যৌক্তিক অভিব্যক্তি অনলাইনে রূপান্তর করুন। পাওয়ার এক্সপ্রেশন (ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি) এবং তাদের রূপান্তর

যেকোনো ভাষা একই তথ্য প্রকাশ করতে পারে বিভিন্ন শব্দেএবং বিপ্লব। গাণিতিক ভাষাও এর ব্যতিক্রম নয়। কিন্তু একই অভিব্যক্তি সমানভাবে বিভিন্ন উপায়ে লেখা যেতে পারে। এবং কিছু পরিস্থিতিতে, এন্ট্রিগুলির মধ্যে একটি সহজ। আমরা এই পাঠে অভিব্যক্তি সরলীকরণ সম্পর্কে কথা বলব।

লোকেরা যোগাযোগ করে বিভিন্ন ভাষা. আমাদের জন্য, একটি গুরুত্বপূর্ণ তুলনা হল জোড়া "রাশিয়ান ভাষা - গাণিতিক ভাষা"। একই তথ্য বিভিন্ন ভাষায় যোগাযোগ করা যেতে পারে। তবে, এটি ছাড়াও, এটি একটি ভাষায় বিভিন্ন উপায়ে উচ্চারণ করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ: "পেটিয়া ভাস্যের সাথে বন্ধু", "বস্য পেটিয়ার সাথে বন্ধু", "পেটিয়া এবং ভাস্য বন্ধু"। ভিন্নভাবে বলেছেন, কিন্তু একই জিনিস। এই বাক্যাংশগুলির যেকোনো একটি থেকে আমরা বুঝতে পারব যে আমরা কী সম্পর্কে কথা বলছি।

আসুন এই বাক্যাংশটি দেখি: "ছেলে পেটিয়া এবং বালক ভাস্য বন্ধু।" আমরা কি বলতে চাইছি তা আমরা বুঝি আমরা সম্পর্কে কথা বলছি. যাইহোক, আমরা এই বাক্যাংশের শব্দ পছন্দ করি না। আমরা কি এটাকে সরলীকরণ করতে পারি না, একই কথা বলতে পারি, কিন্তু সহজ? "ছেলে এবং ছেলে" - আপনি একবার বলতে পারেন: "ছেলে পেটিয়া এবং ভাস্য বন্ধু।"

"ছেলেরা"... তাদের নাম থেকেই কি স্পষ্ট হয় না যে তারা মেয়ে নয়? আমরা "ছেলেদের" সরিয়ে দিই: "পেতিয়া এবং ভাস্য বন্ধু।" এবং "বন্ধু" শব্দটি "বন্ধু" দিয়ে প্রতিস্থাপিত হতে পারে: "পেটিয়া এবং ভাস্য বন্ধু।" ফলস্বরূপ, প্রথম, দীর্ঘ, কুৎসিত বাক্যাংশটি একটি সমতুল্য বিবৃতি দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়েছিল যা বলা সহজ এবং বোঝা সহজ। আমরা এই বাক্যাংশটি সরলীকৃত করেছি। সরলীকরণ মানে আরও সহজভাবে বলা, কিন্তু অর্থ হারানো বা বিকৃত করা নয়।

গাণিতিক ভাষায়, মোটামুটি একই জিনিস ঘটে। এক এবং একই জিনিস বলা যেতে পারে, ভিন্নভাবে লিখিত. একটি অভিব্যক্তি সরলীকরণ মানে কি? এর মানে হল যে মূল অভিব্যক্তির জন্য অনেকগুলি সমতুল্য অভিব্যক্তি রয়েছে, অর্থাৎ যেগুলি একই জিনিস বোঝায়। এবং এই সমস্ত বৈচিত্র্য থেকে আমাদের অবশ্যই সবচেয়ে সহজ, আমাদের মতে, বা আমাদের পরবর্তী উদ্দেশ্যে সবচেয়ে উপযুক্ত বেছে নিতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন। এর সমতুল্য হবে।

এটি প্রথম দুটির সমতুল্যও হবে: .

দেখা যাচ্ছে যে আমরা আমাদের অভিব্যক্তিকে সরলীকৃত করেছি এবং সংক্ষিপ্ততম সমতুল্য অভিব্যক্তি খুঁজে পেয়েছি।

সাংখ্যিক রাশির জন্য, আপনাকে সর্বদা সবকিছু করতে হবে এবং একটি একক সংখ্যা হিসাবে সমতুল্য রাশি পেতে হবে।

আসুন একটি আক্ষরিক অভিব্যক্তির উদাহরণ দেখি . স্পষ্টতই, এটি আরও সহজ হবে।

আক্ষরিক অভিব্যক্তি সরলীকরণ করার সময়, সমস্ত সম্ভাব্য ক্রিয়া সম্পাদন করা প্রয়োজন।

এটা কি সবসময় একটি অভিব্যক্তি সরলীকরণ প্রয়োজন? না, কখনও কখনও এটি আমাদের জন্য একটি সমতুল্য কিন্তু দীর্ঘ এন্ট্রি আছে আরো সুবিধাজনক হবে.

উদাহরণ: আপনাকে একটি সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা বিয়োগ করতে হবে।

এটি গণনা করা সম্ভব, কিন্তু যদি প্রথম সংখ্যাটি তার সমতুল্য স্বরলিপি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়: , তাহলে গণনাগুলি তাত্ক্ষণিক হবে: .

অর্থাৎ, আরও গণনার জন্য একটি সরলীকৃত অভিব্যক্তি সবসময় আমাদের জন্য উপকারী নয়।

তা সত্ত্বেও, প্রায়শই আমরা এমন একটি কাজের মুখোমুখি হই যেটি কেবল "অভিব্যক্তিকে সরল করুন" এর মতো শোনায়।

অভিব্যক্তি সরলীকরণ: .

সমাধান

1) প্রথম এবং দ্বিতীয় বন্ধনীতে কর্ম সম্পাদন করুন: .

2) আসুন পণ্যগুলি গণনা করি: .

স্পষ্টতই, শেষ অভিব্যক্তিটির প্রাথমিকের চেয়ে সহজ ফর্ম রয়েছে। আমরা এটা সরলীকৃত করেছি.

অভিব্যক্তি সহজ করার জন্য, এটি একটি সমতুল্য (সমান) দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা আবশ্যক।

আপনার প্রয়োজন সমতুল্য অভিব্যক্তি নির্ধারণ করতে:

1) সমস্ত সম্ভাব্য ক্রিয়া সম্পাদন করুন,

2) গণনা সহজ করতে যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করুন।

যোগ এবং বিয়োগের বৈশিষ্ট্য:

1. সংযোজনের কম্যুটেটিভ সম্পত্তি: শর্তাবলী পুনর্বিন্যাস করলে যোগফল পরিবর্তন হয় না।

2. যোগের সম্মিলিত বৈশিষ্ট্য: দুটি সংখ্যার যোগফলের সাথে তৃতীয় সংখ্যা যোগ করতে, আপনি প্রথম সংখ্যার সাথে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সংখ্যার যোগফল যোগ করতে পারেন।

3. একটি সংখ্যা থেকে একটি যোগফল বিয়োগের বৈশিষ্ট্য: একটি সংখ্যা থেকে একটি যোগফল বিয়োগ করতে, আপনি আলাদাভাবে প্রতিটি পদ বিয়োগ করতে পারেন।

গুণ ও ভাগের বৈশিষ্ট্য

1. গুণের পরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য: গুণনীয়কগুলিকে পুনর্বিন্যাস করলে গুণফল পরিবর্তন হয় না।

2. সমন্বিত বৈশিষ্ট্য: দুটি সংখ্যার গুণফল দ্বারা একটি সংখ্যাকে গুণ করতে, আপনি প্রথমে এটিকে প্রথম গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করতে পারেন, এবং তারপর ফলাফলটি দ্বিতীয় গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করতে পারেন।

3. গুণের বন্টনমূলক বৈশিষ্ট্য: একটি যোগফল দ্বারা একটি সংখ্যাকে গুণ করার জন্য, আপনাকে প্রতিটি পদ দ্বারা এটিকে আলাদাভাবে গুণ করতে হবে।

আসুন দেখি আমরা আসলে মানসিক হিসাব কিভাবে করি।

গণনা করুন:

সমাধান

1) আসুন কল্পনা করা যাক কিভাবে

2) আসুন প্রথম ফ্যাক্টরটিকে বিট পদের যোগফল হিসাবে কল্পনা করি এবং গুণনটি সম্পাদন করি:

3) আপনি কল্পনা করতে পারেন কিভাবে এবং গুণন সঞ্চালন:

4) প্রথম ফ্যাক্টরটিকে একটি সমতুল্য যোগফল দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন:

বন্টনমূলক আইনও ব্যবহার করা যেতে পারে বিপরীত দিকে: .

এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:

1) 2)

সমাধান

1) সুবিধার জন্য, আপনি বন্টনমূলক আইন ব্যবহার করতে পারেন, কিন্তু এটি বিপরীত দিকে ব্যবহার করুন - বন্ধনী থেকে সাধারণ গুণকটি নিন।

2) বন্ধনী থেকে সাধারণ গুণনীয়কটি নেওয়া যাক

রান্নাঘর এবং হলওয়ের জন্য লিনোলিয়াম কিনতে প্রয়োজনীয়। রান্নাঘর এলাকা - , হলওয়ে - . তিন ধরনের লিনোলিয়াম রয়েছে: জন্য, এবং রুবেল জন্য। তিন ধরনের লিনোলিয়ামের প্রতিটির দাম কত হবে? (আকার 1)

ভাত। 1. সমস্যা বিবৃতি জন্য চিত্রণ

সমাধান

পদ্ধতি 1. রান্নাঘরের জন্য লিনোলিয়াম কিনতে কত টাকা লাগবে তা আপনি আলাদাভাবে খুঁজে পেতে পারেন এবং তারপরে এটি হলওয়েতে রাখুন এবং ফলস্বরূপ পণ্যগুলি যোগ করুন।

একটি আক্ষরিক অভিব্যক্তি (বা পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তি) হল একটি গাণিতিক অভিব্যক্তি যা সংখ্যা, অক্ষর এবং গাণিতিক প্রতীক নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি আক্ষরিক:

a+b+4

বর্ণানুক্রমিক রাশি ব্যবহার করে আপনি আইন, সূত্র, সমীকরণ এবং ফাংশন লিখতে পারেন। অক্ষর অভিব্যক্তি ম্যানিপুলেট করার ক্ষমতা চাবিকাঠি ভাল জ্ঞানবীজগণিত এবং উচ্চতর গণিত।

গণিতের যেকোনো গুরুতর সমস্যা সমীকরণ সমাধানে নেমে আসে। এবং সমীকরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, আপনাকে আক্ষরিক অভিব্যক্তিগুলির সাথে কাজ করতে সক্ষম হতে হবে।

আক্ষরিক অভিব্যক্তির সাথে কাজ করার জন্য, আপনাকে মৌলিক গাণিতিক সম্পর্কে ভালভাবে পারদর্শী হতে হবে: যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, গণিতের মৌলিক আইন, ভগ্নাংশ, ভগ্নাংশের সাথে ক্রিয়াকলাপ, অনুপাত। আর শুধু পড়ালেখা নয়, ভালোভাবে বুঝুন।

পাঠের বিষয়বস্তু

ভেরিয়েবল

আক্ষরিক অভিব্যক্তিতে যে বর্ণগুলি থাকে তাকে বলা হয় ভেরিয়েবল. উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তিতে a+b+ 4টি ভেরিয়েবল হল অক্ষর কএবং খ. যদি আমরা এই ভেরিয়েবলের পরিবর্তে কোন সংখ্যা প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আক্ষরিক অভিব্যক্তি a+b+ 4 একটি সংখ্যাসূচক রাশিতে পরিণত হবে যার মান পাওয়া যাবে।

ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপিত সংখ্যাকে বলা হয় ভেরিয়েবলের মান. উদাহরণস্বরূপ, চলকগুলির মান পরিবর্তন করা যাক কএবং খ. সমান চিহ্নটি মান পরিবর্তন করতে ব্যবহৃত হয়

a = 2, খ = 3

আমরা ভেরিয়েবলের মান পরিবর্তন করেছি কএবং খ. পরিবর্তনশীল কএকটি মান বরাদ্দ করা হয়েছে 2 , পরিবর্তনশীল খএকটি মান বরাদ্দ করা হয়েছে 3 . ফলে আক্ষরিক অভিব্যক্তি a+b+4একটি নিয়মিত সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিতে পরিণত হয় 2+3+4 যার মান পাওয়া যাবে:

যখন চলকগুলিকে গুণ করা হয়, তখন তারা একসাথে লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, রেকর্ড abএন্ট্রি হিসাবে একই মানে a×b. যদি আমরা ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন করি কএবং খসংখ্যা 2 এবং 3 , তাহলে আমরা 6 পাব

আপনি বন্ধনীতে একটি অভিব্যক্তি দ্বারা একটি সংখ্যার গুণকে একসাথে লিখতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, পরিবর্তে a×(b + c)লিখে রাখা যেতে পারে a(b + c). গুণের বন্টন আইন প্রয়োগ করে, আমরা পাই a(b + c) = ab+ac.

মতভেদ

আক্ষরিক অভিব্যক্তিতে আপনি প্রায়ই একটি স্বরলিপি খুঁজে পেতে পারেন যেখানে একটি সংখ্যা এবং একটি পরিবর্তনশীল একসাথে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ 3a. এটি আসলে একটি পরিবর্তনশীল দ্বারা 3 সংখ্যাকে গুণ করার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ। কএবং এই এন্ট্রি মত দেখায় 3×a .

অন্য কথায়, অভিব্যক্তি 3aসংখ্যা 3 এবং চলকের গুণফল ক. সংখ্যা 3 এই কাজে তারা ডাকে গুণাঙ্ক. এই সহগটি দেখায় যে চলকটি কতবার বাড়ানো হবে ক. এই অভিব্যক্তিটি হিসাবে পড়া যেতে পারে " কতিন বার" বা "তিন বার ক", বা "একটি ভেরিয়েবলের মান বাড়ান কতিন বার", কিন্তু প্রায়শই "তিন" হিসাবে পড়া হয় ক«

উদাহরণস্বরূপ, যদি পরিবর্তনশীল কসমান 5 , তারপর অভিব্যক্তির মান 3a 15 এর সমান হবে।

3 × 5 = 15

কথা বলছি সহজ ভাষায়, সহগ হল সেই সংখ্যা যা অক্ষরের আগে আসে (চলকের আগে)।

উদাহরণস্বরূপ, বেশ কয়েকটি অক্ষর থাকতে পারে 5abc. এখানে সহগ হল সংখ্যা 5 . এই সহগটি দেখায় যে চলকের গুণফল abcপাঁচগুণ বৃদ্ধি পায়। এই অভিব্যক্তিটি হিসাবে পড়া যেতে পারে " abcপাঁচ গুণ" বা "অভিব্যক্তির মান বাড়ান abcপাঁচ বার" বা "পাঁচ abc«.

যদি ভেরিয়েবলের পরিবর্তে abcসংখ্যা 2, 3 এবং 4 প্রতিস্থাপন করুন, তারপর অভিব্যক্তির মান 5abcসমান হবে 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

আপনি মানসিকভাবে কল্পনা করতে পারেন কিভাবে 2, 3 এবং 4 সংখ্যাগুলিকে প্রথম গুণ করা হয়েছিল এবং ফলস্বরূপ মান পাঁচগুণ বৃদ্ধি পেয়েছে:

সহগের চিহ্নটি কেবলমাত্র সহগকে বোঝায় এবং চলকের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন −6 খ. সহগের আগে বিয়োগ 6 , শুধুমাত্র সহগ প্রযোজ্য 6 , এবং ভেরিয়েবলের অন্তর্গত নয় খ. এই সত্যটি বোঝা আপনাকে ভবিষ্যতে লক্ষণগুলির সাথে ভুল না করার অনুমতি দেবে।

আসুন অভিব্যক্তিটির মান খুঁজে বের করি −6 খএ b = 3.

−6 খ −6×b. স্পষ্টতার জন্য, আসুন অভিব্যক্তিটি লিখি −6 খপ্রসারিত আকারে এবং পরিবর্তনশীলের মান প্রতিস্থাপন করুন খ

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

উদাহরণ 2।একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন −6 খএ b = −5

চলুন অভিব্যক্তি লিখুন −6 খপ্রসারিত আকারে

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

উদাহরণ 3.একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন −5a+bএ a = 3এবং b = 2

−5a+bএই জন্য একটি সংক্ষিপ্ত ফর্ম −5 × a + b, তাই স্পষ্টতার জন্য আমরা অভিব্যক্তি লিখি −5×a+bপ্রসারিত আকারে এবং ভেরিয়েবলের মান প্রতিস্থাপন করুন কএবং খ

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

কখনও কখনও অক্ষরগুলি সহগ ছাড়াই লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ কবা ab. এই ক্ষেত্রে, সহগ হল একতা:

কিন্তু ঐতিহ্যগতভাবে একক লেখা হয় না, তাই তারা সহজভাবে লেখে কবা ab

যদি অক্ষরের আগে একটি বিয়োগ থাকে, তাহলে সহগটি একটি সংখ্যা −1 . উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি −aআসলে মনে হচ্ছে −1ক. এটি বিয়োগ এক এবং চলকের গুণফল কএটি এই মত পরিণত হয়েছে:

−1 × a = −1a

এখানে একটু ধরা আছে. অভিব্যক্তিতে −aভেরিয়েবলের সামনে মাইনাস চিহ্ন কআসলে একটি পরিবর্তনশীলের পরিবর্তে একটি "অদৃশ্য ইউনিট" বোঝায় ক. অতএব, সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় আপনার সতর্ক হওয়া উচিত।

উদাহরণস্বরূপ, যদি অভিব্যক্তি দেওয়া হয় −aএবং আমরা এর মান খুঁজে পেতে বলা হয় a = 2, তারপর স্কুলে আমরা একটি পরিবর্তনশীলের পরিবর্তে একটি দুটি প্রতিস্থাপন করেছি কএবং একটি উত্তর পেয়েছি −2 , এটা পরিণত কিভাবে খুব বেশি ফোকাস ছাড়া. প্রকৃতপক্ষে, বিয়োগ এককে ধনাত্মক সংখ্যা 2 দ্বারা গুণ করা হয়েছিল

−a = −1 × ক

−1 × a = −1 × 2 = −2

যদি অভিব্যক্তি দেওয়া হয় −aএবং আপনি এর মান খুঁজে পেতে হবে a = −2, তারপর আমরা প্রতিস্থাপন −2 একটি পরিবর্তনশীল এর পরিবর্তে ক

−a = −1 × ক

−1 × a = −1 × (−2) = 2

ভুল এড়াতে, প্রথমে অদৃশ্য এককগুলি স্পষ্টভাবে লেখা যেতে পারে।

উদাহরণ 4.একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন abcএ a=2 , b=3এবং c=4

অভিব্যক্তি abc 1×a×b×c.স্পষ্টতার জন্য, আসুন অভিব্যক্তিটি লিখি abc ক, খএবং গ

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

উদাহরণ 5।একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন abcএ a=−2 , b=−3এবং c=−4

চলুন অভিব্যক্তি লিখুন abcপ্রসারিত আকারে এবং ভেরিয়েবলের মান প্রতিস্থাপন করুন ক, খএবং গ

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

উদাহরণ 6.একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন − abcএ a=3, b=5 এবং c=7

অভিব্যক্তি − abcএই জন্য একটি সংক্ষিপ্ত ফর্ম −1×a×b×c.স্পষ্টতার জন্য, আসুন অভিব্যক্তিটি লিখি − abcপ্রসারিত আকারে এবং ভেরিয়েবলের মান প্রতিস্থাপন করুন ক, খএবং গ

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

উদাহরণ 7।একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন − abcএ a=−2 , b=−4 এবং c=−3

চলুন অভিব্যক্তি লিখুন − abcপ্রসারিত আকারে:

−abc = −1 × a × b × c

চলকের মান প্রতিস্থাপন করা যাক ক , খএবং গ

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

কিভাবে সহগ নির্ধারণ করতে হয়

কখনও কখনও আপনাকে একটি সমস্যা সমাধান করতে হবে যেখানে আপনাকে একটি অভিব্যক্তির সহগ নির্ধারণ করতে হবে। নীতিগতভাবে, এই কাজটি খুব সহজ। সংখ্যা সঠিকভাবে গুণ করতে সক্ষম হওয়া যথেষ্ট।

একটি অভিব্যক্তিতে সহগ নির্ধারণ করতে, আপনাকে এই অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত সংখ্যাগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করতে হবে এবং অক্ষরগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করতে হবে। ফলে সংখ্যাসূচক গুণনীয়ক সহগ হবে।

উদাহরণ 1. 7m×5a×(−3)×n

অভিব্যক্তিটি বিভিন্ন কারণ নিয়ে গঠিত। আপনি যদি এক্সপ্রেশনটি প্রসারিত আকারে লেখেন তবে এটি স্পষ্টভাবে দেখা যাবে। অর্থাৎ কাজগুলো 7মিএবং 5 কফর্মে এটি লিখুন 7×মিএবং 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

আসুন গুণের সহযোগী আইন প্রয়োগ করি, যা আপনাকে যেকোন ক্রমে গুণনীয়ককে গুণ করতে দেয়। যথা, আমরা আলাদাভাবে সংখ্যাগুলিকে গুণ করব এবং আলাদাভাবে অক্ষরগুলি (ভেরিয়েবল) গুণ করব:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

সহগ হল −105 . সমাপ্তির পরে, অক্ষরের অংশটি বর্ণানুক্রমিকভাবে সাজানোর পরামর্শ দেওয়া হয়:

−105amn

উদাহরণ 2।অভিব্যক্তিতে সহগ নির্ধারণ করুন: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

সহগ 6।

উদাহরণ 3.অভিব্যক্তিতে সহগ নির্ধারণ করুন:

আসুন সংখ্যা এবং অক্ষর আলাদাভাবে গুণ করি:

সহগ হল −1। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে এককটি লেখা নেই, যেহেতু সহগ 1 না লেখার প্রথা রয়েছে।

এই আপাতদৃষ্টিতে সহজ কাজগুলি আমাদের জন্য একটি খুব বড় ভূমিকা পালন করতে পারে। নিষ্ঠুর রসিকতা. এটি প্রায়শই দেখা যায় যে সহগের চিহ্নটি ভুলভাবে সেট করা হয়েছে: হয় বিয়োগ অনুপস্থিত বা বিপরীতভাবে, এটি নিরর্থক সেট করা হয়েছে। এই বিরক্তিকর ভুলগুলি এড়াতে, এটি একটি ভাল স্তরে অধ্যয়ন করা আবশ্যক।

আক্ষরিক অভিব্যক্তিতে যোগ করে

বেশ কয়েকটি সংখ্যা যোগ করার সময়, এই সংখ্যাগুলির যোগফল পাওয়া যায়। যে সংখ্যাগুলি যোগ করে তাকে যোগ বলে। বিভিন্ন পদ থাকতে পারে, উদাহরণস্বরূপ:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

যখন একটি অভিব্যক্তি পদগুলি নিয়ে গঠিত, তখন এটি মূল্যায়ন করা অনেক সহজ কারণ যোগ করা বিয়োগের চেয়ে সহজ। কিন্তু অভিব্যক্তিতে শুধুমাত্র যোগ নয়, বিয়োগও থাকতে পারে, উদাহরণস্বরূপ:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

এই অভিব্যক্তিতে, 3 এবং 5 সংখ্যাগুলি সাবট্রাহেন্ড, যোগ নয়। কিন্তু কোন কিছুই আমাদের বিয়োগকে যোগ দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে বাধা দেয় না। তারপরে আমরা আবার পদগুলির সমন্বয়ে একটি অভিব্যক্তি পাই:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

এটা কোন ব্যাপার না যে −3 এবং −5 সংখ্যার এখন একটি বিয়োগ চিহ্ন আছে। মূল বিষয় হল এই রাশিটির সমস্ত সংখ্যা একটি যোগ চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত, অর্থাৎ, অভিব্যক্তিটি একটি যোগফল।

উভয় অভিব্যক্তি 1 + 2 − 3 + 4 − 5 এবং 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) একই মানের সমান - বিয়োগ এক

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

সুতরাং, বিয়োগকে কোথাও যোগ দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে ভাবের অর্থ ক্ষতিগ্রস্ত হবে না।

আপনি আক্ষরিক অভিব্যক্তিতে যোগ করে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য এ বি সি ডিএবং sঅভিব্যক্তি 7a + 6b − 3c + 2d − 4s এবং 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) একই মানের সমান হবে।

আপনাকে অবশ্যই প্রস্তুত থাকতে হবে যে স্কুলের একজন শিক্ষক বা একটি প্রতিষ্ঠানের একজন শিক্ষক জোড় সংখ্যা (বা ভেরিয়েবল) কল করতে পারেন যা যোগ নয়।

যেমন পার্থক্য বোর্ডে লেখা থাকলে a − খ, তাহলে শিক্ষক সেটা বলবেন না কএকটি minuend, এবং খ- বিয়োগযোগ্য। তিনি একটি সাধারণ শব্দ দিয়ে উভয় ভেরিয়েবলকে কল করবেন - শর্তাবলী. এবং সব কারণ ফর্ম প্রকাশ a − খগণিতবিদ দেখেন কিভাবে যোগফল a+(−b). এই ক্ষেত্রে, অভিব্যক্তি একটি যোগফল এবং ভেরিয়েবলে পরিণত হয় কএবং (-খ)পদ হয়ে

অনুরূপ পদ

অনুরূপ পদ- এই একই অক্ষর অংশ আছে যে পদ. উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন 7a + 6b + 2a. উপাদান 7 কএবং 2কএকই অক্ষর অংশ আছে - পরিবর্তনশীল ক. তাই শর্তাবলী 7 কএবং 2কএকইরকম।

সাধারণত, একটি অভিব্যক্তি সরল করতে বা সমীকরণ সমাধান করতে অনুরূপ পদ যোগ করা হয়। এই অপারেশন বলা হয় অনুরূপ শর্তাবলী আনা.

অনুরূপ পদগুলি আনতে, আপনাকে এই পদগুলির সহগ যোগ করতে হবে এবং সাধারণ অক্ষরের অংশ দ্বারা ফলিত ফলাফলকে গুণ করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি 3a + 4a + 5a. এই ক্ষেত্রে, সমস্ত পদ একই রকম। আসুন তাদের সহগ যোগ করি এবং ফলাফলটিকে সাধারণ অক্ষরের অংশ দ্বারা গুণ করি - পরিবর্তনশীল দ্বারা ক

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

অনুরূপ পদগুলি সাধারণত মনে রাখা হয় এবং ফলাফল অবিলম্বে লেখা হয়:

3a + 4a + 5a = 12a

এছাড়াও, একজন নিম্নরূপ কারণ হতে পারে:

তাদের সাথে 3টি একটি ভেরিয়েবল, 4টি আরও একটি ভেরিয়েবল এবং আরও 5টি একটি ভেরিয়েবল যুক্ত করা হয়েছিল। ফলস্বরূপ, আমরা 12টি ভেরিয়েবল পেয়েছি a

অনুরূপ পদ আনার বেশ কয়েকটি উদাহরণ দেখি। সেই বিবেচনায় এই বিষয়েখুবই গুরুত্বপূর্ণ, প্রথমে আমরা প্রতিটি ছোটখাটো বিস্তারিত বিস্তারিত লিখব। যদিও এখানে সবকিছু খুব সহজ, বেশিরভাগ মানুষ অনেক ভুল করে। প্রধানত অসাবধানতার কারণে, অজ্ঞতা নয়।

উদাহরণ 1. 3a + 2a + 6a + 8ক

আসুন এই অভিব্যক্তিতে সহগ যোগ করি এবং সাধারণ অক্ষর অংশ দ্বারা ফলিত ফলাফলকে গুণ করি:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

নকশা (3 + 2 + 6 + 8)×aআপনাকে এটি লিখতে হবে না, তাই আমরা এখনই উত্তরটি লিখব

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

উদাহরণ 2।অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ দিন 2a+a

দ্বিতীয় মেয়াদে কএকটি সহগ ছাড়া লিখিত, কিন্তু আসলে এটির সামনে একটি সহগ আছে 1 , যা আমরা দেখতে পাই না কারণ এটি রেকর্ড করা হয়নি। তাই অভিব্যক্তি এই মত দেখায়:

2a + 1a

এখন অনুরূপ পদ উপস্থাপন করা যাক. অর্থাৎ, আমরা সহগ যোগ করি এবং ফলাফলটিকে সাধারণ অক্ষরের অংশ দ্বারা গুণ করি:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

আসুন সংক্ষেপে সমাধানটি লিখি:

2a + a = 3a

2a+a, আপনি ভিন্নভাবে চিন্তা করতে পারেন:

উদাহরণ 3.অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ দিন 2a−a

যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করা যাক:

2a + (−a)

দ্বিতীয় মেয়াদে (-ক)একটি সহগ ছাড়া লিখিত, কিন্তু বাস্তবে এটি মত দেখায় (−1a)।গুণাঙ্ক −1 আবার অদৃশ্য কারণে যে এটি রেকর্ড করা হয় না. তাই অভিব্যক্তি এই মত দেখায়:

2a + (−1a)

এখন অনুরূপ পদ উপস্থাপন করা যাক. আসুন সহগ যোগ করি এবং ফলাফলটিকে সাধারণ অক্ষরের অংশ দ্বারা গুণ করি:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

সাধারণত ছোট লেখা হয়:

2a − a = a

অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ দেওয়া 2a−aআপনি ভিন্নভাবে চিন্তা করতে পারেন:

2টি চলক ছিল a, একটি চলক a বিয়োগ কর এবং ফলস্বরূপ একটি বাম চলক ছিল

উদাহরণ 4.অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ দিন 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

এখন অনুরূপ পদ উপস্থাপন করা যাক. আসুন সহগ যোগ করি এবং ফলাফলটিকে মোট অক্ষরের অংশ দ্বারা গুণ করি

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

আসুন সংক্ষেপে সমাধানটি লিখি:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

বেশ কিছু ধারণ করে এমন অভিব্যক্তি আছে বিভিন্ন গ্রুপঅনুরূপ পদ উদাহরণ স্বরূপ, 3a + 3b + 7a + 2b. এই ধরনের অভিব্যক্তির জন্য, অন্যদের জন্য একই নিয়ম প্রযোজ্য, যথা, সহগ যোগ করা এবং সাধারণ অক্ষর অংশ দ্বারা ফলাফলের গুণ করা। কিন্তু ভুল এড়ানোর জন্য, বিভিন্ন লাইন দিয়ে পদের বিভিন্ন গ্রুপ হাইলাইট করা সুবিধাজনক।

উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তিতে 3a + 3b + 7a + 2bএকটি পরিবর্তনশীল আছে যে পদ ক, একটি লাইন দিয়ে আন্ডারলাইন করা যেতে পারে, এবং একটি পরিবর্তনশীল ধারণ করা শর্তাবলী খ, দুটি লাইন দিয়ে জোর দেওয়া যেতে পারে:

এখন আমরা অনুরূপ পদ উপস্থাপন করতে পারেন. অর্থাৎ, সহগ যোগ করুন এবং প্রাপ্ত ফলাফলটিকে মোট অক্ষরের অংশ দ্বারা গুণ করুন। এটি অবশ্যই উভয় গোষ্ঠীর পদগুলির জন্য করা উচিত: একটি পরিবর্তনশীল সম্বলিত পদগুলির জন্য৷ কএবং একটি ভেরিয়েবল ধারণকারী শর্তাবলী জন্য খ.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

আবার, আমরা পুনরাবৃত্তি করি, অভিব্যক্তিটি সহজ, এবং অনুরূপ পদগুলি মনে রাখা যেতে পারে:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

উদাহরণ 5।অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ দিন 5a − 6a −7b + b

যেখানে সম্ভব যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করা যাক:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

আসুন বিভিন্ন লাইন দিয়ে অনুরূপ পদকে আন্ডারলাইন করি। ভেরিয়েবল ধারণকারী শর্তাবলী কআমরা একটি লাইন দিয়ে আন্ডারলাইন করি, এবং পদগুলি ভেরিয়েবলের বিষয়বস্তু খ, দুটি লাইন দিয়ে আন্ডারলাইন করুন:

এখন আমরা অনুরূপ পদ উপস্থাপন করতে পারেন. অর্থাৎ, সহগ যোগ করুন এবং সাধারণ অক্ষর অংশ দ্বারা ফলাফল গুন করুন:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + (−7) + 1)×b = −a + (−6b)

যদি অভিব্যক্তিতে অক্ষর গুণক ছাড়া সাধারণ সংখ্যা থাকে, তবে সেগুলি আলাদাভাবে যোগ করা হয়।

উদাহরণ 6.অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ দিন 4a + 3a − 5 + 2b + 7

যেখানে সম্ভব যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করা যাক:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

আমাদের অনুরূপ পদ উপস্থাপন করা যাক. সংখ্যা −5 এবং 7 অক্ষর উপাদান নেই, কিন্তু তারা একই পদ - তারা শুধু যোগ করা প্রয়োজন. এবং টার্ম 2 খঅপরিবর্তিত থাকবে, যেহেতু এই অভিব্যক্তিতে এটিই একমাত্র যার একটি অক্ষর ফ্যাক্টর রয়েছে খ,এবং এর সাথে যোগ করার কিছু নেই:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

আসুন সংক্ষেপে সমাধানটি লিখি:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

পদগুলিকে অর্ডার করা যেতে পারে যাতে একই অক্ষরের অংশ থাকে এমন পদগুলি অভিব্যক্তির একই অংশে অবস্থিত।

উদাহরণ 7।অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ দিন 5t+2x+3x+5t+x

যেহেতু অভিব্যক্তিটি বেশ কয়েকটি পদের সমষ্টি, এটি আমাদেরকে যেকোনো ক্রমে মূল্যায়ন করতে দেয়। অতএব, পরিবর্তনশীল ধারণকারী পদ t, এক্সপ্রেশনের শুরুতে লেখা যেতে পারে এবং ভেরিয়েবল সম্বলিত পদ এক্সঅভিব্যক্তির শেষে:

5t + 5t + 2x + 3x + x

এখন আমরা অনুরূপ পদ উপস্থাপন করতে পারি:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

আসুন সংক্ষেপে সমাধানটি লিখি:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

বিপরীত সংখ্যার যোগফল শূন্য। এই নিয়মটি আক্ষরিক অভিব্যক্তির জন্যও কাজ করে। যদি অভিব্যক্তিতে অভিন্ন পদ থাকে, কিন্তু বিপরীত চিহ্ন থাকে, তাহলে আপনি অনুরূপ পদগুলি হ্রাস করার পর্যায়ে সেগুলি থেকে পরিত্রাণ পেতে পারেন। অন্য কথায়, কেবল তাদের অভিব্যক্তি থেকে মুছে ফেলুন, যেহেতু তাদের যোগফল শূন্য।

উদাহরণ 8।অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ দিন 3t − 4t − 3t + 2t

যেখানে সম্ভব যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করা যাক:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

উপাদান 3টিএবং (−3t)বিপরীত হয় বিপরীত পদের যোগফল শূন্য। যদি আমরা এক্সপ্রেশন থেকে এই শূন্যটি সরিয়ে ফেলি তবে এক্সপ্রেশনের মান পরিবর্তন হবে না, তাই আমরা এটি সরিয়ে দেব। এবং আমরা কেবল শর্তাদি অতিক্রম করে এটিকে সরিয়ে দেব 3টিএবং (−3t)

ফলে, আমরা অভিব্যক্তির সাথে বাকি থাকব (−4t) + 2t. এই অভিব্যক্তিতে, আপনি অনুরূপ পদ যোগ করতে পারেন এবং চূড়ান্ত উত্তর পেতে পারেন:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

আসুন সংক্ষেপে সমাধানটি লিখি:

এক্সপ্রেশন সরলীকরণ

"অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন" এবং নীচে অভিব্যক্তি যা সরলীকরণ করা প্রয়োজন। একটি অভিব্যক্তি সরল করুনএটা সহজ এবং সংক্ষিপ্ত করা মানে.

প্রকৃতপক্ষে, আমরা ভগ্নাংশ হ্রাস করার সময় আমরা ইতিমধ্যেই অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করেছি। হ্রাস করার পরে, ভগ্নাংশটি সংক্ষিপ্ত এবং বোঝা সহজ হয়ে উঠেছে।

চলো বিবেচনা করি পরবর্তী উদাহরণ. অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।

এই কাজটি আক্ষরিক অর্থে নিম্নরূপ বোঝা যায়: "এই অভিব্যক্তিতে কোনো বৈধ ক্রিয়া প্রয়োগ করুন, তবে এটিকে আরও সহজ করুন।" .

এই ক্ষেত্রে, আপনি ভগ্নাংশ কমাতে পারেন, যথা, ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 2 দ্বারা ভাগ করুন:

তুমি আর কি করতে পারো? আপনি ফলাফল ভগ্নাংশ গণনা করতে পারেন. তাহলে আমরা পাই দশমিক ভগ্নাংশ 0.5

ফলস্বরূপ, ভগ্নাংশটি 0.5 এ সরলীকৃত হয়েছিল।

এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় আপনাকে প্রথম প্রশ্নটি নিজেকে জিজ্ঞাসা করা উচিত "কি করা যেতে পারে?" . কারণ এমন কিছু কাজ আছে যা আপনি করতে পারেন, এবং এমন কিছু কাজ আছে যা আপনি করতে পারবেন না।

আরেকটা গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টমনে রাখার বিষয় হল, অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করার পর অভিব্যক্তির মান পরিবর্তন করা উচিত নয়। অভিব্যক্তিতে ফিরে আসা যাক। এই অভিব্যক্তিটি এমন একটি বিভাগের প্রতিনিধিত্ব করে যা সঞ্চালিত হতে পারে। এই বিভাগটি সম্পাদন করার পরে, আমরা এই অভিব্যক্তিটির মান পাই, যা 0.5 এর সমান

কিন্তু আমরা অভিব্যক্তিটি সরলীকৃত করেছি এবং একটি নতুন সরলীকৃত অভিব্যক্তি পেয়েছি। নতুন সরলীকৃত অভিব্যক্তির মান এখনও 0.5

কিন্তু আমরাও হিসাব করে ভাবকে সরল করার চেষ্টা করেছি। ফলস্বরূপ, আমরা 0.5 এর চূড়ান্ত উত্তর পেয়েছি।

সুতরাং, আমরা যেভাবেই অভিব্যক্তিটিকে সরলীকরণ করি না কেন, ফলাফলের অভিব্যক্তির মান এখনও 0.5 এর সমান। এর মানে হল যে সরলীকরণটি প্রতিটি পর্যায়ে সঠিকভাবে সম্পাদিত হয়েছিল। অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করার সময় আমাদের ঠিক এটিই চেষ্টা করা উচিত - অভিব্যক্তির অর্থ আমাদের ক্রিয়াকলাপে ক্ষতিগ্রস্ত হওয়া উচিত নয়।

প্রায়শই সরলীকরণের প্রয়োজন হয় আক্ষরিক অভিব্যক্তি. সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তির জন্য একই সরলীকরণ নিয়ম তাদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। আপনি যেকোন বৈধ ক্রিয়া সম্পাদন করতে পারেন, যতক্ষণ না অভিব্যক্তির মান পরিবর্তন না হয়।

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 1.একটি অভিব্যক্তি সরল করুন 5.21s × t × 2.5

এই অভিব্যক্তিটি সহজ করার জন্য, আপনি সংখ্যাগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করতে পারেন এবং অক্ষরগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করতে পারেন। এই কাজটি আমরা যেটি দেখেছিলাম তার অনুরূপ যখন আমরা সহগ নির্ধারণ করতে শিখেছিলাম:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

তাই অভিব্যক্তি 5.21s × t × 2.5থেকে সরলীকৃত ১৩,০২৫তম।

উদাহরণ 2।একটি অভিব্যক্তি সরল করুন −0.4 × (−6.3b) × 2

দ্বিতীয় টুকরা (−6.3b)আমাদের কাছে বোধগম্য একটি ফর্মে অনুবাদ করা যেতে পারে, যথা ফর্মে লেখা ( −6,3)×b ,তারপর সংখ্যাগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করুন এবং অক্ষরগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করুন:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

তাই অভিব্যক্তি −0.4 × (−6.3b) × 2 থেকে সরলীকৃত 5.04 খ

উদাহরণ 3.একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

সংখ্যাগুলি কোথায় এবং অক্ষরগুলি কোথায় তা স্পষ্টভাবে দেখতে এই অভিব্যক্তিটি আরও বিশদে লিখুন:

এখন সংখ্যাগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করা যাক এবং অক্ষরগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করা যাক:

তাই অভিব্যক্তি থেকে সরলীকৃত −abcএই সমাধানটি সংক্ষেপে লেখা যেতে পারে:

অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করার সময়, সমাধান প্রক্রিয়ার সময় ভগ্নাংশগুলি হ্রাস করা যেতে পারে, এবং একেবারে শেষের দিকে নয়, যেমন আমরা সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে করেছি। উদাহরণস্বরূপ, যদি সমাধান করার সময় আমরা ফর্মের একটি অভিব্যক্তি দেখতে পাই, তাহলে লব এবং হর গণনা করা এবং এইরকম কিছু করার প্রয়োজন নেই:

লব এবং হর উভয়ের একটি গুণনীয়ক নির্বাচন করে এবং তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক দ্বারা এই গুণনীয়কগুলিকে হ্রাস করে একটি ভগ্নাংশ হ্রাস করা যেতে পারে। অন্য কথায়, লব এবং হরকে কী ভাগ করা হয়েছিল তা আমরা বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করি না।

উদাহরণস্বরূপ, লবটিতে গুণনীয়কটি 12 এবং হরটিতে 4টি 4 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে। আমরা চারটিকে আমাদের মনে রাখি, এবং 12 এবং 4কে এই চারটি দ্বারা ভাগ করে, আমরা এই সংখ্যাগুলির পাশে উত্তরগুলি লিখি, প্রথম তাদের অতিক্রম করে আউট

এখন আপনি ফলস্বরূপ ছোট কারণগুলি গুণ করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, তাদের মধ্যে কয়েকটি রয়েছে এবং আপনি সেগুলিকে আপনার মনের মধ্যে গুণ করতে পারেন:

সময়ের সাথে সাথে, আপনি দেখতে পাবেন যে একটি নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধান করার সময়, অভিব্যক্তিগুলি "মোটা হতে শুরু করে" তাই দ্রুত গণনার অভ্যস্ত হওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয়। মনের মধ্যে যা হিসাব করা যায় তা মনে মনে হিসাব করতে হবে। যা দ্রুত কমানো যায় তা দ্রুত কমাতে হবে।

উদাহরণ 4.একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

তাই অভিব্যক্তি থেকে সরলীকৃত

উদাহরণ 5।একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

আসুন আলাদাভাবে সংখ্যা এবং অক্ষরগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করি:

তাই অভিব্যক্তি থেকে সরলীকৃত mn

উদাহরণ 6.একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

সংখ্যাগুলি কোথায় এবং অক্ষরগুলি কোথায় তা স্পষ্টভাবে দেখতে এই অভিব্যক্তিটি আরও বিশদে লিখুন:

এখন সংখ্যাগুলোকে আলাদাভাবে এবং অক্ষরগুলোকে আলাদাভাবে গুণ করা যাক। গণনার সুবিধার জন্য, দশমিক ভগ্নাংশ −6.4 এবং একটি মিশ্র সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যেতে পারে:

তাই অভিব্যক্তি থেকে সরলীকৃত

এই উদাহরণের সমাধান অনেক ছোট করে লেখা যেতে পারে। এটি এই মত দেখাবে:

উদাহরণ 7।একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

আসুন আলাদাভাবে সংখ্যা এবং অক্ষর আলাদাভাবে গুণ করি। গণনার সুবিধার জন্য, একটি মিশ্র সংখ্যা এবং দশমিক 0.1 এবং 0.6 কে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যেতে পারে:

তাই অভিব্যক্তি থেকে সরলীকৃত এ বি সি ডি. আপনি যদি বিশদটি এড়িয়ে যান তবে এই সমাধানটি আরও সংক্ষিপ্তভাবে লেখা যেতে পারে:

ভগ্নাংশ কিভাবে হ্রাস করা হয়েছে লক্ষ্য করুন। পূর্ববর্তী কারণগুলির হ্রাসের ফলে প্রাপ্ত নতুন কারণগুলিও হ্রাস করার অনুমতি দেওয়া হয়।

এখন কি করা উচিত নয় সে সম্পর্কে কথা বলা যাক। অভিব্যক্তিগুলিকে সরলীকরণ করার সময়, যদি অভিব্যক্তিটি একটি যোগফল হয় এবং একটি পণ্য না হয় তবে সংখ্যা এবং অক্ষরগুলিকে গুণ করা কঠোরভাবে নিষিদ্ধ।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি অভিব্যক্তি সরলীকরণ করতে চান 5a+4b, তাহলে আপনি এটি এভাবে লিখতে পারবেন না:

এটি একই রকম যেন আমাদের দুটি সংখ্যা যোগ করতে বলা হয় এবং আমরা সেগুলি যোগ করার পরিবর্তে গুণ করি।

কোনো পরিবর্তনশীল মান প্রতিস্থাপন করার সময় কএবং খঅভিব্যক্তি 5a +4bএকটি সাধারণ সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিতে পরিণত হয়। চলক যে অনুমান করা যাক কএবং খনিম্নলিখিত অর্থ আছে:

a = 2, b = 3

তাহলে এক্সপ্রেশনের মান 22 এর সমান হবে

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

প্রথমত, গুণন সঞ্চালিত হয়, এবং তারপর ফলাফল যোগ করা হয়। এবং যদি আমরা সংখ্যা এবং অক্ষর গুণ করে এই অভিব্যক্তিটিকে সরল করার চেষ্টা করি, আমরা নিম্নলিখিতগুলি পাব:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

এটি অভিব্যক্তির সম্পূর্ণ ভিন্ন অর্থ বের করে। প্রথম ক্ষেত্রে এটি কাজ করেছে 22 , দ্বিতীয় ক্ষেত্রে 120 . এর অর্থ হল অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করা 5a+4bভুলভাবে সঞ্চালিত হয়েছিল।

অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করার পর, এর মান ভেরিয়েবলের একই মানের সাথে পরিবর্তন করা উচিত নয়। যদি, কোনো পরিবর্তনশীল মানকে মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করার সময়, একটি মান পাওয়া যায়, তাহলে অভিব্যক্তিটিকে সরল করার পরে, সরলীকরণের আগের মতো একই মান পাওয়া উচিত।

অভিব্যক্তি সহ 5a+4bআপনি সত্যিই কিছুই করতে পারেন না. এটা সহজ করে না.

যদি একটি অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ থাকে, তবে আমাদের লক্ষ্য যদি অভিব্যক্তিটিকে সরল করা হয় তবে সেগুলি যোগ করা যেতে পারে।

উদাহরণ 8।একটি অভিব্যক্তি সরল করুন 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

বা ছোট: 0.3a − 0.4a + a = 0.9a

তাই অভিব্যক্তি 0.3a−0.4a+aথেকে সরলীকৃত 0.9a

উদাহরণ 9।একটি অভিব্যক্তি সরল করুন −7.5a − 2.5b + 4a

এই অভিব্যক্তিটিকে সহজ করার জন্য, আমরা অনুরূপ পদ যোগ করতে পারি:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

বা খাটো −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

মেয়াদ (−2.5b)অপরিবর্তিত ছিল কারণ এটির সাথে রাখার মতো কিছুই ছিল না।

উদাহরণ 10।একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

এই অভিব্যক্তিটিকে সহজ করার জন্য, আমরা অনুরূপ পদ যোগ করতে পারি:

সহগটি গণনার সহজতার জন্য ছিল।

তাই অভিব্যক্তি থেকে সরলীকৃত

উদাহরণ 11।একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

এই অভিব্যক্তিটিকে সহজ করার জন্য, আমরা অনুরূপ পদ যোগ করতে পারি:

তাই অভিব্যক্তি থেকে সরলীকৃত।

ভিতরে এই উদাহরণেপ্রথমে প্রথম এবং শেষ সহগ যোগ করা আরও উপযুক্ত হবে। এই ক্ষেত্রে আমরা একটি সংক্ষিপ্ত সমাধান আছে. এটি এই মত দেখাবে:

উদাহরণ 12।একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

এই অভিব্যক্তিটিকে সহজ করার জন্য, আমরা অনুরূপ পদ যোগ করতে পারি:

তাই অভিব্যক্তি থেকে সরলীকৃত .

শব্দটি অপরিবর্তিত ছিল, যেহেতু এটিতে যোগ করার মতো কিছুই ছিল না।

এই সমাধান অনেক ছোট করে লেখা যাবে। এটি এই মত দেখাবে:

সংক্ষিপ্ত সমাধানটি যোগের সাথে বিয়োগ প্রতিস্থাপনের পদক্ষেপগুলি এড়িয়ে গেছে এবং কীভাবে ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে হ্রাস করা হয়েছিল তার বিশদ বিবরণ দেওয়া হয়েছে।

আরেকটি পার্থক্য হল যে বিস্তারিত সমাধানে উত্তরটি কেমন দেখাচ্ছে , কিন্তু সংক্ষেপে হিসাবে. আসলে, তারা একই অভিব্যক্তি। পার্থক্য হল যে প্রথম ক্ষেত্রে, বিয়োগ যোগ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যেহেতু শুরুতে আমরা সমাধানটি লিখেছিলাম বিস্তারিত, আমরা যেখানেই সম্ভব যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করেছি, এবং এই প্রতিস্থাপন উত্তরের জন্য সংরক্ষিত ছিল।

পরিচয়. অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি

একবার আমরা যেকোন অভিব্যক্তিকে সরলীকৃত করে ফেললে, তা সহজ এবং ছোট হয়ে যায়। সরলীকৃত অভিব্যক্তিটি সঠিক কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, যেকোন পরিবর্তনশীল মানগুলিকে প্রথমে পূর্ববর্তী অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করা যথেষ্ট যা সরলীকরণের প্রয়োজন ছিল এবং তারপরে সরলীকৃত করা নতুনটিতে। যদি উভয় রাশির মান একই হয়, তাহলে সরলীকৃত রাশিটি সত্য।

চলো বিবেচনা করি সহজ উদাহরণ. অভিব্যক্তি সরলীকরণ করা প্রয়োজন হতে দিন 2a×7b. এই অভিব্যক্তিটিকে সহজ করার জন্য, আপনি সংখ্যা এবং অক্ষরগুলিকে আলাদাভাবে গুণ করতে পারেন:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

আমরা সঠিকভাবে অভিব্যক্তি সরলীকৃত কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। এটি করার জন্য, আসুন ভেরিয়েবলের যেকোনো মান প্রতিস্থাপন করি কএবং খপ্রথমে প্রথম অভিব্যক্তিতে যা সরলীকরণের প্রয়োজন ছিল এবং তারপরে দ্বিতীয়টিতে, যা সরলীকৃত হয়েছিল।

চলকগুলোর মান ধরা যাক ক , খনিম্নরূপ হবে:

a = 4, b = 5

প্রথম অভিব্যক্তিতে তাদের প্রতিস্থাপন করা যাক 2a×7b

এখন সরলীকরণের ফলে অভিব্যক্তিতে একই পরিবর্তনশীল মান প্রতিস্থাপন করা যাক 2a×7b, যথা অভিব্যক্তিতে 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

আমরা যে দেখতে যখন a=4এবং b=5প্রথম অভিব্যক্তির মান 2a×7bএবং দ্বিতীয় অভিব্যক্তির অর্থ 14abসমান

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

অন্য কোন মানগুলির ক্ষেত্রেও একই রকম হবে। উদাহরণস্বরূপ, যাক a=1এবং b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

সুতরাং, এক্সপ্রেশন ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য 2a×7bএবং 14abএকই মানের সমান। এই ধরনের অভিব্যক্তি বলা হয় অভিন্নভাবে সমান.

আমরা অভিব্যক্তি মধ্যে যে উপসংহার 2a×7bএবং 14abআপনি একটি সমান চিহ্ন রাখতে পারেন কারণ তারা একই মানের সমান।

2a × 7b = 14ab

একটি সমতা একটি সমান চিহ্ন (=) দ্বারা সংযুক্ত যে কোনো অভিব্যক্তি।

এবং ফর্মের সমতা 2a×7b = 14abডাকা পরিচয়.

একটি পরিচয় হল একটি সমতা যা ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য সত্য।

পরিচয়ের অন্যান্য উদাহরণ:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

হ্যাঁ, গণিতের যে নিয়মগুলি আমরা অধ্যয়ন করেছি তা হল পরিচয়৷

প্রকৃত সংখ্যাগত সমতাও পরিচয়। উদাহরণ স্বরূপ:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

একটি জটিল সমস্যা সমাধান করার সময়, গণনাকে সহজ করার জন্য, জটিল রাশিটিকে একটি সহজ অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা হয় যা আগেরটির সমান। এই প্রতিস্থাপন বলা হয় অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তরবা সহজভাবে অভিব্যক্তি রূপান্তর.

উদাহরণস্বরূপ, আমরা অভিব্যক্তি সরলীকৃত করেছি 2a×7b, এবং একটি সহজ অভিব্যক্তি আছে 14ab. এই সরলীকরণকে পরিচয় রূপান্তর বলা যেতে পারে।

আপনি প্রায়ই একটি টাস্ক খুঁজে পেতে পারেন যা বলে "প্রমাণ কর যে সমতা একটি পরিচয়" এবং তারপর যে সমতা প্রমাণ করা প্রয়োজন তা দেওয়া হয়। সাধারণত এই সমতা দুটি অংশ নিয়ে গঠিত: সমতার বাম এবং ডান অংশ। আমাদের কাজ হল সমতার একটি অংশের সাথে পরিচয় রূপান্তর করা এবং অন্য অংশটি প্রাপ্ত করা। অথবা সমতার উভয় দিকে অভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করুন এবং নিশ্চিত করুন যে সমতার উভয় দিকেই একই অভিব্যক্তি রয়েছে।

উদাহরণ স্বরূপ, সমতা প্রমাণ করা যাক 0.5a × 5b = 2.5abএকটি পরিচয়।

আসুন এই সমতার বাম দিকটি সরলীকরণ করি। এটি করার জন্য, সংখ্যা এবং অক্ষর আলাদাভাবে গুণ করুন:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

একটি ছোট পরিচয় রূপান্তরের ফলে, সমতার বাম দিকটি সমতার ডান পাশের সমান হয়ে গেল। তাই আমরা সমতা প্রমাণ করেছি 0.5a × 5b = 2.5abএকটি পরিচয়।

থেকে পরিচয় রূপান্তরআমরা সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করতে শিখেছি, ভগ্নাংশ কমাতে, পদের মতো যোগ করতে এবং কিছু অভিব্যক্তিকে সরল করতে শিখেছি।

কিন্তু এগুলি সব অভিন্ন রূপান্তর নয় যা গণিতে বিদ্যমান। আরো অনেক অভিন্ন রূপান্তর আছে. আমরা ভবিষ্যতে এটি একাধিকবার দেখতে পাব।

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ:

আপনি পাঠ পছন্দ করেছেন?
আমাদের নতুন VKontakte গ্রুপে যোগ দিন এবং নতুন পাঠ সম্পর্কে বিজ্ঞপ্তি পেতে শুরু করুন

সুবিধাজনক এবং সহজ অনলাইন ক্যালকুলেটরবিশদ সমাধান সহ ভগ্নাংশহতে পারে:

• অনলাইনে ভগ্নাংশ যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করুন,
• গ্রহণ করুন প্রস্তুত সমাধানএকটি ছবির সাথে ভগ্নাংশ এবং এটি স্থানান্তর করা সুবিধাজনক।



ভগ্নাংশ সমাধানের ফলাফল এখানে হবে...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ভগ্নাংশ চিহ্ন "/" + - * :
_ মুছে ফেলুন
আমাদের অনলাইন ভগ্নাংশ ক্যালকুলেটর দ্রুত ইনপুট আছে. ভগ্নাংশ সমাধান করতে, উদাহরণস্বরূপ, সহজভাবে লিখুন 1/2+2/7 ক্যালকুলেটরে প্রবেশ করুন এবং " ভগ্নাংশ সমাধান করুনক্যালকুলেটর আপনাকে লিখবে বিস্তারিত সমাধানভগ্নাংশএবং জারি করবে একটি সহজ অনুলিপি ছবি.

ক্যালকুলেটরে লেখার জন্য ব্যবহৃত চিহ্ন

আপনি কীবোর্ড থেকে বা বোতাম ব্যবহার করে সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ টাইপ করতে পারেন।

অনলাইন ভগ্নাংশ ক্যালকুলেটরের বৈশিষ্ট্য

ভগ্নাংশ ক্যালকুলেটর শুধুমাত্র 2 সাধারণ ভগ্নাংশের উপর অপারেশন করতে পারে। তারা হয় সঠিক হতে পারে (লবটি হর থেকে কম) বা ভুল (লবটি হর থেকে বড়)। লব এবং হরগুলির সংখ্যা নেতিবাচক বা 999 এর বেশি হতে পারে না।
আমাদের অনলাইন ক্যালকুলেটর ভগ্নাংশ সমাধান করে এবং উত্তর দেয় সঠিক ধরনের- ভগ্নাংশ হ্রাস করে এবং প্রয়োজনে পুরো অংশটি নির্বাচন করে।

আপনি যদি নেতিবাচক ভগ্নাংশগুলি সমাধান করতে চান তবে কেবলমাত্র বিয়োগের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করুন। ঋণাত্মক ভগ্নাংশকে গুণ ও ভাগ করার সময়, বিয়োগ দ্বারা বিয়োগ যোগ দেয়। অর্থাৎ, ঋণাত্মক ভগ্নাংশের গুণফল ও বিভাজন একই ধনাত্মক ভগ্নাংশের গুণফল ও ভাগের সমান। যদি গুণ বা ভাগ করার সময় একটি ভগ্নাংশ ঋণাত্মক হয়, তাহলে কেবল বিয়োগটি সরিয়ে উত্তরে যোগ করুন। নেতিবাচক ভগ্নাংশ যোগ করার সময়, ফলাফল একই হবে যদি আপনি একই ধনাত্মক ভগ্নাংশ যোগ করছেন। যদি আপনি একটি ঋণাত্মক ভগ্নাংশ যোগ করেন, তাহলে এটি একই ধনাত্মক ভগ্নাংশ বিয়োগের সমান।
নেতিবাচক ভগ্নাংশ বিয়োগ করার সময়, ফলাফল একই হবে যদি সেগুলিকে অদলবদল করে ধনাত্মক করা হয়। অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে বিয়োগ দ্বারা বিয়োগ একটি প্লাস দেয়, কিন্তু পদগুলিকে পুনর্বিন্যাস করলে যোগফল পরিবর্তন হয় না। ভগ্নাংশ বিয়োগ করার সময় আমরা একই নিয়ম ব্যবহার করি, যার একটি ঋণাত্মক।

মিশ্র ভগ্নাংশ (যে ভগ্নাংশে পুরো অংশটি বিচ্ছিন্ন) সমাধান করতে, কেবলমাত্র পুরো অংশটিকে ভগ্নাংশে ফিট করুন। এটি করার জন্য, সম্পূর্ণ অংশটিকে হর দ্বারা গুণ করুন এবং লবের সাথে যোগ করুন।

আপনি যদি অনলাইনে 3 বা তার বেশি ভগ্নাংশ সমাধান করতে চান, তাহলে আপনাকে এক এক করে সমাধান করতে হবে। প্রথমে, প্রথম 2 ভগ্নাংশ গণনা করুন, তারপর আপনি যে উত্তর পাবেন তার সাথে পরবর্তী ভগ্নাংশটি সমাধান করুন, ইত্যাদি। একের পর এক, 2 ভগ্নাংশ এক সময়ে অপারেশন সম্পাদন করুন, এবং অবশেষে আপনি সঠিক উত্তর পাবেন।

একটি বীজগাণিতিক রাশি, যেখানে যোগ, বিয়োগ এবং গুণের ক্রিয়াকলাপের সাথে, অক্ষর রাশিতে ভাগও ব্যবহার করে, তাকে ভগ্নাংশ বীজগাণিতিক রাশি বলে। এগুলি, উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি

আমরা একটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশকে একটি বীজগাণিতিক রাশি বলি যা দুটি পূর্ণসংখ্যা বীজগণিতীয় রাশির বিভাজনের ভাগফলের আকার ধারণ করে (উদাহরণস্বরূপ, একপদ বা বহুপদ)। এগুলি, উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি

অভিব্যক্তির তৃতীয়)।

ভগ্নাংশ বীজগাণিতিক রাশিগুলির অভিন্ন রূপান্তরগুলি বেশিরভাগ অংশে তাদের আকারে উপস্থাপন করার উদ্দেশ্যে হয় বীজগণিত ভগ্নাংশ. সাধারণ হর খুঁজে বের করার জন্য, ভগ্নাংশের হরগুলির গুণিতককরণ ব্যবহার করা হয় - তাদের সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক খুঁজে বের করার জন্য পদ। বীজগাণিতিক ভগ্নাংশগুলি হ্রাস করার সময়, অভিব্যক্তিগুলির কঠোর পরিচয় লঙ্ঘন করা যেতে পারে: পরিমাণের মানগুলি বাদ দেওয়া প্রয়োজন যার দ্বারা হ্রাস করা হয় তা শূন্য হয়ে যায়।

ভগ্নাংশ বীজগাণিতিক রাশির অভিন্ন রূপান্তরের উদাহরণ দেওয়া যাক।

উদাহরণ 1: একটি অভিব্যক্তি সরল করুন

সমস্ত পদ একটি সাধারণ হর-এ কমানো যেতে পারে (শেষ পদের হর এবং এর সামনের চিহ্নে চিহ্ন পরিবর্তন করা সুবিধাজনক):

আমাদের অভিব্যক্তি এই মানগুলি ব্যতীত সমস্ত মানের জন্য সমান; এটি অনির্ধারিত এবং ভগ্নাংশ হ্রাস করা অবৈধ)।

উদাহরণ 2. একটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ হিসাবে অভিব্যক্তিটি উপস্থাপন করুন

সমাধান। অভিব্যক্তিটিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। আমরা ক্রমানুসারে খুঁজে পাই:

অনুশীলন

1. নির্দিষ্ট প্যারামিটার মানের জন্য বীজগণিতীয় রাশির মান খুঁজুন:

2. ফ্যাক্টরাইজ করুন।

গুরুত্বপূর্ণ নোট!
1. যদি আপনি সূত্রের পরিবর্তে gobbledygook দেখতে পান, আপনার ক্যাশে সাফ করুন। আপনার ব্রাউজারে এটি কীভাবে করবেন তা এখানে লেখা আছে:
2. আপনি নিবন্ধটি পড়া শুরু করার আগে, আমাদের নেভিগেটরের দিকে সবচেয়ে বেশি মনোযোগ দিন দরকারী সম্পদজন্য

আমরা প্রায়শই এই অপ্রীতিকর বাক্যাংশটি শুনি: "অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।"সাধারণত আমরা এই ধরনের কিছু দানব দেখতে পাই:

"এটি অনেক সহজ," আমরা বলি, কিন্তু এই ধরনের উত্তর সাধারণত কাজ করে না।

এখন আমি আপনাকে এই ধরনের কোন কাজ ভয় না শেখাবো.

তদুপরি, পাঠের শেষে, আপনি নিজেই এই উদাহরণটিকে একটি সাধারণ সংখ্যা (হ্যাঁ, এই অক্ষর দিয়ে নরকে) সরল করবেন।

কিন্তু আপনি এই কার্যকলাপ শুরু করার আগে, আপনি সক্ষম হতে হবে ভগ্নাংশ হ্যান্ডেলএবং গুণনীয়ক বহুপদ।

অতএব, আপনি যদি এটি আগে না করে থাকেন তবে "" এবং "" বিষয়গুলি আয়ত্ত করতে ভুলবেন না।

আপনি এটা পড়েছেন? যদি হ্যাঁ, তাহলে আপনি এখন প্রস্তুত।

চলো যাই চলো যাই!)

বেসিক এক্সপ্রেশন সরলীকরণ অপারেশন

এখন আসুন অভিব্যক্তি সহজ করার জন্য ব্যবহৃত মৌলিক কৌশলগুলি দেখি।

সবচেয়ে সহজ হল

1. অনুরূপ আনা

কি অনুরূপ? আপনি এটি 7 ম শ্রেণীতে নিয়েছিলেন, যখন গণিতে সংখ্যার পরিবর্তে অক্ষরগুলি প্রথম উপস্থিত হয়েছিল।

অনুরূপ- এগুলি একই অক্ষরের অংশ সহ পদ (একপদ)।

উদাহরণস্বরূপ, সমষ্টিতে, অনুরূপ পদ এবং.

মনে আছে?

অনুরূপ দিন- মানে একে অপরের সাথে একাধিক অনুরূপ পদ যোগ করা এবং একটি পদ পাওয়া।

আমরা কিভাবে অক্ষর একসাথে রাখতে পারি? - আপনি জিজ্ঞাসা করুন.

এটি বোঝা খুব সহজ যদি আপনি কল্পনা করেন যে অক্ষরগুলি কিছু ধরণের বস্তু।

উদাহরণস্বরূপ, একটি চিঠি একটি চেয়ার। তাহলে অভিব্যক্তিটি কিসের সমান?

দুই চেয়ার প্লাস তিন চেয়ার, কয়টা হবে? এটা ঠিক, চেয়ার: .

এখন এই অভিব্যক্তি চেষ্টা করুন: .

বিভ্রান্তি এড়াতে, বিভিন্ন অক্ষর বিভিন্ন বস্তুর প্রতিনিধিত্ব করা যাক।

উদাহরণস্বরূপ, - (স্বাভাবিক হিসাবে) একটি চেয়ার, এবং - একটি টেবিল।

চেয়ার টেবিল চেয়ার টেবিল চেয়ার টেবিল চেয়ার টেবিল

যে সংখ্যা দ্বারা এই ধরনের পদের অক্ষর গুণ করা হয় তাকে বলা হয় সহগ.

উদাহরণস্বরূপ, একপদে সহগ সমান। এবং এর মধ্যে সমান।

সুতরাং, অনুরূপ আনার নিয়ম হল:

উদাহরণ:

অনুরূপ দিন:

উত্তর:

2. (এবং অনুরূপ, যেহেতু, এই পদগুলির একই অক্ষরের অংশ রয়েছে)।

2. ফ্যাক্টরাইজেশন

এই সাধারণত অভিব্যক্তি সরলীকরণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশ।

আপনি অনুরূপ দেওয়ার পরে, প্রায়শই ফলাফল প্রকাশের প্রয়োজন হয় ফ্যাক্টরাইজ করা, যে, একটি পণ্য আকারে উপস্থাপিত.

বিশেষ করে এই ভগ্নাংশে গুরুত্বপূর্ণ:সর্বোপরি, ভগ্নাংশ কমাতে সক্ষম হওয়ার জন্য, লব এবং হর একটি পণ্য হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা আবশ্যক.

আপনি "" বিষয়ে বিশদভাবে এক্সপ্রেশন ফ্যাক্টর করার পদ্ধতির মধ্য দিয়ে গেছেন, তাই এখানে আপনি যা শিখেছেন তা মনে রাখতে হবে।

এটি করার জন্য, বেশ কয়েকটি উদাহরণ সমাধান করুন (আপনাকে তাদের ফ্যাক্টরাইজ করতে হবে)

উদাহরণ:

সমাধান:

3. একটি ভগ্নাংশ হ্রাস করা।

আচ্ছা, লব এবং হর এর কিছু অংশ অতিক্রম করে আপনার জীবন থেকে বের করে দেওয়ার চেয়ে আনন্দদায়ক আর কী হতে পারে?

এটি ডাউন সাইজিংয়ের সৌন্দর্য।

ইহা সহজ:

লব এবং হর একই ফ্যাক্টর ধারণ করলে, তাদের হ্রাস করা যেতে পারে, অর্থাৎ ভগ্নাংশ থেকে সরানো যেতে পারে।

এই নিয়মটি একটি ভগ্নাংশের মৌলিক সম্পত্তি থেকে অনুসরণ করে:

যে, হ্রাস অপারেশন সারাংশ যে আমরা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে একই সংখ্যা (বা একই রাশি দ্বারা) ভাগ করি।

একটি ভগ্নাংশ কমাতে আপনার প্রয়োজন:

1) লব এবং হর ফ্যাক্টরাইজ করা

2) যদি লব এবং হর থাকে সাধারণ কারণ, তারা অতিক্রম করা যেতে পারে.

উদাহরণ:

নীতি, আমি মনে করি, পরিষ্কার?

আমি একটি বিষয়ে আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই সাধারণ ভুলচুক্তি করার সময়। যদিও এই টপিকটি সহজ, তবুও অনেকে ভুল করে সব কিছু না বুঝে হ্রাস করা- এর মানে বিভক্ত করালব এবং হর একই সংখ্যা।

লব বা হর একটি যোগফল হলে কোন সংক্ষেপণ নেই।

যেমন: আমাদেরকে সরলীকরণ করতে হবে।

কিছু মানুষ এটা করে: যা একেবারেই ভুল।

আরেকটি উদাহরণ: হ্রাস করুন।

"বুদ্ধিমান" এটি করবে:

এখানে কি ভুল বলুন? এটি মনে হবে: - এটি একটি গুণক, যার মানে এটি হ্রাস করা যেতে পারে।

কিন্তু না: - এটি লবটিতে শুধুমাত্র একটি পদের একটি গুণনীয়ক, কিন্তু লবটি সম্পূর্ণরূপে গুণিত নয়।

এখানে আরেকটি উদাহরণ: .

এই অভিব্যক্তিটি ফ্যাক্টরাইজড, যার মানে আপনি এটি হ্রাস করতে পারেন, অর্থাৎ, লব এবং হরকে এই দ্বারা ভাগ করুন এবং তারপরে:

আপনি অবিলম্বে এটি ভাগ করতে পারেন:

এই ধরনের ভুল এড়াতে, মনে রাখবেন সহজ পথএকটি অভিব্যক্তি ফ্যাক্টরাইজড কিনা তা কীভাবে নির্ধারণ করবেন:

একটি অভিব্যক্তির মান গণনা করার সময় যে গাণিতিক অপারেশনটি শেষ করা হয় তা হল "মাস্টার" অপারেশন।

অর্থাৎ, আপনি যদি অক্ষরের পরিবর্তে কিছু (যেকোন) সংখ্যা প্রতিস্থাপন করেন এবং অভিব্যক্তির মান গণনা করার চেষ্টা করেন, তাহলে শেষ ক্রিয়াটি যদি গুণিত হয়, তাহলে আমাদের কাছে একটি পণ্য আছে (অভিব্যক্তিটি ফ্যাক্টরাইজড)।

যদি শেষ ক্রিয়াটি যোগ বা বিয়োগ হয়, তবে এর অর্থ হল অভিব্যক্তিটি ফ্যাক্টরাইজড নয় (এবং তাই হ্রাস করা যাবে না)।

এটিকে শক্তিশালী করার জন্য, কয়েকটি উদাহরণ নিজেই সমাধান করুন:

উদাহরণ:

সমাধান:

4. ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ. ভগ্নাংশকে কমন ডিনোমিনেটরে কমানো।

সাধারণ ভগ্নাংশ যোগ করা এবং বিয়োগ করা একটি পরিচিত কাজ: আমরা একটি সাধারণ হর খুঁজি, অনুপস্থিত গুণক দ্বারা প্রতিটি ভগ্নাংশকে গুণ করি এবং লব যোগ/বিয়োগ করি।

চলুন মনে করি:

উত্তর:

1. হর এবং তুলনামূলকভাবে প্রধান, অর্থাৎ তাদের সাধারণ গুণনীয়ক নেই। অতএব, এই সংখ্যাগুলির LCM তাদের গুণফলের সমান। এটি সাধারণ হর হবে:

2. এখানে সাধারণ হর হল:

3. এখানে, প্রথমত, আমরা মিশ্র ভগ্নাংশগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করি এবং তারপরে স্বাভাবিক স্কিম অনুসারে:

ভগ্নাংশে অক্ষর থাকলে এটি সম্পূর্ণ ভিন্ন বিষয়, উদাহরণস্বরূপ:

আসুন সহজ কিছু দিয়ে শুরু করা যাক:

ক) হরগুলিতে অক্ষর থাকে না

এখানে সবকিছুই সাধারণ সংখ্যাসূচক ভগ্নাংশের মতোই: আমরা সাধারণ হর খুঁজে পাই, প্রতিটি ভগ্নাংশকে অনুপস্থিত গুণক দ্বারা গুণ করি এবং লব যোগ/বিয়োগ করি:

এখন লবটিতে আপনি অনুরূপগুলি দিতে পারেন, যদি থাকে, এবং সেগুলি গুণনীয়ক করুন:

এটি নিজে চেষ্টা করো:

উত্তর:

খ) ডিনোমিনেটরে অক্ষর থাকে

আসুন অক্ষর ছাড়াই একটি সাধারণ হর খোঁজার নীতিটি মনে রাখি:

· প্রথমত, আমরা সাধারণ কারণগুলি নির্ধারণ করি;

· তারপরে আমরা এক সময়ে সমস্ত সাধারণ কারণগুলি লিখি;

· এবং অন্যান্য সমস্ত অ-সাধারণ গুণক দ্বারা তাদের গুণ করুন।

হরগুলির সাধারণ গুণনীয়কগুলি নির্ধারণ করতে, আমরা প্রথমে সেগুলিকে প্রধান কারণগুলির মধ্যে গুণিত করি:

আসুন সাধারণ কারণগুলির উপর জোর দেওয়া যাক:

এখন আসুন এক এক করে কমন ফ্যাক্টরগুলো লিখি এবং তাদের সাথে সবগুলো অ-সাধারণ (আন্ডারলাইন করা নয়) ফ্যাক্টর যোগ করি:

এটি সাধারণ হর।

ফিরে আসা যাক চিঠিতে। হরগুলি ঠিক একইভাবে দেওয়া হয়েছে:

· হরকে ফ্যাক্টর;

· সাধারণ (অভিন্ন) কারণ নির্ধারণ;

সব সাধারণ কারণ একবার লিখুন;

· অন্যান্য সমস্ত অ-সাধারণ কারণ দ্বারা তাদের গুণ করুন।

সুতরাং, ক্রমে:

1) হরকে ফ্যাক্টর করুন:

2) সাধারণ (অভিন্ন) কারণ নির্ধারণ করুন:

3) সমস্ত সাধারণ গুণনীয়কগুলি একবার লিখুন এবং অন্যান্য সমস্ত (অ-আন্ডারলাইন) গুণক দ্বারা গুণ করুন:

তাই এখানে একটি সাধারণ হর আছে। প্রথম ভগ্নাংশটি দ্বারা গুণ করতে হবে, দ্বিতীয়টি - দ্বারা:

যাইহোক, একটি কৌশল আছে:

উদাহরণ স্বরূপ: ।

আমরা হরগুলিতে একই ফ্যাক্টর দেখতে পাই, শুধুমাত্র বিভিন্ন সূচকের সাথে। সাধারণ হর হবে:

একটি ডিগ্রী পর্যন্ত

একটি ডিগ্রী পর্যন্ত

একটি ডিগ্রী পর্যন্ত

একটি ডিগ্রী পর্যন্ত

কাজটি জটিল করা যাক:

কিভাবে ভগ্নাংশ একই হর আছে?

আসুন একটি ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য মনে রাখা যাক:

কোথাও বলা নেই যে ভগ্নাংশের লব এবং হর থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ (বা যোগ) করা যেতে পারে। কারণ এটা সত্য নয়!

নিজের জন্য দেখুন: উদাহরণস্বরূপ, যেকোনো ভগ্নাংশ নিন, এবং লব এবং হর-এ কিছু সংখ্যা যোগ করুন, উদাহরণস্বরূপ,। তুমি কি শিখেছো?

সুতরাং, আরেকটি অদম্য নিয়ম:

আপনি যখন ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ কমিয়ে দেন, শুধুমাত্র গুণন ক্রিয়া ব্যবহার করুন!

কিন্তু আপনি কি পেতে দ্বারা গুন করতে হবে?

তাই দিয়ে গুণ করুন। এবং দ্বারা গুণ করুন:

আমরা অভিব্যক্তিগুলিকে বলব যেগুলিকে ফ্যাক্টরাইজ করা যায় না "প্রাথমিক ফ্যাক্টর"।

উদাহরণস্বরূপ, - এটি একটি প্রাথমিক ফ্যাক্টর। - একই. কিন্তু না: এটা ফ্যাক্টরাইজড হতে পারে।

অভিব্যক্তি সম্পর্কে কি? এটা কি প্রাথমিক?

না, কারণ এটি ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে:

(আপনি ইতিমধ্যে "" বিষয়ে ফ্যাক্টরাইজেশন সম্পর্কে পড়েছেন)।

সুতরাং, প্রাথমিক কারণগুলির মধ্যে আপনি অক্ষর সহ একটি অভিব্যক্তিকে পচনশীল করেন যেগুলি সাধারণ কারণগুলির একটি অ্যানালগ যা আপনি সংখ্যাগুলিকে পচিয়ে দেন। এবং আমরা তাদের সাথে একইভাবে মোকাবেলা করব।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উভয় ডিনোমিনেটরের একটি গুণক আছে। এটি সাধারণ হরকে ডিগ্রিতে যাবে (মনে রাখবেন কেন?)।

ফ্যাক্টরটি প্রাথমিক, এবং তাদের একটি সাধারণ ফ্যাক্টর নেই, যার অর্থ হল প্রথম ভগ্নাংশটিকে কেবল এটি দ্বারা গুণ করতে হবে:

আরেকটি উদাহরণ:

সমাধান:

আতঙ্কের মধ্যে এই হরগুলিকে গুন করার আগে, আপনাকে ভাবতে হবে কিভাবে তাদের ফ্যাক্টর করা যায়? তারা উভয়ই প্রতিনিধিত্ব করে:

দারুণ! তারপর:

আরেকটি উদাহরণ:

সমাধান:

যথারীতি, আসুন হরগুলিকে ফ্যাক্টরাইজ করি। প্রথম হর-এ আমরা এটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখি; দ্বিতীয়টিতে - বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য:

এটা কোন সাধারণ কারণ আছে বলে মনে হবে. কিন্তু আপনি যদি ঘনিষ্ঠভাবে দেখেন, তারা একই রকম... এবং এটি সত্য:

তো চলুন লিখিঃ

অর্থাৎ, এটি এইরকম পরিণত হয়েছিল: বন্ধনীর ভিতরে আমরা শর্তগুলি অদলবদল করেছি এবং একই সময়ে ভগ্নাংশের সামনের চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয়েছে। নোট নিন, আপনাকে প্রায়ই এটি করতে হবে।

এখন এটিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসা যাক:

বুঝেছি? এখন এটা পরীক্ষা করা যাক.

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ:

উত্তর:

5. ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ।

আচ্ছা, কঠিনতম অংশ এখন শেষ। এবং আমাদের সামনে সবচেয়ে সহজ, কিন্তু একই সময়ে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ:

পদ্ধতি

গণনার পদ্ধতি কি? সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি? এই অভিব্যক্তিটির অর্থ গণনা করে মনে রাখবেন:

আপনি গণনা করেছেন?

এটার কাজ করা উচিত।

সুতরাং, আমাকে আপনাকে মনে করিয়ে দেওয়া যাক.

প্রথম ধাপ হল ডিগ্রী গণনা করা।

দ্বিতীয়টি হল গুণ ও ভাগ। যদি একই সময়ে একাধিক গুণ এবং ভাগ থাকে তবে সেগুলি যে কোনও ক্রমে করা যেতে পারে।

এবং অবশেষে, আমরা যোগ এবং বিয়োগ সঞ্চালন. আবার, যেকোনো ক্রমে।

কিন্তু: বন্ধনীতে অভিব্যক্তি পালাক্রমে মূল্যায়ন করা হয়!

যদি বেশ কয়েকটি বন্ধনী একে অপরের দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয়, আমরা প্রথমে প্রতিটি বন্ধনীতে অভিব্যক্তি গণনা করি এবং তারপরে তাদের গুণ বা ভাগ করি।

বন্ধনীর ভিতরে আরও বন্ধনী থাকলে কি হবে? আচ্ছা, আসুন চিন্তা করি: বন্ধনীর ভিতরে কিছু অভিব্যক্তি লেখা আছে। একটি অভিব্যক্তি গণনা করার সময়, আপনার প্রথমে কী করা উচিত? এটা ঠিক, বন্ধনী গণনা. ঠিক আছে, আমরা এটি বের করেছি: প্রথমে আমরা ভিতরের বন্ধনীগুলি গণনা করি, তারপরে অন্য সবকিছু।

সুতরাং, উপরের অভিব্যক্তির পদ্ধতিটি নিম্নরূপ (বর্তমান ক্রিয়াটি লাল রঙে হাইলাইট করা হয়েছে, অর্থাৎ, আমি এই মুহূর্তে যে ক্রিয়াটি সম্পাদন করছি):

ঠিক আছে, এটা সব সহজ.

কিন্তু এই অক্ষর দিয়ে অভিব্যক্তি একই নয়?

না, এটা একই! শুধুমাত্র গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের পরিবর্তে, আপনাকে বীজগণিতিকগুলি করতে হবে, অর্থাৎ, পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত ক্রিয়াগুলি: অনুরূপ আনা, ভগ্নাংশ যোগ করা, ভগ্নাংশ হ্রাস করা, ইত্যাদি। একমাত্র পার্থক্যটি হবে বহুপদী ফ্যাক্টরিং এর ক্রিয়া (ভগ্নাংশের সাথে কাজ করার সময় আমরা প্রায়শই এটি ব্যবহার করি)। প্রায়শই, ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য, আপনাকে I ব্যবহার করতে হবে বা সাধারণ ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখতে হবে।

সাধারণত আমাদের লক্ষ্য একটি পণ্য বা ভাগফল হিসাবে অভিব্যক্তি প্রতিনিধিত্ব করা হয়.

উদাহরণ স্বরূপ:

এর অভিব্যক্তি সরল করা যাক.

1) প্রথমত, আমরা বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটি সরল করি। সেখানে আমাদের ভগ্নাংশের পার্থক্য রয়েছে এবং আমাদের লক্ষ্য হল এটিকে একটি পণ্য বা ভাগফল হিসাবে উপস্থাপন করা। সুতরাং, আমরা ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি এবং যোগ করি:

এই অভিব্যক্তিটিকে আরও সহজ করা অসম্ভব (এটির অর্থ কী?) এখানে সমস্ত কারণ প্রাথমিক;

2) আমরা পাই:

ভগ্নাংশ গুণ করা: কি সহজ হতে পারে.

3) এখন আপনি ছোট করতে পারেন:

ঠিক আছে এখন সব শেষ। কিছুই জটিল, তাই না?

আরেকটি উদাহরণ:

অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।

প্রথমত, এটি নিজেই সমাধান করার চেষ্টা করুন, এবং শুধুমাত্র তারপর সমাধান দেখুন।

সমাধান:

প্রথমত, কর্মের ক্রম নির্ধারণ করা যাক।

প্রথমে বন্ধনীতে ভগ্নাংশ যোগ করা যাক, সুতরাং দুটি ভগ্নাংশের পরিবর্তে আমরা একটি পাব।

তারপর আমরা ভগ্নাংশের বিভাজন করব। আচ্ছা, শেষ ভগ্নাংশের সাথে ফলাফল যোগ করা যাক।

আমি পরিকল্পিতভাবে ধাপগুলি সংখ্যা করব:

অবশেষে, আমি আপনাকে দুটি দরকারী টিপস দেব:

1. অনুরূপ বেশী থাকলে, তাদের অবিলম্বে আনতে হবে। আমাদের দেশে যে সময়েই একই রকমের উদ্ভব হয়, অবিলম্বে সেগুলো তুলে আনার পরামর্শ দেওয়া হয়।

2. ভগ্নাংশ হ্রাস করার ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য: হ্রাস করার সুযোগ দেখা দিলেই এর সদ্ব্যবহার করতে হবে। ব্যতিক্রম হল ভগ্নাংশের জন্য যা আপনি যোগ বা বিয়োগ করেন: যদি তাদের এখন একই হর থাকে, তাহলে হ্রাসটি পরের জন্য ছেড়ে দেওয়া উচিত।

আপনার নিজের সমাধান করার জন্য এখানে কিছু কাজ রয়েছে:

এবং একেবারে শুরুতে যা প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয়েছিল:

উত্তর:

সমাধান (সংক্ষিপ্ত):

আপনি যদি অন্তত প্রথম তিনটি উদাহরণের সাথে মোকাবিলা করেন, তাহলে আপনি বিষয়টি আয়ত্ত করেছেন।

এখন শেখার জন্য!

অভিব্যক্তি রূপান্তর. সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র

মৌলিক সরলীকরণ ক্রিয়াকলাপ:

• অনুরূপ আনা: অনুরূপ পদ যোগ করতে (কমানোর) জন্য, আপনাকে তাদের সহগ যোগ করতে হবে এবং অক্ষরের অংশ বরাদ্দ করতে হবে।
• ফ্যাক্টরাইজেশন:সাধারণ ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখা, এটি প্রয়োগ করা ইত্যাদি।
• একটি ভগ্নাংশ হ্রাস: একটি ভগ্নাংশের লব এবং হর একই অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা যেতে পারে, যা ভগ্নাংশের মান পরিবর্তন করে না।
  1) লব এবং হর ফ্যাক্টরাইজ করা
  2) লব এবং হরের সাধারণ গুণনীয়ক থাকলে, সেগুলি অতিক্রম করা যেতে পারে।

  গুরুত্বপূর্ণ: শুধুমাত্র গুণক হ্রাস করা যেতে পারে!

• ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ:
  ;
• ভগ্নাংশকে গুণ ও ভাগ করা:
  ;

ব্যস, টপিক শেষ। আপনি যদি এই লাইনগুলি পড়ছেন তবে এর অর্থ আপনি খুব শান্ত।

কারণ মাত্র 5% মানুষ নিজেরাই কিছু আয়ত্ত করতে সক্ষম। আর আপনি যদি শেষ পর্যন্ত পড়েন, তাহলে আপনি এই 5% এর মধ্যে!

এখন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।

আপনি এই বিষয়ে তত্ত্ব বুঝতে পেরেছেন. এবং, আমি আবার বলছি, এটা... এটা শুধুই সুপার! আপনি ইতিমধ্যে আপনার সহকর্মীদের বিশাল সংখ্যাগরিষ্ঠ থেকে ভাল.

সমস্যা হল এটি যথেষ্ট নাও হতে পারে...

কি জন্য?

সফলতার জন্য ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় উত্তীর্ণ, একটি বাজেটে কলেজে ভর্তির জন্য এবং, সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, জীবনের জন্য।

আমি তোমাকে কিছুতেই বোঝাবো না, শুধু একটা কথা বলব...

প্রাপ্ত মানুষ একটি ভাল শিক্ষাযারা এটি পাননি তাদের থেকে অনেক বেশি উপার্জন করুন। এই পরিসংখ্যান.

তবে এটি মূল বিষয় নয়।

প্রধান জিনিস হল যে তারা আরও সুখী (এমন গবেষণা আছে)। সম্ভবত কারণ তাদের সামনে আরও অনেক সুযোগ খুলে যায় এবং জীবন উজ্জ্বল হয়ে ওঠে? জানি না...

কিন্তু নিজের জন্য চিন্তা করুন ...

ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় অন্যদের চেয়ে ভালো হতে এবং শেষ পর্যন্ত... সুখী হতে নিশ্চিত হতে কী লাগে?

এই বিষয়ে সমস্যা সমাধান করে আপনার হাত পেতে.

পরীক্ষার সময় আপনাকে তত্ত্বের জন্য জিজ্ঞাসা করা হবে না।

আপনার প্রয়োজন হবে সময়ের বিপরীতে সমস্যার সমাধান করুন.

এবং, আপনি যদি সেগুলি সমাধান না করে থাকেন (অনেক!), আপনি অবশ্যই কোথাও একটি বোকা ভুল করবেন বা আপনার কাছে সময় থাকবে না।

এটি খেলাধুলার মতো - নিশ্চিতভাবে জেতার জন্য আপনাকে এটি বহুবার পুনরাবৃত্তি করতে হবে।

আপনি যেখানে চান সংগ্রহ খুঁজুন, অগত্যা সমাধান সহ, বিস্তারিত বিশ্লেষণ এবং সিদ্ধান্ত নিন, সিদ্ধান্ত নিন, সিদ্ধান্ত নিন!

আপনি আমাদের কাজগুলি ব্যবহার করতে পারেন (ঐচ্ছিক) এবং আমরা অবশ্যই তাদের সুপারিশ করি।

আমাদের কাজগুলি ব্যবহার করে আরও ভাল করার জন্য, আপনি বর্তমানে যে YouClever পাঠ্যপুস্তকটি পড়ছেন তার আয়ু বাড়াতে আপনাকে সাহায্য করতে হবে।

কিভাবে? দুটি বিকল্প আছে:

1. এই নিবন্ধে সমস্ত লুকানো কাজগুলি আনলক করুন -
2. পাঠ্যপুস্তকের সমস্ত 99টি নিবন্ধে সমস্ত লুকানো কাজের অ্যাক্সেস আনলক করুন - একটি পাঠ্যপুস্তক কিনুন - 499 RUR

হ্যাঁ, আমাদের পাঠ্যপুস্তকে এই জাতীয় 99টি নিবন্ধ রয়েছে এবং সমস্ত কাজের অ্যাক্সেস এবং সেগুলির মধ্যে লুকানো সমস্ত পাঠ্য অবিলম্বে খোলা যেতে পারে।

সাইটের পুরো জীবনের জন্য সমস্ত লুকানো কাজগুলিতে অ্যাক্সেস দেওয়া হয়।

উপসংহারে...

আপনি আমাদের কাজ পছন্দ না হলে, অন্যদের খুঁজুন. শুধু তত্ত্বে থামবেন না।

"বুঝলাম" এবং "আমি সমাধান করতে পারি" সম্পূর্ণ ভিন্ন দক্ষতা। আপনি উভয় প্রয়োজন.

সমস্যা খুঁজুন এবং তাদের সমাধান!