Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .
Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .
Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.
Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу . Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор .Алгоритм нахождения определителя
- Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
- Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса .
- Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).
Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)
Методы вычислений определителей
Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса . Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:- вычисление определителя методом понижения порядка
- вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).
Прикладное использование определителей
Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы .
Иногда требуется найти неизвестный параметр a , при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников
) и, приравняв его к 0 , вычислить параметр a .
разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 .
Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.Найдем определитель для этого минора. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14
Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 . Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец. Вычислим определитель для этого минора. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7 . И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец. Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14
Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков . Один из методов вычисления определителей высших порядков - использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.
Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.
Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. Тогда определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:
\begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation}
$A_{ij}$ обозначает алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$. Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему Алгебраические дополнения и миноры . Запись $a_{ij}$ обозначает элемент матрицы или определителя, расположенный на пересечении i-й строки j-го столбца. Для более полной информации можно глянуть тему Матрицы. Виды матриц. Основные термины .
Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $\sum$ (это греческая буква "сигма").
Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования , а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.
Расшифруем запись $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+\ldots $$
Следующее целое число после единицы - двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+\ldots $$
После двойки следующее число - тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$
Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$
Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=55$.
Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $\sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)$. Индекс суммирования здесь - буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.
$$ \sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$
Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:
\begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}
Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде:
$$\Delta=\left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right|$$
Выберем произвольный столбец в этом определителе. Возьмём, к примеру, столбец под номером 4. Запишем формулу для разложения определителя по выбранному четвёртому столбцу:
Аналогично, выбирая, к примеру, третью строку, получим разложение по этой строке:
Пример №1
Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу.
Нам нужно вычислить определитель третьего порядка $\Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right|$. Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу . Запишем это разложение в общем виде:
$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}. $$
Для нашей матрицы $a_{11}=5$, $a_{12}=-4$, $a_{13}=3$. Для вычисления алгебраических дополнений $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$ станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой . Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:
\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot \left| \begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_{12}=(-1)^3\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_{13}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end{aligned}
Как мы нашли алгебраические дополнения? показать\скрыть
Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:
$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$
Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.
Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, - до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.
Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, - просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_{32}=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_{32}\cdot A_{32}=0\cdot A_{23}=0$. Используя формулу для разложения по второму столбцу, получим:
$$ \Delta A= a_{12}\cdot A_{12}+a_{22}\cdot A_{22}+a_{32}\cdot A_{32}=-4\cdot (-1)\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|+2\cdot \left| \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$
Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.
Ответ : $\Delta A=134$.
Пример №2
Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу.
Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу, запишем разложение определителя по третьей строке:
$$ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}. $$
Так как $a_{31}=-5$, $a_{32}=0$, $a_{33}=-4$, $a_{34}=0$, то записанная выше формула станет такой:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}. $$
Обратимся к алгебраическим дополнениям $A_{31}$ и $A_{33}$. Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).
\begin{aligned} & A_{31}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=10;\\ & A_{33}=(-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-34. \end{aligned}
Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$
В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:
$$ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}=\\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$
Ответ : $\Delta A=86$.
Определение1. 7 . Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.
Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.
Пример. Для 
Определение1. 8.
Алгебраическим дополнением
элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е. 
Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:
Теорема 1.1 . Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
где i=1,2,3.
Доказательство.
Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.
Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:
Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.
Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как следовательно, и Найдем и 
Следовательно,
Определители более высоких порядков .
Определение1. 9 . Определитель n-го порядка
есть сумма n! членов 
каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.
Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.
Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.
Пример. Вычислим определитель 4-го порядка 
с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :
Следовательно,
Теоре́ма Лапла́са - одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 - 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.
олнение минора определяется следующим образом:
Справедливо следующее утверждение.
Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .
Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.
Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
Широко известен частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам.
Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n .
Определение.
Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A . Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т.е. вторые индексы элементов a ij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (-) – те, у которых она нечетная.
.
Здесь - число инверсий в перестановке индексов i 1 , i 2 , …, i n .
Методы нахождения определителей
- Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
- Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
Свойство определителей
- При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
- Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
- Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
- Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
- Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
- Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
- Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
- Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.
- Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.
- транспонировать матрицу;
- прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.
Задание 1
. Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение :xml :xls
Пример 1 :xml :xls
Задание 2 . Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.
Решение
.
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.
| = |
б) Запишем матрицу в виде:
| A = |
|
Главный определитель:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34
Задание 3
. Укажите, чему равен определитель квадратной матрицы A четвертого порядка, если ее ранг r(A)=1.
Ответ: det(A) = 0.
Лекция 2. определители
Определители второго порядка
Определители третьего порядка
Алгебраические дополнения и миноры
Разложение определителя по строке или столбцу
Свойства определителей
Обратная матрица
Свойства обратной матрицы
1. Определители второго порядка
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы .
Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:
.
Пример
1.
.
2. Определители третьего порядка
В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.
Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.
Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.
Пример 2 .
3. Алгебраические дополнения и миноры
Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления.
Пример
3.
Минор 
определителя
есть.
.
Полезно
запомнить, что
и
.
Пример 4. В примере 3алгебраическое дополнение
4. Разложение определителя по строке или столбцу
Вычисление
определителя
-го
порядка можно свести к вычислению
определителей порядка
,
используя следующие формулы.
Это
число равно сумме произведений элементов
любой
-й
строки на
их алгебраические
дополнения
.
Пример
5
. Вычислить
определитель третьего порядка
разложением по первой строке.
Решение
Это
число равно сумме произведений элементов
любого
-го
столбца на их алгебраические дополнения.
Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.
5. Свойства определителей
1.
При
транспонировании квадратной матрицы
ее определитель не меняется:
.
Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.
2.
При
перестановке двух строк
(столбцов) определитель меняет знак на
противоположный. Например,
.
3. Определитель равен нулю , если:
а)
он имеет нулевую строку (столбец)
;
б)
он имеет пропорциональные (одинаковые)
строки (столбец)
.
4.
Общий
множитель в строке (столбце)
можно выносить за знак определителя.
Например,
.
5. Определитель не изменяется , если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.
Например,
.
6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:
.
7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:
.
8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
6. Обратная матрица
Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.
Обозначается
обратная матрица
,
то
есть
.
Очевидна
аналогия с числами: для числа 2 число ½
есть обратное, так как
.
Именно поэтому матрица, обратная к А,
обозначается
.
Теорема
«Необходимое и достаточное условие
существования обратной матрицы».
Для
того чтобы квадратная матрица
имела обратную матрицу
,
необходимо и достаточно, чтобы определитель
матрицы
был не равен нулю.
Правило
нахождения обратной матрицы
0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.
1)
Вычисляем определитель матрицы
:
если он не равен нулю, то обратная матрица
существует:
;
если
равен нулю, то обратной матрицы нет.
2)
Для каждого элемента матрицы
вычисляем его алгебраическое дополнение
.
3)
Составляем матрицу из алгебраических
дополнений, которая затем транспонируем:
.
4)
Каждый элемент матрицы
делим на определитель
:
Получаем матрицу, обратную данной.
7. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка
Пример
6.
Дана матрица
.
Найти обратную матрицу.
Решение .
Проверка.
Убедимся, что найдена действительно
обратная матрица. Найдем произведение
матриц
и
.
8. Свойства обратной матрицы
1.
,
где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольные вопросы
Что называется определителем второго порядка?
Как вычислить определитель третьего порядка?
Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?
Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Приведите примеры для определителей 2 и 3 порядков.
Напишите разложения определителя третьего порядка по элементам произвольной строки и произвольного столбца.
