যা অভিব্যক্তি অভিন্ন বলা হয় সমান. অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি: সংজ্ঞা, উদাহরণ


এই নিবন্ধটি একটি সূচনা পয়েন্ট দেয় পরিচয়ের ধারণা. এখানে আমরা পরিচয় সংজ্ঞায়িত করব, ব্যবহৃত স্বরলিপি প্রবর্তন করব এবং অবশ্যই দেব বিভিন্ন উদাহরণপরিচয়

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

পরিচয় কি?

এটা দিয়ে উপাদান উপস্থাপন শুরু যৌক্তিক পরিচয় সংজ্ঞা. মাকারিচেভ ইউ এর পাঠ্যপুস্তক, 7 ম শ্রেণীর বীজগণিত, পরিচয়ের সংজ্ঞা নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে:

সংজ্ঞা।

পরিচয়- এটি একটি সমতা যা ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য সত্য; কোনো সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতাও একটি পরিচয়।

একই সময়ে, লেখক অবিলম্বে শর্ত দেন যে ভবিষ্যতে এই সংজ্ঞাটি স্পষ্ট করা হবে। ভেরিয়েবল এবং ডিএল-এর অনুমতিযোগ্য মানের সংজ্ঞার সাথে পরিচিত হওয়ার পরে এই স্পষ্টীকরণটি 8 ম গ্রেডে ঘটে। সংজ্ঞা হয়ে যায়:

সংজ্ঞা।

পরিচয়- এগুলি সত্য সংখ্যাগত সমতা, সেইসাথে সমতা যা সকলের জন্য সত্য গ্রহণযোগ্য মানতাদের অন্তর্ভুক্ত ভেরিয়েবল.

তাহলে কেন, একটি পরিচয় সংজ্ঞায়িত করার সময়, 7 ম গ্রেডে আমরা ভেরিয়েবলের যে কোনও মান সম্পর্কে কথা বলি এবং 8 ম গ্রেডে আমরা তাদের ODZ থেকে ভেরিয়েবলের মান সম্পর্কে কথা বলতে শুরু করি? গ্রেড 8 পর্যন্ত, সম্পূর্ণ এক্সপ্রেশনের সাথে একচেটিয়াভাবে কাজ করা হয় (বিশেষত, একপদ এবং বহুপদ সহ), এবং তারা তাদের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত ভেরিয়েবলের যে কোনও মানকে বোঝায়। এই কারণেই 7 ম গ্রেডে আমরা বলি যে পরিচয় হল একটি সমতা যা ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য সত্য। এবং 8 তম গ্রেডে, অভিব্যক্তিগুলি উপস্থিত হয় যেগুলি ভেরিয়েবলের সমস্ত মানের জন্য নয়, তবে কেবল তাদের ODZ থেকে প্রাপ্ত মানগুলির জন্য আর অর্থবোধ করে না। অতএব, আমরা সমতা বলতে শুরু করি যা ভেরিয়েবলের সমস্ত গ্রহণযোগ্য মানের জন্য সত্য।

তাই পরিচয় বিশেষ মামলাসমতা অর্থাৎ যে কোনো পরিচয়ই সমতা। তবে প্রতিটি সমতা একটি পরিচয় নয়, তবে শুধুমাত্র একটি সমতা যা তাদের অনুমোদিত মানগুলির পরিসর থেকে ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য সত্য।

পরিচয় চিহ্ন

এটি জানা যায় যে সমতা লেখার ক্ষেত্রে, "=" ফর্মের একটি সমান চিহ্ন ব্যবহার করা হয়, বাম এবং ডানদিকে যার কিছু সংখ্যা বা অভিব্যক্তি রয়েছে। যদি আমরা এই চিহ্নটিতে অন্য একটি অনুভূমিক রেখা যোগ করি, আমরা পাই পরিচয় চিহ্ন"≡", বা এটিকেও বলা হয় সমান চিহ্ন.

পরিচয়ের চিহ্নটি সাধারণত তখনই ব্যবহৃত হয় যখন এটি বিশেষভাবে জোর দেওয়ার প্রয়োজন হয় যে আমরা কেবল সমতা নয়, পরিচয়ের মুখোমুখি হয়েছি। অন্যান্য ক্ষেত্রে, পরিচয়ের স্বরলিপি সমতা থেকে চেহারাতে ভিন্ন হয় না।

পরিচয়ের উদাহরণ

এটা আনার সময় পরিচয়ের উদাহরণ. প্রথম অনুচ্ছেদে দেওয়া পরিচয়ের সংজ্ঞা আমাদের এতে সাহায্য করবে।

সাংখ্যিক সমতা 2=2 হল পরিচয়ের উদাহরণ, যেহেতু এই সমতাগুলি সত্য, এবং যেকোন সত্যিকারের সাংখ্যিক সমতা সংজ্ঞা অনুসারে একটি পরিচয়। এগুলিকে 2≡2 এবং হিসাবে লেখা যেতে পারে।

2+3=5 এবং 7−1=2·3 ফর্মের সংখ্যাগত সমতাগুলিও পরিচয়, যেহেতু এই সমতাগুলি সত্য। অর্থাৎ, 2+3≡5 এবং 7−1≡2·3।

আসুন পরিচয়ের উদাহরণগুলিতে যাওয়া যাক যেগুলিতে কেবল সংখ্যাই নয়, ভেরিয়েবলও রয়েছে।

সমতা 3·(x+1)=3·x+3 বিবেচনা করুন। পরিবর্তনশীল x-এর যেকোনো মানের জন্য, যোগের সাপেক্ষে গুণের বণ্টনমূলক সম্পত্তির কারণে লিখিত সমতা সত্য, তাই, মূল সমতা একটি পরিচয়ের উদাহরণ। এখানে একটি পরিচয়ের আরেকটি উদাহরণ রয়েছে: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, এখানে x এবং y ভেরিয়েবলের অনুমতিযোগ্য মানের পরিসর সমস্ত জোড়া (x, y) নিয়ে গঠিত, যেখানে x এবং y শূন্য ছাড়া যেকোনো সংখ্যা।

কিন্তু সমতা x+1=x−1 এবং a+2·b=b+2·a কোনো পরিচয় নয়, যেহেতু ভেরিয়েবলের মান আছে যার জন্য এই সমতাগুলো সত্য হবে না। উদাহরণস্বরূপ, যখন x=2, সমতা x+1=x−1 ভুল সমতায় পরিণত হয় 2+1=2−1। তাছাড়া, x+1=x−1 ভেরিয়েবল x এর কোনো মানের জন্যই সমতা অর্জন করা যায় না। এবং সমতা a+2·b=b+2·a একটি ভুল সমতায় পরিণত হবে যদি আমরা a এবং b ভেরিয়েবলের কোনো ভিন্ন মান নিই। উদাহরণস্বরূপ, a=0 এবং b=1 দিয়ে আমরা ভুল সমতা 0+2·1=1+2·0-এ পৌঁছে যাব। সমতা |x|=x, যেখানে |x| - পরিবর্তনশীল x একটি পরিচয় নয়, যেহেতু এটি সত্য নয় নেতিবাচক মানএক্স।

সবচেয়ে সুপরিচিত পরিচয়ের উদাহরণ হল sin 2 α+cos 2 α=1 এবং a লগ a b =b।

এই নিবন্ধের উপসংহারে, আমি লক্ষ্য করতে চাই যে গণিত অধ্যয়ন করার সময় আমরা ক্রমাগত পরিচয়ের সম্মুখীন হই। সংখ্যা সহ ক্রিয়ার বৈশিষ্ট্যের রেকর্ড হল পরিচয়, উদাহরণস্বরূপ, a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 এবং a+(−a)=0। এছাড়াও পরিচয় আছে

মূল অভিব্যক্তি তৈরি করে এমন সংখ্যা এবং অভিব্যক্তিগুলি অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। মূল অভিব্যক্তির এমন একটি রূপান্তর একটি অভিব্যক্তির দিকে নিয়ে যায় যা অভিন্নভাবে এটির সমান।

উদাহরণস্বরূপ, 3+x অভিব্যক্তিতে, 3 নম্বরটি যোগফল 1+2 দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, যার ফলে অভিব্যক্তি (1+2)+x হবে, যা মূল অভিব্যক্তির সমান। আরেকটি উদাহরণ: 1+a 5 অভিব্যক্তিতে, শক্তি a 5 একটি অভিন্ন সমান গুণফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, a·a 4 ফর্মের। এটি আমাদের 1+a·a 4 অভিব্যক্তি দেবে।

এই রূপান্তরটি নিঃসন্দেহে কৃত্রিম, এবং এটি সাধারণত আরও কিছু পরিবর্তনের জন্য একটি প্রস্তুতি। উদাহরণস্বরূপ, 4 x 3 +2 x 2 যোগফল ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য বিবেচনায় নিয়ে, 4 x 3 শব্দটিকে একটি পণ্য 2 x 2 2 x হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই রূপান্তরের পরে, মূল রাশিটি 2 x 2 2 x+2 x 2 আকার ধারণ করবে। স্পষ্টতই, ফলাফলের যোগফলের পদগুলির 2 x 2 এর একটি সাধারণ গুণনীয়ক রয়েছে, তাই আমরা নিম্নলিখিত রূপান্তরটি সম্পাদন করতে পারি - বন্ধনীকরণ। এর পরে আমরা অভিব্যক্তিতে আসি: 2 x 2 (2 x+1)।

একই সংখ্যা যোগ এবং বিয়োগ

একটি রাশির আরেকটি কৃত্রিম রূপান্তর হল একই সংখ্যা বা রাশির যোগ এবং একযোগে বিয়োগ। এই রূপান্তরটি অভিন্ন কারণ এটি মূলত শূন্য যোগ করার সমতুল্য, এবং শূন্য যোগ করলে মান পরিবর্তন হয় না।

এর একটি উদাহরণ তাকান. এক্স 2 +2·x এক্সপ্রেশনটি ধরা যাক। আপনি যদি এটিতে একটি যোগ করেন এবং একটি বিয়োগ করেন তবে এটি আপনাকে ভবিষ্যতে আরেকটি অভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করতে দেবে - দ্বিপদী বর্গ: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

গ্রন্থপঞ্জি।

  • বীজগণিত:পাঠ্যপুস্তক 7 ম শ্রেণীর জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; দ্বারা সম্পাদিত এস এ টেলিকভস্কি। - 17 তম সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 2008। - 240 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019315-3।
  • বীজগণিত:পাঠ্যপুস্তক 8 ম শ্রেণীর জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; দ্বারা সম্পাদিত এস এ টেলিকভস্কি। - 16তম সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 2008। - 271 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019243-9।
  • মর্ডকোভিচ এ.জি.বীজগণিত। 7 ম গ্রেড। দুপুর ২টায় পার্ট 1। শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক শিক্ষা প্রতিষ্ঠান/ এ. জি. মর্ডকোভিচ। - 17 তম সংস্করণ, যোগ করুন। - এম.: মেমোসিন, 2013। - 175 পি।: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-02432-3।

পরিচয় সম্পর্কে ধারণা লাভ করার পরে, পরিচিত হওয়ার দিকে এগিয়ে যাওয়া যৌক্তিক। এই নিবন্ধে আমরা অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তিগুলি কী সেই প্রশ্নের উত্তর দেব এবং কোন অভিব্যক্তিগুলি অভিন্নভাবে সমান এবং কোনটি নয় তা বোঝার জন্য উদাহরণগুলি ব্যবহার করব৷

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি কি?

অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির সংজ্ঞাটি পরিচয়ের সংজ্ঞার সমান্তরালে দেওয়া হয়েছে। এটি 7 ম শ্রেণীর বীজগণিত ক্লাসে ঘটে। লেখক ইউ এন. মাকারিচেভের 7 ম শ্রেণীর বীজগণিতের পাঠ্যপুস্তকে, নিম্নলিখিত সূত্র দেওয়া হয়েছে:

সংজ্ঞা।

- এগুলি এমন অভিব্যক্তি যার মানগুলি তাদের অন্তর্ভুক্ত ভেরিয়েবলগুলির যে কোনও মানের জন্য সমান। অভিন্ন মান আছে এমন সংখ্যাসূচক রাশিগুলিকেও অভিন্ন সমান বলা হয়।

এই সংজ্ঞাটি গ্রেড 8 পর্যন্ত ব্যবহার করা হয়; এটি পূর্ণসংখ্যার অভিব্যক্তির জন্য বৈধ, যেহেতু তারা তাদের মধ্যে থাকা ভেরিয়েবলের যেকোনো মানকে বোঝায়। এবং গ্রেড 8-এ, অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির সংজ্ঞা স্পষ্ট করা হয়েছে। এর সাথে কিসের সম্পর্ক আছে তা ব্যাখ্যা করা যাক।

8 তম গ্রেডে, অন্যান্য ধরণের অভিব্যক্তিগুলির অধ্যয়ন শুরু হয়, যা সম্পূর্ণ অভিব্যক্তির বিপরীতে, ভেরিয়েবলের কিছু মানের জন্য অর্থবোধক নাও হতে পারে। এটি আমাদেরকে ভেরিয়েবলের অনুমোদনযোগ্য এবং অগ্রহণযোগ্য মানের সংজ্ঞা প্রবর্তন করতে বাধ্য করে, সেইসাথে ভেরিয়েবলের পরিবর্তনশীল মানের অনুমতিযোগ্য মানের পরিসীমা, এবং ফলস্বরূপ, অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির সংজ্ঞা স্পষ্ট করতে।

সংজ্ঞা।

দুটি অভিব্যক্তি যেগুলির মানগুলি তাদের অন্তর্ভুক্ত ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত অনুমোদিত মানের জন্য সমান তাদের বলা হয় অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি. একই মানসম্পন্ন দুটি সংখ্যাসূচক রাশিকেও অভিন্নভাবে সমান বলা হয়।

ভিতরে এই সংজ্ঞাঅভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি, এটি "এগুলি অন্তর্ভুক্ত ভেরিয়েবলের সমস্ত অনুমোদিত মানগুলির জন্য" বাক্যাংশটির অর্থ ব্যাখ্যা করার মতো। এটি ভেরিয়েবলের এমন সমস্ত মানকে বোঝায় যার জন্য উভয় অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি একই সময়ে অর্থবোধ করে। আমরা উদাহরণগুলি দেখে পরবর্তী অনুচ্ছেদে এই ধারণাটি ব্যাখ্যা করব।

A. G. Mordkovich এর পাঠ্যপুস্তকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির সংজ্ঞা একটু ভিন্নভাবে দেওয়া হয়েছে:

সংজ্ঞা।

অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি- এগুলি পরিচয়ের বাম এবং ডান দিকের অভিব্যক্তি।

এর অর্থ এবং পূর্ববর্তী সংজ্ঞাগুলি মিলে যায়।

অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির উদাহরণ

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে প্রবর্তিত সংজ্ঞা আমাদের দেওয়ার অনুমতি দেয় অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির উদাহরণ.

আসুন অভিন্নভাবে সমান সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি দিয়ে শুরু করি। সাংখ্যিক অভিব্যক্তি 1+2 এবং 2+1 অভিন্নভাবে সমান, যেহেতু তারা সমান মানের 3 এবং 3 এর সাথে মিলে যায়। 5 এবং 30:6 অভিব্যক্তিগুলিও অভিন্নভাবে সমান, যেমন অভিব্যক্তি (2 2) 3 এবং 2 6 (পরবর্তী অভিব্যক্তিগুলির মানগুলি এর গুণে সমান)। এবং এখানে সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি 3+2 এবং 3−2 অভিন্নভাবে সমান নয়, যেহেতু তাদের সংশ্লিষ্ট মানগুলি যথাক্রমে 5 এবং 1, এবং তারা সমান নয়।

এখন চলকগুলির সাথে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির উদাহরণ দেওয়া যাক। এগুলি হল a+b এবং b+a অভিব্যক্তি। প্রকৃতপক্ষে, a এবং b ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য, লিখিত অভিব্যক্তি একই মান নেয় (সংখ্যা থেকে নিম্নরূপ)। উদাহরণস্বরূপ, a=1 এবং b=2 ​​এর সাথে আমাদের আছে a+b=1+2=3 এবং b+a=2+1=3। a এবং b ভেরিয়েবলের অন্য যেকোনো মানের জন্য, আমরা এই রাশিগুলির সমান মানও পাব। x, y এবং z ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য 0·x·y·z এবং 0 অভিব্যক্তিগুলোও সমানভাবে সমান। কিন্তু এক্সপ্রেশন 2 x এবং 3 x একইভাবে সমান নয়, যেহেতু, উদাহরণস্বরূপ, যখন x=1 তাদের মান সমান নয়। প্রকৃতপক্ষে, x=1 এর জন্য 2·x রাশিটি 2·1=2 এর সমান এবং 3·x রাশিটি 3·1=3 এর সমান।

যখন অভিব্যক্তিতে ভেরিয়েবলের অনুমোদনযোগ্য মানের পরিসীমা মিলে যায়, যেমন, a+1 এবং 1+a, অথবা a·b·0 এবং 0, বা এবং, এবং এই রাশিগুলির মান এই অঞ্চলগুলি থেকে ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত মানের জন্য সমান, তারপর এখানে সবকিছু পরিষ্কার - এই অভিব্যক্তিগুলি তাদের অন্তর্ভুক্ত ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত অনুমোদিত মানের জন্য অভিন্নভাবে সমান। সুতরাং a+1≡1+a যেকোন a এর জন্য, a·b·0 এবং 0 অভিব্যক্তিগুলি a এবং b ভেরিয়েবলের যেকোন মানের জন্য এবং অভিব্যক্তিগুলি অভিন্নভাবে সমান এবং সমস্ত x এর জন্য অভিন্নভাবে সমান; দ্বারা সম্পাদিত এস এ টেলিকভস্কি। - 17 তম সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 2008। - 240 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019315-3।

  • বীজগণিত:পাঠ্যপুস্তক 8 ম শ্রেণীর জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; দ্বারা সম্পাদিত এস এ টেলিকভস্কি। - 16তম সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 2008। - 271 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019243-9।
  • মর্ডকোভিচ এ.জি.বীজগণিত। 7 ম গ্রেড। 2 ঘন্টার মধ্যে পার্ট 1. সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক / A. G. Mordkovich. - 17 তম সংস্করণ, যোগ করুন। - এম.: মেমোসিন, 2013। - 175 পি।: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-02432-3।

    • § 2. অভিন্ন অভিব্যক্তি, পরিচয়। অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর। পরিচয়ের প্রমাণ

    চলুন x ভেরিয়েবলের প্রদত্ত মানের জন্য 2(x - 1) 2x - 2 এক্সপ্রেশনের মান খুঁজে বের করি। টেবিলে ফলাফল লিখুন:

    আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে x চলকের প্রতিটি প্রদত্ত মানের জন্য 2(x - 1) 2x - 2 রাশির মান একে অপরের সমান। বিয়োগের সাপেক্ষে গুণের বণ্টনমূলক বৈশিষ্ট্য অনুসারে, 2(x - 1) = 2x - 2। অতএব, x চলকের অন্য কোনো মানের জন্য, 2(x - 1) 2x - 2-এর মানও হবে একে অপরের সমান। এই ধরনের অভিব্যক্তিকে অভিন্নভাবে সমান বলা হয়।

    উদাহরণস্বরূপ, 2x + 3x এবং 5x অভিব্যক্তিগুলি সমার্থক, কারণ x চলকের প্রতিটি মানের জন্য এই রাশিগুলি অর্জন করে অভিন্ন মান(এটি 2x + 3x = 5x থেকে যোগের সাপেক্ষে গুণের বণ্টনমূলক সম্পত্তি থেকে অনুসরণ করে)।

    এখন 3x + 2y এবং 5xy রাশিগুলো বিবেচনা করা যাক। যদি x = 1 এবং b = 1 হয়, তাহলে এই অভিব্যক্তিগুলির সংশ্লিষ্ট মানগুলি একে অপরের সমান:

    3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5।

    যাইহোক, আপনি x এবং y এর মানগুলি নির্দিষ্ট করতে পারেন যার জন্য এই অভিব্যক্তিগুলির মান একে অপরের সমান হবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 2; y = 0, তারপর

    3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0।

    ফলস্বরূপ, ভেরিয়েবলগুলির মান রয়েছে যার জন্য 3x + 2y এবং 5xy অভিব্যক্তিগুলির সংশ্লিষ্ট মানগুলি একে অপরের সমান নয়। অতএব, অভিব্যক্তি 3x + 2y এবং 5xy অভিন্নভাবে সমান নয়।

    উপরের উপর ভিত্তি করে, পরিচয়গুলি, বিশেষ করে, সমতাগুলি হল: 2(x - 1) = 2x - 2 এবং 2x + 3x = 5x।

    একটি পরিচয় লিখিত প্রতিটি সমতা পরিচিত বৈশিষ্ট্যসংখ্যার উপর কর্ম। উদাহরণ স্বরূপ,

    a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

    ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac।

    পরিচয়ের মধ্যে নিম্নলিখিত সমতা রয়েছে:

    a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

    a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

    1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

    যদি আমরা -5x + 2x - 9 অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদগুলিকে একত্রিত করি, তাহলে আমরা 5x + 2x - 9 = 7x - 9 পাই। এই ক্ষেত্রে, তারা বলে যে অভিব্যক্তিটি 5x + 2x - 9 অভিন্ন অভিব্যক্তি 7x - দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছিল। 9.

    ভেরিয়েবল সহ অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়। বিশেষ করে, বন্ধনী খোলার সাথে অভিন্ন রূপান্তর, অনুরূপ পদ নির্মাণ, এবং মত.

    অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করার সময় অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে হবে, অর্থাৎ, একটি নির্দিষ্ট অভিব্যক্তিকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে, যা স্বরলিপিটিকে ছোট করতে হবে।

    উদাহরণ 1. অভিব্যক্তি সরলীকরণ:

    1) -0.3 মি ∙ 5n;

    2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

    3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a)।

    1) -0.3 m ∙ 5n = -0.3 ∙ 5mn = -1.5 mn;

    2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 এক্স - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

    3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5 ক - ক + 2 খ + 3 খ - ক= 3a + 5b + 2।

    প্রমাণ করার জন্য যে সমতা একটি পরিচয় (অন্য কথায়, পরিচয় প্রমাণ করতে, অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর ব্যবহার করা হয়।

    আপনি নিম্নলিখিত উপায়গুলির মধ্যে একটিতে পরিচয় প্রমাণ করতে পারেন:

    • এর বাম দিকে অভিন্ন রূপান্তরগুলি সঞ্চালন করে, যার ফলে এটিকে ডান দিকের আকারে হ্রাস করে;
    • এর ডান দিকে অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করুন, যার ফলে এটিকে বাম দিকের আকারে হ্রাস করে;
    • এর উভয় অংশে অভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করে, যার ফলে উভয় অংশকে একই অভিব্যক্তিতে উত্থাপন করা হয়।

    উদাহরণ 2. পরিচয় প্রমাণ করুন:

    1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

    2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

    3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21।

    R a s i z a n i .

    1) এই সমতার বাম দিকে রূপান্তর করুন:

    2x - (x + 5) - 11 = 2x - এক্স- 5 - 11 = x - 16।

    পরিচয় রূপান্তরের মাধ্যমে, সমতার বাম দিকের অভিব্যক্তিটি ডান দিকের আকারে হ্রাস করা হয়েছিল এবং এর মাধ্যমে প্রমাণিত হয়েছিল যে এই সমতা একটি পরিচয়।

    2) এই সমতার ডান দিকটি রূপান্তর করুন:

    5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10 ক - 15 খ - 14 ক + 35 খ= 20b - 4a.

    আইডেন্টিটি ট্রান্সফরমেশনের মাধ্যমে, সমতার ডান দিকটি বাম দিকের আকারে হ্রাস করা হয়েছিল এবং এর মাধ্যমে প্রমাণিত হয়েছিল যে এই সমতা একটি পরিচয়।

    3) এই ক্ষেত্রে, সমতার বাম এবং ডান উভয় দিককে সরল করা এবং ফলাফলগুলি তুলনা করা সুবিধাজনক:

    2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

    13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44।

    অভিন্ন রূপান্তর দ্বারা, সমতার বাম এবং ডান দিক একই আকারে হ্রাস করা হয়েছিল: 26x - 44। অতএব, এই সমতা একটি পরিচয়।

    কি অভিব্যক্তি অভিন্ন বলা হয়? অভিন্ন অভিব্যক্তির উদাহরণ দাও। কোন ধরনের সমতাকে পরিচয় বলা হয়? একটি পরিচয়ের উদাহরণ দাও। অভিব্যক্তির পরিচয় রূপান্তরকে কী বলে? কিভাবে পরিচয় প্রমাণ করা যায়?

    1. (মৌখিকভাবে) অথবা অভিব্যক্তি আছে যা অভিন্নভাবে সমান:

    1) 2a + a এবং 3a;

    2) 7x + 6 এবং 6 + 7x;

    3) x + x + x এবং x 3 ;

    4) 2(x - 2) এবং 2x - 4;

    5) m - n এবং n - m;

    6) 2a ∙ p এবং 2p ∙ a?

    1. অভিব্যক্তিগুলি কি অভিন্নভাবে সমান:

    1) 7x - 2x এবং 5x;

    2) 5a - 4 এবং 4 - 5a;

    3) 4m + n এবং n + 4m;

    4) a + a এবং a 2;

    5) 3(a - 4) এবং 3a - 12;

    6) 5m ∙ n এবং 5m + n?

    1. (মৌখিকভাবে) হল লি পরিচয় সমতা:

    1) 2a + 106 = 12ab;

    2) 7р - 1 = -1 + 7р;

    3) 3(x - y) = 3x - 5y?

    1. খোলা বন্ধনী:
    1. খোলা বন্ধনী:
    1. অনুরূপ পদ একত্রিত করুন:
    1. কিছু অভিব্যক্তির নাম দিন অভিন্ন অভিব্যক্তি 2a + 3a।
    2. গুণের স্থানান্তর এবং সংযোগমূলক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে অভিব্যক্তিটি সরল করুন:

    1) -2.5 x ∙ 4;

    2) 4р ∙ (-1.5);

    3) 0.2 x ∙ (0.3 গ্রাম);

    4)- x ∙<-7у).

    1. অভিব্যক্তি সরলীকরণ:

    1) -2р ∙ 3.5;

    2) 7a ∙ (-1.2);

    3) 0.2 x ∙ (-3у);

    4) - 1 মি ∙ (-3n)।

    1. (মৌখিক) অভিব্যক্তি সরল করুন:

    1) 2x - 9 + 5x;

    2) 7a - 3b + 2a + 3b;

    4) 4a ∙ (-2b)।

    1. অনুরূপ পদ একত্রিত করুন:

    1) 56 - 8a + 4b - a;

    2) 17 - 2p + 3p + 19;

    3) 1.8 a + 1.9 b + 2.8 a - 2.9 b;

    4) 5 - 7s + 1.9 গ্রাম + 6.9 s - 1.7 গ্রাম।

    1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

    2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

    3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

    4) -(3m - 5) + 2(3m - 7)

    1. বন্ধনী খুলুন এবং অনুরূপ পদ একত্রিত করুন:

    1) 3(8a - 4) + 6a;

    2) 7p - 2 (3p - 1);

    3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

    4) 3(5m - 7) - (15m - 2)।

    1) 0.6 x + 0.4(x - 20), যদি x = 2.4 হয়;

    2) 1.3(2a - 1) - 16.4, যদি a = 10 হয়;

    3) 1.2(m - 5) - 1.8(10 - m), যদি m = -3.7;

    4) 2x - 3(x + y) + 4y, যদি x = -1, y = 1 হয়।

    1. অভিব্যক্তি সরল করুন এবং এর অর্থ খুঁজুন:

    1) 0.7 x + 0.3(x - 4), যদি x = -0.7;

    2) 1.7(y - 11) - 16.3, যদি b = 20 হয়;

    3) 0.6(2a - 14) - 0.4(5a - 1), যদি a = -1;

    4) 5(m - n) - 4m + 7n, যদি m = 1.8 হয়; n = -0.9।

    1. পরিচয় প্রমাণ করুন:

    1) -(2x - y)=y - 2x;

    2) 2(x - 1) - 2x = -2;

    3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

    4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3)।

    1. পরিচয় প্রমাণ করুন:

    1) -(m - 3n) = 3n - m;

    2) 7(2 - p) + 7p = 14;

    3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

    4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3।

    1. ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য এক সেমি এবং অন্য দুটি বাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য এটির থেকে 2 সেমি বেশি। ত্রিভুজের পরিধিটি একটি রাশি হিসাবে লিখুন এবং অভিব্যক্তিটিকে সরল করুন।
    2. আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ x সেমি, এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 3 সেমি বেশি। আয়তক্ষেত্রের পরিধিটি একটি রাশি হিসাবে লিখুন এবং অভিব্যক্তিটিকে সরল করুন।

    1) x - (x - (2x - 3));

    2) 5m - (n - m) + 3n);

    3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

    4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

    5) (6a - b) - (4 a - 33b);

    6) - (2.7 m - 1.5 n) + (2n - 0.48 m)।

    1. বন্ধনী খুলুন এবং অভিব্যক্তি সরল করুন:

    1) a - (a - (3a - 1));

    2) 12m - ((a - m) + 12a);

    3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

    6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b)।

    1. পরিচয় প্রমাণ করুন:

    1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

    2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

    3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b)

    1. পরিচয় প্রমাণ করুন:

    1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

    2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

    1. উক্তিটির অর্থ প্রমাণ কর

    1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) ভেরিয়েবলের মানের উপর নির্ভর করে না।

    1. প্রমাণ কর যে চলকের যেকোনো মানের জন্য রাশিটির মান

    a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

    একই সংখ্যা।

    1. প্রমাণ কর যে তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল 6 দ্বারা বিভাজ্য।
    2. প্রমাণ করুন যে n যদি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তাহলে -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) রাশিটির মান একটি জোড় সংখ্যা।

    পুনরাবৃত্তি করার ব্যায়াম

    1. 1.6 কেজি ওজনের একটি সংকর ধাতুতে 15% তামা থাকে। এই সংকর ধাতুতে কত কেজি তামা থাকে?
    2. এর 20 সংখ্যা কত শতাংশ:

    1) বর্গক্ষেত্র;

    1. পর্যটক 2 ঘন্টা হেঁটে এবং 3 ঘন্টা সাইকেল চালান। মোট, পর্যটক 56 কিমি আচ্ছাদিত. পর্যটক যে গতিতে সাইকেল চালাচ্ছিলেন তা খুঁজে বের করুন, যদি সে যে গতিতে হাঁটছিল তার চেয়ে 12 কিমি/ঘন্টা বেশি হয়।

    অলস শিক্ষার্থীদের জন্য আকর্ষণীয় কাজ

    1. সিটি ফুটবল চ্যাম্পিয়নশিপে ১১টি দল অংশগ্রহণ করে। প্রতিটি দল অন্যটির বিপক্ষে একটি ম্যাচ খেলে। প্রমাণ করুন যে প্রতিযোগিতার যেকোনো মুহূর্তে এমন একটি দল আছে যারা সেই মুহূর্তে একটি জোড় সংখ্যক ম্যাচ খেলেছে বা এখনও কোনো খেলেনি।

    আসুন দুটি সমতা বিবেচনা করা যাক:

    1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

    এই সমতাটি ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য ধরে রাখবে a. সেই সমতার জন্য গ্রহণযোগ্য মানের পরিসর হবে বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট।

    2. a 12: a 3 = a 2 *a 7।

    এই অসমতা একটি ভেরিয়েবলের সমস্ত মানের জন্য সত্য হবে, একটি শূন্যের সমান বাদে। এই অসমতার জন্য গ্রহণযোগ্য মানের পরিসর হবে শূন্য বাদে বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট।

    এই সমতাগুলির প্রতিটির জন্য এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে এটি ভেরিয়েবলের যেকোনো গ্রহণযোগ্য মানের জন্য সত্য হবে a. গণিতে এমন সমতা বলা হয় পরিচয়.

    পরিচয়ের ধারণা

    একটি পরিচয় হল একটি সমতা যা ভেরিয়েবলের যেকোনো গ্রহণযোগ্য মানের জন্য সত্য। আপনি যদি ভেরিয়েবলের পরিবর্তে এই সমতাতে কোনো বৈধ মান প্রতিস্থাপন করেন, তাহলে আপনার একটি সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা পাওয়া উচিত।

    এটা লক্ষণীয় যে সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতাগুলিও পরিচয়। পরিচয়, উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যার উপর কর্মের বৈশিষ্ট্য হবে।

    3. a + b = b + a;

    4. a + (b + c) = (a + b) + c;

    6. a*(b*c) = (a*b)*c;

    7. a*(b + c) = a*b + a*c;

    11. a*(-1) = -a.

    যদি কোন গ্রহণযোগ্য চলকের জন্য দুটি রাশি যথাক্রমে সমান হয়, তাহলে এই জাতীয় রাশিগুলিকে বলা হয় অভিন্নভাবে সমান. নীচে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির কিছু উদাহরণ রয়েছে:

    1. (ক 2) 4 এবং একটি 8;

    2. a*b*(-a^2*b) এবং -a 3 *b 2;

    3. (x 3 * x 8)/x) এবং x 10।

    আমরা সর্বদা একটি অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করতে পারি অন্য কোনো অভিব্যক্তির সাথে প্রথমটির সমান সমান। যেমন একটি প্রতিস্থাপন একটি পরিচয় রূপান্তর হবে.

    পরিচয়ের উদাহরণ

    উদাহরণ 1: নিম্নলিখিত সমতাগুলি অভিন্ন:

    1. a + 5 = 5 + a;

    2. a*(-b) = -a*b;

    3. 3*a*3*b = 9*a*b;

    উপরে উপস্থাপিত সব অভিব্যক্তি পরিচয় হবে না. এই সমতাগুলির মধ্যে, শুধুমাত্র 1, 2 এবং 3টি সমতার পরিচয়। আমরা তাদের মধ্যে কোন সংখ্যার প্রতিস্থাপন করি না কেন, a এবং b ভেরিয়েবলের পরিবর্তে আমরা এখনও সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা পাব।

    কিন্তু 4 সমতা আর কোনো পরিচয় নয়। কারণ এই সমতা সব বৈধ মানের জন্য থাকবে না। উদাহরণস্বরূপ, a = 5 এবং b = 2 মানের সাথে, নিম্নলিখিত ফলাফল প্রাপ্ত হবে:

    এই সমতা সত্য নয়, যেহেতু 3 নম্বরটি -3 নম্বরের সমান নয়।