlomcima Pogledajmo primjere. Primjeri su jednostavni i ilustrativni. Uz njihovu pomoć, moći ćete razumjeti na najrazumljiviji način.
Na primjer, trebate riješiti jednostavnu jednačinu x/b + c = d.
Jednačina ovog tipa naziva se linearna, jer Imenilac sadrži samo brojeve.
Rješenje se izvodi množenjem obje strane jednačine sa b, tada jednačina dobija oblik x = b*(d – c), tj. nazivnik razlomka na lijevoj strani se poništava.
Na primjer, kako riješiti frakciona jednačina:
x/5+4=9
Obe strane množimo sa 5. Dobijamo:
x+20=45
x=45-20=25
Još jedan primjer kada je nepoznato u nazivniku:
Jednadžbe ovog tipa nazivaju se razlomačno-racionalnim ili jednostavno frakcijskim.
Razlomačku jednačinu riješili bismo tako što bismo se riješili razlomaka, nakon čega se ova jednačina, najčešće, pretvara u linearnu ili kvadratnu jednačinu, koja se može riješiti na uobičajen način. Samo trebate uzeti u obzir sljedeće tačke:
- vrijednost varijable koja pretvara imenilac u 0 ne može biti korijen;
- Ne možete dijeliti ili množiti jednačinu izrazom =0.
Ovdje stupa na snagu koncept područja dopuštenih vrijednosti (ADV) - to su vrijednosti korijena jednadžbe za koje jednačina ima smisla.
Dakle, prilikom rješavanja jednadžbe potrebno je pronaći korijene, a zatim ih provjeriti da li su u skladu s ODZ-om. Oni korijeni koji ne odgovaraju našem ODZ-u su isključeni iz odgovora.
Na primjer, trebate riješiti frakcijsku jednadžbu:
Na osnovu gornjeg pravila, x ne može biti = 0, tj. ODZ u ovom slučaju: x – bilo koja vrijednost osim nule.
Oslobađamo se imenioca množenjem svih članova jednačine sa x
I rješavamo uobičajenu jednačinu
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Odgovor: x = 1/3
Hajde da rešimo komplikovaniju jednačinu:
ODZ je također prisutan ovdje: x -2.
Prilikom rješavanja ove jednačine nećemo sve pomjeriti na jednu stranu i dovesti razlomke na zajednički nazivnik. Odmah ćemo pomnožiti obje strane jednačine izrazom koji će poništiti sve nazivnike odjednom.
Da biste smanjili nazivnike, trebate lijevu stranu pomnožiti sa x+2, a desnu sa 2. To znači da se obje strane jednačine moraju pomnožiti sa 2(x+2):
Ovo je najčešće množenje razlomaka, o čemu smo već govorili gore.
Napišimo istu jednačinu, ali malo drugačije
Lijeva strana se smanjuje za (x+2), a desna za 2. Nakon redukcije dobijamo uobičajenu linearnu jednačinu:
x = 4 – 2 = 2, što odgovara našem ODZ-u
Odgovor: x = 2.
Rješavanje jednadžbi s razlomcima nije tako teško kao što se čini. U ovom članku smo to pokazali na primjerima. Ako imate bilo kakvih poteškoća sa kako riješiti jednadžbe s razlomcima, a zatim se odjavite u komentarima.
“Racionalne jednadžbe s polinomima” jedna je od najčešćih tema u testu Zadaci objedinjenog državnog ispita matematike. Iz tog razloga, vrijedi ih ponoviti Posebna pažnja. Mnogi učenici se suočavaju sa problemom pronalaženja diskriminanta, prenošenja indikatora s desne strane na lijevu i dovođenja jednačine na zajednički imenilac, zbog čega rješavanje ovakvih zadataka izaziva poteškoće. Rješavanje racionalnih jednadžbi u pripremi za Jedinstveni državni ispit na našoj web stranici pomoći će vam da se brzo nosite s problemima bilo koje složenosti i prođete test sjajno.
Odaberite obrazovni portal Školkovo kako biste se uspješno pripremili za Jedinstveni ispit iz matematike!
Da biste znali pravila za izračunavanje nepoznanica i lako dobili tačne rezultate, koristite naš online servis. Portal Školkovo je jedinstvena platforma koja sadrži sve što je potrebno za pripremu Materijali za Jedinstveni državni ispit. Naši nastavnici su sistematizovali i u razumljivom obliku predstavili sva matematička pravila. Osim toga, pozivamo školarce da se okušaju u rješavanju standardnih racionalnih jednadžbi, čija se osnova stalno ažurira i proširuje.
Za efikasniju pripremu za testiranje preporučujemo da se pridržavate naše posebne metode i započnete ponavljanjem pravila i rješenja jednostavni zadaci, postepeno prelazeći na složenije. Tako će diplomac moći identificirati najteže teme za sebe i fokusirati se na njihovo proučavanje.
Počnite da se pripremate za završni test sa Školkovom već danas, a rezultati neće dugo čekati! Odaberite najlakši primjer od navedenih. Ako brzo savladate izraz, prijeđite na teži zadatak. Na taj način možete unaprijediti svoje znanje do tačke rješavanja USE zadataka iz matematike na specijaliziranom nivou.
Obuka je dostupna ne samo diplomcima iz Moskve, već i školarcima iz drugih gradova. Provedite nekoliko sati dnevno učeći na našem portalu, na primjer, i vrlo brzo ćete se moći nositi sa jednadžbama bilo koje složenosti!