Sada kada smo naučili kako sabirati i množiti pojedinačne razlomke, možemo pogledati složenije strukture. Na primjer, što ako isti problem uključuje sabiranje, oduzimanje i množenje razlomaka?
Prije svega, trebate pretvoriti sve razlomke u nepravilne. Zatim izvršavamo tražene radnje uzastopno - istim redoslijedom kao i za obične brojeve. naime:
- Prvo se vrši eksponencijacija - oslobodite se svih izraza koji sadrže eksponente;
- Zatim - dijeljenje i množenje;
- Poslednji korak je sabiranje i oduzimanje.
Naravno, ako u izrazu postoje zagrade, redoslijed operacija se mijenja - prvo se mora izbrojati sve što je unutar zagrada. I zapamtite o nepravilnim razlomcima: trebate istaknuti cijeli dio tek kada su sve druge radnje već završene.
Pretvorimo sve razlomke iz prvog izraza u nepravilne, a zatim izvršimo sljedeće korake:
Sada pronađimo vrijednost drugog izraza. Ne postoje razlomci s cijelim dijelom, ali postoje zagrade, pa prvo vršimo sabiranje, pa tek onda dijeljenje. Imajte na umu da je 14 = 7 · 2. onda:
Konačno, razmotrite treći primjer. Ovdje postoje zagrade i diploma - bolje ih je računati zasebno. S obzirom da je 9 = 3 3, imamo:
Obratite pažnju na posljednji primjer. Da biste podignuli razlomak na stepen, morate zasebno podići brojilac na ovaj stepen, a posebno, nazivnik.
Možete odlučiti drugačije. Ako se prisjetimo definicije stepena, problem će se svesti na uobičajeno množenje razlomaka:
Višespratni razlomci
Do sada smo razmatrali samo „čiste“ razlomke, kada su brojnik i imenilac obični brojevi. Ovo je sasvim u skladu sa definicijom brojevnog razlomka datom u prvoj lekciji.
Ali što ako stavite složeniji objekt u brojnik ili nazivnik? Na primjer, drugi brojčani razlomak? Takve konstrukcije se javljaju prilično često, posebno kada se radi s dugim izrazima. Evo nekoliko primjera:
Postoji samo jedno pravilo za rad sa razlomcima na više nivoa: morate ih se odmah riješiti. Uklanjanje "dodatnih" katova je prilično jednostavno, ako se sjetite da kosa crta označava standardnu operaciju podjele. Dakle, bilo koji razlomak se može prepisati na sljedeći način:
Koristeći ovu činjenicu i slijedeći proceduru, lako možemo svesti bilo koji višekatni razlomak na običan. Pogledajte primjere:
Zadatak. Pretvorite višekatne razlomke u obične:
U svakom slučaju, prepisujemo glavni razlomak, zamjenjujući liniju podjele znakom podjele. Također zapamtite da se svaki cijeli broj može predstaviti kao razlomak sa nazivnikom 1. To jest 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobijamo:
U posljednjem primjeru, razlomci su poništeni prije konačnog množenja.
Specifičnosti rada sa razlomcima na više nivoa
Postoji jedna suptilnost u razlomcima na više nivoa koja se uvijek mora zapamtiti, inače možete dobiti pogrešan odgovor, čak i ako su svi proračuni bili tačni. Pogledaj:
- Brojilac sadrži jedan broj 7, a nazivnik sadrži razlomak 12/5;
- Brojilac sadrži razlomak 7/12, a imenilac poseban broj 5.
Dakle, za jedan snimak dobili smo dvije potpuno različite interpretacije. Ako prebrojite, odgovori će također biti drugačiji:
Da biste osigurali da se zapis uvijek čita nedvosmisleno, koristite jednostavno pravilo: linija razdvajanja glavnog razlomka mora biti duža od linije ugniježđenog razlomka. Po mogućnosti nekoliko puta.
Ako slijedite ovo pravilo, tada bi gornji razlomci trebali biti napisani na sljedeći način:
Da, može biti neugledno i zauzima previše prostora. Ali izbrojaćete tačno. Konačno, nekoliko primjera gdje zapravo nastaju razlomci na više katova:
Zadatak. Pronađite značenja izraza:
Dakle, poradimo na prvom primjeru. Pretvorimo sve razlomke u nepravilne, a zatim izvršimo operacije sabiranja i dijeljenja:
Uradimo isto sa drugim primjerom. Pretvorimo sve razlomke u nepravilne i izvršimo potrebne operacije. Da ne bih dosadio čitaocu, izostaviću neke očigledne kalkulacije. Imamo:
Zbog činjenice da brojnik i nazivnik osnovnih razlomaka sadrže zbrojeve, pravilo za pisanje razlomaka sa više spratova se poštuje automatski. Također, u posljednjem primjeru, namjerno smo ostavili 46/1 u obliku razlomaka da izvršimo dijeljenje.
Također ću primijetiti da u oba primjera linija razlomka zapravo zamjenjuje zagrade: prvo smo pronašli zbir, a tek onda količnik.
Neki će reći da je prijelaz na nepravilne razlomke u drugom primjeru bio očigledno suvišan. Možda je ovo istina. Ali time se osiguravamo od grešaka, jer sljedeći put primjer može biti mnogo komplikovaniji. Odaberite za sebe što je važnije: brzina ili pouzdanost.
Radnje sa razlomcima. U ovom članku ćemo pogledati primjere, sve detaljno s objašnjenjima. Razmotrit ćemo obične razlomke. Kasnije ćemo pogledati decimale. Preporučujem da pogledate cijelu stvar i da je proučavate uzastopno.
1. Zbir razlomaka, razlika razlomaka.
Pravilo: kada se sabiraju razlomci sa jednakim nazivnicima, rezultat je razlomak - čiji nazivnik ostaje isti, a njegov brojilac će biti jednak zbroju brojnika razlomaka.
Pravilo: pri izračunavanju razlike razlomaka sa istim nazivnicima dobijamo razlomak - imenilac ostaje isti, a brojnik drugog se oduzima od brojnika prvog razlomka.
Formalni zapis za zbir i razliku razlomaka sa jednakim nazivnicima:
Primjeri (1):
Jasno je da kada se daju obični razlomci, onda je sve jednostavno, ali šta ako se pomiješaju? Ništa komplikovano...
Opcija 1– možete ih pretvoriti u obične i onda ih izračunati.
Opcija 2– možete “raditi” odvojeno sa cijelim i razlomkom.
Primjeri (2):
Više:
Šta ako je data razlika dva mješovita razlomka i brojnik prvog razlomka je manji od brojnika drugog? Također možete djelovati na dva načina.
Primjeri (3):
*Preračunati u obične razlomke, izračunati razliku, pretvoriti rezultirajući nepravilni razlomak u mješoviti razlomak.
*Razdijelili smo ga na cjelobrojne i razlomke, dobili trojku, zatim predstavili 3 kao zbir 2 i 1, s jednim predstavljenim kao 11/11, zatim pronašli razliku između 11/11 i 7/11 i izračunali rezultat . Smisao gornjih transformacija je uzeti (odabrati) jedinicu i predstaviti je u obliku razlomka sa nazivnikom koji nam je potreban, onda možemo oduzeti drugu od ovog razlomka.
Drugi primjer:
Zaključak: postoji univerzalni pristup - da bi se izračunao zbir (razlika) mješovitih razlomaka s jednakim nazivnicima, oni se uvijek mogu pretvoriti u nepravilne, a zatim izvršiti potrebnu radnju. Nakon toga, ako je rezultat nepravilan razlomak, pretvaramo ga u mješoviti razlomak.
Gore smo pogledali primjere sa razlomcima koji imaju jednake nazivnike. Šta ako su imenioci različiti? U ovom slučaju, razlomci se svode na isti nazivnik i izvršava se navedena radnja. Za promjenu (transformaciju) razlomka koristi se osnovno svojstvo razlomka.
Pogledajmo jednostavne primjere:
U ovim primjerima odmah vidimo kako se jedan od razlomaka može transformirati da dobijemo jednake nazivnike.
Ako odredimo načine za svođenje razlomaka na isti nazivnik, onda ćemo ovaj nazvati METODA PRVA.
Odnosno, odmah kada "procjenjujete" razlomak, morate shvatiti da li će ovaj pristup funkcionirati - provjeravamo da li je veći imenilac djeljiv manjim. A ako je djeljiv, onda vršimo transformaciju - množimo brojnik i imenilac tako da imenioci oba razlomka postanu jednaki.
Sada pogledajte ove primjere:
Ovaj pristup nije primjenjiv na njih. Postoje i načini da se razlomci svedu na zajednički nazivnik;
Metoda DVA.
Pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog, a brojnik i imenilac drugog razlomka sa imeniocem prvog:
*U stvari, smanjujemo razlomke da se formiraju kada imenioci postanu jednaki. Zatim koristimo pravilo za sabiranje razlomaka s jednakim nazivnicima.
primjer:
*Ova metoda se može nazvati univerzalnom i uvijek radi. Jedina mana je to što nakon izračunavanja možete završiti s razlomkom koji ćete morati dodatno smanjiti.
Pogledajmo primjer:
Vidi se da su brojilac i imenilac djeljivi sa 5:
Metoda TREĆA.
Morate pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika. Ovo će biti zajednički imenitelj. Kakav je ovo broj? Ovo je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svakim od brojeva.
Vidite, evo dva broja: 3 i 4, ima mnogo brojeva koji su djeljivi sa njima - to su 12, 24, 36, ... Najmanji od njih je 12. Ili 6 i 15, oni su djeljivi sa 30, 60, 90 .... Najmanje je 30. Pitanje je - kako odrediti ovaj najmanji zajednički višekratnik?
Postoji jasan algoritam, ali često se to može učiniti odmah bez kalkulacija. Na primjer, prema gornjim primjerima (3 i 4, 6 i 15) nije potreban algoritam, uzeli smo velike brojeve (4 i 15), udvostručili ih i vidjeli da su djeljivi sa drugim brojem, ali parovi brojeva mogu bili drugi, na primjer 51 i 119.
Algoritam. Da biste odredili najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate:
- rastaviti svaki broj na JEDNOSTAVNE faktore
— zapišite razlaganje VEĆEG od njih
- pomnožite ga sa faktorima koji nedostaju drugih brojeva
Pogledajmo primjere:
50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
u proširenju većeg broja nedostaje jedan pet
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
u proširenju većeg broja dva i tri nedostaju
=> LCM(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Najmanji zajednički višekratnik dvaju prostih brojeva je njihov proizvod
Pitanje! Zašto je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika korisno, budući da možete koristiti drugu metodu i jednostavno smanjiti rezultujući razlomak? Da, moguće je, ali nije uvijek zgodno. Pogledajte nazivnik za brojeve 48 i 72 ako ih jednostavno pomnožite 48∙72 = 3456. Složićete se da je prijatnije raditi sa manjim brojevima.
Pogledajmo primjere:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
proširenju većeg broja nedostaje trojka
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Sada upotrijebimo prvu metodu:
*Pogledajte razliku u proračunima, u prvom slučaju ih ima minimalno, ali u drugom morate posebno raditi na komadu papira, pa čak i razlomak koji ste dobili treba smanjiti. Pronalaženje LOC-a značajno pojednostavljuje posao.
Više primjera:
*U drugom primjeru je jasno da je najmanji broj koji je djeljiv sa 40 i 60 120.
REZULTAT! OPŠTI RAČUNARSKI ALGORITAM!
— razlomke svodimo na obične ako postoji cijeli broj.
- razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika (prvo gledamo da li je jedan imenilac djeljiv drugim; ako je djeljiv, onda množimo brojnik i imenilac ovog drugog razlomka; ako nije djeljiv, postupamo drugim metodama gore navedeno).
- Nakon što smo dobili razlomke sa jednakim nazivnicima, izvodimo operacije (sabiranje, oduzimanje).
- ako je potrebno, smanjujemo rezultat.
- ako je potrebno, odaberite cijeli dio.
2. Proizvod frakcija.
Pravilo je jednostavno. Kada se množe razlomci, množe se njihovi brojnici i imenioci:
primjeri:
496. Nađi X, Ako:
497. 1) Ako dodate 10 1/2 na 3/10 nepoznatog broja, dobićete 13 1/2. Pronađite nepoznati broj.
2) Ako oduzmete 10 1/2 od 7/10 nepoznatog broja, dobićete 15 2/5. Pronađite nepoznati broj.
498 *. Ako od 3/4 nepoznatog broja oduzmete 10 i dobijenu razliku pomnožite sa 5, dobit ćete 100. Pronađite broj.
499 *. Ako nepoznati broj povećate za 2/3, dobićete 60. Koji je ovo broj?
500 *. Ako nepoznatom broju dodate isti iznos, kao i 20 1/3, dobijete 105 2/5. Pronađite nepoznati broj.
501. 1) Prinos krompira sa četvrtastom sadnjom je u proseku 150 centi po hektaru, a sa konvencionalnom sadnjom je 3/5 ove količine. Koliko se više krompira može ubrati sa površine od 15 hektara ako se krompir sadi metodom četvrtastog grozda?
2) Iskusni radnik je proizveo 18 delova za 1 sat, a neiskusni radnik 2/3 ove količine. Koliko još dijelova iskusni radnik može proizvesti u 7-satnom radnom vremenu?
502. 1) Pioniri su sakupili 56 kg različitog sjemena tokom tri dana. Prvog dana prikupljeno je 3/14 ukupne količine, drugog jedan i po puta više, a trećeg dana ostatak žita. Koliko su kilograma sjemena pioniri sakupili trećeg dana?
2) Prilikom mljevenja pšenice rezultat je bio: brašno 4/5 ukupne količine pšenice, griz - 40 puta manje od brašna, a ostatak su mekinje. Koliko je brašna, griza i mekinja odvojeno proizvedeno pri mljevenju 3 tone pšenice?
503. 1) Tri garaže mogu primiti 460 automobila. Broj automobila koji stane u prvu garažu je 3/4 od broja automobila koji stane u drugu, a treća garaža ima 1 1/2 puta više automobila od prve. Koliko automobila stane u svaku garažu?
2) Fabrika sa tri radionice zapošljava 6.000 radnika. U drugoj radionici je 1 1/2 puta manje radnika nego u prvoj, a broj radnika u trećoj radionici je 5/6 od broja radnika u drugoj radionici. Koliko radnika ima u svakoj radionici?
504. 1) Prvo 2/5, zatim 1/3 ukupnog kerozina je izliveno iz rezervoara sa kerozinom, a nakon toga je u rezervoaru ostalo 8 tona kerozina. Koliko je kerozina u početku bilo u rezervoaru?
2) Biciklisti su se utrkivali tri dana. Prvog dana prešli su 4/15 cijelog puta, drugog - 2/5, a trećeg dana preostalih 100 km. Koliko su biciklisti prešli za tri dana?
505. 1) Ledolomac se tri dana probijao kroz ledeno polje. Prvog dana je prepješačio 1/2 cijele udaljenosti, drugog dana 3/5 preostale udaljenosti i trećeg dana preostala 24 km. Odredite dužinu puta koju je ledolomac prešao za tri dana.
2) Tri grupe školaraca su posadile drveće da ozelene selo. Prvi odred je zasadio 7/20 svih stabala, drugi 5/8 preostalih stabala, a treći preostalih 195 stabala. Koliko stabala su ukupno posadila tri tima?
506. 1) Kombajn je požnjeo pšenicu sa jedne parcele za tri dana. Prvog dana uzeo je sa 5/18 ukupne površine parcele, drugog dana sa 7/13 preostale površine, a trećeg dana sa preostale površine od 30 1/2 hektara. U proseku je sa svakog hektara požnjevo 20 centi pšenice. Koliko je pšenice požnjeveno na cijelom području?
2) Prvog dana su učesnici relija prešli 3/11 cijele rute, drugog dana 7/20 preostale rute, trećeg dana 5/13 nove rute, a četvrtog dana preostale 320 km. Koliko je duga ruta relija?
507. 1) Prvog dana auto je prešao 3/8 cijele udaljenosti, drugog dana 15/17 od onoga što je prešao prvog, a trećeg dana preostalih 200 km. Koliko je potrošeno benzina ako automobil potroši 1 3/5 kg benzina za 10 km?
2) Grad se sastoji od četiri okruga. I u prvom okrugu živi 4/13 svih stanovnika grada, u drugom 5/6 stanovnika prvog, u trećem 4/11 stanovnika prvog; dva okruga zajedno, a u četvrtom okrugu živi 18 hiljada ljudi. Koliko je hleba potrebno celokupnom stanovništvu grada za 3 dana, ako u proseku jedna osoba dnevno konzumira 500 g?
508. 1) Turista je prvog dana prepešačio 10/31 čitavog puta, drugog 9/10 onoga što je prepešačio prvog dana, a trećeg ostatak puta, a trećeg dana je prepešačio 12 km više nego drugog dana. Koliko je kilometara turista prepješačila svaki od tri dana?
2) Automobil je prešao cijelu rutu od grada A do grada B za tri dana. Prvog dana auto je prešao 7/20 cijele udaljenosti, drugog 8/13 preostale udaljenosti, a trećeg dana auto je prešao 72 km manje nego prvog dana. Kolika je udaljenost između gradova A i B?
509. 1) Izvršni odbor je radnicima tri fabrike dodijelio zemljište za okućnice. Prvom postrojenju je dodijeljeno 9/25 od ukupnog broja parcela, drugom postrojenju 5/9 od broja parcela dodijeljenih za prvu, a trećem - preostalim parcelama. Koliko je ukupno parcela dodeljeno radnicima tri fabrike, ako je prvoj fabrici dodeljeno 50 parcela manje od treće?
2) Avion je za tri dana dopremio smenu zimskih radnika na polarnu stanicu iz Moskve. Prvog dana je preletio 2/5 cijele udaljenosti, drugog - 5/6 udaljenosti koju je prešao prvog dana, a trećeg dana je preletio 500 km manje nego drugog dana. Koliko je avion preletio za tri dana?
510. 1) Pogon je imao tri radionice. Broj radnika u prvoj radionici je 2/5 svih radnika u pogonu; u drugoj radionici je 1 1/2 puta manje radnika nego u prvoj, au trećoj radionici 100 radnika više nego u drugoj. Koliko radnika ima u fabrici?
2) Kolektivna farma obuhvata stanovnike tri susedna sela. Broj porodica u prvom selu je 3/10 svih porodica na kolektivnoj farmi; u drugom selu broj porodica je 1 1/2 puta veći nego u prvom, au trećem je broj porodica manji za 420 nego u drugom. Koliko porodica ima na kolektivnoj farmi?
511. 1) Artel je u prvoj sedmici potrošio 1/3 zaliha sirovina, a u drugoj 1/3 ostatka. Koliko je sirovine ostalo u artelu ako je u prvoj sedmici potrošnja sirovina bila 3/5 tona veća nego u drugoj sedmici?
2) Od uvezenog uglja, 1/6 utrošeno je za grijanje kuće u prvom mjesecu, a 3/8 ostatka u drugom mjesecu. Koliko je uglja preostalo za grijanje kuće ako je u drugom mjesecu potrošeno 1 3/4 više nego u prvom mjesecu?
512. 3/5 ukupne površine zadruge namijenjeno je za sjetvu žitarica, 13/36 ostatka zauzimaju povrtnjaci i livade, ostatak zemljišta je šuma, a zasijana površina zadruge je 217 hektara veće od šumske površine, 1/3 zemljišta namenjenog za setvu žitarica zasejano je ražom, a ostalo je pšenicom. Koliko je hektara zemlje kolhoz zasijao pšenicom, a koliko ražom?
513. 1) Tramvajska ruta je duga 14 3/8 km. Na ovoj trasi tramvaj čini 18 stajališta, trošeći u prosjeku do 1 1/6 minuta po stanici. Prosječna brzina tramvaja duž cijele trase je 12 1/2 km na sat. Koliko je vremena potrebno da tramvaj završi jedno putovanje?
2) Autobuska ruta 16 km. Na ovoj trasi autobus ima 36 stanica od po 3/4 minute. u prosjeku svaki. Prosječna brzina autobusa je 30 km na sat. Koliko traje autobus za jednu rutu?
514*. 1) Sada je 6 sati. večeri. Koji dio je preostali dio dana iz prošlosti, a koji dio dana?
2) Parobrod pređe udaljenost između dva grada sa strujom za 3 dana. i nazad istu udaljenost za 4 dana. Koliko će dana splavovi plutati nizvodno od jednog grada do drugog?
515. 1) Koliko dasaka će se koristiti za postavljanje poda u prostoriji dužine 6 2/3 m, širine 5 1/4 m, ako je dužina svake daske 6 2/3 m, a širina 3/ 80 dužine?
2) Pravougaona platforma je dužine 45 1/2 m, a širina joj je 5/13 dužine. Ovo područje je oivičeno stazom širine 4/5 m. Pronađite površinu staze.
516. Pronađite aritmetičku sredinu brojeva:
517. 1) Aritmetička sredina dva broja je 6 1/6. Jedan od brojeva je 3 3/4. Nađi drugi broj.
2) Aritmetička sredina dva broja je 14 1/4. Jedan od ovih brojeva je 15 5/6. Nađi drugi broj.
518. 1) Teretni voz je bio na putu tri sata. U prvom satu prešao je 36 1/2 km, u drugom 40 km, a u trećem 39 3/4 km. Pronađite prosječnu brzinu voza.
2) Automobil je prešao 81 1/2 km u prva dva sata, a 95 km u naredna 2 1/2 sata. Koliko je kilometara u prosjeku hodao na sat?
519. 1) Traktorist je obavio zadatak oranja zemlje za tri dana. Prvog dana je zaorao 12 1/2 hektara, drugog dana 15 3/4 hektara i trećeg dana 14 1/2 hektara. Koliko hektara zemlje je u prosjeku preorao vozač traktora dnevno?
2) Grupa školaraca na trodnevnom turističkom putovanju bila je prvog dana 6 1/3 sati, drugog dana 7 sati. a trećeg dana - 4 2/3 sata. Koliko sati u prosjeku putuju školarci svaki dan?
520. 1) U kući žive tri porodice. Prva porodica ima 3 sijalice za osvjetljavanje stana, druga ima 4, a treća ima 5 sijalica. Koliko bi svaka porodica trebala platiti struju ako su sve lampe iste, a ukupan račun za struju (za cijelu kuću) iznosi 7 1/5 rubalja?
2) Poliser je glancao podove u stanu u kojem su živjele tri porodice. Prva porodica imala je stambenu površinu od 36 1/2 kvadratnih metara. m, drugi je 24 1/2 sq. m, a treći - 43 kvadratnih metara. m Za sav rad plaćeno je 2 rublje. 08 kop. Koliko je svaka porodica platila?
521. 1) Na okućnici je sakupljen krompir sa 50 grmova po 1 1/10 kg po grmu, sa 70 grmova po 4/5 kg po grmu, sa 80 grmova po 9/10 kg po grmu. Koliko se u prosjeku kilograma krompira ubere sa svakog grma?
2) Terenska posada na površini od 300 hektara dobila je žetvu od 20 1/2 kvintala ozime pšenice po 1 hektaru, od 80 hektara do 24 kvintala po 1 ha, a sa 20 hektara - 28 1/2 kvintala po hektaru. 1 ha. Koliki je prosječan prinos u brigadi sa 1 hektarom?
522. 1) Zbir dva broja je 7 1/2. Jedan broj je 4 4/5 veći od drugog. Pronađite ove brojeve.
2) Ako zbrojimo brojeve koji izražavaju širinu Tatarskog i Kerčkog prolaza zajedno, dobićemo 11 7/10 km. Tatarski moreuz je 3 1/10 km širi od Kerčkog moreuza. Kolika je širina svakog tjesnaca?
523. 1) Zbir tri broja je 35 2 / 3. Prvi broj je veći od drugog za 5 1/3 i veći od trećeg za 3 5/6. Pronađite ove brojeve.
2) Ostrva Nova Zemlya, Sahalin i Severnaya Zemlya zajedno zauzimaju površinu od 196 7/10 hiljada kvadratnih metara. km. Površina Nove zemlje je 44 1/10 hiljada kvadratnih metara. km veća od površine Severne zemlje i 5 1/5 hiljada kvadratnih metara. km veća od površine Sahalina. Kolika je površina svakog od navedenih otoka?
524. 1) Stan se sastoji od tri sobe. Površina prve sobe je 24 3/8 kvadratnih metara. m i iznosi 13/36 ukupne površine stana. Površina druge prostorije je 8 1/8 kvadratnih metara. m više od površine trećeg. Kolika je površina druge sobe?
2) Biciklista je tokom trodnevnog takmičenja prvog dana bio na putu 3 1/4 sata, što je 13/43 ukupnog vremena putovanja. Drugog dana je vozio 1 1/2 sat više nego trećeg dana. Koliko sati je biciklista putovao drugog dana takmičenja?
525. Tri komada gvožđa zajedno su teška 17 1/4 kg. Ako se težina prvog komada smanji za 1 1/2 kg, a težina drugog za 2 1/4 kg, tada će sva tri komada imati istu težinu. Koliko je težio svaki komad gvožđa?
526. 1) Zbir dva broja je 15 1/5. Ako se prvi broj smanji za 3 1/10, a drugi poveća za 3 1/10, tada će ti brojevi biti jednaki. Čemu je svaki broj jednak?
2) U dvije kutije je bilo 38 1/4 kg žitarica. Ako sipate 4 3/4 kg žitarica iz jedne kutije u drugu, tada će u obje kutije biti jednake količine žitarica. Koliko žitarica ima u svakoj kutiji?
527 . 1) Zbir dva broja je 17 17 / 30. Ako oduzmete 5 1/2 od prvog broja i dodate ga drugom, tada će prvi i dalje biti veći od drugog za 2 17/30. Pronađite oba broja.
2) U dve kutije ima 24 1/4 kg jabuka. Ako iz prve kutije prenesete 3 1/2 kg u drugu, onda će u prvoj i dalje biti 3/5 kg jabuka više nego u drugoj. Koliko kilograma jabuka ima u svakoj kutiji?
528 *. 1) Zbir dva broja je 8 11/14, a njihova razlika je 2 3/7. Pronađite ove brojeve.
2) Čamac se kretao rijekom brzinom od 15 1/2 km na sat, a protiv struje 8 1/4 km na sat. Kolika je brzina toka rijeke?
529. 1) U dvije garaže ima 110 automobila, au jednoj ih je 1 1/5 puta više nego u drugoj. Koliko automobila ima u svakoj garaži?
2) Stambena površina dvosobnog stana iznosi 47 1/2 m2. m Površina jedne prostorije je 8/11 površine druge. Pronađite površinu svake sobe.
530. 1) Legura koja se sastoji od bakra i srebra teži 330 g. Težina bakra u ovoj leguri iznosi 5/28 težine srebra. Koliko je srebra, a koliko bakra u leguri?
2) Zbir dva broja je 6 3/4, a količnik 3 1/2. Pronađite ove brojeve.
531. Zbir tri broja je 22 1/2. Drugi broj je 3 1/2 puta, a treći je 2 1/4 puta prvi. Pronađite ove brojeve.
532. 1) Razlika dva broja je 7; količnik dijeljenja većeg broja manjim je 5 2/3. Pronađite ove brojeve.
2) Razlika između dva broja je 29 3/8, a njihov višestruki omjer je 8 5/6. Pronađite ove brojeve.
533. U razredu broj odsutnih učenika je 3/13 od broja prisutnih učenika. Koliko je učenika u razredu prema spisku ako je 20 više prisutnih nego odsutnih?
534. 1) Razlika između dva broja je 3 1/5. Jedan broj je 5/7 drugog. Pronađite ove brojeve.
2) Otac je 24 godine stariji od sina. Broj godina sina jednak je 5/13 godina oca. Koliko godina ima otac, a koliko sin?
535. Imenilac razlomka je za 11 jedinica veći od brojnika. Kolika je vrijednost razlomka ako je njegov imenilac 3 3/4 brojioca?
br. 536 - 537 usmeno.
536. 1) Prvi broj je 1/2 drugog. Koliko je puta drugi broj veći od prvog?
2) Prvi broj je 3/2 drugog. Koji dio prvog broja je drugi broj?
537. 1) 1/2 prvog broja jednaka je 1/3 drugog broja. Koji dio prvog broja je drugi broj?
2) 2/3 prvog broja jednako je 3/4 drugog broja. Koji dio prvog broja je drugi broj? Koji dio drugog broja je prvi?
538. 1) Zbir dva broja je 16. Nađi ove brojeve ako je 1/3 drugog broja jednaka 1/5 prvog.
2) Zbir dva broja je 38. Nađi ove brojeve ako je 2/3 prvog broja jednako 3/5 drugog.
539 *. 1) Dva dječaka su zajedno sakupila 100 gljiva. 3/8 broja gljiva koje je sakupio prvi dječak numerički je jednako 1/4 broja gljiva koje je sakupio drugi dječak. Koliko je pečuraka sakupio svaki dječak?
2) Ustanova zapošljava 27 radnika. Koliko muškaraca radi, a koliko žena radi ako je 2/5 svih muškaraca jednako 3/5 svih žena?
540 *. Tri dječaka su kupila loptu za odbojku. Odredi doprinos svakog dječaka, znajući da je 1/2 doprinosa prvog dječaka jednaka 1/3 doprinosa drugog, odnosno 1/4 doprinosa trećeg, te da je doprinos trećeg dječak je 64 kopejke više od doprinosa prvog.
541 *. 1) Jedan broj je 6 veći od drugog. Nađi ove brojeve ako je 2/5 jednog broja jednako 2/3 drugog.
2) Razlika dva broja je 35. Nađi ove brojeve ako je 1/3 prvog broja jednaka 3/4 drugog broja.
542. 1) Prvi tim može završiti neki posao za 36 dana, a drugi za 45 dana. Za koliko dana će oba tima, radeći zajedno, završiti ovaj posao?
2) Putnički voz put između dva grada pređe za 10 sati, a teretni za 15 sati. Oba voza krenula su iz ovih gradova u isto vrijeme jedan prema drugom. Za koliko sati će se sastati?
543. 1) Brzi voz pređe razdaljinu između dva grada za 6 1/4 sata, a putnički voz za 7 1/2 sata. Koliko sati kasnije će se sresti ovi vozovi ako krenu iz oba grada u isto vrijeme jedan prema drugom? (Okrugli odgovor na najbliži 1 sat.)
2) Dva motociklista napustila su dva grada u isto vrijeme jedan prema drugom. Jedan motociklista može preći čitavu udaljenost između ovih gradova za 6 sati, a drugi za 5 sati. Koliko sati nakon polaska će se motociklisti sastati? (Okrugli odgovor na najbliži 1 sat.)
544. 1) Tri automobila različite nosivosti mogu prevesti dio tereta, radeći odvojeno: prvi za 10 sati, drugi za 12 sati. a treći za 15 sati Za koliko sati mogu da prevezu isti teret, radeći zajedno?
2) Dva voza napuštaju dve stanice istovremeno jedna prema drugoj: prvi voz pređe razdaljinu između ovih stanica za 12 1/2 sata, a drugi za 18 3/4 sata. Koliko sati nakon polaska će se sastati vozovi?
545. 1) Dvije slavine su spojene na kadu. Preko jednog od njih kupka se može napuniti za 12 minuta, kroz drugu 1 1/2 puta brže. Koliko minuta će biti potrebno da se napuni 5/6 cijele kade ako otvorite obje slavine odjednom?
2) Dva daktilografa moraju prekucati rukopis. Prvi vozač ovaj posao može završiti za 3 1/3 dana, a drugi 1 1/2 puta brže. Koliko će dana trebati objema daktilografima da završe posao ako rade istovremeno?
546. 1) Bazen se napuni prvom cijevi za 5 sati, a kroz drugu cijev se može isprazniti za 6 sati Nakon koliko sati će se cijeli bazen napuniti ako se obje cijevi otvore u isto vrijeme?
Bilješka. Za sat vremena bazen se napuni do (1/5 - 1/6 svog kapaciteta.)
2) Dva traktora su preorala njivu za 6 sati. Prvi traktor, koji je radio sam, mogao bi da preora ovu njivu za 15 sati.
547 *. Dva voza napuštaju dvije stanice istovremeno jedna prema drugoj i sastaju se nakon 18 sati. nakon njegovog oslobađanja. Koliko je drugom vozu potrebno da pređe razdaljinu između stanica ako prvi voz pređe ovu udaljenost za 1 dan 21 sat?
548 *. Bazen se puni sa dvije cijevi. Prvo su otvorili prvu cijev, a onda nakon 3 3/4 sata, kada je pola bazena bilo napunjeno, otvorili drugu cijev. Nakon 2 1/2 sata zajedničkog rada, bazen je bio pun. Odredite kapacitet bazena ako se 200 kanti vode na sat izlije kroz drugu cijev.
549. 1) Kurirski voz krenuo je iz Lenjingrada za Moskvu i putuje 1 km za 3/4 minute. 1/2 sata nakon što je ovaj voz krenuo iz Moskve, iz Moskve je krenuo brzi voz za Lenjingrad, čija je brzina bila jednaka 3/4 brzine ekspresnog voza. Na kojoj udaljenosti će vozovi biti jedan od drugog 2 1/2 sata nakon polaska kurirskog voza, ako je udaljenost između Moskve i Lenjingrada 650 km?
2) Od kolektivne farme do grada 24 km. Kamion napušta kolektivnu farmu i putuje 1 km za 2 1/2 minute. Nakon 15 min. Nakon što je ovaj automobil napustio grad, biciklista je izišao do kolhoze, brzinom upola manjom od brzine kamiona. Koliko dugo nakon polaska će biciklista dočekati kamion?
550. 1) Pješak je izašao iz jednog sela. 4 1/2 sata nakon što je pješak otišao, biciklista je vozio u istom smjeru, čija je brzina bila 2 1/2 puta veća od brzine pješaka. Koliko sati nakon što pješak krene, biciklista će ga prestići?
2) Brzi voz pređe 187 1/2 km za 3 sata, a teretni voz pređe 288 km za 6 sati. 7 1/4 sata nakon polaska teretnog voza, vozilo hitne pomoći kreće u istom smjeru. Koliko će brzom vozu trebati da sustigne teretni?
551. 1) Iz dva zadruga kroz koja prolazi put za regionalni centar, dva zadrugara su u isto vrijeme na konjima odjahala u okrug. Prvi od njih je putovao 8 3/4 km na sat, a drugi je bio 1 1/7 puta više od prvog. Drugi zadrugar je sustigao prvog nakon 3 4/5 sata. Odrediti udaljenost između kolektivnih farmi.
2) 26 1/3 sata nakon polaska voza Moskva-Vladivostok, čija je prosječna brzina iznosila 60 km na sat, avion TU-104 poletio je u istom pravcu, brzinom 14 1/6 puta većom od brzine. voza. Koliko sati nakon polaska će avion sustići voz?
552. 1) Udaljenost između gradova duž rijeke je 264 km. Parobrod je prešao ovu udaljenost nizvodno za 18 sati, provodeći 1/12 ovog vremena u zaustavljanju. Brzina rijeke je 1 1/2 km na sat. Koliko bi dugo trebalo parobrodu da pređe 87 km bez zaustavljanja u mirnoj vodi?
2) Motorni čamac prešao je 207 km uz rijeku za 13 1/2 sati, trošeći 1/9 ovog vremena na zaustavljanje. Brzina rijeke je 1 3/4 km na sat. Koliko kilometara ovaj čamac može prijeći u mirnoj vodi za 2 1/2 sata?
553. Brod je prešao 52 km preko akumulacije bez zaustavljanja za 3 sata i 15 minuta. Dalje, idući rijekom protiv struje, čija je brzina 1 3/4 km na sat, ovaj čamac je prešao 28 1/2 km za 2 1/4 sata, napravivši 3 zaustavljanja jednakog trajanja. Koliko minuta je čamac čekao na svakoj stanici?
554. Iz Lenjingrada za Kronštat u 12 sati. Parobrod je krenuo u popodnevnim satima i za 1 1/2 sata prešao cijelu udaljenost između ovih gradova. Na putu je sreo još jedan brod koji je krenuo iz Kronštata za Lenjingrad u 12.18 sati. i hodanje brzinom 1 1/4 puta većom od prve. U koje vrijeme su se dva broda srela?
555. Voz je morao preći put od 630 km za 14 sati. Pošto je prešao 2/3 ove udaljenosti, zadržan je 1 sat i 10 minuta. Kojom brzinom treba nastaviti svoje putovanje da bi bez odlaganja stigao na odredište?
556. U 4:20 ujutro Ujutro je iz Kijeva krenuo teretni voz za Odesu prosečnom brzinom od 31 1/5 km na sat. Nakon nekog vremena, iz Odese mu je u susret izašao poštanski voz, čija je brzina bila 1 17/39 puta veća od brzine teretnog voza, i sreo je teretni voz 6 1/2 sati nakon njegovog polaska. U koje vrijeme je poštanski voz krenuo iz Odese, ako je udaljenost između Kijeva i Odese 663 km?
557*. Sat pokazuje podne. Koliko će vremena trebati da se kazaljke sata i minuta poklope?
558. 1) Pogon ima tri radionice. Broj radnika u prvoj radionici je 9/20 svih radnika pogona, u drugoj radionici je 1 1/2 puta manje radnika nego u prvoj, au trećoj radionici 300 radnika manje nego u sekunda. Koliko radnika ima u fabrici?
2) U gradu postoje tri srednje škole. Broj učenika u prvoj školi je 3/10 svih učenika u ove tri škole; u drugoj školi ima 1 1/2 puta više učenika nego u prvoj, au trećoj školi ima 420 učenika manje nego u drugoj. Koliko učenika ima u tri škole?
559. 1) Dva kombajna su radila na istom području. Nakon što je jedan kombajner požao 9/16 cijele parcele, a drugi 3/8 iste parcele, pokazalo se da je prvi kombajner požao 97 1/2 hektara više od drugog. U proseku, sa svakog hektara je ovršeno 32 1/2 kvintala žita. Koliko je centnera žita svaki kombajner izmlatio?
2) Dva brata su kupila kameru. Jedan je imao 5/8, a drugi 4/7 cijene kamere, a prvi je imao 2 rublje. 25 kopejki više od drugog. Svi su platili pola cijene uređaja. Koliko novca je svima ostalo?
560. 1) Putnički automobil kreće iz grada A u grad B, udaljenost između njih je 215 km, brzinom od 50 km na sat. U isto vrijeme, kamion je krenuo iz grada B u grad A. Koliko je kilometara putnički automobil prešao prije susreta s kamionom, ako je brzina kamiona na sat bila 18/25 brzine putničkog automobila?
2) Između gradova A i B 210 km. Putnički automobil krenuo je iz grada A u grad B. U isto vrijeme, iz grada B krenuo je kamion za grad A. Koliko je kilometara prešao kamion prije susreta sa putničkim automobilom, ako se putnički automobil kretao brzinom od 48 km na sat, a brzina kamiona na sat iznosila je 3/4 brzine putničkog automobila?
561. Zadruga je požnjela pšenicu i raž. Pšenicom je zasijano 20 hektara više nego raži. Ukupna žetva raži iznosila je 5/6 ukupne žetve pšenice sa prinosom od 20 c po 1 ha i za pšenicu i za raž. Zadruga je 7/11 cjelokupne žetve pšenice i raži prodala državi, a ostatak žita ostavila da podmiri svoje potrebe. Koliko je putovanja trebalo kamionima od dvije tone da bi odvezli kruh koji je prodat državi?
562. U pekaru je dovezeno raženo i pšenično brašno. Težina pšeničnog brašna iznosila je 3/5 mase raženog brašna, a dovezeno je 4 tone više raženog brašna od pšeničnog brašna. Koliko će pekara od ovog brašna ispeći pšeničnog, a koliko raženog hleba ako pekarski proizvodi čine 2/5 ukupnog brašna?
563. U roku od tri dana tim radnika je završio 3/4 cjelokupnog posla na popravci autoputa između dva kolhoza. Prvog dana je popravljeno 2 2/5 km ovog autoputa, drugog dana 1 1/2 puta više nego prvog, a trećeg dana 5/8 onoga što je sanirano u prva dva dana zajedno. Pronađite dužinu autoputa između kolektivnih farmi.
564. Popunite prazna mjesta u tabeli, gdje je S površina pravokutnika, A- osnova pravougaonika, a h-visina (širina) pravougaonika.
565. 1) Dužina pravougaone parcele iznosi 120 m, a širina parcele 2/5 njene dužine. Pronađite perimetar i područje lokacije.
2) Širina pravougaonog dijela je 250 m, a njegova dužina je 1 1/2 širine. Pronađite perimetar i područje lokacije.
566. 1) Obim pravougaonika je 6 1/2 inča, njegova osnova je 1/4 inča veća od njegove visine. Pronađite površinu ovog pravougaonika.
2) Obim pravougaonika je 18 cm, njegova visina je 2 1/2 cm manja od osnove. Pronađite površinu pravougaonika.
567. Izračunajte površine figura prikazanih na slici 30 tako što ćete ih podijeliti na pravokutnike i mjerenjem pronaći dimenzije pravokutnika.
568. 1) Koliko će listova suvog maltera biti potrebno za pokrivanje plafona prostorije čija je dužina 4 1/2 m i širina 4 m, ako su dimenzije gipsane ploče 2 m x l 1/2 m?
2) Koliko je dasaka dužine 4 1/2 m i širine 1/4 m potrebno za postavljanje poda dužine 4 1/2 m i širine 3 1/2 m?
569. 1) Pravougaona parcela dužine 560 m i širine 3/4 dužine zasejana je pasuljem. Koliko je sjemena bilo potrebno za zasijavanje parcele ako je posijan 1 centner na 1 hektar?
2) Žetva pšenice od 25 kvintala po hektaru prikupljena je sa pravougaone njive. Koliko je pšenice požnjeveno sa cijele njive ako je dužina polja 800 m, a širina 3/8 njegove dužine?
570 . 1) Pravougaona parcela, dužine 78 3/4 m i širine 56 4/5 m, izgrađena je tako da 4/5 njene površine zauzimaju objekti. Odredite površinu zemljišta ispod zgrada.
2) Na parceli pravougaonog oblika, dužine 9/20 km, a širine 4/9 dužine, kolhoz planira da uredi baštu. Koliko će stabala biti zasađeno u ovoj bašti ako je potrebna prosječna površina od 36 m2?
571. 1) Za normalno dnevno osvjetljenje prostorije potrebno je da površina svih prozora bude najmanje 1/5 površine poda. Utvrdite da li ima dovoljno svjetla u prostoriji čija je dužina 5 1/2 m, a širina 4 m. Da li soba ima jedan prozor dimenzija 1 1/2 m x 2 m?
2) Koristeći uslov iz prethodnog zadatka, saznajte da li u vašoj učionici ima dovoljno svjetla.
572. 1) Štala ima dimenzije 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m Koliko će sijena (po težini) stati u ovu štalu ako je popunjena do 3/4 visine i ako je 1 cu. . m sijena težak 82 kg?
2) Hrpa za drva ima oblik pravougaonog paralelepipeda, čije su dimenzije 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m. m drva za ogrjev je 600 kg?
573. 1) Pravougaoni akvarij je napunjen vodom do 3/5 svoje visine. Dužina akvarijuma je 1 1/2 m, širina 4/5 m, visina 3/4 m. Koliko litara vode se sipa u akvarijum?
2) Bazen u obliku pravougaonog paralelepipeda ima dužinu od 6 1/2 m, širinu 4 m i visinu od 2 m. Bazen je ispunjen vodom do 3/4 svoje visine. Izračunajte količinu vode ulivene u bazen.
574. Oko pravougaonog komada zemljišta potrebno je izgraditi ogradu, dužine 75 m i širine 45 m. Koliko kubika dasaka treba ući u njegovu konstrukciju ako je debljina daske 2 1/2 cm, a visina ograde 2 1/4 m?
575. 1) Koliki je ugao između kazaljke minuta i kazaljke sata na 13 sati? u 15 sati? u 17 sati? u 21 sat? u 23:30?
2) Za koliko stepeni će se kazaljka sata okrenuti za 2 sata? 5 sati? 8 sati? 30 min.?
3) Koliko stepeni sadrži luk jednak polovini kruga? 1/4 kruga? 1/24 kruga? 5/24 krugova?
576. 1) Koristeći kutomjer, nacrtaj: a) pravi ugao; b) ugao od 30°; c) ugao od 60°; d) ugao od 150°; e) ugao od 55°.
2) Koristeći kutomjer, izmjerite uglove figure i pronađite zbir svih uglova svake figure (slika 31).
577. Slijedite ove korake:
578. 1) Polukrug je podijeljen na dva luka, od kojih je jedan za 100° veći od drugog. Pronađite veličinu svakog luka.
2) Polukrug je podijeljen na dva luka od kojih je jedan manji za 15° od drugog. Pronađite veličinu svakog luka.
3) Polukrug je podijeljen na dva luka od kojih je jedan duplo veći od drugog. Pronađite veličinu svakog luka.
4) Polukrug je podijeljen na dva luka od kojih je jedan 5 puta manji od drugog. Pronađite veličinu svakog luka.
579. 1) Dijagram „Pismenost stanovništva u SSSR-u“ (slika 32) prikazuje broj pismenih na stotinu stanovnika stanovništva. Na osnovu podataka u dijagramu i njegove skale odredite broj pismenih muškaraca i žena za svaku od navedenih godina.
Rezultate upišite u tabelu:
2) Koristeći podatke iz dijagrama „Sovjetski izaslanici u svemir“ (slika 33), kreirajte zadatke.
580. 1) Prema tortnom grafikonu „Dnevna rutina učenika petog razreda“ (Sl. 34), popunite tabelu i odgovorite na pitanja: koji dio dana je određen za spavanje? za domaći? u školu?
2) Napravite kružni grafikon o svojoj dnevnoj rutini.
Ovaj odjeljak pokriva operacije s običnim razlomcima. Ako je potrebno izvršiti matematičku operaciju s mješovitim brojevima, tada je dovoljno mješoviti razlomak pretvoriti u izvanredni razlomak, izvršiti potrebne operacije i, ako je potrebno, ponovo prikazati konačni rezultat u obliku mješovitog broja . Ova operacija će biti opisana u nastavku.
Smanjenje razlomka
Matematička operacija. Smanjenje razlomka
Da biste smanjili razlomak \frac(m)(n) potrebno je pronaći najveći zajednički djelitelj njegovog brojnika i nazivnika: gcd(m,n), a zatim podijeliti brojilac i imenilac razlomka ovim brojem. Ako je GCD(m,n)=1, tada se razlomak ne može smanjiti. Primjer: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)
Obično se čini da je odmah pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja težak zadatak, a u praksi se razlomak smanjuje u nekoliko faza, korak po korak izolujući očigledne zajedničke faktore iz brojnika i nazivnika. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)
Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik
Matematička operacija. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik
Da biste dva razlomka \frac(a)(b) i \frac(c)(d) doveli u zajednički nazivnik, potrebno vam je:
- naći najmanji zajednički višekratnik nazivnika: M=LMK(b,d);
- pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka sa M/b (nakon čega imenilac razlomka postaje jednak broju M);
- pomnožimo brojilac i imenilac drugog razlomka sa M/d (nakon čega imenilac razlomka postaje jednak broju M).
Dakle, transformiramo originalne razlomke u razlomke s istim nazivnicima (koji će biti jednaki broju M).
Na primjer, razlomci \frac(5)(6) i \frac(4)(9) imaju LCM(6,9) = 18. Tada: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Dakle, dobijeni razlomci imaju zajednički nazivnik.
U praksi, pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) nazivnika nije uvijek jednostavan zadatak. Stoga se kao zajednički nazivnik bira broj jednak umnošku nazivnika originalnih razlomaka. Na primjer, razlomci \frac(5)(6) i \frac(4)(9) su svedeni na zajednički nazivnik N=6\cdot9:
\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)
Poređenje razlomaka
Matematička operacija. Poređenje razlomaka
Za upoređivanje dva obična razlomka potrebno je:
- uporedi brojioce dobijenih razlomaka; razlomak sa većim brojiocem će biti veći.
Kada se upoređuju razlomci, postoji nekoliko posebnih slučajeva:
- Od dva razlomka sa istim imeniocima Razlomak čiji je brojilac veći je veći. Na primjer, \frac(3)(15)
- Od dva razlomka sa istim brojiocima Veći je razlomak čiji je imenilac manji. Na primjer, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
- Taj razlomak koji istovremeno veći brojnik i manji imenilac, više. Na primjer, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)
Pažnja! Pravilo 1 primjenjuje se na sve razlomke ako im je zajednički imenilac pozitivan broj. Pravila 2 i 3 primjenjuju se na pozitivne razlomke (one kod kojih su i brojnik i imenilac veći od nule).
Sabiranje i oduzimanje razlomaka
Matematička operacija. Sabiranje i oduzimanje razlomaka
Za dodavanje dva razlomka potrebno je:
- dovesti ih do zajedničkog nazivnika;
- sabrati njihove brojnike i ostaviti imenilac nepromenjen.
Primjer: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)
Da oduzmete drugi od jednog razlomka, trebate:
- reducirati razlomke na zajednički nazivnik;
- Oduzmite brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite imenilac nepromenjen.
Primjer: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)
Ako originalni razlomci u početku imaju zajednički imenilac, tada se korak 1 (svođenje na zajednički imenilac) preskače.
Pretvaranje mješovitog broja u nepravilan razlomak i obrnuto
Matematička operacija. Pretvaranje mješovitog broja u nepravilan razlomak i obrnuto
Da biste mješoviti razlomak pretvorili u nepravilan razlomak, jednostavno zbrojite cijeli dio miješanog razlomka s dijelom razlomka. Rezultat takvog zbroja bit će nepravilan razlomak, čiji je brojnik jednak zbroju proizvoda cijelog dijela na nazivnik razlomka sa brojnikom mješovitog razlomka, a nazivnik će ostati isti. Na primjer, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)
Da pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj:
- podijeliti brojilac razlomka sa nazivnikom;
- ostatak dijeljenja upišite u brojilac i ostavite imenilac isti;
- zapišite rezultat dijeljenja kao cijeli broj.
Na primjer, razlomak \frac(23)(4) . Kada se dijeli 23:4=5,75, odnosno cijeli dio je 5, ostatak dijeljenja je 23-5*4=3. Tada će mješoviti broj biti napisan: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)
Pretvaranje decimale u razlomak
Matematička operacija. Pretvaranje decimale u razlomak
Da biste decimalni razlomak pretvorili u obični razlomak, trebate:
- uzmite n-ti stepen desetice kao nazivnik (ovdje je n broj decimalnih mjesta);
- kao brojilac uzmite broj iza decimalnog zareza (ako cijeli broj originalnog broja nije jednak nuli, uzmite i sve vodeće nule);
- cijeli broj različit od nule je upisan u brojiocu na samom početku; nulti cijeli broj je izostavljen.
Primjer 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (postoje 4 decimalna mjesta, tako da nazivnik ima 10 4 =10000, pošto je cijeli broj 0, brojilac sadrži broj iza decimalnog zareza bez vodećih nula)
Primjer 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (u brojiocu upisujemo broj iza decimalnog zareza sa svim nulama: "0109", a zatim prije njega dodajemo cijeli dio originalnog broja "31")
Ako je cijeli dio decimalnog razlomka različit od nule, onda se može pretvoriti u mješoviti razlomak. Da bismo to učinili, pretvaramo broj u običan razlomak kao da je cijeli dio jednak nuli (tačke 1 i 2) i jednostavno prepisujemo cijeli dio ispred razlomka - to će biti cijeli dio mješovitog broja . primjer:
3.014=3\frac(14)(100)
Da biste razlomak pretvorili u decimalu, jednostavno podijelite brojilac sa nazivnikom. Ponekad završite sa beskonačnom decimalom. U tom slučaju potrebno je zaokružiti na željeno decimalno mjesto. primjeri:
\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\pribl.0,6667
Množenje i dijeljenje razlomaka
Matematička operacija. Množenje i dijeljenje razlomaka
Da biste pomnožili dva obična razlomka, morate pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka.
\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)
Da biste podijelili jedan obični razlomak s drugim, trebate prvi razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti drugog ( recipročni razlomak- razlomak u kojem se brojilac i imenilac zamjenjuju.
\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)
Ako je jedan od razlomaka prirodan broj, gore navedena pravila množenja i dijeljenja ostaju na snazi. Samo treba uzeti u obzir da je cijeli broj isti razlomak, čiji je nazivnik jednak jedan. Na primjer: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7